PDF, 396 KB - Physik-Institut

Formelblatt Physik HSGYM
4. April 2015, M. Lieberherr
Viele Gesetze und Informationen auf dieser Seite sollten von der Mittelschule her bekannt sein und angewendet
werden können. Folgen Sie den braunen oder blauen Links für weitergehende Auskünfte oder dem Index.
W
∆t
Eine Grösse umfasst
W
Zahlenwert und Einheit. η = 2
W1
Für gegebene und
1 kWh = 3.6 MJ
gesuchte Grössen
werden Platzhalter
~p = m~υ
eingeführt. Eine
~p1 + ~p2 + · · · = const
Schlussformel ist nach
∆~p
der gesuchten Grösse
F~res =
∆t
aufgelöst und enthält nur
2π
υ
Variable für gegebene
ω=
= 2π f =
T
r
Grössen. Das Resultat
2
υ
hat ebenso viele
az =
= rω2
r
signifikante Stellen wie
Gm1 m2
die ungenaueste
FG =
r2
Ausgangsgrösse.
Nm2
G = 6.674 · 10−11
kg2
Mechanik
M = aF = rF sin α
∆~s
~υ =
a1 F1 = a2 F2
∆t
FN
1 m/s = 3.6 km/h
p=
A
dυ
a=
W
=
p∆V
dt
pn = 101325 Pa
s = s0 + υ0 t + 21 at2
p = ρgh
υ = υ0 + at
∆p = 21 ρυ2
υ2 = υ20 + 2a(s − s0 )
F A = ρF gVK
g = 9.81 m/s2
∆V
m
= const
υA =
ρ=
∆t
V
Fw = cw A 21 ρυ2
ρWasser = 998 kg/m3
Phys. Rechnen
ρLuft = 1.293 kg/m3
Im Inertialsystem gilt:
F~res = m~a
actio = reactio
FG = mg
F F = Dy
FGR = µG F N
0 6 F HR 6 µH F N
W = F s s = F s cos α
E2 − E1 = W + . . .
Ekin = 12 mυ2
Epot = mgh
E F = 12 Dy2
Ekin + E pot + · · · = const
P=
Wärme
T − ϑ = 273.15 K
∆l = αl0 ∆ϑ
∆Q = cm∆ϑ
cH2 O = 4182 J/(kg · K)
Q = mL
1 u = 1.661 · 10−27 kg
M = m/n
pV = nRT = NkB T
R = 8.314 J/(mol · K)
B=
µ0 I
2πr
µ0 = 4π · 10−7
Vs
Am
µ0 NI
l
kB = 1.381 · 10 J/K
dΦ
Vmn = 22.4 · 10−3 m3 /mol Uind = −
dt
2
3
1
mυ
=
k
T
B
Φ = AB⊥
2
2
∆U = Q + W + . . .
u(t) = û cos(ωt)
κ
pV = const
û
Ueff = √
Q = mH
2
Tw − Tk
η=
Tw
Schwingungen/Wellen
−23
Elektrizität
e = 1.6022 · 10−19 C
ΣQi = const
1
Q1 Q2
FC =
· 2
4πε0
r
As
ε0 = 8.854 · 10−12
Vm
~
Fel
E~ =
q
ε0 Q
E=
A
WAB
U AB =
= E · ∆sAB
q
∆Q
I=
∆t
U
R=
I
Ohm: U ∝ I
l
R = ρel
A
ρel,Cu = 1.78 · 10−8 Ωm
P = UI = RI 2 =
U2
R
LV-H2 O = 2.257 · 106 J/kg R seriell = R1 + R2
∆Q
1
1
1
J=
= U∆ϑ
=
+
A∆t
R parallel R1 R2
4
J = σT
U seriell = U1 + U2
−8
−2 −4
σ = 5.67 · 10 Wm K I parallel = I1 + I2
JS = 1366 W/m2
F = IlB sin α
23
−1
NA = 6.022 · 10 mol
F = qυB sin α
B=
y(t) = ŷ sin(ωt + ϕ0 )
p
T = 2π m/D
p
T = 2π l/g
αr = α1
n1 sin α1 = n2 sin α2
B b
=
G g
1 1 1
= +
f
g b
u(x, t) = û sin(kx − ωt)
c = λf
cLicht = 2.99792458 · 108 m/s
cS chall = 344 m/s
d sin αm = mλ
J
W
L = 10 · lg , J0 = 10−12 2
J0
m
Modernes
N = N0 e−λt
ln 2
λ=
T 1/2
A = λN
D = E/m
E = mc2
E = hf
h = 6.626 · 10−34 Js
h
p=
λ
Formelblatt
Gebrauchsanleitung
Das Formelblatt ist ein Inhaltsverzeichnis mit Doppelnutzen. Die Formeln geben einen groben Überblick
über physikalische Inhalte, die an einem Schweizer Gymnasium vermittelt werden. Die bunt gefärbten
Zeichen sind Links auf einen erklärenden Anhang. Dort findet man Beispiele und weiterführende
Informationen. Sie können auch via den alphabetischen Index auf die Erläuterungen zugreifen.
Die aufgeführten Gesetze richten sich grob nach den Empfehlungen der Fachkonferenz Physik im Projekt
HSGYM. Sie können die Empfehlungen unter www.aphel.ch/hsgym abrufen. Das Formelblatt enthält fast
alle Punkte aus dem “Pflichtteil” (Positivliste) des Minimalprogramms sowie einige Items aus dem
Wahlbereich (“Negativliste”). Items aus der Positivliste sind in der Randspalte mit “Pflicht”
Pflicht
gekennzeichnet und auf dem Formelblatt blau markiert. Items aus dem Wahlbereich sind in der Randspalte
mit “Kür” gekennzeichnet und auf dem Formelblatt braun markiert. Da Schweizer Gymnasien den
Kür
Physikunterricht zeitlich schwach dotieren, sind die Lehrkräfte manchmal gezwungen, viele Themen aus
dem Wahlbereich wegzulassen. Die aufgeführten Gesetze sind ein Teil dessen, was vom Autor mit einer
Schulklasse im neusprachlichen Gymnasialprofil in sechs Jahresstunden behandelt wurde (6 Jahresstunden
heisst hier zwei Lektionen pro Woche verteilt auf drei Schuljahre).
Für Studentinnen und Studenten
Das Formelblatt fasst einige Gesetze und Informationen zusammen, die Sie mehrheitlich aus dem
Mittelschulunterricht kennen und aktiv beherrschen sollten. Sie können das Blatt, indem Sie den Links
folgen, zur Vorbereitung auf die Physikvorlesung durcharbeiten. Wir schätzen, dass Sie dazu etwa einen
Arbeitstag benötigen. Sie können das Formelblatt auch ausdrucken und als Spick zum Lernen verwenden.
Für Hochschuldozentinnen und Dozenten
Das Formelblatt (mit den verlinkten Beispielen und Kommentaren) soll Ihnen eine Übersicht über das
physikalische Vorwissen von Studentinnen und Studenten aus einem Schweizer Gymnasium geben. Sie
dürfen erwarten, dass fast alle genannten Informationen in einem grösseren Auditorium vorhanden sind
(vielleicht in anderer Notation). Ein individueller Student oder eine Studentin kennt vielleicht 80 % aller
Gesetze aus dem “Pflichtteil” und 50 % aus dem “Wahlbereich”. Ihnen wird sicher auffallen, dass einige
Gesetze zu einfach, zuwenig genau, zu speziell oder nicht nach Ihrer Sprachkonvention aufgeführt sind.
Das ist teilweise Absicht, denn das Dokument soll das Vorwissen aus dem Gymnasium abbilden. Es ist
Ihre Aufgabe, die Gesetze zu ergänzen, schärfen, verallgemeinern oder im Niveau anzuheben, damit sie
den Ansprüchen einer Hochschule genügen.
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2
Physik
Der Name geht auf den griechischen Wortstamm physis (Natur) zurück.
Physik ist eine quantitative Naturwissenschaft.
“Naturwissenschaft”, um sie von den Geistes- und Sozialwissenschaften (Sprachen, Geschichte,
Mathematik, Recht etc.) sowie den technischen Wissenschaften (Elektrotechnik, Informatik,
Maschinenbau usw.) zu unterscheiden. Die Grenzen zu anderen Naturwissenschaften (Chemie, Biologie
etc.) sind fliessend.
“Quantitativ” oder exakt, weil die Natur in Zahlen ausgedrückt wird. Die Zahlen sind in Experimenten
gemessene Grössen, deren Genauigkeit abgeschätzt ist. Da ein grosser Zahlenhaufen unanschaulich wird,
werden die Zahlen durch mathematisch formulierte Theorien modelliert. Die Theorien erlauben
Vorhersagen und sind für Anwendungen in der Technik sehr nützlich. Experimente und Theorien ergänzen
und befruchten sich gegenseitig.
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3
HSGYM: Projekt Hochschule Gymnasium
Das Projekt HSGYM ist 2006 im Kanton Zürich gestartet worden. Gymnasiale und universitäre Lehrkräfte
haben haben sich zusammengesetzt, um den Übertritt für Maturandinnen und Maturanden vom
Gymnasium an die Hochschulen zu verbessern. Details kann man unter www.hsgym.ch erfahren.
Dieses Dokument ist von der Kerngruppe Physik zusammengestellt worden. Zur Kerngruppe gehören
David Ernest (Kantonsschule Zürich Nord), Paolo Hsiung (Kantonsschule Freudenberg), Martin
Lieberherr (Leiter der Kerngruppe, Kantonsschule Rämibühl MNG, Autor), Ulrich Straumann (Universität
Zürich) und Andreas Vaterlaus (Eidgenössische Technische Hochschule Zürich).
Für die Kerngruppe: Martin Lieberherr
Zürich, den 4. April 2015
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4
Physikalische Grösse
Pflicht
23
−1
Eine physikalische Grösse besteht aus Zahlenwert und Einheit, z.B. 35 kg oder 6.022 · 10 mol .
Zahlenwert und Einheitensymbol werden separat nach den Regeln der Algebra verrechnet.
√
Ausdrücke der Art 3, 8 m oder log(20 mol) sind nicht definiert; höhere Funktionen dürfen nur auf reine
Zahlen angewendet werden.
log(20 mol)
falsch!
→ log
20 mol
n
= log
= log 20 X
n0
1.0 mol
Gleichungen müssen in den Einheiten konsistent sein. Die Gleichung 5 = 5 m ist falsch. Die Gleichung
1 = 100 ist falsch, aber 1 m = 100 cm ist richtig. Die Gleichung 6 kg = 6 L ist falsch, auch für Wasser
(Masse , Volumen → m = ρV).
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5
Zahlenwert
Pflicht
In der Physik kommen oft sehr grosse oder kleine Zahlen vor. Damit die Grössenordnung (der Stellenwert
der ersten Ziffer) leicht erkannt werden kann, werden die wissenschaftliche Zahlenschreibweise oder
Dezimalvorsätze verwendet.
Wissenschaftliche Zahlenschreibweise
600000000000000000000000 → 6.0 · 1023
0.000000000106 → 1.06 · 10−10
In der wissenschaftlichen Zahlenschreibweise steht genau eine Ziffer ungleich Null vor dem Dezimalpunkt.
Dezimalvorsätze
3800000 W → 3.8 MW
0.000072 m2 → 72 mm2
4 cm3 = 4 (cm)3 = 4 · (10−2 m)3 = 4 · (10−2 )3 m3 = 4 · 10−6 m3
Dezimalvorsätze werden mit potenziert. Eine Grösse soll nur einen Dezimalvorsatz enthalten.
Dezimalvorsätze und wissenschaftliche Zahlenschreibweise sollen nicht vermischt werden.
Vorsatz
Deka
Hekto
Kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Exa
Zetta
Yotta
Abk.
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
Faktor
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
Vorsatz
Dezi
Centi
Milli
Mikro
Nano
Pico
Femto
Atto
Zepto
Yokto
Abk.
d
c
m
µ
n
p
f
a
z
y
Faktor
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
Tabelle 1: Diese Dezimalvorsätze sind im SI definiert. Gross- und Kleinschreibung müssen streng beachtet
werden. Zwischen mW (Milliwatt) und MW (Megawatt) liegen neun Zehnerpotenzen!
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6
Einheit
Pflicht
Eine Grösse besteht immer aus Zahlenwert und Einheit, z.B. 87 km. Eine Grösse ohne Einheit ist
unvollständig. Wir verwenden meistens SI-Einheiten (Système international d’unités).
SI-Basiseinheiten
Sekunde (s), Meter (m), Kilogramm (kg), Kelvin (K), Mol (mol), Ampere (A), Candela (cd)
abgeleitete Einheiten
Newton (N), Joule (J), Watt (W), Coulomb (C), Volt (V), etc.
Die abgeleiteten Einheiten sind durch Multiplikation oder Division aus den Basiseinheiten ableitbar.
Nicht-SI Einheiten
Pfund, Elektronvolt, Jahr, Kalorie, Meile, etc.
Der Ausdruck [a] mit eckigen Klammern heisst “Einheit von a”, also z.B. [23 N] = N.
Beispiel: Aus welchen SI-Basiseinheiten setzt sich die Einheit ‘Watt’ zusammen?
[P] =
W ∆t
=
ma · s ∆t
=
kg · m2
s3
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7
Platzhalter
Pflicht
Physikalische Probleme werden in einem ersten Schritt formalisiert: Für alle Grössen (gegeben, gesucht,
fehlend, etc.) der Aufgabe werden Platzhalter (Variable, Parameter) eingeführt. Üblicherweise sind das
Buchstaben, eventuell mit Index. Die Bezeichnungen sind im Prinzip frei, sollten aber lesefreundlich
gewählt werden, z.B. F oder K für Kraft, s für Strecke, t für Zeit (time), etc.
Beispiel: Ein Auto fährt in 90 Minuten 120 Kilometer weit. Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit.
Formalisierung: Zeit t = 90 min, Weg s = 120 km, Bahngeschwindigkeit υ (gesucht)
Die Bezeichnungen müssen innerhalb einer Aufgabe eindeutig sein, dürfen aber von Aufgabe zu Aufgabe
ändern. Einheitensymbole und ganze Worte dürfen nicht als Platzhalter missbraucht werden. Gleichungen
der Art “ kg = Dichte · V” sind verpönt.
Beispiel: Vervollständigen Sie die Formalisierung in folgender Gleichung: meter = 12 km + 60 · t
Lösung: s = s0 + υt (oder r = b + Vt, etc.)
Beispiel: Welche Masse hat ein Salzkorn?
Gesucht: Masse m, tabelliert: Dichte ρ = 2.17 g/cm3 , geschätzt: Volumen V ≈ a3 ≈ (0.5 mm)3
Tabellierte Grössen findet man in einem Tabellenwerk oder im Internet. Aus dem Mittelschulunterricht
sollte man einige tabellierte Grössen kennen (Dichte, spez. Wärmekapazität, etc.). Einige Grössen muss
oder darf man vernünftig abschätzen. Die Lösung der Aufgabe darf dann eine gewisse Bandbreite
aufweisen.
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8
Schlussformel
Pflicht
Nachdem die Aufgabe formalisiert worden ist, wird sie rein formal gelöst. Die formale Lösung ist ein
Term für die gesuchte Grösse, der nur Platzhalter für gegebene Grössen (oder solche, die man nachschauen
darf) enthält.
Beispiel: Eine Stahlkugel hat eine Masse von 28.7 g. Berechnen Sie ihre Oberfläche rein formal.
Lösung: Die Dichte ρ von Stahl ist tabelliert (bekannt) und kann verwendet werden.
3m
m = ρV = ρ ·
⇒r=
4πρ
!2/3
3m
A = 4πr2 = 4π ·
4πρ
!1/3
4π 3
r
3
Schlussformeln sollen vereinfacht werden: Kein Doppelbrüche, Quadrate unter Wurzeln oder ähnliches.
Beispiel: Eine Skaterin (58 kg) rollt eine 23 m lange Strasse hinab, die 7.4° gegen die Horizontale geneigt
ist. Sie starte aus der Ruhelage. Mit welcher Geschwindigkeit kommt sie unten an?
ma = Fres = FG|| = mg sin α ⇒ a = g sin α
υ2 = υ20 + 2a(s − s0 ) = 2sg sin α
p
υ = 2sg sin α Die Schlussformel enthält die Masse nicht mehr!
p
= 2 · 23 m · 9.81 m/s2 · sin 7.4° = 7.6 m/s
p
Bemerkung: Die formale Lösung entspricht υ = 2gh mit dem Höhenunterschied h = s sin α.
Schlussformeln lassen leichter Zusammenhänge erkennen als zusammengestückelte Zahlenrechnungen.
Formal-abstraktes Arbeiten lässt aus dem Humus der gemessenen Grössen Erkenntnisse spriessen!
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9
Signifikante Stellen
Pflicht
Es gibt keine exakten Messgrössen! Andererseits sind Grössen, deren Genauigkeit völlig unbestimmt ist,
wertlos. Zu jeder Grösse gehört also die Information, wie genau sie ist.
Signifikante Stellen oder wesentliche Ziffern ermöglichen es, die Genauigkeit einer Grösse auf einfache
Art auszudrücken. Signifikante Stellen sind alle Ziffern einer Dezimalzahl, die gesichert sind (oder
zumindest nicht völlig unbestimmt sind). Führende Nullen werden nicht mitgezählt. Bei dieser Zählweise
ist die Lage des Dezimalpunkts egal.
17.38 m
0.007 s
23.0 kg
vier wesentliche Ziffern
eine signifikante Stelle
drei signifikante Ziffern
1.0 · 104 m = 10 km
zwei wesentliche Stellen
7
10 A
keine signifikante Stelle, “Grössenordnung”


1 km
? 
1000 m = 

1.000 km
Zahl der wesentlichen Ziffern im Alltag oft unklar
Die Genauigkeit einer Grösse durch ihre signifikanten Stellen auszudrücken, ist zwar grob, aber einfach
anwendbar. Bessere Verfahren werden in der Theorie der Messfehler behandelt.
“Der Mangel an mathematischer Bildung gibt sich durch nichts so auffallend zu erkennen, wie durch
maßlose Schärfe im Zahlenrechnen.” (C.F. Gauss zugeschrieben)
Wenn die Ausgangsgrössen einer Rechnung eine beschränkte Genauigkeit haben, gilt das auch für das
Resultat der Rechnung.
Faustregel:
Das Resultat einer Rechnung hat ebenso viele wesentliche Ziffern wie die ungenaueste Ausgangsgrösse.
υ=
∆s 1.782 m
=
= 1.272857143 m/s → 1.3 m/s
∆t
1.4 s
Die Faustregel hat Ausnahmen, z.B. 1.08 km+1 mm = 1.08 km oder 3707 mm-3702 mm = 5 mm
In der Forschung wird die Genauigkeit meistens mit Hilfe der Standardabweichung (Streuung im Sinne der
Kür
Normalverteilung) ausgedrückt.
Beispiel
5.38(3) kg = (5.38 ± 0.03) kg
Die Zahl in der Klammer gibt den möglichen Messfehler in Einheiten der letzten angegebenen Ziffer an.
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10
Diagramme
Pflicht
Diagramme (graphische Darstellungen von Messdaten oder Funktionen) sollen möglichst selbsterklärend
sein: Die Achsen sind mit der Grösse, Einheit und Zahlenwerten angeschrieben, siehe Abbildung 1. Die
Messdaten sind als Punkte eingetragen und als solche bezeichnet. Theoretische Kurven sind als solche
beschriftet. Die Abbildungen sind nummeriert. Die Legende beschreibt, was in der Abbildung zu sehen ist.
Man sollte möglichst nicht im umgebenden Text nachlesen müssen, um den Inhalt des Diagramms zu
verstehen.
80
Abbildung 1: Umfang U einiger runder Küchengefässe als Funktion des Durchmessers d. Nach der
Theorie erwartet man, dass der Umfang proportional zum Durchmesser wächst. Der theoretische Zusammenhang ist eine Proportionalität (im Diagramm
eine Gerade durch den Nullpunkt) mit Steigung π.
U (cm)
60
Theorie
U=πd
40
Messwerte
20
0
0
5
10
15
d (cm)
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11
20
25
Mittlere Geschwindigkeit
~υ =
Pflicht
∆~s
∆t
Die mittlere Geschwindigkeit ~υ ist gleich der Verschiebung ∆~s (während der Zeitspanne ∆t) pro Zeit.
1. Beispiel: Ein Auto fährt in 35 Minuten 48 km weit.
υ=
∆s 48 · 103 m
=
= 23 m/s
∆t
35 · 60 s
2. Beispiel: Ein Bakterium befindet sich anfangs an der Position P1 (2.0 µm, 6.3 µm) und 20 Sekunden
später bei P2 (5.3 µm, 1.8 µm). Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit.
!
!
!
!
0.17 µm/s
(5.3 µm − 2.0 µm)/20 s
∆~s
(x2 − x1 )/∆t
υx
~υ =
=
→
=
=
−0.23 µm/s
(1.8 µm − 6.3 µm)/20 s
(y1 − y1 )/∆t
υy
∆t
Die Geschwindigkeit ist eine gerichtete Grösse, die am einfachsten als Vektor dargestellt wird. Falls die
Richtung nicht bestimmt werden kann, berechnet man nur den Betrag der Geschwindigkeit (Schnelligkeit,
Bahngeschwindigkeit).
Verwandte Grössen
υ = |~υ|
υ(t)
Bahngeschwindigkeit, Schnelligkeit, Weglänge pro Zeit (ohne Richtung)
momentane Geschwindigkeit, enspricht der Steigung der s(t)-Kurve
Momentane Geschwindigkeit als Ableitung der Bahnfunktion
Wenn die Bahnfunktion y(t) einer Bewegung als formaler Ausdruck bekannt ist, kann die momentane
Geschwindigkeit υ(t) mittels Differentialrechnung berechnet werden.
υ(t) =
dy
= ẏ
dt
erste Ableitung von y(t) nach der Zeit t
Beispiel: Berechnen Sie die Geschwindigkeit einer harmonischen Schwingung
y = ŷ sin(ωt + ϕ0 )
dy
υ=
= ωŷ cos(ωt + ϕ0 )
dt
ω kommt von der inneren Ableitung (Kettenregel)
Die Bahngleichung y(t) ist das Integral der Geschwindigkeit.
Beispiel: Sei υ(t) = υ0 − a · t mit den Konstanten υ0 und a. Berechnen Sie die Position als Funktion der Zeit.
ds = υ · dt
Z
ds =
υ · dt
Z
Z
ds = (υ0 − a · t) · dt
Z
s = s0 + υ0 · t − 12 at2
Der Parameter s0 ist eine Integrationskonstante, denn unbestimmte Integrale sind nur bis auf eine
Konstante bestimmt.
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12
Kür
Geschwindigkeitseinheiten
Pflicht
1 m/s = 3.6 km/h
Diese Einheitenbeziehung gilt exakt, da
3.6
km
1000 m
m
= 3.6 ·
=1
h
3600 s
s
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13
Beschleunigung
~a =
Pflicht
∆~υ ~υ2 − ~υ1
=
∆t
t2 − t1
Die mittlere Beschleunigung ist gleich der Geschwindigkeitsänderung pro Zeit. Da Geschwindigkeit eine
gerichtete Grösse ist, umfasst die Beschleunigung sowohl Schnelligkeits- als auch Richtungsänderungen.
Die Beschleunigung hat einen Betrag und eine Richtung.
Beispiel: Eine Velofahrerin bremst innert 2.8 s von 7.8 m/s bis zum Stillstand ab. Berechnen Sie die
mittlere Beschleunigung.
a=
υ2 − υ1 0 m/s − 7.8 m/s
=
= −2.8 m/s2 = −2.8 m · s−2
∆t
2.8 s
Das Vorzeichen ist eine Möglichkeit, die Richtung bezüglich einer Koordinatenachse zu beschreiben. Die
mit einer Richtungsänderung verbundene Beschleunigung wird Zentripetalbeschleunigung genannt.
Beschleunigung mittels Differentialrechnung
Die momentane Beschleunigung kann als erste Ableitung der Geschwindigkeit υ(t) oder zweite Ableitung
der Bahnfunktion y(t) berechnet werden, falls diese als formale Ausdrücke zur Verfügung stehen.
dυ
d2 y
= υ̇ = 2 = ÿ
dt
dt
d|~υ|
aB =
dt
a(t) =
momentane Beschleunigung
Bahnbeschleunigung: Schnelligkeitsänderung pro Zeit
Beispiel: Berechnen Sie die Beschleunigung einer mechanischen, harmonischen Schwingung.
y = ŷ sin(ωt + ϕ0 )
dy
= ωŷ cos(ωt + ϕ0 )
υ=
dt
dυ
!
a=
= −ω2 ŷ sin(ωt + ϕ0 ) = −ω2 · y(t)
dt
ω ist die innere Ableitung (Kettenregel)
Die Beschleunigung einer harmonischen Schwingung ist proportional zur momentanen Auslenkung (in
entgegengesetzter Richtung). Wenn also eine Kraft das hookesche Federgesetz F = −ky erfüllt, so bewirkt
diese eine harmonische Schwingung.
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14
Kür
Bahngleichung der gleichmässig beschleunigten, linearen Bewegung
Pflicht
Wo befindet sich ein Punkt auf einer Koordinatenachse (s-Achse) zu einem bestimmten Zeitpunkt t, wenn
er zu Beginn (t = 0) an der Position s0 ist, sich dort mit Geschwindigkeit υ0 bewegt und von da an
gleichmässig mit der Beschleunigung a beschleunigt? Diese Frage wird durch die Bahngleichung s = s(t)
formal beantwortet.
s = s0 + υ0 t + 21 at2
Alle Grössen sind vorzeichenbehaftet. Die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit ist ein Spezialfall
(a = 0). Aus der Bahngleichung können folgende Beziehungen hergeleitet werden:
υ = υ0 + at
υ =
2
υ20
+ 2a(s − s0 )
momentane Geschwindigkeit υ = υ(t)
Momentangeschwindigkeit als Fkt. des Weges ∆s = s − s0
Beispiel: Ein Geschoss wird im Lauf eines Revolvers von 165 mm Länge auf 410 m/s beschleunigt.
Berechnen Sie die mittlere Beschleunigung.
υ =
2
υ20
υ2 (410 m/s)2
+ 2a(s − s0 ) → a =
=
= 5.09 · 105 m/s2
2s 2 · 0.165 m
Beispiel: Ein Velo und ein Töff machen ein Wettrennen. Der Töff startet bei 0 m und beschleunigt aus dem
Stand mit konstant 3.8 m/s2 . Das Velo startet fliegend bei 100 m und fährt dem Töff mit 9.7 m/s entgegen.
Zu welchem Zeitpunkt treffen sie sich?
s = 21 at2
Bahngleichung des Töffs
s = sV + υV t Bahngleichung des Velos (υV < 0)
Dieses Gleichungssystem kann nach den Treffpunktkoordinaten t (und s) aufgelöst werden
q
υV ± υ2V + 2asV
1 2
1 2
at = sV + υV t ⇒ 2 at − υV t − sV = 0 ⇒ t1,2 =
2
a
p
2
2

−9.7 m/s ± (−9.7 m/s) + 2 · 3.8 m/s · 100 m 
5.1 s ←
t1,2 =
=

2
−10 s
3.8 m/s
Im Raum kann die Bahngleichung vektoriell geschrieben werden.
~r = ~r0 + ~υ0 + 12 ~at2
Ist die Beschleunigung nach Betrag und Richtung konstant, so ist die Bahn eine Parabel (z.B.
Wurfparabel).
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15
Kür
Fallbeschleunigung
Pflicht
g = 9.81 m · s−2
Im freien Fall im Vakuum beschleunigen alle Körper gleich. Die Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche
ist in guter Näherung konstant und hat den oben genannten Wert. Am Nordpol ist sie leicht grösser
(9.8322 m/s2 ) und am Äquator etwas geringer (9.7803 m · s−2 ). Für spezielle Zwecke gibt es einen
Normwert (9.80665 m/s2 ).
Die Fallbeschleunigung lässt sich mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz berechnen. Die Grösse
g = FG /m heisst Gravitationsfeldstärke oder ‘Ortsfaktor’.
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16
Masse
Pflicht
Die Masse mit SI-Basiseinheit Kilogramm beschreibt die Trägheit eines Körpers. Trägheit ist eine Art
“Widerstand gegen Beschleunigung”.
Die Masse eines Körpers ist eine Eigenschaft dieses Körpers und zu unterscheiden von der Schwerkraft
(Gewichtskraft), die auf ihn wirkt. Ein technischer Satellit hat auf der Erde dieselbe Masse wie in einer
Umlaufbahn! In der Umlaufbahn ist der Satellit schwerelos.
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17
Dichte
%=
Pflicht
m
V
Die Dichte (volumenspezifische Masse) ist eine tabellierte Materialgrösse.
Beispiel: Kies hat eine Schüttdichte von etwa 1.5·103 kg/m3 . Welches Kiesvolumen kann ein Lastwagen
mit Ladekapazität 35 Tonnen laden?
V=
m
35 · 103 kg
=
= 23 m3
ρ 1.5 · 103 kg/m2
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18
Dichte von Wasser
Pflicht
% = 998 kg/m3 bei 20 °C und Normaldruck
Die Dichte von Wasser sowie anderen festen und flüssigen Stoffen hängt nur schwach von Druck und
Temperatur ab.
Beispiel: Welches Volumen hat ein Mensch?
Der Mensch hat ungefähr die Dichte von Wasser. Nehmen wir eine Masse von 75 kg an, so folgt
V=
75 kg
m
=
= 75 · 10−3 kg/m3 = 75 L
ρ 998 kg/m3
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19
Dichte von Luft
Pflicht
% = 1.293 kg/m3 bei 0 °C und 101325 Pa
Die Dichte von Luft und anderen Gasen hängt stark von Druck und Temperatur ab. Die Werte sind
üblicherweise für Normalbedingungen, siehe oben, tabelliert.
Beispiel: Welche Dichte hat Luft bei 26 °C und 0.950 bar Druck?
Mit der Zustandsgleichung des idealen Gases (pV = nRT ) gilt:
m
mp
Mp
p
ρ2
p2 T 1
=
=
∝ →
=
⇒
V nRT
RT
T
ρ1
p1 T 2
0.950 bar · 273.15 K
p2 T 1
= 1.293 kg/m3 ·
= 1.11 kg/m3
ρ2 = ρ1 ·
p1 T 2
1.01325 bar · (273.15 + 26) K
ρ=
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20
Inertialsystem
Kür
Inertialsysteme sind ‘unbeschleunigte Bezugssysteme’. In diesen werden die physikalischen Gesetze
besonders einfach. In beschleunigten Bezugssystemen können Scheinkräfte auftreten, wie z.B. die
Zentrifugalkraft oder Corioliskraft und diverse Erhaltungssätze sind verletzt (Energie, Impuls, ...).
Wie stellt man fest, ob ein Bezugssystem beschleunigt ist? Das Problem wird nur verlagert, wenn die
Bewegung relativ zu einem anderen Bezugssystem gemessen wird. Eine Möglichkeit bietet das erste
Newtonsche Axiom (1. Grundgesetz der Mechanik, Trägheitsprinzip) : Kräftefreie Körper bewegen sich
gleichmässig entlang einer Geraden oder verharren in Ruhe.
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem das Trägheitsprinzip gilt. Wenn ein kräftefrei aufgehängter
Körper ohne sichtbaren Grund beschleunigt, ist das ein Effekt des beschleunigten Bezugssystems.
Anwendung: Seismometer. Wenn das Seismometer ausschlägt, so zittert das Bezugssystem.
Verschiedene Inertialsysteme können gegen einander verschoben sein, sich relativ zu einander mit
konstanter Geschwindigkeit bewegen oder gegen einander verdreht sein.
Bezugssysteme können frei gewählt werden. Die Relativitätstheorien befassen sich mit den Konsequenzen
dieser Freiheit.
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21
Pflicht
Aktionsprinzip
Pflicht
Das Aktionsprinzip, auch Grundgesetz der Mechanik, Beschleunigungsprinzip oder zweites Newtonsches
Axiom, zeigt, wie die Beschleunigung eines Körpers von den einwirkenden Kräften abhängt, und legt die
Einheit der Kraft fest:
F~res = m~a oder
1 ~a = · F~1 + F~2 + F~3 + . . .
m
[F] = kg · m/s2 = N (Newton)
Die auf denselben Körper wirkenden Kräfte werden paarweise mit der Parallelogrammregel zur
resultierenden Kraft kombiniert. Die Beschleunigung ist jene des Massenmittelpunkts (‘Schwerpunkt’) des
Körpers.
Beispiel: Auf einen Körper der Masse m = 1.75 kg wirken zwei Kräfte von 20 N und 30 N Stärke, die unter
rechtem Winkel zu einander stehen. Berechnen Sie die Beschleunigung und zeichnen Sie die Richtung im
Vergleich zu den Einzelkräften.
Zuerst werden die auf den Körper wirkenden Kräfte im Lageplan (“free body diagram”) skizziert, siehe
Abbildung 2(a). Die Kräfte werden durch Pfeile dargestellt, deren Länge proportional zur Stärke (Betrag)
der jeweiligen Kraft ist. Im Kräfteplan, Abbildung 2(b), werden die Einzelkräfte graphisch zur
resultierenden Kraft kombiniert. Die momentane Beschleunigung des Schwerpunkts des Körpers ist in
derselben Richtung wie die resultierende Kraft.
Abbildung 2: Im Lageplan (a) werden die einwirkenden Kräfte möglichst massstabsgerecht am Körper
eingezeichnet. Im Kräfteplan (b) werden die Kräfte mit der Parallelogrammregel zur resultierenden Kraft
kombiniert.
Im Kräfteplan, Abbildung 2(b), sieht man, dass hier der Satz von Pythagoras anzuwenden ist
q
p
hier
Fres = F12 + F22 = (30 N)2 + (20 N)2 = 36 N
a=
Fres 36.0555 N
=
= 21 m/s2
m
1.75 kg
Wenn das Bezugssystem, in dem die Beschleunigung gemessen wird, selbst beschleunigt ist, kann das
Scheinkräfte wie die Zentrifugal- oder Corioliskraft vortäuschen. Man beschränkt sich mit Vorteil auf
Inertialsysteme (‘unbeschleunigte Bezugssysteme’).
Das Aktionsprinzip führt im allgemeinen auf eine Differentialgleichung, die sog. Bewegungsgleichung.
a x = m1 Fres, x → ẍ =
Kür
1X
F x,i
m i
Die Statik (Lehre vom Kräftegleichgewicht) ist ein Spezialfall von Fres = ma: Wenn ein Körper (respektive Pflicht
dessen Massenmittelpunkt) im Gleichgewicht ist, verschwindet die resultierende Kraft. Wenn die
resultierende Kraft auf einen Körper verschwindet, so verharrt dessen Schwerpunkt in Ruhe oder bewegt
sich mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer Geraden.
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22
Reaktionsprinzip
Pflicht
Das Reaktionsprinzip wird auch drittes Newtonsches Axiom oder Wechselwirkungsprinzip genannt.
Im Rahmen der newtonschen Mechanik werden Kräfte von Körpern ausgeübt und wirken auf Körper ein.
Während ein Körper eine Kraft ausübt (actio) erfährt er gleichzeitig eine Rückwirkung (reactio,
Reaktionskraft, Rückstosskraft) von gleicher Stärke aber umgekehrter Richtung. Kräfte treten also stets
paarweise auf. Man nennt sie deshalb auch Wechselwirkungen.
actio = reactio
F~12 = −F~21
Beispiel: Ein Lastwagen (40 t) und ein Personenwagen (1.3 t) stossen frontal zusammen. In welchem
Verhältnis stehen die Kräfte?
Die Kräfte sind wegen des Reaktionsprinzips genau gleich gross. Da diese zwei Kräfte aber auf
verschiedene Körper wirken, sind die Effekte (Beschleunigungen von LKW und PW) natürlich auch
unterschiedlich.
Das Reaktionsprinzip ist im Rahmen der Newtonschen Mechanik äquivalent zum Impulserhaltungssatz. In
der modernen Physik ist der Impulserhaltungssatz grundlegender, denn das Newtonsche Reaktionsprinzip
hat Ausnahmen: Wenn beispielsweise die Sonne etwas wackelt, so merkt das die Erde erst acht Minuten
später, weil keine Information kann schneller als das Licht sein.
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23
Gewichtskraft
Pflicht
Die Schwerkraft oder Gewichtskraft ist
F~G = m~g
m ist die Masse des betrachteten Körpers und ~g die Fallbeschleunigung, Gravitationsfeldstärke oder der
Ortsfaktor an der Stelle, wo sich dieser Körper befindet. Die Fallbeschleunigung ist tabelliert (oder kann
mit Hilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes berechnet werden).
Beispiel: Der Mars-Rover ‘Curiosity’ hat eine Masse von 900 kg. Berechnen Sie sein Gewicht auf dem
Mars.
FG = mg M = 900 kg · 3.7 m/s2 = 3.3 kN
Die Gravitationskraft wirkt im Prinzip auf jedes Massenelement eines starren Körper einzeln. Diese
Teilkräfte können zur Gewichtskraft zusammengefasst werden, die im Gravizentrum (Schwerpunkt)
angreift. Die Lage des Schwerpunkts hängt von der Massenverteilung des Körpers sowie dem
Gravitationsfeld ab. In einem homogenen Schwerefeld stimmt das Gravizentrum mit dem
Massenmittelpunkt überein.
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24
Federkraft
Pflicht
Viele Federn erfüllen das Hookesche Federgesetz: Die Verlängerung der Feder ist proportional zur Kraft.
F F = D · y oder
F F = −ky
Das Gesetz gilt, solange die Feder nicht überdehnt wird. In der Variante ohne Vorzeichen sind die Beträge
gemeint, in der Variante mit Vorzeichen wird ausgedrückt, dass die Feder stets zur Gleichgewichtslage
zurück zieht oder drückt. Die Auslenkung y wird von der Gleichgewichtslage aus gemessen. Die Grösse D
oder k heisst Federkonstante (Direktionsgrösse, Richtgrösse).
Beispiel: Ein Körper von 400 g Masse wird an eine Feder gehängt. Im Gleichgewicht verlängert sich diese
Feder dadurch um 12.3 cm. Berechnen Sie die Federkonstante.
Fres = 0 → F F − FG = 0 → Dy = mg ⇒
D=
mg 0.400 kg · 9.81 m/s2
=
= 31.9 N/m
y
0.123 m
Beispiel: Eine hookesche Feder wird von 2.8 cm auf 4.1 cm gedehnt. Um welchen Faktor verändert sich
die Federkraft?
Das hookesche Federgesetz ist eine direkte Proportionalität:


F∝y


F2 y2 4.1 cm

F∼y
=
=
⇒
= 1.464 = 1.5



F1 y1 2.8 cm

F/y = const
Die Federkraft nimmt 46 % zu.
Jede Feder hat ihre eigene Federkonstante. Die Federkonstante hängt vom Material und der Form der
Feder ab. Es gibt auch Federn, die das Hookesche Gesetz nicht erfüllen.
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25
Normalkraft
Pflicht
Wenn sich die Oberflächen zweier Körper berühren, so üben sie Kräfte auf einander aus. Die
Berührungskraft auf einen der Körper wird üblicherweise in zwei Komponenten aufgeteilt: Eine
Komponente senkrecht zur Oberfläche (Normalkraft) und eine parallel zur Oberfläche (Reibungskraft).
Beispiel: Eine Kiste der Masse 45 kg liegt ruhig auf einer ebenen Rampe, die 18° gegen die Horizontale
geneigt ist. Berechnen Sie die Normal- und Reibungskraft.
Abbildung 3: Auf die Kiste, die auf der
schiefen Ebene steht, wirken die Gewichtskraft der Erde sowie die Normal- und Reibungskraft der Rampe. Die Komponenten
der Gewichtskraft senkrecht und parallel
zur Ebene sind ebenfalls eingezeichnet.
Die Normalkraft kompensiert die senkrechte Komponente der Gewichtskraft, sonst würde die Kiste in der
Ebene einsinken. Die Reibungskraft kompensiert die parallele Komponente der Gewichtskraft, sonst
würde die Kiste beschleunigt abwärts rutschen. Also gilt für die Beträge
F N = FG⊥ = FG cos α = mg cos α = 45 kg · 9.81 m/s2 · cos 18° = 0.42 kN
FR = FG|| = FG sin α = mg sin α = 45 kg · 9.81 m/s2 · sin 18° = 0.14 kN
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26
Gleitreibungskraft
Pflicht
Gleiten die Oberflächen zweier trockener Körper an einander vorbei, so gilt das Gleitreibungsgesetz nach
Coulomb oder Amontons: Die Reibungskraft ist proportional zur Normalkraft (Anpresskraft).
FGR = µG F N
Die Gleitreibungszahl µG (der Gleitreibungskoeffizient) hängt von der Materialkombination ab. Die Kraft,
mit welcher der betrachtete Körper senkrecht gegen die Oberfläche gedrückt wird, ist gleich gross wie die
Normalkraft F N der Oberfläche auf diesen Körper (sonst würde der Körper in die Oberfläche einbrechen).
Die Gleitreibungszahlen sind für verschiedene Materialkombinationen tabelliert.
Beispiel: Der Gleitreibungskoeffizient für Stahl auf Eis betrage 0.014 (wikipedia). Wie lange dauert es, bis
ein Schlittschuhläufer mit Anfangsgeschwindigkeit 3.8 m/s stille steht?
Fres = ma → FGR = ma → µG F N = ma → µG mg = m
∆t =
∆υ
3.8 m/s
=
= 28 s
µG g 0.014 · 9.81 m/s2
∆υ
⇒
∆t
Die Gleitreibungszahlen sind meist nicht sehr genau bestimmt und deshalb nur als Richtwerte zu
betrachten.
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27
Haftreibungskraft
Pflicht
0 6 FHR 6 µH F N
Das Haftreibungsgesetz hat zwei Aspekte:
1. Die Haftreibungskraft kompensiert die Zugkraft, solange die maximale Haftreibungskraft nicht
überschritten wird.
2. Die maximale Haftreibungskraft ist proportional zur Normalkraft (Anpresskraft).
Die Haftreibungszahl µH (der Haftreibungskoeffizient) hängt von der Materialkombination sowie der Zeit,
während der die Oberflächen gegen einander gepresst wurden, ab. Richtwerte sind tabelliert.
Beispiel: Ein Auto (1.4 t) ist auf einer Strasse mit 5.3° Neigung abgestellt. Berechnen Sie die
Haftreibungskraft auf das Auto.
Die Haftreibung muss die Komponente des Gewichts parallel zur Ebene kompensieren:
FHR = FG || = mg sin α = 1.4 · 103 kg · 9.81 m/s2 · sin 5.3° = 1.3 kN
Beispiel: Ein Holzbrettchen liegt lose auf einer geneigten Holzplanke. Bei welchem Neigungswinkel
beginnt das Brettchen zu rutschen?
Grenzlage: µH F N = FG || → µH FG⊥ = FGk → µH mg cos α = mg sin α ⇒ µH = tan α ⇒
α = arctan µH ≈ arctan 0.4 ≈ 22°
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28
Arbeit
Pflicht
Arbeit ist definiert als Kraftkomponente in Wegrichtung Fk mal Weg s.
W = Fk · s
Wenn α der Winkel zwischen Kraft- und Wegrichtung ist, so kann man auch W = F s cos α schreiben.
Die zusammengesetzte SI-Einheit der Arbeit ist das Joule (Symbol J): 1 J = 1 kg · m2 · s−2
Beispiel: Ein Auto erfahre eine Luftwiderstandskraft von 300 N und bewege sich 2.5 km weit. Wie viel
Arbeit verrichtet der Luftwiderstand?
W = F s s = 300 N · 2.5 · 103 m = 7.5 · 103 J
Beispiel: Ein Fass von 31 kg Masse rollt eine 4 m lange Rampe, die 12° gegen die Horizontale geneigt ist,
hinab. Wie gross ist die Arbeit, welche die Gewichtskraft am Fass verrichtet?
Nur die Komponente FG|| der Gewichtskraft parallel zur Ebene verrichtet Arbeit:
W = F s s = FG|| · s = mg sin α · s = 31 kg · 9.81 m/s2 · sin 12° · 4 m = 253 J = 0.3 kJ
Bemerkung
Kür
W = F~ · ~s
Z B
W=
Fk ds
Schreibweise mit Skalarprodukt
Erweiterung auf krumme Wege oder variable Kraft
A
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29
Energie
Pflicht
“Energie ist gespeicherte Arbeit.”
Genauer: Die Energie E2 nachher ist die Summe aus der Energie E1 vorher, der Arbeit W, die an dem
System verrichtet wurde, sowie weiteren Energieänderungen.
E2 = E1 + W + . . .
Beispiel: Ein Curlingstein (19 kg) wird mit 8.3 N auf einer Strecke von 1.2 m angeschoben. Wie viel
nimmt seine Energie zu?
E2 − E1 = W = F s = 8.3 N · 1.2 m = 10 J
Die Beziehung ∆E = W + . . . ist verwandt mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik.
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30
Kinetische Energie
Pflicht
Kinetische Energie ist Bewegungsenergie.
Ek = 12 mυ2
Genauer: Gemeint ist hier die Translationsenergie des Massenmittelpunkts, d.h. ohne Rotationsenergie.
Die kinetische Energie hängt vom gewählten Bezugssystem ab.
Beispiel: Ein Geschoss hat 4.0 g Masse und kinetische Energie 1700 J. Wie schnell bewegt es sich?
s
r
2E
2 · 1700 m/s
=
= 0.92 km/s
υ=
m
4 · 10−3 kg
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31
Potentielle Energie
Pflicht
Potentielle Energie ist Lageenergie.
E p = mgh
Der Nullpunkt der potenziellen Energie ist frei wählbar (aber nur ein Mal).
Genauer: Gemeint ist hier die Lageenergie eines Körpers im homogenen Schwerefeld nahe der
Erdoberfläche.
Beispiel: Der Lac des Dix enthält 401 Millionen Tonnen Wasser und befindet sich etwa 1.8 km über dem
Turbinenhaus.
Wir wählen den Nullpunkt der potenziellen Energie beim Turbinenhaus.
E p = mgh = 401 · 109 kg · 9.81 m/s2 · 1.8 · 103 m = 7.1 · 1015 J
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32
Spannungsenergie einer Feder
Pflicht
Eine gespannte Feder, die das Hookesche Federgesetz erfüllt, enthält die Energie
E F = 12 Dy2
Beispiel: Eine Feder mit Federkonstante 100 N/m hat 2.8 J Spannungsenergie gespeichert. Berechnen Sie
die Verlängerung y der Feder.
r
r
2E F
2 · 2.8 J
y=±
=±
= ±24 cm
D
100 N/m
Energie kann sowohl in gedehnten als auch in gestauchten Federn gespeichert werden.
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33
Energieerhaltungssatz
Pflicht
Die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System ist erhalten. Energie kann weder erzeugt noch
vernichtet werden. Ändern kann sich nur die Verteilung auf die verschiedenen Energieformen.
Ekin + Epot + · · · = const
In der Mechanik ist ein System abgeschlossen, wenn keine Kräfte von aussen auf das System einwirken.
Allgemein ist ein System abgeschlossen, wenn keine Energie hinein oder hinaus fliesst. Hinter den
Punkten (+ . . . ) verbirgt sich zum Beispiel die innere Energie U eines Körpers (chemische Energie,
Kernenergie, “Wärmeenergie”, usw.). Es werden nur jene Energieformen aufgeführt, welche sich im
betrachteten Prozess ändern.
Beispiel: Ein Wasserstrahl tritt mit 3.7 m/s horizontal aus einer Brunnenröhre. Mit welcher Schnelligkeit
trifft er 78 cm weiter unten auf den Wasserspiegel im Brunnentrog?
Ek2 + E p2 + U2 = Ek1 + E p1 + U1
U2 = U1
Wahl: E p2 = 0
+ 0 = 12 mυ21 + mgh
q
p
υ2 = υ21 + 2gh = (3.7 m/s)2 + 2 · 9.81 m/s2 · 0.78 m = 5.4 m/s
1
mυ22
2
Falls das betrachtete System nicht abgeschlossen ist, muss einfach berücksichtigt werden, wie viel Energie
das System betritt oder verlässt, siehe auch den ersten Hauptsatz der Thermodynamik.
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34
Leistung
Pflicht
Die Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit oder als Energieübertrag pro Zeit.
P=
W ∆E
=
∆t
∆t
Die SI-Einheit der Leistung ist das Watt (gleich Joule pro Sekunde).
Beispiel: Eine Kochplatte hat nominell die Leistung 1.6 kW. Wie viel Energie gibt sie in einer Minute ab?
∆E = P · ∆t = 1.6 · 103 W · 60 s = 96 kJ
Beispiel: Die Luftwiderstandskraft ist proportional zum Quadrat der Schnelligkeit (FW ∝ υ2 ). Wie
verändert sich die Leistung, wenn sich die Schnelligkeit um 10 % erhöht?
Fk ∆s
W
=
= Fk · υ
∆t
∆t
PW = Fw υ ∝ υ2 · υ
P=
PW ∝ υ3 ⇒
!3
!3
P2 υ32
υ2
110 %
=
=
=
= 1.103 = 1.33
P1 υ31
υ1
100 %
Die Leistung, um den Luftwiderstand zu kompensieren, nimmt 33 % zu.
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35
Kür
Wirkungsgrad
Kür
Der Wirkungsgrad einer Maschine ist das Verhältnis von verrichteter Arbeit zu aufgenommener Energie
(oder von genutzter zu aufgenommener Energie).
η=
W2
W1
Der Energiesatz fordert, dass der Wirkungsgrad zwischen 0 und 100 % liegt.
Beispiel: Ein Elektromotor nimmt 6.8 J elektrische Energie auf und hebt damit eine Last von 300 g um
1.5 m an. Berechnen Sie den Wirkungsgrad.
η=
∆E2 mgh 0.300 kg · 9.81 m/s2 · 1.5 m
=
=
= 0.65 · 100 % = 65 %
∆E1 ∆E1
6.8 J
Beispiel: Das Etzelwerk des Sihlsees hat eine maximale, elektrische Leistung von 140.22 MW
(Bahnstrom). Den Turbinen wird maximal 34.62 m3 /s Wasser bei einer mittleren Fallhöhe von 483.3 m
zugeführt. Berechnen Sie den Wirkungsgrad.
W2 W2 · ∆t P2
=
=
W1 ∆t · W1 P1
P2
P2
=
=
= ∆V
mgh/∆t ρ ∆t gh
η=
140.22 · 106 W
=
= 0.856
998 kg/m3 · 34.62 m3 /s · 9.81 m/s2 · 483.3 m
Bemerkung: Es gibt verschiedene Sorten von Wirkungsgraden. Der hier vorgestellte Wirkungsgrad ist der
geläufigste. Für den thermodynamischen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine gilt ein spezielles
Gesetz (zweiter Hauptsatz der Wärmelehre).
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36
Kilowattstunde
Pflicht
Die Kilowattstunde (kWh) ist eine gängige Energieeinheit (nicht SI):
1 kWh = 3.6 MJ = 3.6 · 106 J
(exakt)
Beispiel: Der Energieverbrauch 2013 der Schweiz betrug 900 PJ. Die Schweiz hatte damals 8.0 Millionen
Einwohner. Berechnen Sie den Verbrauch pro Kopf in Kilowattstunden.
∆E
900 · 1015 J
=
= 31 250 kWh
∆N 8.0 · 106 · 3.6 · 106 J/kWh
zwei signifikante Stellen
Die Einheit Joule muss sich bei der Umwandlung kürzen lassen und die Einheit kWh muss übrig bleiben.
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37
Impuls
Kür
Die Grösse Impuls kann umgangssprachlich als “Schwung” bezeichnet werden. Für kleine
Geschwindigkeiten ist sie proportional zur Masse des Körpers und proportional zur (gerichteten!)
Geschwindigkeit.
~p = m · ~υ
[p] =
kg · m
kg · m
=
·s= N·s
s
s2
Der Impuls ist eine Erhaltungsgrösse und ermöglicht eine alternative Formulierung des zweiten
newtonschen Axioms.
Der Gesamtimpuls eines ausgedehnten Körpers oder mehrerer Massenpunkte ist die vektorielle Summe
der Teilimpulse. Er ist gleich der Gesamtmasse multipliziert mit der Geschwindigkeit des
Massenmittelpunkts (‘Schwerpunkts’).
Der gemeinsame Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) zweier Körper teilt die Verbindungslinie der
Körperschwerpunkte im umgekehrten Verhältnis der Massen:
xS =
m1 x1 + m2 x2
m1 + m2
Pflicht
xS , x1 , x2 : Koordinaten der betreffenden Objekte
Für hohe Geschwindigkeiten muss das relativistische Impulsgesetz verwendet werden: ~p = γm~υ.
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38
Kür
Impulserhaltungssatz
Kür
In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls erhalten.
~p1 + ~p2 + · · · =
n
X
mi~υi = const
i=1
Ein abgeschlossenes System besteht aus n > 1 Körpern oder Massenpunkten, auf die von aussen keine
Kräfte ausgeübt werden. Untereinander dürfen sie Kräfte ausüben.
Da der Gesamtimpuls gleich dem Produkt aus Gesamtmasse und Geschwindigkeit des Schwerpunkts ist,
muss sich der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems gleichmässig auf einer Geraden bewegen
(Schwerpunktsatz).
Beispiel: Wilhelm Tell schiesst einen Pfeil (35 g, 40 m/s) auf einen Apfel (260 g, ruhend). Nehmen wir an,
dass der Pfeil stecken bleibt (was nicht realistisch ist) und zusammen mit dem Apfel weiter fliegt. Welche
Geschwindigkeit hat dann der Apfel?
m1 υ1 + m2 · 0 = m1 υ2 + m2 υ2 ⇒ υ2 =
m1 υ1
35 g · 40 m/s
=
= 4.7 m/s
m1 + m2
35 g + 260 g
Bei einem vollkommen unelastischen Stoss (siehe vorangehendes Beispiel), bewegen sich die Stosskörper
nach dem Zusammenprall mit gleicher Geschwindigkeit weiter. Bei einem vollkommen elastischen Stoss
ist die kinetische Energie vor und nach dem Stoss gleich.
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39
Grundgesetz der Mechanik
Kür
In einem Inertialsystem wird der Impuls eines Körpers durch Kräfte verändert:
d~p
F~res =
dt
Die Formulierung F = ∆p/∆t ist im Rahmen der newtonschen Mechanik gleichwertig zu F = ma.
Beispiel: Ein Wasserstrahl (3.2 kg/s, 7.1 m/s) prallt senkrecht auf eine Wand. Wie gross ist die Kraft,
welche die Wand auf den Strahl ausübt?
Vor dem Aufprall hat ein Stück ∆m des Strahls den Impuls ∆p = ∆m · υ, nach dem Aufprall spritzt das
Wasser in alle Richtungen und hat deshalb im Durchschnitt keinen Impuls mehr. Die Impulsänderung des
Wasserstrahls wird durch die Kraft der Wand verursacht.
FWand =
∆p ∆m
=
· υ = 3.2 kg/s · 7.1 N = 23 N
∆t
∆t
Die Grösse F = ∆p/∆t heisst auch Impulsfluss oder Impulsstrom.
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40
Winkelgeschwindigkeit
ω=
Pflicht
2π
υ
= 2π f =
T
r
Die Winkelgeschwindigkeit ω (Omega) wird benötigt, um Dreh- und Kreisbewegungen (Abbildung 4) zu
charakterisieren. Sie hängt mit der Umlaufzeit T und der Frequenz f zusammen. Da die harmonische
Schwingung als Komponente einer Kreisbewegung eingeführt werden kann, tritt sie dort ebenfalls auf,
aber unter dem Namen Kreisfrequenz.
Abbildung 4: Ein Punkt bewege sich mit konstanter Bahngeschwindigkeit υ (Schnelligkeit) auf einem Kreis mit Radius r um ein Zentrum
Z. In gleichen Zeiten ∆t werden gleiche Winkel ∆ϕ respektive gleiche
Bogenlängen ∆b überstrichen.
Das Bogenmass des Winkels ∆ϕ ist das Verhältnis von Bogenlänge
∆b zu Radius r:
∆ϕ =
∆b
r
[∆ϕ] = rad
Hilfseinheit Radiant
Die Winkelgeschwindigkeit ω ist definiert als überstrichener Winkel ∆ϕ pro Zeit ∆t:
rad
∆ϕ
[ω] =
= s−1
∆t
s
∆b ∆ϕ · r
υ=
=
=ω·r
Bahngeschwindigkeit, Schnelligkeit
∆t
∆t
ω=
Die Umlaufzeit (Periodendauer) T ist die Zeit, die für einen vollständigen Kreisumlauf benötigt wird:
∆ϕ = 2π ⇒ ω = 2π/T . Bei der harmonischen Schwingung wird T Perioden- oder Schwingungsdauer
genannt.
Die Frequenz f ist die Anzahl Umläufe pro Zeit (Anzahl Schwingungen oder Perioden pro Zeit). Die
Frequenz ist der Kehrwert der Umlaufzeit: f = 1/T . Die Frequenz wird in der Einheit Hertz (Hz)
angegeben, um Verwechslungen mit der Winkelgeschwindigkeit zu vermeiden.
Beispiel: Der Sekundenzeiger meiner Armbanduhr ist 4.0 mm lang. Berechnen Sie seine mittlere
Winkelgeschwindigkeit, die Drehfrequenz und die Bahngeschwindigkeit der Zeigerspitze. Die Uhr gehe
weniger als eine Sekunde pro Tag falsch.
T = 60.000 s =
86400 s
24 · 60
ca. fünf signifikante Stellen
1
1
= 1.0000 min−1 =
= 16.667 mHz
T
60.000 s
2π
2π
ω=
=
= 0.10472 rad/s
T
60.000 s
2πr 2π · 4.0 · 10−3 m
υ = ωr =
=
= 4.2 · 10−4 m/s
T
60 s
f =
Zurück zum Formelblatt.
41
Zentripetalbeschleunigung
az =
Pflicht
υ2
= rω2
r
Wenn sich ein Punkt gleichmässig mit Bahngeschwindigkeit (Schnelligkeit) υ oder
Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis mit Radius r bewegt, so ist er mit az beschleunigt, weil er
ständig seine Bewegungsrichtung ändert. Der Beschleunigungsvektor ist vom betrachteten Punkt auf der
Kreislinie zum Kreiszentrum gerichtet. Die Zentripetalbeschleunigung wird auch Radial-, Transversal-,
Normal- oder Querbeschleunigung genannt.
Bei einer ungleichmässigen Kreisbewegung hat der Beschleunigungsvektor zusätzlich noch eine
Komponente parallel zur momentanten Bewegungsrichtung (Tangential-, Longitudinal-, Bahn- oder
Längsbeschleunigung at = |∆υ|/∆t).
Die Zentripetalbeschleunigung verändert nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors, die
Bahnbeschleunigung beeinflusst nur den Betrag der Geschwindigkeit.
Bewegt sich der Schwerpunkt eines Körpers auf einem Kreis, so gilt
F~res = m~az + m~at
~az ⊥ a~t
Die zentripetale Komponente der resultierenden Kraft wird auch Zentripetalkraft genannt.
Beispiel: Ein Rad hat Radius 30 cm. Es rollt mit 17 m/s über eine Strasse. Welche Beschleunigung erfährt
ein Stück des Radumfangs?
az =
υ2 (17 m/s)2
=
= 9.6 · 102 m/s2
r
0.30 m
Beispiel: Ein Fadenpendel rotiert auf einem vertikalen Kreis. Der Faden hat eine Länge von 65 cm, der
Pendelkörper hat 71 g Masse und eine Bahngeschwindigkeit von 8.3 m/s im tiefsten Punkt. Mit welcher
Kraft zieht der Faden im tiefsten Punkt den Pendelkörper nach oben?
Im tiefsten Punkt wird das Pendel momentan weder schneller noch langsamer, d.h. die
Bahnbeschleunigung verschwindet in diesem Moment.
hier
F~res = m~az + m~at = m~az
Fres = maz
F F − mg = m
FF =
υ2
r
mυ2
0.071 kg · (8.3 m/s)2
+ mg =
+ 0.071 kg · 9.81 m/s2 = 8.2 N
r
0.65 m
Bemerkung: Die Zentrifugalbeschleunigung tritt nur in einem rotierenden Bezugssystem auf und hat den
Wert aZF = RΩ2 , wobei R der Abstand des Körpers von der Drehachse und Ω die Winkelgeschwindigkeit
des Bezugssystems (relativ zu einem Inertialsystem) ist.
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42
Kür
Newtonsches Gravitationsgesetz
Pflicht
m1 m2
r2
G = 6.67428(67) · 10−11 N · m2 /kg2
FG = G ·
Gravitationskraft
Gravitationskonstante
Zwei kugelsymmetrische Körper mit Massen m1 und m2 sowie Mittelpunktsabstand r ziehen sich mit der
Gravitationskraft FG an. Die Gravitationskonstante G ist unabhängig vom Material und hat überall im
Universum denselben Wert.
Beispiel: Berechnen Sie die Fallbeschleunigung auf dem Mars aus dessen Masse und Radius.
GMm
= mg ⇒
r2
GM 6.674 · 10−11 N · m2 /kg2 · 0.642 · 1024 kg
= 3.71 m/s2
g= 2 =
r
(3.40 · 106 m)2
Fres = ma →
Die Grösse ~g = F~G /m heisst Gravitationsfeldstärke (Gravitationskraft auf eine Probemasse pro Masse).
Beispiel: Der Mond Miranda hat Bahnradius 129 872 km und Umlaufzeit 1.4135 d. Berechnen Sie die
Masse des Planeten. Welcher Planet ist es?
!2
GmP m M
2π
2
Fres = maz →
= m M rω = m M r ·
r2
T
GmP
r3
=
3. Keplersches Gesetz (ergänzte Fassung)
4π2
T2
4π2 r3
4π2
(129.872 · 106 m)3
· 2 =
mP =
·
= 8.6873 · 1025 kg
G T
6.67428 · 10−11 N · m2 /kg2 (1.4135 · 86400 s)2
Nach wikipedia gehört die Masse 86.81·1024 kg zu Uranus.
Das Newton’sche Gravitationsgesetz wurde aus den älteren, Kepler’schen Gesetzen hergeleitet:
1. Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der grossen Halbachsen
der Ellipsenbahnen: T 12 : T 22 = a31 : a32
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43
Kür
Drehmoment
Kür
Das Drehmoment ist eine Art “Drehwirkung”. Es wird beispielsweise benötigt, um zu beschreiben, wie
stark eine Schraube angezogen werden soll. Das Drehmoment taucht im Hebelgesetz auf.
M = aF = rF sin α
Das Drehmoment einer Kraft bezüglich einer Drehachse ist Produkt aus der Kraft F und ihrem Hebelarm
a. Der Hebelarm ist der Abstand der Drehachse von der Wirkungslinie der Kraft, siehe Abbildung 5.
Abbildung 5: Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft F und Hebelarm a. Sei r der Abstand
vom Angriffspunkt A der Kraft bis zur Drehachse D. Die Drehachse steht in allen drei Bildern
senkrecht zur Zeichenebene.
Linkes Bild: Falls die Kraft senkrecht zu r angreift, ist r = a.
Mittleres Bild: Falls die Kraft unter einem Winkel α , 90° zu r angreift, so ist der Hebelarm a
der Abstand von der Drehachse D zur Wirkungslinie w der Kraft: a = r sin α. Die Wirkungslinie
hat die Richtung der Kraft und geht durch den Angriffspunkt A der Kraft.
Rechtes Bild: Das Drehmoment kann auch beschrieben werden als Abstand r multipliziert mit
der Komponente F⊥ = F sin α der Kraft senkrecht zu r.
Beispiel: Die Mechanikerin zieht mit 50 N an einem 30 cm langen Schraubenschlüssel (senkrecht zum
Schaubenschlüssel). Berechnen Sie das Drehmoment, mit der die Schraube angezogen wird.
M = aF = 0.30 m · 50 N = 15 N · m
Einheit: Newtonmeter
Das Drehmoment ist eine gerichtete Grösse: In der Abbildung 5 genügt dazu ein Vorzeichen: Das
Drehmoment ist positiv, wenn die Kraft eine Drehbewegung im mathematisch positiven Drehsinn erzeugt
(Gegenuhrzeigersinn).
Im Raum hat der Drehmomentvektor die Richtung der Drehachse und wird meist mittels eines
Vektorprodukts berechnet:
~ = ~r × F~
M
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44
Kür
Hebelgesetz
Pflicht
a1 F1 = a2 F2
Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Summe der einwirkenden Kräfte und die Summe der
Drehmomente verschwinden. Ein Hebel ist ein starrer Körper, d.h. ein ausgedehntes Objekt mit Masse
(Trägheit), das seine Form unter Krafteinfluss nicht ändert.
Beispiel: Der Papi (72 kg) setzt sich mit dem Sohn (18 kg) auf die Wippe. Der Sohn sitzt 3.5 m von der
Drehachse entfernt. Wo muss sich Papi hinsetzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist ohne an einem
Ende aufzuliegen?
a1 F1 = a2 F2 → a1 m1 g = a2 m2 g ⇒ a2 = a1 ·
18 kg
m1
= 3.5 m ·
= 0.88 m
m2
72 kg
Beispiel: Siehe Abbildung 6.
Abbildung 6: Ein Balken der Masse m = 18 kg und
Länge l = 3.4 m wird bei A am linken Ende und bei B
im Abstand AB = 2.6 m vom linken Ende unterstützt.
Berechnen Sie die Kraft, mit der die Stütze bei B den
Balken tragen muss.
Wir wählen die Drehachse bei A. Dann erzeugen die Gewichtskraft, die im Schwerpunkt bei AS = l/2
angreift, und die Stützkraft bei B ein Drehmoment auf den Balken (Die Stützkraft bei A hat Hebelarm Null
und erzeugt bei dieser Wahl kein Drehmoment). Die Drehmomente müssen sich kompensieren, also ist
aB F B = aG FG → F B =
aG · FG (l/2) · mg 3.4 m · 18 kg · 9.81 m/s2
=
=
= 115 N = 0.12 kN
aB
aB
2 · 2.6 m
Wenn wir die Drehachse bei B wählen, können wir die Stützkraft bei A bestimmen. Danach können wir
die Rechnung prüfen, denn es muss ja F A + F B = FG gelten. Der Balken muss bezüglich jeder Wahl der
Drehachse im Gleichgewicht sein.
Das Hebelgesetz lässt sich leicht auf mehr als zwei Drehmomente erweitern:
P
i
Mi = 0.
Wenn ein starrer Körper im Gleichgewicht ist, kann sich sein Massenmittelpunkt immer noch mit
konstanter Geschwindigkeit bewegen. Er kann auch um diesen Punkt rotieren (diese drehmomentfreie
Rotationsbewegung kann im allgemeinen Fall recht kompliziert aussehen).
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45
Druck
p=
Pflicht
FN
A
[p] = 1 N/m2 = 1 Pa
(Pascal)
Der Druck ist definiert als Kraft pro Fläche, wobei die Kraftkomponente senkrecht zur Fläche
(Normalkraft) einzusetzen ist. Die Kraftkomponente parallel zur Fläche führt auf die Schubspannung, die
Kraftkomponente senkrecht zur Oberfläche führt auf die Zug- oder Druckspannung.
Für den technischen Gebrauch ist die Einheit Bar gebräuchlich: 1 bar = 105 Pa (exakt).
1 bar ist ungefähr der irdische Luftdruck auf Meereshöhe (Normdruck).
Beispiel: Ein Blatt Papier der Stärke 100 g/m2 liegt flach auf dem Tisch. Welchen Druck erzeugt es
ungefähr durch sein Gewicht?
p=
F N mg m
=
= · g ≈ 0.100 kg/m2 · 10 m/s2 = 1.0 Pa.
A
A
A
Wird eine Flüssigkeit (oder ein Gas) in einem geschlossenen Zylinder durch einen Kolben unter Druck
gesetzt, so steigt der Druck überall im Fluid und in alle Richtungen gleich an.
Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit verursacht Kräfte, die senkrecht auf die Behälterwände wirken.
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46
Druckarbeit
W = p · ∆V
Kür
aus W = F · ∆s = p · A · ∆s = p · ∆V
Die Arbeit, die eine Pumpe verrichtet, ist das Produkt aus (mittlerem) Druck und gepumptem Volumen.
Beispiel: Die Einspritzpumpe für einen sog. common-rail Dieselmotor erzeugt Drücke von 2000 bar und
hat eine Leistung von 1 PS. Berechnen Sie die Fördermenge.
P=
W
p · ∆V
∆V P
1 PS · 735 W/PS
=
⇒
= =
= 3.7 · 10−6 m3 /s = 13 L/h
∆t
∆t
∆t
p 2000 bar · 105 Pa/bar
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47
Normdruck
Pflicht
pn = 101 325 Pa
Der Normdruck ist ziemlich genau der mittlere, irdische Luftdruck auf Meereshöhe. Man hat ihn früher als
Masseinheit namens ‘physikalische Atmosphäre’ verwendet: 1 atm = 1.01325 bar.
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48
Schweredruck
Pflicht
pS = ρgh
Taucht man in einer Flüssigkeit um die Höhe h nach unten, so steigt der Druck um pS an. Der
Absolutdruck in der Tiefe h unter der Oberfläche eines Sees ist die Summe aus Luftdruck und
Schweredruck. Die genannte Formel gilt, solange das Fluid (Flüssigkeit oder Gas) als inkompressibel
betrachtet werden darf.
Beispiel: Wie viel steigt der Druck, wenn man im Schwimmbad 3.0 m tief taucht?
pS = ρgh = 998 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 3.0 m = 2.94 · 104 Pa = 0.29 bar
Pro zehn Meter Wassersäule steigt der Druck etwa um ein Bar.
Beispiel: Auf welchen Wert sinkt der Luftdruck, wenn man von Meereshöhe hundert Meter nach oben
steigt?
p = pn − ρgh = 101325 Pa − 1.293 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 100 m = 101325 Pa − 1268 Pa = 1.0006 bar
Die Dichte von Luft gilt für 0 °C. Für diesen kleinen Höhenunterschied wurde die Luftdichte als konstant
angenommen.
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49
Staudruck
Kür
∆p = 12 ρυ2
Wird eine Flüssigkeit der Dichte ρ und Schnelligkeit υ auf Null abgebremst, so steigt der Druck um ∆p an.
Umgekehrt kann ein Druckunterschied von ∆p eine reibungsfreie, ruhende Flüssigkeit auf die
Geschwindigkeit υ beschleunigen. Begründung:
W = 21 mυ2 → p · ∆V =
1
2
· ρ · ∆V · υ2 ⇒ ∆p = 21 ρυ2
Beispiel: Die Pumpe einer Feuerwehrspritze erzeugt einen Überdruck von 8.0 bar. Wie schnell spritzt das
Wasser aus der Düse am Schlauch?
s
s
2 · ∆p
2 · 8 · 105 Pa
υ=
=
= 40 m/s
ρ
998 kg/m3
Beispiel: Der Staudamm hat ein Loch 20 m unter dem Wasserspiegel. Wie schnell spritzt das Wasser
heraus?
p
∆p = 21 ρυ2 = ρgh ⇒ υ = 2gh Ausflussgesetz von Torricelli
p
p
υ = 2gh = 2 · 9.81 m/s2 · 20 m = 20 m/s
Bei diesem Gesetz wird der Druckverlust durch Strömungswiderstand vernachlässigt.
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50
Auftrieb
Kür
F A = ρF gVK
Ein Körper des Volumens VK erfährt in einem Fluid der Dichte ρF die Auftriebskraft F A . Der Auftrieb
entspricht dem Gewicht des verdrängten Fluids (Gesetz von Archimedes).
Beispiel: Welche Auftriebskraft erfährt ein Präzisionsmassestück von 1.000000 kg Masse aus Stahl wegen
des Auftriebs der Luft?
F A = ρL gVK = ρL g
m
1.2 kg/m3 · 9.81 m/s2 · 1.000000 kg
=
= 1.5 mN
ρS
7.9 · 103 kg/m3
Weder der Luftdruck (für die Luftdichte) noch die Stahlsorte (für die Stahldichte) sind genauer spezifiziert.
Das Resultat weist höchstens zwei wesentliche Ziffern auf.
Beispiel: Welcher Anteil des Volumens eines schwimmenden Eiswürfels befindet sich unter Wasser?
VK = Vu + Vü Der Würfel ist teilweise unter (Vu ) und teilweise über (Vü ) Wasser
FG = F A
Im Gleichgewicht wird das Gewicht des Würfels durch den Auftrieb kompensiert.
ρE gVK = ρW Vu g + ρLuft Vü g ≈ ρW Vu g
ρE
917 kg/m3
Vu
=
=
= 91.7 %
VK ρW 1000 kg/m3
In der Lösung wurde die Dichte von Süsswasser bei 0 °C verwendet. Eisberge schwimmen im salzigen
Meer, das eine höhere Dichte hat.
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51
Kontinuitätsgleichung
Kür
∆V
= A · υ = const
∆t
Wenn in einen Schauch 3 Liter pro Sekunde Wasser hinein fliessen, so fliessen auch drei Liter pro Sekunde
wieder heraus. Der Volumenstrom q = ∆V/∆t einer inkompressiblen Flüssigkeit ist konstant. Wenn die
Querschnittsfläche A eines Schlauches durch eine Düse verengt wird, so fliesst die Flüssigkeit in der Düse
schneller als im Schlauch. Die Variable υ bezeichnet die mittlere Strömungsgeschwindigkeit.
Beispiel: Was passiert mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit, wenn sich der Durchmesser eines
Rohres halbiert?
!2
d1
υ2 A1 d12
1
=
= 2 =
= 22 = 4
υA = const ⇒ υ ∝ ⇒
A
υ1 A2 d2
d2
Die mittlere Strömungsgeschwindigkeit ist umgekehrt proportional zur Querschnittsfläche (υ ∝ 1/A),
deshalb vervierfacht sich die Geschwindigkeit, wenn der Durchmesser halbiert wird (A ∝ d2 ).
Beispiel: Der runde Druckstollen des Kraftwerks Pradella-Martina hat den Durchmesser 6.0 m und ein
Schluckvermögen von 93 m3 /s. Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit.
∆V
= q = υ · A = υ · π4 d2 ⇒
∆t
4q
4 · 93 m3 /s
υ= 2 =
= 3.3 m/s
πd
π · (6.0 m)2
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52
Luftwiderstand
Kür
Fw = cW A 12 ρυ2
Bei nicht allzu kleinen Geschwindigkeiten ist die Luftwiderstandskraft Fw auf einen Körper, der sich mit
Schnelligkeit υ relativ zur Luft (oder einem anderen Fluid) bewegt, proportional zum Quadrat dieser
Schnelligkeit. Der Strömungswiderstand ist ausserdem proportional zur Dichte ρ der Luft sowie zur
Querschnittsfläche A (Stirnfläche, Projektionsfläche in Strömungsrichtung) des umströmten Körpers. Der
Widerstandsbeiwert cw wird im Windkanal gemessen und ist tabelliert. Der Zahlenwert ist über grosse
Geschwindigkeitsbereiche konstant, verändert sich aber z.B. beim Übergang von Unter- zu
Überschallgeschwindigkeit.
Beispiel: Wie viel steigt der Benzinverbrauch eines Autos aufgrund des Luftwiderstands, wenn dieselbe
Strecke mit 10 % höherer Geschwindigkeit durchfahren wird?
υ2
W2
=
W = FW s ∝ υ ⇒
W1
υ1
2
!2
= 1.102 = 1.21 = 100 % + 21 %
Beispiel: Ein Tischtennisball hat 40 mm Durchmesser und 2.7 g Masse. Welche Geschwindigkeit kann er
erreichen, wenn man ihn vom Dach eines Hochhauses fallen lässt?
Der Ball wird immer schneller, bis das Gewicht vom Luftwiderstand kompensiert wird.
mg = cw · π4 d2 · 21 ρυ2
s
s
8mg
8 · 2.7 · 10−3 kg · 9.81 m/s2
=
υ=
= 8.6 m/s
cw πd2 ρ
0.47 · π · (40 · 10−3 m)2 · 1.2 kg/m3
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53
Temperatur
Pflicht
T − ϑ = 273.15 K
∆T = ∆ϑ
Die Variable T steht für eine absolute Temperatur in Kelvin, der Platzhalter ϑ (auch t) für eine
Temperaturangabe in Grad Celsius. Die Celsiusskala war früher so definiert, dass bei Normaldruck der
Erstarrungspunkt von Wasser bei 0 °C liegt und der Siedepunkt bei 100 °C.
Die aktuelle Definition der Kelvinskala nimmt den Tripelpunkt fest-flüssig-gasig von Wasser (273.16 K =ˆ
0.01 °C) als Fixpunkt : 1 K ist der 271.16ste Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes
von Wasser. Die Celsiusskala ist 273.15 Einheiten gegen die Kelvinskala verschoben. Der absolute
Temperaturnullpunkt liegt bei 0 K respektive -273.15 °C.
1. Beispiel: Der Schmelzpunkt von Gold liegt bei 1064,18 °C (wikipedia). Wie viel ist das in Kelvin?
ϑ = 1064.18 °C
T = (1064.18 + 273.15) K = 1337.33 K
2. Beispiel: Die Temperatur in einer Probe steigt um 37 °C. Wie gross ist der gleiche Temperaturanstieg in
Kelvin?
∆ϑ = 37 °C ≡ 37 K = ∆T
Temperaturunterschiede haben in der Celsius- und Kelvinskala denselben Zahlenwert.
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54
Wärmeausdehnung
Kür
∆l = α0 l0 · ∆ϑ
Die meisten Stoffe dehnen sich aus, wenn sie erhitzt werden. Für kleine Temperaturveränderungen
∆ϑ = ϑ − ϑ0 ist die Längenveränderung ∆l proportional zu ∆ϑ und proportional zur Ausgangslänge l0 . Die
Grösse α0 heisst Längenausdehnungskoeffizient. Die Ausgangslänge l0 und der
Wärmeausdehnungskoeffizient α0 sind bei der Ausgangstemperatur ϑ0 gemessen. α0 ist tabelliert.
Bei Flüssigkeiten gilt ein analoges Gesetz für das Volumen.
∆V = γ0 V0 · ∆ϑ
γ0 : Volumenausdehnungskoeffizient bei der Bezugstemperatur ϑ0
Der Volumenausdehnungskoeffizient eines Festkörpers folgt aus dem Längenausdehnungskoeffizienten:
γ = 3α.
Beispiel: Ein Blechlineal (Eisen) ist 1000 mm lang. Wie viel zieht er sich zusammen, wenn er um 10 °C
abkühlt?
∆l = αl∆ϑ = 12 · 10−6 K−1 · 1000 mm · (−10 K) = −0.12 mm
Beispiel: Eine gewisse Menge Quecksilber erhitzt sich von 20 auf 30 °C. Berechnen Sie die relative
Veränderung der Dichte.
m
m
=
V1 V0 + γ0 V0 · (ϑ − ϑ0 )
1
1
ρ1 − ρ0 ρ1
=
−1=
−1=
− 1 = −1.82 · 10−3
−4
ρ0
ρ0
1 + γ0 · (ϑ − ϑ0 )
1 + 1.82 · 10 K−1 · (30 − 20) K
ρ1 =
Wasser dehnt sich nicht linear aus. Um die Volumenausdehnung von Wasser zu berechnen, sollten
Messwerte aus einer Dichtetabelle ρ(ϑ) verwendet werden.
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55
Spezifische Wärmekapazität
∆Q = c p m∆ϑ
c p = 4182 J/(kg · K)
Pflicht
spezifische Wärmekapazität von Wasser bei 20 °C
∆Q ist die Wärmemenge (in Joule), die einem Körper der Masse m bei konstantem Druck (Index p )
zugeführt werden muss, um seine Temperatur um ∆ϑ zu erhöhen. Die spezifische Wärmekapazität c p ist
eine tabellierte Materialgrösse.
Beispiel: Wie viel Wasser kann man mit einer Kilowattstunde Heizenergie von 20 auf 100 °C erhitzen?
m=
∆Q
1 kWh · 3.6 · 106 J/kWh
=
= 11 kg
c∆ϑ 4182 J/(kgK) · (100 − 20) K
Beispiel: Jemand kommt auf die Idee, einen Zinnbecher (104 g) im Tiefkühler (-18 °C) aufzubewahren,
damit er jederzeit ein Getränk (≈ 100 g Wasser bei 26 °C) kühl geniessen kann. Welche Mischtemperatur
stellt sich ein?
Qaufgenommen + Qabgegeben = 0
Energiesatz
cZ mZ · (ϑ M − ϑZ ) + cW mW · (ϑ M − ϑW ) = 0
cZ mZ ϑZ + cW mW ϑW 227 J/(kg · K) · 104 g · (−18 °C) + 4182 J/(kgK) · 100 g · 26 °C
=
ϑM =
cZ mZ + cW mW
227 J/(kg · K) · 104 g + 4182 J/(kgK) · 100 g
ϑ M = 24 °C
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser ist gross im Vergleich zu Zinn.
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser variiert etwa ein Prozent zwischen Null und hundert Grad
Celsius, andere Stoffe können mehr variieren. Der Aggregatzustand darf sich nicht ändern.
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56
Latente Wärme
Pflicht
Q = mL
Latente Wärme
LV = 2.257 · 10 J/kg
spezifische Verdampfungswärme von Wasser bei 100 °C
L f = 3.338 · 105 J/kg
spezifische Schmelzwärme von Eis bei 0 °C
6
Wird einem Stoff beim Schmelz- oder Siedepunkt Wärme zugeführt, so äussert sich das nicht in einer
Temperaturzunahme: Man sagte früher, die Wärme sei latent (lat. für versteckt). Die latente Wärme ist
proportional zur Masse des Stoffes, der die Phasenumwandlung durchmacht, und hängt ab von einer
Stoffgrösse. Diese Stoffgrössen, z.B. die spezifische Verdampfungswärme, sind tabelliert. Beim Schmelzen
wird die Schmelzwärme Q = +mL f aufgenommen; beim Erstarren wird die Erstarrungswärme Q = −mL f
abgegeben. Schmelz- und Erstarrungswärme sind betragsmässig gleich gross. (analog die Verdampfungsund Kondensationswärme)
Beispiel: Welche Temperatur muss das Wasser haben, um damit dieselbe Masse Eis bei 0 °C zu schmelzen?
mL f + cm(ϑ f − ϑ) = 0
Lf
3.338 · 105 J/kg
+ ϑf =
+ 0 °C = 79.8 °C
ϑ=
c
4182 J/kf
Beispiel: Milch wird oft mit Dampf erhitzt. Wie viel Wasserdampf von 100 °C muss in 250 g Milch von
5 °C kondensieren, damit sich eine Mischtemperatur von 45 °C ergibt? Die spezifische Wärmekapazität
von Milch beträgt 3.8 kJ/(kg · K). Vernachlässigen Sie den Behälter.
Qaufgenommen + Qabgegeben = 0
c M m M (ϑ2 − ϑ1 ) −mD LV
|
{z
} | {z }
Milch erhitzen
mD =
Dampf kondensieren
+ cW mD (ϑ2 − ϑS ) = 0
|
{z
}
Kondensat abkühlen
3.8 · 103 J/(kgK) · 0.250 g · (45 − 5) °C
c M m M (ϑ2 − ϑ1 )
=
= 15 g
LV − cW (ϑ2 − ϑS ) 2.257 · 106 J/kg − 4182 J/(kgK) · (45 − 100) °C
Die spezifische Verdampfungswärme hängt von der Temperatur ab. Verdunstet Wasser bei 0 °C, so beträgt
sie 2.50 MJ/kg. Beim kritischen Punkt, 374 °C für Wasser, verschwindet die Verdampfungswärme.
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57
Kür
Wärmeleitung
Kür
J = U · ∆ϑ
Die Wärmestromdichte J durch eine Wand oder Platte ist proportional zum Unterschied ∆ϑ der
Lufttemperaturen. Der Wärmedurchgangskoeffizient U (früher k-Wert) hängt ab vom Aufbau der Wand
(Dicke, Isolation, Material, etc.) und ist tabelliert.
Der Wärmestrom P = ∆Q/∆t ist die Wärmeenergie, die pro Zeit durch eine Fläche hindurch tritt. Der
Wärmestrom wird in Watt gemessen. Die Wärmestromdichte J = P/A ist der Wärmestrom pro Fläche und
wird in W/m2 gemessen.
Beispiel: Eine Plexiglasscheibe von 5 mm Dicke hat U = 5.3 W/(m2 K). Berechnen Sie die Verlustleistung
durch eine Scheibe von 3.5 m2 Fläche bei einem Temperaturunterschied von 18 °C.
P = JA = U∆ϑA = 5.3 W/(m2 K) · 18 K · 3.5 m2 = 0.33 kW
Die Wärmestromdichte durch eine homogene Platte ist proportional zur Differenz ∆ϑ der
Oberflächentemperaturen, umgekehrt proportional zur Dicke ∆x der Platte und hängt ab vom Material über
die so genannte Wärmeleitfähigkeit λ.
J = −λ ·
∆ϑ
∆x
In dieser Gleichung steht das Minuszeichen, um auszudrücken, dass der Wärmestrom in die Richtung der
tieferen Temperatur geht, d.h. ∆T = T 2 − T 1 < 0. Die Grösse ∆ϑ/∆x oder dT/dx heisst
Temperaturgradient (Temperaturgefälle).
Beispiel: Eine Plexiglasplatte von 5.0 mm Dicke und 3.5 m2 Fläche weist an der inneren Oberfläche eine
Temperatur von 23 °C und aussen 5 °C auf. Die Wärmeleitfähigkeit von Plexiglas ist 0.19 W/(m · K).
Berechnen Sie den Wärmestrom von innen nach aussen.
P = −JA = −λA
(5 − 23) K
∆T
= −0.19 W/(m · K) · 3.5 m2 ·
= 2.4 kW
∆x
5.0 · 10−3 m
Dieser Wert ist höher als beim vorangehenden Beispiel auf dieser Seite, weil beim U-Wert berücksichtigt
ist, dass die Luftfilme, die an der Oberfläche haften, einen isolierenden Effekt haben.
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58
Stefan-Boltzmann Gesetz
Kür
J = σT 4
σ = 5.670 400(40) · 10−8 W/(m2 · K4 )
Ein heisser Körper strahlt Wärme ab. Schwarze Körper (Hohlraumstrahler) senden am meisten
Wärmestrahlung aus. Die Wärmestromdichte J von der Oberfläche eines schwarzen Körpers hängt nur von
der absoluten Temperatur (in Kelvin) ab. Die Stefan-Boltzmann Konstante σ ist eine Naturkonstante.
1. Beispiel: Wie viel Wärme strahlt ein Stück glühende Holzkohle (800 °C) ab?
J = σT 4 = 5.670 · 10−8 W/(m2 · K4 ) · ((800 + 273.15) K)4 = 75.2 kW/m2
2. Beispiel: Welche Temperatur kann ein schwarzes Auto im Sonnenlicht maximal erreichen?
Das Maximum ist dann erreicht, wenn die Einstrahlung gerade die Verluste durch Abstrahlung
kompensiert. Die Einstrahlung ist maximal gleich der Solarkonstanten JS . Wenn wir alle anderen Verluste
ignorieren, gilt
σT 4 = JS
!1/4
J 1/4
1366 W/m2
S
T=
=
= 394.0 K =ˆ 121 °C
σ
5.670 · 10−8 W/(m2 · K4 )
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59
Solarkonstante
Kür
J = 1 366(30) W/m2
Die (irdische) Solarkonstante ist die mittlere Leistung pro Fläche, welche die Sonne am oberen Rand der
Atmosphäre auf eine senkrecht zur Einstrahlung orientierte Fläche einstrahlt.
Beispiel: Wie viel Leistung fällt maximal auf eine Solarzelle von 2.8 cm2 Fläche?
P = JA = 1366 W/m2 · 2.8 · 10−4 m2 = 0.38 W
Nur ein Teil dieser Leistung (10-25 %) wird in elektrische Leistung umgewandelt.
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60
Avogadrokonstante und Stoffmenge
NA = 6.022 141 79(30) · 1023 mol−1 =
Pflicht
N
n
Die Avogadrokonstante NA ist die gemessene Anzahl Teilchen N pro Stoffmenge n:
Die Stoffmenge hat die Einheit Mol. Das Mol ist eine SI-Basiseinheit.
1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in
0.012 kg des Nuklids C-12 enthalten sind.
Ein Nuklid oder Isotop ist eine Atomsorte mit einer bestimmten Anzahl Protonen und Neutronen im Kern.
Ein Element hat meistens mehrere Isotope. Der Überbegriff von Neutron und Proton ist Nukleon.
Verschiedene Schreibweisen für ein Nuklid: ZA X, A X oder X-A
A: Massen- oder Nukleonenzahl, Z: Protonen-, Kernladungs- oder Ordnungszahl, X: Name des Elements.
Beispiel: Ein Mensch habe 5.5 Liter Blut mit einer Hämoglobinkonzentration von 9 mmol/L. Wie viele
Hämoglobinmoleküle besitzt dieser Mensch also?
N = nNA = cV NA = 9 · 10−3 mol/L · 5.5 L · 6.022 · 1023 mol−1 = 3 · 1022
Beispiel: Berechnen Sie die Stoffmenge der Abgase (CO2 und H2 O) bei der vollständigen Verbrennung
von einem Mol n-Oktan (C8 H18 ) sowie die notwendige Stoffmenge Sauerstoff (O2 ).
1C8 H18 + (8 + 29 )O2 −→ 8CO2 + 9H2 O
Um 1 mol Oktan zu verbrennen, werden 12.5 mol Sauerstoff benötigt. Dabei entstehen 8 mol Kohlendioxid
und 9 mol Wasserdampf.
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61
Atomare Masseneinheit
Kür
1 u = 1.660 538 782(83) · 10−27 kg
Die atomare Masseneinheit 1 u (“unit”) ist ein Zwölftel der Masse eines freien C-12 Atoms.
Die Masse eines Wasserstoffatoms, eine Protons oder eines Neutrons ist ungefähr 1 u. Da ein Nukleon
(Proton oder Neutron) etwa 1.0 u Masse hat und Elektronen wesentlich leichter sind, ist die atomare Masse
eines Atoms in units ungefähr gleich der Nukleonenzahl. Die genaue Masse eines Nuklids muss in einer
Isotopentabelle nachgeschlagen werden; die Massen von Protonen, Neutronen und Elektronen
zusammenzuzählen führt zu einem Fehler (Massendefekt).
Welche Masse hat ein Au-198 Atom? (Das einzige stabile Isotop von Gold).
Die atomare Masse ist in einer Nuklid- oder Isotopentabelle zu finden und wird dort in atomaren
Masseneinheiten angegeben.
ma = 196.966 552 u · 1.660 538 782 · 10−27 kg/u = 3.270705984 · 10−25 kg
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62
Molare Masse
M=
Pflicht
m
n
Die molare Masse ist eine Stoffgrösse und hat die Einheit g/mol respektive kg/mol.
Die molare Masse des Nuklids C-12 ist per Definition 12 g/mol. Die molare Masse des Elements
Kohlenstoff ist hingegen 12.0107(8) g/mol, weil Kohlenstoff mehrere Isotope hat. Die molaren Massen der
Elemente sind in chemischen Tabellen oder im Periodensystem aufgelistet.
Beispiel: Berechnen Sie die Stoffmenge von 1.00 kg Wasser.
n=
m
1.00 kg
=
= 55.5 mol
MH2 O (2 · 1.00794 + 15.9994) · 10−3 kg/mol
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63
Zustandsgleichung des idealen Gases
pV
= kB
NT
oder
pV
=R
nT
Pflicht
kB = 1.380 650 4(24) · 10−23 J/K
R = 8.314 472(15) J · mol−1 · K−1
Boltzmannkonstante
universelle Gaskonstante
Die Zustandsgleichung beschreibt, wie Druck p, Volumen V, absolute Temperatur T und die Menge (N, n)
eines idealen (verdünnten) Gases zusammenhängen. Sie wird mit der Teilchenzahl N oder alternativ mit
der Stoffmenge n geschrieben. Die Zustandsgleichung enthält keine Materialgrössen.
Beispiel: Eine Gasflasche wird befüllt. Dabei steigt die Temperatur von 291 K auf 316 K und der Druck
von 80 bar auf 270 bar. Wie viel mal mehr Gasteilchen enthält die Flasche nachher?
p2 V
N2
p2 T 1 270 bar · 291 K
p1 V
= kB =
⇒
=
=
= 3.11
N1 T 1
N2 T 2
N1
p1 T 2
80 bar · 316 K
Beispiel: molares Normvolumen Vmn
Wie gross ist das Verhältnis von Volumen zu Stoffmenge für ein ideales Gas bei Normbedingungen?
Vmn =
V RT n 8.31447 J/(mol · K) · 273.15 K
=
=
= 22.414 · 10−3 m3 /mol
n
pn
101325 Pa
Ein Mol Gas hat bei 0 °C und Atmosphärendruck auf Meereshöhe ein Volumen von 22.4 Litern.
Beispiel: Berechnen Sie die Masse des Wasserstoffs in einer 50 Liter-Gasflasche bei 20 °C und 300 bar
Druck.
m = Mn = M ·
pV 2 · 1.0079 · 10−3 kg/mol · 300 · 105 · 50 · 10−3 m3
=
= 1.2 kg
RT
8.314 J/(mol · K) · (273.15 + 20) K
Bemerkung: Werden zwei der Grössen p, V, n und T konstant gehalten, so ergeben sich folgende
Zusammenhänge zwischen den anderen (Benennung nicht einheitlich):
pV = const
p/T = const
V/T = const
V/n = const
p/n = const
Gesetz Boyle-Mariotte
Gesetz von Amontons
Gesetz von Gay-Lussac
Gesetz von Avogadro
Gesetz von Dalton
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64
Kür
Kinetische Gastheorie
1
mυ2
2
Kür
= 32 kB T
Die mittlere kinetische Energie eines Gasteilchens der Masse m ist proportional zur absoluten Temperatur
T des Gases; kB ist die Boltzmannkonstante.
Beispiel: Mit welcher mittleren Geschwindigkeit bewegen sich die Wasserdampfmoleküle in der
Zimmerluft bei 24 °C Temperatur?
s
r
3kB T
3 · 1.381 · 10−23 J/K · (273.15 + 24) K
υ=
=
= 641 m/s
m
(2 · 1.008 + 16.00) u · 1.661 · 10−27 kg/u
Mit ‘mittlere Geschwindigkeit’ ist hier der quadratische Mittelwert gemeint (rms: root mean square). Die
atomare Masse in units ist tabelliert.
Beispiel: Drücken Sie die mittlere Geschwindigkeit durch die molare Masse des Gases aus.
R
N
= NA =
Avogadrokonstante NA , universelle Gaskonstante R
pV = nRT = NkB T →
n
kB
r
r
r
3kB T
3kB NA T
3RT
υ=
=
=
Beachte: M in kg/mol einsetzen!
m
Mn
M
Bemerkungen
Mit ‘kinetische Energie’ ist hier nur die Translationsenergie des Schwerpunkts gemeint; Rotationsenergie
und allenfalls Vibrationsenergie kommen separat hinzu.
Die Verteilung der Geschwindigkeit um den Mittelwert herum wird durch die Maxwellsche
Geschwindigkeitsverteilung beschrieben.
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65
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Pflicht
∆U = Q + W + . . .
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik ist eine spezielle Schreibweise des Energiesatzes: Die Änderung ∆U
der inneren Energie eines Systems ist gleich der Summe der von oder an ihm verrichteten Arbeit W, der
zu- oder abgeführten Wärme Q sowie weiterer Energietransfers wie z.B. zu- oder abgeführter chemischer
Energie. Alle Grössen sind vorzeichenbehaftet.
Beispiel: Wie viel Energie verliert ein Mensch (70 kg) etwa, wenn er 35 g Wasser schwitzt?
∆U = Q = −mLV ≈ −35 · 10−3 kg · 2.4 · 106 J/kg = −84 kJ
Beispiel: Wie viel Energie gewinnt ein Auto etwa, wenn es 40 kg Benzin tankt?
∆U = W + Q + · · · = 0 + 0 + mH = 40 kg · 43.5 · 106 J/kg = 1.7 GJ
Die chemische Energie wurde durch die Verbrennungswärme mit dem unteren Heizwert H abgeschätzt.
Beispiel: Eine kleine Menge idealen Gases wird schnell komprimiert. Während der Kompression wird die
Arbeit W an ihm verrichtet. Was passiert mit der Temperatur des Gases?
Wenn der Vorgang schnell abläuft, steht keine Zeit für einen Temperaturausgleich respektive
Wärmeaustausch mit der Umgebung zur Verfügung (adiabatischer Prozess). Aus der kinetischen
Gastheorie folgt, dass die innere Energie eines Gases proportional zur absoluten Temperatur steigt:
U = N · 32 kB T .
∆U = W + Q + . . .
N · 23 kB · ∆T = W
Die Temperatur des idealen Gases steigt propotional zur an ihm verrichteten Arbeit an.
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66
Adiabatische Kompression
Kür
p2
V1
→
=
p1
V2
pV = const
κ
!κ
Die adiabatische Kompression oder Expansion eines Gases ist dadurch charakterisiert, dass keine Wärme
mit der Umgebung ausgetauscht wird. Dies im Gegensatz zu einem isothermen Vorgang, bei dem die
Temperatur konstant bleibt. Bei der adiabatischen Kompression wird Arbeit am Gas verrichtet, welche die
innere Energie und damit die Temperatur des Gases erhöht. Der Adiabatenexponent κ = C p /CV ist eine
tabellierte Materialgrösse.
Beispiel: Eine bestimmte Menge Luft wird schnell auf die Hälfte des Ausgangsvolumens komprimiert.
Auf welchen Wert steigt der Druck?
V1
p2
=
p1
V2
!κ
1
=
0.50
!1.402
= 2.6
Beispiel: Eine bestimmte Menge Luft bei 20 °C wird schnell auf die Hälfte des Ausgangsvolumens
komprimiert. Auf welchen Wert steigt die Temperatur?
!κ−1
V1
nRT
T2
κ
κ−1
pV = nRT → const = pV =
· V → const = T V
→
=
V
T1
V2
!κ−1
!1.402−1
V1
1
= (273.15 + 20) K ·
= 387.35 K → 114 °C
T2 = T1 ·
V2
0.50
κ
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67
Verbrennungswärme
Kür
Q=m·H
Die Wärme Q, die bei der Verbrennung eines Stoffes freigesetzt wird, ist proportional zur Stoffmasse m
und einer Materialgrösse H (spezifischer Heizwert, auch Brennwert oder Verbrennungsenthalpie). Der
spezifische Heizwert ist tabelliert. Es wird noch unterschieden, ob der Wasserdampf entweicht (unterer
Heizwert) oder kondensiert wird (oberer Heizwert, Brennwert).
Beispiel: Eine Paraffin-Kerze wiegt 9 g und verbrennt in 1.5 Stunden. Berechnen Sie die Heizleistung.
P=
∆Q ∆m · H 9 · 10−3 kg · 45 · 106 J/kg
=
=
= 75 W
∆t
∆t
1.5 · 3600 s
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68
Thermodynamischer Wirkungsgrad
η=
Kür
Tw − Tk
Tw
Eine Wärmekraftmaschine entzieht einem warmen Pol bei der Temperatur T w Wärme, wandelt einen Teil
davon in eine andere Energieform um und gibt den Rest an ein kaltes Reservoir bei Temperatur T k ab. Der
thermodynamische Wirkungsgrad dieser Umwandlung ist erstmals von S. Carnot berechnet worden.
Zweiter Hauptsatz der Wärmelehre
Es gibt keine zyklisch arbeitende Wärmekraftmaschine mit einem höheren Wirkungsgrad als dem
thermodynamischen Wirkungsgrad.
Beispiel: Die Temperatur des Dampfes aus dem Reaktor eines Kernkraftwerks betrage 280 °C, die
Temperatur im Kondensator 90 °C. Wie gross ist der maximal mögliche Wirkungsgrad für die Erzeugung
von elektrischer Energie?
η=
(280 − 90) K
Tw − Tk
=
= 34 %
Tw
(273.15 + 280) K
Eine Variante des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik ist:
Ohne Zwang fliesst Wärme nur von heissen nach kalten Stellen, nie in umgekehrter Richtung.
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69
Elementarladung
Pflicht
Elektrische Ladung ist quantisiert. Jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e.
e = 1.602 176 487(40) · 10−19 C
Q = Z · e mit Z ∈ Z
(Einheit: Coulomb; 1 C = 1 A s)
1. Beispiel: Wie viel Ladung trägt ein SO2−
4 -Ion?
Q = Z · e = −2 · 1.6022 · 10−19 C = −3.2044 · 10−19 C
2. Beispiel: Wie viel Ladung trägt ein U-238 Atomkern?
−19
U-238 = 238
C = 1.4740 · 10−17 C
92 U → Q = Ze = +92 · 1.6022 · 10
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70
Ladungserhaltung
Pflicht
In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtladung konstant. Ladung kann weder erzeugt noch
vernichtet werden. Wird positive Ladung erzeugt, so muss genau so viel negative Ladung entstehen, damit
die Summe konstant bleibt.
X
Qi = const
i
Beispiel: Bei einem bestimmten radioaktiven Zerfall, einem sogenannten Betazerfall, stösst der Atomkern
ein Elektron aus. Was passiert mit dem zurückbleibenden Kern?
Das Elektron trägt eine negative Elementarladung (q = −e). Wenn der Kern ein Elektron ausstösst, muss
die Kernladung um +1e zunehmen. Da der Kern Protonen und Neutronen enthält, muss die Zahl der
Protonen um Eins zugenommen haben. (Ein Neutron hat sich in ein Proton verwandelt).
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71
Coulombkraft
Pflicht
Die elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1 und Q2 im Abstand r ist
1 Q1 Q2
· 2
4πε
r
A·s
1
= 8.854 187 817 . . . · 10−12
ε0 =
2
µ0 c
V·m
FC =
ε = εr · ε0
elektrische Feldkonstante
Die elektrische Feldkonstante ε0 hat im SI einen definierten Wert. Die Dielektrizitätszahl εr ist eine
tabellierte Materialgrösse, welche das Medium beschreibt, in das die Ladungen eingebettet sind. Sie hat
für Vakuum per Definition den Wert Eins. Die Kraft wirkt abstossend für gleichnamige Ladungen und
anziehend für ungleichnamige. Die Kraft wirkt parallel zur Verbindungslinie der Punktladungen.
1. Beispiel: Wie gross müssen zwei gleiche Ladungen sein, damit bei einem Meter Abstand die
Coulomkraft ein Newton beträgt?
Falls nichts auf etwas anderes hindeutet, nehmen wir εr = 1 an.
FC =
p
p
Q2
1
· 2 ⇒ Q = r 4πε0 FC = 1 m · 4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 1 N = 1 · 10−5 C
4πε0 r
Diese Rechnung zeigt, dass 1 C eine grosse Ladungsmenge ist, weil schon sehr kleine Bruchteile eines
Coulombs bereits deutlich fühlbare Kräfte erzeugen.
2. Beispiel: Wie gross ist die Kraft zwischen einem Cl− -Ion und einem Ca2+ -Ion in 55 nm Abstand in einer
lebenden Zelle ?
Die zwei Ionen sind in Wasser mit εr ≈ 80 eingebettet.
FC =
2 · (1.6022 · 10−19 C)2
1
e · 2e
1
·
· 2 =
= 1.9 · 10−15 N
−12
−9
2
4πεr ε0
r
4π · 80 · 8.854 · 10 As/(Vm)
(55 · 10 m)
Falls die Ladungen nicht punktförmig sind, wird die elektrostatische Kraft via die elektrische Feldstärke
berechnet.
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72
Elektrische Feldstärke
Pflicht
In der Umgebung einer Ladung gibt es etwas, das Kräfte auf andere Ladungen ausüben kann. Es wird
elektrisches Feld genannt. Die elektrische Feldstärke E~ ist definiert als elektrostatische Kraft F~e auf eine
kleine, positive Probeladung q pro Ladung.
F~e
E~ =
q
[E] =
N
V
=
C
m
Volt pro Meter
1. Beispiel: Welche Beschleunigung erfährt ein O8+ -Ion in einem Feld der Stärke 23 kV/m?
a=
Fres qE 8 · 1.6022 · 10−19 C · 23 · 103 N/C
=
=
= 1.1 · 1012 m/s2
m
m
16.0 u · 1.661 · 10−27 kg/u
2. Beispiel: Wie gross ist die elektrische Feldstärke, welche ein nackter Blei-Atomkern im Abstand 238 nm
vom Zentrum des Atomkerns erzeugt?
1
1
q·Q
1
Q hier 1
Ze
1
· FC = ·
· 2 =
· 2 =
· 2
q
q 4πε0
r
4πε0 r
4πε0 r
1
82 · 1.6022 · 10−19 C
E=
·
= 2.08 MV/m
4π · 8.854 · 10−12 As/(Vm)
(238 · 10−9 m)2
E=
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73
Elektrische Feldstärke im Plattenkondensator
Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen, leitenden Platten mit Fläche A und schmalem Spalt der
Breite d. Die Platten werden gleich stark aber ungleichnamig aufgeladen. Dann ist die elektrische
Feldstärke im Spalt:
E=
Q
U
=
εA
d
Beispiel: Ein Plattenkondensator mit Luftspalt hat Plattenfläche 2.8 dm2 . Mit wie viel Ladung kann er
maximal belegt werden, wenn die Durchschlagfeldstärke 3·106 V/m nicht überschritten werden soll?
Q = ε0 AE = 8.854 · 10−12 As/(Vm) · 2.8 · 10−2 m2 · 3 · 106 V/m = 0.7 µC
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74
Kür
Elektrische Spannung
U AB =
Pflicht
WAB
= E s · ∆sAB
q
Die elektrische Spannung U AB zwischen den Punkten A und B ist gleich der Arbeit WAB pro Ladung, die
das elektrische Feld an einer kleinen Probeladung q auf dem Weg von A nach B verrichtet. Die elektrische
Spannung ist – wie die Arbeit – eine Grösse mit Vorzeichen.
Die Spannung ist auch gleich der Komponente E s der Feldstärke in Wegrichtung multipliziert mit dem
Weg sAB (für ein homogenes, elektrostatisches Feld und einen geraden Weg).
1. Beispiel: Ein Proton wird durch eine Spannung von 1.00 V aus der Ruhelage beschleunigt.
a) Wie viel kinetische Energie gewinnt es?
b) Welche Geschwindigkeit erhält es?
W
⇒ W = qU = eU = 1.6022 · 10−19 C · 1.00 V = 1.60 · 10−19 J
q
s
r
2eU
2 · 1.6022 · 10−19 C · 1.00 V
=
= 5.93 · 105 m/s
b) 12 mυ2 = eU ⇒ υ =
m
9.109 · 10−31 kg
a) U =
1 eV (Elektronvolt) ist die Arbeit, welche das elektrische Feld verrichtet, wenn ein Teilchen mit einer
Elementarladung eine Spannung von exakt 1 V durchläuft.
2. Beispiel: Ein Plattenkondensator mit Spaltbreite 1.3 mm und Fläche 1.9 dm2 wird mit einer Spannung
von 84 V belegt. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke im Spalt.
Das Feld im Spalt eines Plattenkondensators ist homogen, also ist
U = E·d → E =
U
84 V
=
= 6.5 · 104 V/m
d
1.3 · 10−3 m
Falls die Feldstärke räumlich variiert oder der Weg von A nach B krumm ist, berechnet man die elektrische
Spannung durch ein Integral.
Kür
Z B
U AB =
E~ · d~s
A
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75
Elektrische Stromstärke
Pflicht
Ein physikalischer Strom oder Fluss ist etwas, das durch eine Fläche tritt. Beim elektrischen Strom treten
Ladungen durch eine Fläche, z.B. durch die Querschnittsfläche eines Leiters. (Es gibt auch einen
Energiefluss, einen Impulsfluss, einen Wärmestrom, etc.)
Die elektrische Stromstärke I ist die Ladungsmenge ∆Q, die pro Zeit ∆t durch eine Fläche fliesst.
I=
∆Q
∆t
[I] = 1 A
(Ampere)
Das Ampère ist die SI-Basiseinheit der Elektrizität. Das Coulomb ist somit eine zusammengesetzte Einheit
(1 C = 1 A · s).
Die technische Stromrichtung entspricht der Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger. Die Elektronen
in einem metallischen Stromleiter bewegen sich also entgegen der technischen Stromrichtung. Die
technische Stromrichtung im äusseren Stromkreis (ausserhalb der Spannungsquelle) ist vom Pluspol zum
Minuspol der Spannungsquelle gerichtet.
Beispiel: Das Ring-Zyklotron am Paul Scherrer Institut erzeugt einen Protonenstrahl von 2.2 mA
elektrischer Stromstärke. Berechnen Sie den Teilchenfluss.
I=
∆N I
2.2 · 10−3 A
∆Q e · ∆N
=
⇒
= =
= 1.4 · 1016 s−1
∆t
∆t
∆t
e 1.6022 · 10−19 As
Beispiel: Zwischen zwei Silberelektroden fliesst ein Strom von 1.0 A durch eine Silbernitratlösung. Die
Ladung wird durch Ag+ -Ionen transportiert. Wie viel Silber schlägt sich auf der einen Elektrode nieder,
wenn der Strom während 1000 s fliesst?
∆m = mS ∆N = mS ·
1.0 A · 1000 s
I · ∆t
= 107.9 u · 1.661 · 10−27 kg/u ·
= 1.1 g
e
1.6022 · 10−19 C
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76
Elektrischer Widerstand
Pflicht
Der absolute elektrische Widerstand R ist das Verhältnis von Spannung U zu Stromstärke I:
R=
U
I
[R] = 1 Ω
(gr. Omega) “Ohm”
Der Widerstand variiert im Allgemeinen mit der Stromstärke.
Beispiel: Durch ein Glühlämpchen fliesst bei 24 V angelegter Spannung ein Strom von 125 mA. Wie gross
ist der Widerstand bei diesen Bedingungen?
R=
24 V
U
=
= 0.19 kΩ
I
0.125 A
Der Widerstand einer Glühlampe mit Wolframwendel wächst mit steigender Stromstärke.
Das Wort ‘Widerstand’ wird in zwei Bedeutungen verwendet: im Sinne einer Eigenschaft
(Widerstandswert) oder als Bezeichnung eines Geräts (Widerstandselement).
Der differentielle Widerstand ist definiert als Rd = ∆U/∆I oder dU/dI.
Der Leitwert G ist der Kehrwert des absoluten Widerstands: G = I/U und hat die Einheit Siemens (S).
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77
Kür
Ohmsches Gesetz
Pflicht
Ein elektrisches Element erfüllt das ohmsche Gesetz, wenn die Stromstärke I proportional zur angelegten
Spannung U variiert. Der elektrische Widerstand R ist konstant.
R = const
U∝I
Häufig wird das ohmsche Gesetz U = RI geschrieben, wobei R als konstant vorausgesetzt wird, d.h. der
Widerstand ist unabhängig vom Strom.
Viele elektrische Elemente erfüllen das ohmsche Gesetz, solange die Stromstärke klein bleibt. Ein starker
Strom erhitzt den Leiter, was oft eine Widerstandsveränderung zur Folge hat. Die Kupferdrähte in
Hausinstallationen erhitzen sich kaum und erfüllen das ohmsche Gesetz. Der Wolframdraht in einer
Glühlampe erhitzt sich stark und erfüllt das ohmsche Gesetz nicht. Das ohmsche Gesetz ist sehr nützlich,
falls es gilt, aber es gilt nicht universell (ähnlich dem Federgesetz).
Beispiel: Durch einen langen, dicken Kupferdraht fliesst ein Strom von 39 mA, wenn eine Spannung von
29 V angelegt wird. Berechnen Sie die Stromstärke, wenn 18.37 V anliegen.
U = RI ∝ I ⇒
I2 U2
U2
18.37 V
=
⇒ I2 = I1 ·
= 39 mA ·
= 24.70 mA = 25 mA
I1 U1
U1
29 V
Das Eigenschaftswort “ohmsch” wird in verschiedenen Bedeutungsvarianten verwendet: Der Strom
variiert proportional zur Spannung oder der Leiter erhitzt sich, wenn Strom hindurch fliesst.
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78
Spezifischer elektrischer Widerstand
Kür
Der elektrische Widerstand eines Drahtes wächst proportional zur Länge l und umgekehrt proportional zur
Querschnittsfläche A. Er hängt über den spezifischen elektrischen Widerstand ρel vom Leitermaterial ab.
l
A
= 1.78 · 10−8 Ω m
R = ρel ·
zweites ohmsches Gesetz
ρel,Cu
spezifischer, elektrischer Widerstand von Kupferdraht
Der spezifische elektrische Widerstand ist eine tabellierte Materialgrösse.
Beispiel: Ein Eisendraht ist 180 m lang und hat 5.8 Ω Widerstand. Berechnen Sie seine Querschnittsfläche.
A=
ρe l 11.5 · 10−8 Ωm · 180 m
=
= 3.569 · 10−6 m2 = 3.6 mm2
R
5.8 Ω
Beispiel: Eine Rolle lackierter Kupferdraht von 1.0 mm2 Querschnittsfläche wiegt 800 g. Berechnen Sie
den Widerstand.
m = ρm V = ρm Al
R = ρe
ρe m
l
1.78 · 10−8 Ω m · 0.800 kg
=
=
= 1.6 Ω
A ρm A2 8.92 · 103 kg/m3 · (1.0 · 10−6 m2 )2
Die Masse des Lacks ist vernachlässigt worden, da sie ziemlich sicher viel geringer als jene des Kupfers ist.
Der Kehrwert des spezifischen elektrischen Widerstands heisst elektrische Leitfähigkeit (σ = 1/ρe ) und hat
die Einheit S/m (Siemens pro Meter).
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79
Elektrische Leistung
Pflicht
Aus den Definitionen von elektrischer Spannung U, Stromstärke I und Widerstand R folgt für die Leistung
P, die ein elektrisches Element aufnimmt:
P = UI = RI 2 =
U2
R
Beispiel: Ein Tauchsieder, der ans Haushaltnetz angeschlossen wird, hat die Nennleistung 800 W.
Berechnen Sie die Stromstärke im Betrieb.
Das Haushaltnetz in der Schweiz hat die Nennspannung 230 V.
I=
P 800 W
=
= 3.5 A
U
230 V
Die elektrische Leistung wird als thermische Leistung wieder abgegeben. Der Ausdruck
∆Q = P · ∆t = RI 2 · ∆t heisst Joulesche Wärme.
Beispiel: Ein Präzisionswiderstand von 250 Ω darf nicht mehr als 0.25 W aufnehmen. Berechnen Sie die
maximal erlaubte Spannung.
P=
√
√
U2
⇒ U = RP = 250 Ω · 0.25 W = 7.9 V
R
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80
Serieschaltung
Kür
Eine Serie- oder Reihenschaltung von drei Widerständen ist in Abbildung 7 dargestellt.
Abbildung 7: Serie- oder Reihenschaltung dreier Widerstandselemente
Beim Anschluss A fliesse ein Strom der Stärke I0 , nach dem ersten Element mit Widerstandswert R1 , an
dem die Spannung U1 anliegt, fliesse der Strom I1 und so weiter. Zwischen den Anschlüssen A und B
messe man die Gesamtspannung U AB .
I0 = I1 = I2 = I3
U AB = U1 + U2 + U2
RAB = R1 + R2 + R3
Analog für weniger oder mehr seriell geschaltete Elemente.
Beispiel: Durch drei seriell geschaltete Widerstandselemente mit 100 Ω, 200 Ω und 300 Ω fliessen 40 mA.
a) Wie gross ist die Spannung U1 über dem ersten Widerstand?
b) Wie gross ist die elektrische Leistung, welche der zweite Widerstand aufnimmt?
c) Wie gross ist die Gesamtspannung U AB ?
a) U1 = R1 I = 100 Ω · 0.040 A = 4.0 V
b) P2 = R2 I 2 = 200 Ω · (0.040 A)2 = 0.32 W
c) U AB = RAB I = (R1 + R2 + R3 ) · I = (100 Ω + 200 Ω + 300 Ω) · 0.040 A = 24 V
Beispiel: An zwei seriell geschalteten Widerständen R1 und R2 liegt die Gesamtspannung U AB an. Wie
gross sind die Einzelspannungen U1 und U2 an den Widerständen?
U1 = R1 I1 = R1 I = R1 ·
U2 =
U AB
U AB
R1
= R1 ·
=
· U AB
RAB
R1 + R2 R1 + R2
und analog
R2
· U AB
R1 + R2
Bei einer Serieschaltung teilt sich die Spannung im gleichen Verhältnis wie die Widerstandswerte auf.
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81
Parallelschaltung
Kür
Eine Parallelschaltung von drei Widerständen ist in Abbildung 8 dargestellt.
Abbildung 8: Paralllelschaltung dreier Widerstandselemente
Beim Anschluss A fliesse ein Strom der Stärke I0 . Durch das erste Element mit Widerstandswert R1 , an
dem die Spannung U1 anliegt, fliesse der Strom I1 (analog U2 , I2 etc.). Beim Anschluss B fliesse der Strom
I4 . Zwischen den Anschlüssen A und B messe man die Gesamtspannung U AB .
U AB = U1 = U2 = U3
I0 = I1 + I2 + I3 = I4
1
1
1
1
=
+
+
RAB R1 R2 R3
Analoges gilt für mehr oder weniger parallel geschaltete Elemente.
Beispiel: An drei parallel geschalteten Widerständen mit 100 Ω, 200 Ω und 300 Ω liegt eine Spannung
U AB = 60 V an.
a) Wie gross ist der Strom durch den ersten Widerstand?
b) Welche Leistung nimmt der zweite Widerstand auf?
c) Wie gross ist der Gesamtstrom I0 ?
60 V
U1 U AB
=
=
= 0.60 A
R1
R1
100 Ω
U22 (60 V)2
b) P2 =
=
= 18 W
R2
200 Ω
!
!
U AB
1
1
1
1
1
1
c) I0 =
= 1.1 A
= U AB ·
+
+
= 60 V ·
+
+
RAB
R1 R2 R3
100 Ω 200 Ω 300 Ω
a) I1 =
Beispiel: Durch zwei parallel geschaltete Widerstände R1 und R2 fliesst der Gesamtstrom I0 . Wie gross
sind die Einzelströme durch die Einzelwiderstände?
I0 = I1 + I2
U1 = R1 I1 = R2 I2 = U2
Gleichungssystem für die Ströme
R2
R1
⇒ I1 =
· I0
I2 =
· I0
R1 + R2
R1 + R2
Bei einer Parallelschaltung teilt sich der Strom im umgekehrten Verhältnis der Widerstandswerte auf.
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82
Magnetische Kraft auf einen Leiter
Kür
Ein gerader Leiter der Länge l, der vom Strom I durchflossen wird, erfährt in einem homogenen
Magnetfeld der Stärke B (Flussdichte oder magnetische Induktion) eine Kraft F der Stärke
F = IlB sin α
(Betrag)
~
F~ = I · (~l × B)
(Vektorprodukt)
~ (resp. der Feldlinie) und dem Leiterstück ~l, das in die
Der Winkel α wird zwischen dem Feldstärkevektor B
technische Stromrichtung zeigt, gemessen.
Die Kraft wirkt senkrecht zum Leiterstück und senkrecht zur Feldlinie. Die verbleibenden zwei
Möglichkeiten werden durch die rechte-Hand-Regel entschieden: Man halte den Daumen der rechten Hand
~ dann zeigt der
parallel zur technischen Stromrichtung (~l), den Zeigefinger parallel zur Feldlinie ( B),
~
Mittelfinger die Kraftrichtung (F) an.
Diese Beziehung legt die Einheit der magnetischen Flussdichte B fest (Tesla) und legt eine Messvorschrift
nahe: Die magnetische Induktion B ist die magnetische Kraft F auf einen geraden Leiter der Länge l, der
senkrecht zu den magnetischen Feldlinien orientiert ist, pro Stromstärke I und pro Leiterlänge l. Damit
folgt 1 T = 1 N/(A · m).
Beispiel: Ein Draht der Länge 5.5 cm wird unter einem Winkel von 48° zu den Feldlinien in ein
Magnetfeld der Stärke 0.084 T gehalten und von 3.9 A durchflossen. Berechnen Sie die magnetische Kraft
auf den Draht.
F = IlBsinα = 3.9 A · 5.5 · 10−2 m · 8.4 · 10−2 T · sin 48° = 24 mN
Die Bezeichnungen sind nicht einheitlich: B wird magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion
genannt, gelegentlich auch magnetische Feldstärke. Die Grösse H in B = µr µ0 H wird oft magnetische
Feldstärke, aber auch magnetische Erregung genannt.
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83
Lorentzkraft
Pflicht
Ein Teilchen mit Ladung q bewege sich mit Geschwindigkeit ~υ durch ein elektromagnetisches Feld. Es
erfährt die Lorentzkraft F~ L .
F L = |q|υB sin α
Betrag des magnetischen Teils der Lorentzkraft
~ gemessen. Die
Der Winkel α wird zwischen dem Geschwindigkeitsvektor ~υ und dem Flussdichtevektor B
~
magnetische Kraft wirkt senkrecht zu ~υ und B. Die verbleibenden zwei Richtungsmöglichkeiten können
durch die rechte-Hand-Regel entschieden werden: Daumen der rechten Hand parallel zu ~υ, Zeigefinger in
~ dann zeigt der Mittelfinger die Richtung von F~ L an (für ein elektrisch positives Teilchen, sonst
Richtung B,
umgekehrt).
Beispiel: Wenn sich ein Proton mit 9.3·106 m/s senkrecht zu den Feldlinien durch ein Magnetfeld der
Stärke 0.83 T bewegt, so beschreibt es eine Kreisbahn. Berechnen Sie den Bahnradius.
Fres = maz
eυB = m ·
mυ 1.673 · 10−27 kg · 9.3 · 106 m/s
υ2
⇒r=
=
= 12 cm
r
qB
1.6022 · 10−19 C · 0.83 T
Vektorielle Schreibweise:
~ + q · E~
F~ L = q · (~υ × B)
Kür
vektorielle Lorentzkraft inklusive elektrischer Kraft
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84
Magnetfeld eines geraden Stromleiters
Kür
Ein elektrischer Strom der Stärke I, der durch einen sehr langen, geraden, dünnen Leiter fliesst, erzeugt im
Abstand r von der Leiterachse im Vakuum ein Magnetfeld mit Flussdichte B.
B=
µ0 I
2πr
µ0 = 4π · 10−7
V·s
A·m
magnetische Feldkonstante
Beispiel: Ein rundes Starkstromkabel wird von 650 A durchflossen. Berechnen Sie die magnetische
Induktion B in 8 cm Abstand von der Drahtachse.
B=
µ0 I
4π · 10−7 Vs/(Am) · 650 A
=
= 1.63 · 10−3 T = 2 mT
2πr
2π · 8 · 10−2 m
Beispiel: Zwei unendlich lange Leiter vernachlässigbaren Querschnitts laufen parallel in genau einem
Meter Abstand und werden von zwei Strömen mit je genau einem Ampere Stärke durchflossen. Berechnen
Sie die magnetische Kraft pro Meter Leiterlänge auf einen Leiter.
µ0 I2 µ0 l I1 I2
=
·
⇒
2πr
2π
r
F
µ0 I1 I2 4π · 10−7 Vs/(Am) 1 A · 1 A
=
=
·
= 2 · 10−7 N/m
l
2π r
2π
1m
F = I1 lB2 sin α = I1 l ·
Auf dieser Rechung – in anderer Richtung gelesen – beruht die SI-Definition der Einheit Ampere. Der
Zweck der Definition ist es, der magnetischen Feldkonstanten µ0 einen festen Wert zuzuweisen.
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85
Magnetfeld einer Zylinderspule
Kür
Eine schlanke, eng gewickelte Zylinderspule der Länge l mit N Drahtwindungen, die mit dem Strom I
belegt sind, weist in ihrem Inneren ein homogenes Magnetfeld der Stärke B auf:
B=
µ0 NI
l
Die Zylinderspule heisst auch Solenoid (röhrenförmige Spule).
Beispiel: Eine schlankes Solenoid wird von 4.2 A durchflossen. Im Innern wird eine Feldstärke von 38 mT
registriert. Berechnen Sie die Windungsdichte N/l.
B
38 · 10−3 T
N
=
=
= 7.2 mm−1
l
µ0 I 4π · 10−7 Vs/(Am) · 4.2 A
Bemerkungen
Kann die Spule nicht mehr als schlank betrachtet werden, so variiert die Feldstärke entlang der
Spulenachse. Im Zentrum eines Solenoids mit Durchmesser d ist
µ0 NI
B= √
l2 + d 2
Dieser Ausdruck kann auch auf den Fall eines Kreisstromes spezialisiert werden.
Ist die Spule mit magnetischem Material gefüllt oder ist der Leiter in ein magnetisches Material
eingebettet, so wird das Magnetfeld (meist nichtlinear) verstärkt. Statt der magnetischen Feldkonstanten ist
die Grösse µ = µr µ0 zu schreiben. Die sogenannte Permeabilitätszahl µr ist eine Materialgrösse. Für
Vakuum ist µr per Definition Eins, für unmagnetische Stoffe ist µr ≈ 1.
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86
Kür
Faradaysches Induktionsgesetz
Pflicht
Wird eine offene Leiterschleife von einem zeitlich variierenden, magnetischen Fluss Φm durchsetzt, so
kann an den Enden der Leiterschleife eine Induktionsspannung Uind gemessen werden:
dΦm
dt Z
~ · dA
~
Φm = B⊥ A →
B
Uind = −
Induktionsgesetz
magnetischer Fluss
Wenn die Fläche eben und das Magnetfeld homogen ist, kann der magnetische Fluss als Produkt aus
Flächeninhalt A und der Komponente B⊥ der Flussdichte senkrecht zur Fläche berechnet werden.
In einer geschlossenen Leiterschleife treten Induktionsströme auf, welche Rückwirkungen auf den
magnetischen Fluss haben und deshalb schwierig zu berechnen sind (Selbstinduktion). Das negative
Vorzeichen im Induktionsgesetz weist darauf hin, dass diese Induktionsströme so gerichtet sind, dass sie
ihrer Ursache entgegen wirken (Lenz’sche Regel).
Beispiel: Eine offene Leiterschleife mit 80 Windungen und 2.9 cm2 Fläche pro Windung rotiere
gleichmässig mit 50 Hz in einem Magnetfeld der Stärke 0.23 T. Wie gross ist die induzierte Spannung
maximal?
Φm = NAB sin(ωt) = NAB sin(2π f t)
dΦm
= −2π f NAB cos(2π f t)
Uind = −
dt
Maximum: 2π f NAB = 2π · 50 Hz · 80 · 2.9 · 10−4 m2 · 0.23 T = 1.7 V
Beispiel: Eine offene Leiterschleife der Fläche 1.9 km2 wird senkrecht von einem Magnetfeld durchsetzt,
das in 15 min gleichmässig um 3.1 nT abnimmt. Berechnen Sie die Induktionsspannung.
!
∆B
Φm = A · B0 −
·t
∆t
dΦm
∆B
3.1 · 10−9 T
Uind = −
= A·
= 1.9 · 106 m2 ·
= 6.5 µV
dt
∆t
15 · 60 s
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87
Kür
Harmonische Wechselspannung
Die Spannung an einer Haushaltsteckdose hat in guter Näherung folgenden zeitlichen Verlauf:
Kür
u(t) = û · cos(ωt + ϕ1 )
Die Bezeichnungen sind dieselben wie bei der harmonischen Schwingung. Wird diese Spannung an einen
ohmschen Widerstand angelegt, so fliesst ein harmonischer Wechselstrom gleicher Frequenz und Phase.
Der Effektivwert der Wechselspannung ist jene mittlere Spannung, welche dieselbe mittlere Heizleistung
Pflicht
an einem ohmschen Widerstand bewirkt wie die harmonische Wechselspannung. Da P(t) = u2 (t)/R gilt, ist
der Effektivwert ein quadratischer Mittelwert (rms: root-mean-square). Für eine harmonische
Wechselspannung folgt dann
û
Ueff = √
2
und analog für einen harmonischen Wechselstrom. Rechnet man mit Effektivwerten, so können die
Formeln aus der Gleichstromlehre übernommen werden.
Beispiel: Unser Haushaltnetz hat die Nennwerte 230 V und 50.0 Hz. Berechnen Sie die
Spannungsamplitude und die Kreisfrequenz.
√
√
û = 2 · Ueff = 2 · 230 V = 325 V
ω = 2π f = 2π · 50.0 Hz = 314 s−1
Beispiel: Ein Wasserkocher, der ans Haushaltnetz angeschlossen wird, ist mit 1.9 kW angeschrieben.
Berechnen Sie den effektiven und den Spitzenstrom.
P 1.9 · 103 W
=
= 8.3 A
P = UI ⇒ I =
U
230
V
√
√
√
2P
2 · 1.9 · 103 W
ı̂ = 2I =
=
= 12 A
U
230 V
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88
Harmonische Schwingung
Pflicht
Die harmonische Schwingung ist ein Vorgang, z.B. die geradlinige Bewegung eines Punktes um einen
Nullpunkt, die mit folgender Gleichung beschrieben werden kann:
y(t) = ŷ sin(ωt + ϕ0 )
y = y(t)
ŷ
Bahngleichung
wobei
Momentanwert, ‘Elongation’
Spitzenwert, Amplitude
ω
t
ϕ0
ϕ(t) = ωt + ϕ0
Kreisfrequenz in s−1
Zeitpunkt
Anfangs-, Start- oder Nullphase
momentane Phase in Radiant
Die harmonische Schwingung eines Punktes kann als Komponente einer gleichmässigen Kreisbewegung
aufgefasst werden. Deshalb gilt die Beziehung ω = 2π f = 2π/T auch hier; lediglich die Namen haben
gewechselt: Die Grösse ω heisst Kreisfrequenz statt Winkelgeschwindigkeit und die Grösse T heisst
Schwingungsdauer (zeitliche Periode) statt Umlaufzeit.
Beispiel: Eine harmonische Schwingung startet aus der Nulllage in die positive Richtung, hat Amplitude
1.83 µm und Schwingungsdauer 3.30 ms. Berechnen Sie den Momentanwert 2.63 ms nach dem Start.
y = ŷ sin(ωt + ϕ0 ) → y = ŷ sin(ωt) = ŷ sin
2πt
2π · 2.63 ms
= 1.83 µm · sin
= −1.75 µm
T
3.30 ms
Nicht vergessen, den Taschenrechner auf Bogenmass (Radiant) umzustellen!
Beispiel: Was ist der Unterschied, wenn man die harmonische Schwingung einmal mit Kosinus und einmal
mit Sinus schreibt?
Kosinus und Sinus sind lediglich verschoben gegen einander: cos(ωt) = sin(ωt + π/2). Folglich hat nur die
Startphase einen anderen Zahlenwert.
Beispiel: Eine harmonische Schwingung y = ŷ cos(ωt + ϕ0 ) hat Frequenz 237 kHz. Der erste
Nulldurchgang findet zum Zeitpunkt t = 3.821 µs statt. Berechnen Sie die Startphase ϕ0 .
Der Kosinus hat die erste Nullstelle bei π/2. Also gilt für die momentane Phase
ωt + ϕ0 = π/2 ⇒ ϕ0 = π/2 − t · 2π f = π/2 − 3.821 · 10−6 s · 2π · 237 · 103 Hz = −4.12 rad
Die Phase ist nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2π bestimmt, 2π − 4.12 rad, 8π − 4.12 rad und so
weiter wären auch gültige Lösungen.
Nicht jede Schwingung ist harmonisch: Periodische Schwingungen sind die Dreieck-, Rechteck- und
Sägezahnschwingung. Die gedämpfte Schwingung ist nicht periodisch.
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89
Federpendel
Pflicht
Die Schwingungsdauer oder Periodendauer T eines Federpendels ist
r
m
T = 2π
D
wobei m die angehängte (oder effektive) Masse und D (manchmal k) die Federkonstante der Feder ist. Von
der Dämpfung (Reibung) wird abgesehen.
Beispiel: Ein Körper von 200 g Masse wird an eine Feder mit vernachlässigbarer Eigenmasse gehängt.
Dieses Federpendel hat eine Schwingungsdauer von 1.8 s. Berechnen Sie die Federkonstante.
r
!2
!2
m
2π
2π
2
⇒ k = mω = m ·
= 0.200 kg ·
= 2.4 N/m
T = 2π
k
T
1.8 s
Beispiel: Die Masse eines Federpendels wird 10 % erhöht. Was passiert mit der Schwingungsdauer?
r
r
r
T2
m √
m2
100 % + 10 % √
T = 2π
∝ m⇒
= 1.10 = 1.05
=
=
D
T1
m1
100 %
Die Periodendauer erhöht sich um 5 %.
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90
Mathematisches Pendel
Kür
Das mathematische Pendel ist ein idealisiertes Faden- oder Stangenpendel: Ein Massenpunkt hängt an
einer starren, masselosen, reibungsfreien Stange. Die Schwingungsdauer T eines mathematischen Pendels
der Länge l an einem Ort mit Fallbeschleunigung g ist bei kleiner Amplitude:
s
l
T = 2π
g
Beispiel: Berechnen Sie die Frequenz eines Fadenpendels der Länge 17 cm.
s
r
r
l
1
1
g
1
9.81 m/s2
⇒ f = =
=
= 1.2 Hz
T = 2π
g
T
2π l
2π
0.17 m
Beispiel: Ein Sekundenpendel ist ein (mathematisches) Pendel, bei dem eine Halbschwingung exakt eine
Sekunde dauert. Wie muss die Länge des Sekundenpendels angepasst werden, wenn es an einen Ort mit
0.8 Promille tieferer Fallbeschleunigung gebracht wird?
s
s
l2
l1
l2 g2
= T = 2π
⇒ =
2π
g2
g1
l1 g2
Die Länge des Sekundenpendels muss um 0.8 Promille verkürzt werden.
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91
Reflexions- und Brechungsgesetz
Pflicht
Trifft ein Lichtstrahl auf die ebene Grenzfläche zweier unterschiedlicher Medien, so wird ein Teil des
Lichtes reflektiert und ein Teil gebrochen (Refraktion), siehe Abbildung 9.
Abbildung 9: Trifft ein Lichtstrahl auf die Grenzfläche zweier
Medien mit Brechungsindices n1 und n2 , so starten der reflektierte und der gebrochene Strahl im Auftreffpunkt. Diese zwei
Strahlen liegen in derselben Ebene wie der Einfallsstrahl und
die Senkrechte auf die Grenzfläche im Auftreffpunkt. Einfallswinkel α1 , Reflexionswinkel αr und Brechungswinkel α2 werden zur
Senkrechten gemessen.
Das Experiment zeigt:
αr = α1
n1 sin α1 = n2 sin α2
Reflexionsgesetz
Brechungsgesetz von Snellius
Die Brechungsindices sind tabelliert. Sie hängen stark vom Material und schwach von der Frequenz
(Wellenlänge, “Farbe” des Lichts) ab.
Beispiel: Ein Lichtstrahl trifft unter einem Winkel von 37,8° auf eine Grenzfläche Luft → Wasser.
Berechnen Sie den Brechungswinkel.
!
!
n1
1.000
α2 = arcsin
sin 37, 8° = 27, 4°
sin α1 = arcsin
n2
1.333
Beispiel: Ein Lichtstrahl trifft und einem Winkel von 73,8° auf eine Grenzfläche Wasser → Luft.
Berechnen Sie den Brechungswinkel.
!
!
n1
1.333
sin 73, 8° = arcsin(1.28) < R
α2 = arcsin
sin α1 = arcsin
n2
1.000
Das Brechungsgesetz liefert keine reelle Lösung für den Brechungswinkel, also muss alles Licht reflektiert
werden (Totalreflexion).
Das Reflexionsgesetz gilt auch, z.B. bei der elastischen Reflexion harter Kugeln oder der Reflexion von
Wasserwellen an einer Hafenmauer.
Das Brechungsgesetz gilt auch für andere Wellen, wenn das Brechungsgesetz entsprechend geschrieben
wird. Der absolute Brechungsindex ni eines Materials i ist das Verhältnis von Vakuumlichtgeschwindigkeit
c zur Lichtgeschwindigkeit ci im Material i, also ni = c/ci . Mit Hilfe dieser Beziehung kann das
Brechungsgesetz durch die Wellengeschwindigkeiten ausgedrückt werden:
sin α1 c1
=
sin α2 c2
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92
Kür
Abbildungsgesetze
Pflicht
Ein Gegenstand werde durch eine Linse oder einen Spiegel mit Brennweite f abgebildet, siehe Abb. 10.
Abbildung 10: Lichtstrahlen, die von einem Punkt des Gegenstandes ausgehen, werden durch
die Linse so gebrochen, dass sie durch einen Punkt in der Bildebene laufen. Dort kann man auf
einem Bildschirm ein scharfes Bild beobachten. Die Bezeichnungen lauten Gegenstandsgrösse
G, Gegenstandsweite g, Bildgrösse B, Bildweite b, Brennpunkte F1 und F2 (Fokusse), Brennweite
f , Knotenpunkt K und optische Achse (durch die Brennpunkte).
B b
=
G g
1 1 1
+ =
g b
f
Das Verhältnis B : G heisst Abbildungsmassstab.
Beispiel: Ein Gegenstand steht 2.8 m vor einer Linse mit 80 mm Brennweite. Berechnen Sie die Bildweite
und den Abbildungsmassstab.
!−1
!−1
1 1
1
1
b=
−
=
−
= 82.35 mm = 82 mm
f g
0.080 m 2.8 m
B b
f
80 mm
= =
=
= 0.0294 = 1 : 34
G g g− f
2800 mm − 80 mm
Die oben genannten Gesetze gelten für dünne Linsen, wenn auf beiden Seiten der Linse dasselbe Medium
ist, z.B. Luft. Die Abbildungsgesetze einer Sammellinse können auch auf Hohlspiegel angewendet
werden. Sie können auch auf Zerstreuungslinsen und Wölbspiegel übertragen werden, indem man eine
negative Brennweite setzt.
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93
Harmonische Welle
Kür
Eine Welle ist eine Funktion von Ort und Zeit: u(x, t). Das Grundmodell ist die harmonische Welle
(Sinuswelle, siehe Abbildung 11).
u(x, t) = û sin(kx − ωt)
u(x, t) = û cos(kx) sin(ωt)
u(x, t)
û
2π
k=
λ
2π
ω=
T
ϕ(x, t) = kx − ωt (+ϕ0 )
laufende harmonische Welle, siehe Abb. 12
stehende harmonische Welle, siehe Abb. 13
ortsabhängiger Momentanwert
Amplitude
Kreiswellenzahl
Kreisfrequenz
momentane Phase der laufenden Welle in Radiant
Abbildung 11: Eine Sinuswelle sieht im Orts- und Zeitbild gleich aus. Im Ortsbild wird der Momentanwert
u(x, t0 ) als Funktion der Ortskoordinate x zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 aufgetragen. Die räumliche
Periode heisst Wellenlänge λ (Lambda). Im Zeitbild wird der Momentanwert u(x0 , t) als Funktion der Zeit t
aufgetragen, wenn die Welle an einem bestimmten Ort x0 vorbeiläuft. Der zeitliche Verlauf ist eine harmonische Schwingung mit Schwingungsdauer (Periode) T .
Abbildung 12: Eine laufende, harmonische Welle verschiebt sich in die positive oder negative
x-Richtung, ohne ihre Form zu ändern.
Abbildung 13: Bei einer stehenden Welle bleiben die Nullstellen (Knoten) fix und die “Bäuche” schwingen harmonisch.
Laufende Wellen werden gebraucht, um die Ausbreitung von Schall- oder Mikrowellen zu beschreiben.
Stehende Wellen werden gebraucht, um die Bewegung einer Violinsaite darzustellen. Im Zeitbild, siehe
Abbildung 11, erscheinen beide Wellen als harmonische Schwingung.
Beispiel: Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die Nullstellen einer laufenden Sinuswelle?
Bei der (z.B.) ersten Nullstelle hat die momentane Phase immer den Wert π, d.h.
kx − ωt = π ⇒
π ω
zu vergleichen mit
x= + ·t
k k
s = s0 + υ · t ⇒ υ = ω/k
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94
Wellengeschwindigkeit, Frequenz und Wellenlänge
Eine laufende harmonische Welle mit Frequenz f bewegt sich während einer Schwingungsdauer T eine
Wellenlänge λ vorwärts. Somit gilt für die Wellengeschwindigkeit c:
λ
= λf
T
c = 2.997 924 58 · 108 m/s
cS = 344 m/s
c=
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
Schallgeschwindigkeit in Luft bei 20 °C
Beispiel: Welche Wellenlänge hat die Strahlung in einem Mikrowellenofen mit Frequenz 2.4 GHz?
Mikrowellen sind elektromagnetische Wellen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.
λ=
c 3.00 · 108 m/s
=
= 13 cm
f
2.4 · 109 Hz
Beispiel: Welche Frequenz hat eine Schallwelle mit Wellenlänge 15 cm?
Wir nehmen Schallwellen in Luft an.
f =
c 344 m/s
=
= 2.3 kHz
λ
0.15 m
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95
Pflicht
Beugung
Kür
Beugung und Interferenz sind charakteristische Wellenphänomene. Interferenz tritt auf, wenn sich zwei
gleichartige Wellen im selben Raumgebiet überlagern: Die Wellen können sich gegenseitig auslöschen
(destruktive Interferenz) oder verstärken (konstruktive Interferenz). Beugung tritt auf, wenn Wellen auf
Kanten oder Hindernisse treffen. Für die Messtechnik besonders interessant ist die Beugung einer Welle an
einem periodischen Strichgitter, siehe Abbildungen 14 und 15.
Abbildung 14: Eine ebene (harmonische) Welle mit Wellenlänge λ trifft senkrecht auf ein periodisches Strichgitter. Hinter den Gitterspalten
treten Elementarwellen aus, die im Raum hinter
dem Gitter in bestimmte Richtungen konstruktiv
interferieren.
Abbildung 15: Die Elementarwellen hinter den
Spalten interferieren in jene Richtungen α konstruktiv, in denen die Weglängenunterschiede
d sin α ein ganzzahliges Vielfaches mλ der Wellenlänge λ sind.
Zur Erklärung der Beugung kann das Prinzip von Huygens-Fresnel zu Hilfe gezogen werden: Jede Welle
kann in Elementarwellen zerlegt werden und jede Welle lässt sich aus Elementarwellen zusammensetzen.
Die Spalte des Gitters lassen nur eine Auswahl an Elementarwellen passieren, die anschliessend
interferieren. Die Elementarwellen sind in Abb. 14 als Kugel- resp. Ringwellen gezeichnet.
d sin αm = m · λ
m∈Z
Gitterbeugungsgleichung
In die Richtungen αm (Beugungswinkel) wird der grösste Teil der Wellen abgelenkt, in die anderen
Richtungen nichts. Die ganze Zahl m heisst Beugungsordnung.
Beispiel: Licht der Wellenlänge 489 nm fällt senkrecht auf ein Beugungsgitter mit Gitterperiode
d = 1.293 µm. Berechnen Sie alle Beugungswinkel.
d sin αm = mλ ⇒ αm = arcsin
mλ
d
α0 = 0
1 · 489 nm
= 22.2°
1293 nm
2 · 489 nm
α2 = arcsin
= 49.1°
1293 nm
3 · 489 nm
α3 = arcsin
<R
1293 nm
α1 = arcsin
α−1 = −22.2°
α−2 = −49.1°
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96
Schallpegel
Kür
Der Schallpegel ist eingeführt worden, um ein Lautstärkemass zu haben, das in etwa unsere Empfindung
wiedergibt. Physikalisch könnte man sich mit der Schallstärke J (in W/m2 ) zufrieden geben.
J
J0
[L] = 1 dB Dezibel
L = 10 · lg[10]
J0 = 10−12
W
m2
Der Schallpegel ist der Zehnerlogarithmus eines Schallstärkeverhältnisses. J0 ist ungefähr die menschliche
Hörschwelle bei 1 kHz. Bei anderen Frequenzen kann man elektronische Filter verwenden (→ dB(A)), um
die Frequenzabhängigkeit unserer Hörempfindung zu simulieren.
Beispiel: Ein Signal hat die Schallstärke 2.4·10−4 W/m2 . Berechnen Sie den Schallpegel.
L = 10 · lg
J
2.4 · 10−4 W/m2
= 10 · lg
= 84 dB Dezibel
J0
10−12 W/m2
Beispiel: Was passiert mit dem Schallpegel, wenn der Abstand zur (kleinen) Schallquelle verdoppelt wird?
P
P
1
=
∝ 2
2
A 4πr
r
r2
J2
J1
J2
r1
1
L2 − L1 = 10 · lg − 10 · lg
= 10 · lg
= 10 · lg 12 = 20 · lg = 20 lg = −6.02 dB
J0
J0
J1
r2
2
r2
J=
Der Schallpegel nimmt sechs Dezibel ab, wenn der Abstand zur Quelle verdoppelt wird.
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97
Zerfallsgesetz
Kür
N(t) = N0 e−λ·t = N0 · 2−t/T1/2
⇒λ=
ln 2
T 1/2
Das Zerfallsgesetz beschreibt, wie die Anzahl Atome N(t) eines radioaktiven Nuklids (Isotops) in einer
Probe mit der Zeit abnimmt. N0 ist die Anzahl Mutterkerne zu Beginn des betrachteten Zeitraums, N(t) ist
der Erwartungswert zu einem späteren Zeitpunkt t. Die Stoffgrösse T 1/2 heisst Halbwertszeit; sie ist
tabelliert und ist gleich der Zeit, in der durchschnittlich die Hälfte eines anfangs vorhandenen Nuklids
zerfallen ist. Die Grösse λ heisst Zerfallskonstante. Manchmal wird an ihrer Stelle auch die Lebensdauer
τ = 1/λ verwendet.
1. Beispiel: Eine Probe enthält 7.5·1016 Strontium-90 Atome. Wie viele dieser Atome sind nach 20 Jahren
noch vorhanden? Sr-90 hat eine Halbwertszeit von 28.79 Jahren.
N(t) = N0 · 2−t/T1/2 = 7.5 · 1016 · 2−20 a/28.79 a = 4.6 · 1016
2. Beispiel: Wie lange muss man warten, bis nur noch 1.00 % des ursprünglich in der Probe vorhandenen
Cs-137 übrig ist?
N(t) = N0 · 2−t/T1/2 ⇒ t = −
T 1/2
N
30.1671 a
· log
=−
· log 0.0100 = 200 a
log 2
N0
log 2
Die Ursache der Radioaktivität ist der Zerfall instabiler Atomkerne gewisser Nuklide. Diese Atomkerne
wandeln sich unter Abgabe energiereicher (ionisierender) Strahlung in stabilere Atomkerne um. Die
wichtigsten Zerfallsarten sind α-, β- und γ-Zerfall. Beispiele:
α-Zerfall
β-Zerfall
γ-Zerfall
220
216
4
86 Rn → 84 Po +2 He
14
14
−
6C → 7 N + e
99m
99
43 Tc →43 Tc + γ
Beim Alphazerfall wird ein Alphateilchen (He-4 Atomkern) ausgestossen, beim Betazerfall ein
Betateilchen (Elektron) und beim Gamma-Übergang ein Gammateilchen (Photon). Beim Betazerfall gibt
es Varianten (Positronenemission, Elektroneneinfang).
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98
Pflicht
Aktivität
Kür
Die Aktivität A einer Probe ist gleich der Anzahl radioaktiver Zerfälle, die pro Zeit darin stattfinden. Aus
dem Zerfallsgesetz N(t) lässt sich die Aktivität der Probe berechnen.
∆N
dN(t)
=−
∆t
dt
A = λ · N(t)
A=
[A] = 1 s−1 = 1 Bq (Becquerel)
für ein einzelnes Nuklid
Beispiel: Wie gross ist die Aktivität von 1.0 mol Uran-238?
A=λ·N =
ln 2
ln 2 · 1.0 mol · 6.022 · 1023 mol−1
· nNA =
= 3.0 MBq
T 1/2
4.468 · 109 a · 3.157 · 107 s/a
Beispiel: 1.0 g Radium-226 hat eine Aktivität von 37 GBq. Berechnen Sie die Halbwertszeit.
ln 2 m
ln 2 m
·
⇒ T 1/2 =
·
T 1/2 ma
A ma
1a
ln 2 · 1.0 · 10−3 kg
= 4.99 · 1010 s ·
= 1.6 · 103 a
=
9
−27
37 · 10 Bq · 226.0 u · 1.661 · 10 kg/u
3.156 · 107 s
A=λ·N =
T 1/2
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99
Dosis
D=
Kür
E
m
[D] =
Energiedosis
J
= Gy
kg
Einheit: Gray
Die Energiedosis D ist die Energie E pro Masse m, die von ionisierender Strahlung in lebendem Gewebe
deponiert worden ist.
Beispiel: Ein ‘Standardmensch’ von 75 kg Masse weist eine Aktivität von etwa 5 kBq aufgrund von
natürlichem Kalium-40 auf. Schätzen Sie die daraus resultierende, jährliche Energiedosis ab.
Die Halbwertszeit von K-40 ist so gross, dass die Aktivität während eines Jahres nicht merklich abnimmt.
Beim radioaktiven Zerfall von K-40 wird laut Tabellenwerk (zu 90 %) Betastrahlung mit 1.311 MeV
Energie frei gesetzt. Ein Jahr dauert 3.156·107 s. Wenn wir annehmen, dass diese Energie im Körper
deponiert wird, folgt
E = NE1 = AtE1
D=
Die deponierte Energie ist die Anzahl Zerfälle mal die Energie eines Zerfalls
E AtE1 5 · 103 Bq · 3.156 · 107 s · 1.311 MeV · 1.6022 · 10−13 J/MeV
=
=
= 0.4 mGy
m
m
75 kg
In der Medizin wird ein Tumor mit 20-60 Gy bestrahlt.
Radioaktive Quellen senden Alpha-, Beta- oder Gammastrahlung aus, die selbst bei gleicher Energie
unterschiedlich gefährlich sind. Alphastrahlung besteht aus He-4 Kernen und ist rund 20 mal belastender
als Beta- oder Gammastrahlung. Betastrahlung besteht aus Elektronen. Gammastrahlung besteht aus
hochenergetischen Photonen. Der Unterschied wird durch einen Gewichtungsfaktor wR in der
Äquivalentdosis H berücksichtigt. Die Gewichtungsfaktoren (“Wichtungsfaktoren”, engl. weights) werden
durch statistische Auswertung von Strahlenunfällen festgesetzt und sind tabelliert.
H = wR D
[H] = Sv
Äquivalentdosis
Einheit: Sievert
Beispiel: Die mittlere Dosis aufgrund der Radonbelastung in der Schweiz beträgt 3.2 mSv in einem Jahr.
Nehmen Sie an, die Belastung erfolge ausschliesslich wegen des Zerfalls von Rn-222. Berechnen Sie die
dazu gehörende Energiedosis.
Radon-222 ist ein Alphastrahler. In einer Tabelle findet man, dass der Gewichtungsfaktor für
Alphastrahlung den Zahlenwert 20 hat.
D=
3.2 · 10−3 Sv
H
=
= 0.16 mGy
wR
20 Sv/Gy
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100
Masse-Energie Äquivalenz
Pflicht
“Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um ∆E , so ändert
sich die Masse in demselben Sinne um ∆E/c2 ” (A. Einstein, Annalen der Physik, 21. Nov. 1905, S. 314)
Die Masse (Trägheit) eines Körpers ist proportional zu dessen innerer Energie.
E = mc2
c: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
∆E = ∆m · c
2
Beispiel: Eine warme Bettflasche (1.0 kg Wasser bei 50 °C) kühlt auf 20 °C ab. Berechnen Sie die
Veränderung der Masse.
∆m =
∆E cw m(ϑ2 − ϑ1 ) 4182 J/(kg · K) · 1.0 kg · (20 − 50) °C
=
=
= −1.4 · 10−12 kg
c2
c2
(3.00 · 108 m/s)2
Alltägliche Energieumsätze sind nur mit geringen Masseänderungen verbunden.
Beispiel: Wie viel Energie in MeV wird frei, wenn vier Wasserstoffatome zu einem Heliumatom fusioniert
werden?
∆E = (4mH-1 − mHe-4 ) · c2
= (4 · 1.007 825 0 u − 4.002 603 3 u) · 931.49 MeV/u = 26.731 MeV
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101
Energie eines Photons
Pflicht
Ein Photon (Licht-Quant) trägt die Energie
E = hf
h = 6.626 068 96(33) · 10−34 J · s
wobei f die Frequenz der elektromagnetischen Strahlung und h das Planck’sche Wirkungsquantum ist.
Beispiel: Wie viel Energie trägt ein Photon der Strahlung in einem Mikrowellenofen? Die Frequenz der
Mikrowellen ist 2.4 GHz.
E = h f = 6.626 · 10−34 Js · 2.4 · 109 Hz = 1.6 · 10−24 J
Beispiel: Eine Natriumdampflampe sendet Licht der Wellenlänge 589 nm aus. Berechnen Sie die Energie
eines Photons dieser Strahlung.
E = hf =
hc 6.626 · 10−34 Js · 2.998 · 108 m/s
=
= 3.37 · 10−19 J = 2.10 eV
λ
589 · 10−9 m
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102
Photonenimpuls und Materiewellen
Kür
Nach Einstein hat ein Photon Impuls. Nach de Broglie haben Teilchen Welleneigenschaften.
p = h/λ
λ = h/p
Impuls eines Photons
Zu einem Materieteilchen gehörende Wellenlänge
Beispiel: Welchen Rückstoss (in m/s) erhält ein Natriumatom, wenn es ein Photon von Licht der
Wellenlänge 589 nm aussendet?
mυ = h/λ
υ=
Impulserhaltungsatz
h
6.626 · 10−34 Js
=
= 2.95 cm/s
m · λ 22.99 u · 1.661 · 10−27 kg/u · 589 · 10−9 m
Beispiel: Welche Wellenlänge gehört zu einem Elektron, das aus dem Stillstand mit einer elektrischen
Spannung von 300 V beschleunigt wurde?
W = eU = 12 mυ2 =
λ=
p2
2m
h
h
6.626 · 10−34 Js
= √
= p
= 7.1 · 10−11 m
−31
−19
p
2meU
2 · 9.109 · 10 kg · 1.6022 · 10 C · 300 V
Das Elektron im Beispiel zeigt gewisse Welleneigenschaften, aber es ist keine Welle im klassischen Sinn.
In der Quantenphysik wird das Elektron mit einer ‘Zustandsfunktion’ beschrieben, welcher eine Frequenz
respektive eine Wellenlänge zugeschrieben werden kann.
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103
Index
Äquivalentdosis, 100
Abbildungsgesetze, 93
Ableitung, 12, 14
actio=reactio, 23
adiabatisch, 66, 67
Aktionsprinzip, 22
Aktionsprizip, 40
Aktivität, 99
Alphastrahlung, 98, 100
Arbeit, 29, 47
Atmosphärendruck, 48
Auftrieb, 51
Avogadrokonstante, 61
Axiom, 22
Bahngleichung, 15
Beschleunigung, 14
Beschleunigungsprinzip, 22
Betastrahlung, 98, 100
Beugung, 96
Bewegungsgleichung, 22
Bezugssystem, 21
Bogenmass, 41
Boltzmannkonstante, 64
Brechungsgesetz, 92
Brennwert, 68
Broglie, de, 103
Carnot, 69
Coulombkraft, 72
Dezibel, 97
Dezimalvorsatz, 6
Diagramme, 11
Dichte, 18–20
Dosis, 100
Drehmoment, 44
Druck, 46
Druckarbeit, 47
Ebene, schiefe, 26
Effektivwert, 88
Einheit, 7
Einheit umwandeln, 37
Einheiten umwandeln, 13
Elektronvolt, 75
Elementarladung, 70
Energie, 30
Feder, 33
kinetisch, 31
potentiell, 32
Energiedosis, 100
Energiesatz, 34
Fadenpendel, 91
Fallbeschleunigung, 16
Federgesetz, 25
Federkraft, 25
Federpendel, 90
Feldkonstante, magnetische, 85
Feldstärke
elektrische, 73
magnetische, 83
Plattenkondensator, 74
formale Lösung, 9
Formelblatt, 1, 2
Frequenz, 41, 95
Gammastrahlung, 98, 100
Gas, ideales, 64
Gaskonstante, 64
Gastheorie, kinetische, 65
Geschwindigkeit, 12
Gewichtskraft, 24
Gleitreibungskraft, 27
Grösse, 5
Graphen, 11
Gravitationsfeldstärke, 16, 43
Gravitationsgesetz, 43
Gravizentrum, 24
Gray, 100
Grundgesetz der Mechanik, 22, 40
Haftreibungskraft, 28
Hauptsatz
erster, 66
zweiter, 69
Hebelgesetz, 45
Heizwert, 68
HSGYM, 4
Impuls, 38
Impulsfluss, 40
Impulssatz, 39
Induktionsgesetz, 87
Inertialsystem, 21
Integral, 12
Interferenz, 96
Isotop, 61
Keplersche Gesetze, 43
104
Kilowattstunde, 37
Kontinuitätsgleichung, 52
Kräfteplan, 22
Kraft
elektrische, 72
magnetische, 83, 84
Kreisfrequenz, 41
Längenausdehnung, 55
Ladungserhaltung, 71
Lageplan, 22
Leistung
Definition, 35
elektrische, 80
mechanische, 35
Lichtgeschwindigkeit, 95
Lorentzkraft, 84
Luft, 20
Luftwiderstand, 53
Magnetfeld
gerader Leiter, 85
Masse, 17
Masse, molare, 63
Masse-Energie Äquivalenz, 101
Masseneinheit, atomare, 62
Massenmittelpunkt, 38
Materiewellen, 103
Mol, 61
Newton, 22
Normalkraft, 26
Normdruck, 48
Nuklid, 61
Ohm
Einheit, 77
Gesetz 1, 78
Gesetz 2, 79
Ortsfaktor, 16
Parallelogrammregel, 22
Parallelschaltung, 82
Pendel, mathematisches, 91
Photon, 102
Photonenimpuls, 103
Physik, 3
Platzhalter, 8
Proportionalität, 25, 52
Radioaktivität, 98, 99
Reaktionsprinzip, 23
rechte-Hand-Regel, 83
Reflexionsgesetz, 92
Schallgeschwindigkeit, 95
Schallpegel, 97
schiefe Ebene, 26
Schlussformel, 9
Schnelligkeit, 12
Schweredruck, 49
Schwerpunkt, 24, 38
Schwerpunktsatz, 39
Schwingung, 89
Serieschaltung, 81
SI, 7
Sievert, 100
signifikante Stellen, 10
Sinuswelle, 94
Solarkonstante, 60
Solenoid, 86
Spannung, 75
Spannungsenergie, 33
Statik, 22, 26, 45
Staudruck, 50
Stefan-Boltzmann Gesetz, 59
Stoffmenge, 61
Strom, 76
Stromrichtung, technische, 76
Stromstärke
elektrische, 76
Temperatur, 54
Temperaturausdehnung, 55
Torricelli, 50
Trägheit, 17
Trägheitsprinzip, 21
Treffpunkt, 15
Umlaufzeit, 41
units, 62
Variable, 8
Verbrennungswärme, 68
Wärme
Joulesche, 80
latente, 57
sensible, 56
Wärmeausdehnung, 55
Wärmekapazität, 56
Wärmeleitung, 58
Wärmestrahlung, 59
Wärmestrom, 58
Wärmestromdichte, 58
Wasser, 19
Wechselspannung, 88
Welle, harmonische, 94
Wellengeschwindigkeit, 95
105
Wellenlänge, 95
wesentliche Ziffern, 10
Widerstand
absoluter, 77
spezifischer, 79
Winkelgeschwindigkeit, 41
Wirkungsgrad, 36, 69
Wirkungslinie, 44
Zahlenschreibweise, wissenschaftliche, 6
Zentripetalbeschleunigung, 42
Zerfallsgesetz, 98
Zustandgleichung, 64
Zylinderspule, 86
106