Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen 274 13. Geometrie

Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
13.
Geometrie mit Geraden und Ebenen
13.1
Geraden- und Ebenengleichungen
13.1
Geradengleichungen
Ist A ein Punkt des Anschauungsraumes mit Ortsvektor , dann ist eine Gerade g durch diesen Punkt
bestimmt durch eine vom Punkt aus gesehene Richtung; diese Richtung wird durch einen Vektor, den
Richtungsvektor der Geraden, dargestellt.
Def:
(Punkt-Richtungsform der Geradengleichung)
Legt man eine Gerade g im Raum durch zwei Punkte fest, wählt einen der beiden als Aufpunkt und den
Verbindungsvektor der beiden Punkte als Richtungsvektor, dann erhält man eine zur Punkt-Richtungsform
verwandte Form der Geradengleichung.
Def:
(Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung)
Eine Geradengleichung zur Geraden g mit
Form der Geradengleichung.
nennt man Zwei-Punkte-
Beisp: (Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung)
Bestimme die Gleichung der Geraden g durch A (2/3/-1) und B(1/1/1)!
Beisp: (Die Geradengleichungen der Koordinatenachsen)
Die x-Achse (x1-Achse) ist bestimmt durch die beiden Punkte O(0,0,0) und A(1,0,0).
274
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Für die beiden anderen Achsen erhält man demnach analog:
Beisp: (Prüfung, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen)
Um zu untersuchen, ob A(1 / 2/ 0), B(2/ -1/ 3) und C(-3/ 4/ 5) auf einer Geraden liegen, prüft man,
ob C auf der Geraden gAB durch die beiden Punkte A und B liegt.
Wenn der Punkt C auf g läge, dann müsste sein Ortsvektor die Geradengleichung erfüllen; der
Ansatz zur Prüfung lautet:
Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem mit widersprüchlichen Lösungen für 8:
Die Annahme, C läge auf gAB, hat damit zu einem unstimmigen Ergebnis geführt; folglich liegt der
Punkt C nicht auf gAB.
Die Zwei-Punkte-Gleichungsform und die Punkt-Richtungs-Gleichungsform nennt man Parameterformen
der Geradengleichung; die üblicherweise mit griechischen Buchstaben bezeichneten Faktoren vor den
Richtungsvektoren, im obigen Beispiel ist es die Zahl 8, heißen Parameter der Gerade. Zwischen den
einzelnen Punkten der betreffenden Gerade und den Parametern besteht eine eindeutige Beziehung: Jedem
Parameter-Wert entspricht genau ein Geradenpunkt. Unterwirft man also den Parameter gewissen
Beschränkungen, dann erhält man eine Beschreibung von Teilstücken der Gerade.
Beisp: (Teilstück einer Koordinatenachse)
Die Menge aller Punkte X mit Ortsvektor
beschreibt den positiven Zweig der x2-Achse einschließlich des Ursprungs, weil "2$0 für alle " , ú.
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Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Beisp: (Teilstück einer Gerade)
Mit Hilfe der Ortsvektoren zweier Punkte A und B werden die Ortsvektoren von Punkten X
beschrieben:
Da "2-1$-1 identifiziert man die in der folgenden Zeichnung angedeuteten Punkte X:
Beisp: (Zusammenhang zwischen Geradengleichungen verschiedenen Typs)
Im zweidimensionalen Raum ist die Verbindung zwischen den Geradengleichungen der Analysis in
der Form g: y = mx + b und der Betrachtungsweise der analytischen Geometrie leicht herzustellen:
Von der Darstellung der Analysis ...
... zur Darstellung der analytischen Geometrie
y=mx+b
Man liest einfach aus der Zeichnung ab:
g:
Von der Darstellung der analytischen Geometrie ...
... zur Darstellung der Analysis
g:
m=
Also g: y =
x+b
Setze dann A( a1 / a2 ) ein, um b zu bestimmen
Geraden lassen sich auch in einer parameterfreien Form darstellen. Man veranschaulicht sich dazu, dass
genau all diejenigen Punkte X auf einer Gerade g mit Richtungsvektor und Aufpunkt A liegen, für die der
Vektor
in die selbe Richtung zeigt wie , für die also
und linear abhängig sind. Formuliert man
diese lineare Abhängigkeit mit Hilfe des Vektorproduktes, ergibt sich die folgende parameterfreie
Darstellung einer Geradengleichung.
Def:
(Plücker-Form der Geradengleichung)
Mit X bzw. mit dessen Ortsvektor sei ein beliebiger Punkt einer Gerade g bezeichnet; mit A
ihr Aufpunkt, mit dessen Ortsvektor, mit schließlich der Richtungsvektor von g.
Die Geradengleichung
g:
heißt Plücker-Form der Geradengleichung.
276
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
13.2
Ebenengleichungen in Parameterform
Bei zur Herleitung der Geradengleichungen analoger Vorgehensweise beschreibt man eine Ebene e im Raum
durch einen Aufpunkt A sowie zwei “unterschiedliche” Richtungen. Genauer formuliert bedeutet diese
Unterschiedlichkeit so: Die Richtungsvektoren müssen linear unabhängig sein.
Def:
(Punkt-Richtungsform der Ebenengleichung)
Die Menge e aller Punkte X mit Ortsvektor und der Eigenschaft
heißt Ebene e durch den Aufpunkt A (zugehöriger Ortsvektor
und . Man schreibt kurz:
) mit den Richtungsvektoren
Diese Gleichung heißt Punkt-Richtungsform der Ebenengleichung.
Eine Ebene im Raum ist auch durch drei Punkte festlegbar, sofern diese nicht auf einer gemeinsamen
Geraden liegen.
Def:
(Drei-Punkte-Form der Ebenengleichung)
Eine Ebenengleichung zur Ebene e mit
nennt man Drei-Punkte-Form der Ebenengleichung.
Es folgen Beispiele zu den bisher genannten Typen von Ebenengleichungen:
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Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Beisp: (Ermitteln einer Ebenengleichung; Prüfen, ob ein Punkt in der Ebene liegt)
Bestimme die Gleichung der Ebene e durch A(2/1/1), B(1/0/4) und C(2/2/2)! Liegt der Punkt
P(1/-1/1) in e?
Die Ebenengleichung lautet:
Man prüft mit folgendem Ansatz, ob P in e liegt:
Die Auswertung der ersten und zweiten Gleichung liefert Lösungen für 8 und ::
Das unbedingt notwendige Einsetzen in die dritte Gleichung bestätigt das Ergebnis; also liegt P in e.
Beisp: (Die Koordinatenebenen)
Die Gleichung der x1-x2-Ebene e12 , die durch die x1-Achse und die x2-Achse aufgespannt wird, ist
bestimmt durch die drei Punkte O(0/0/0), A(1/0/0) und B(0/1/0); ihre Gleichung
Analog findet man für die anderen Koordinatenebenen:
Wie man bei Geradengleichungen Werten des Parameters eindeutig Geradenpunkten zuordnen konnte, so
kann man auch den in den genannten Ebenengleichungen auftretenden Parameterpaaren (8, :) eindeutig mit
zugehörigen Ebenenpunkten identifizieren. Durch Manipulation an den Parametern gelingt es - vergleichbar
mit dem Vorgehen bei Geradenstücken - auch hier, Punktmengen, die Teilmenge der Ebene sind, zu
beschreiben.
Beisp: (Beschreibung eines Parallelogramms in der Ebene)
Sind A, B und C drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, dann hat die durch diese drei Punkte
festgelegte Ebene e, die Gleichung
Für 0 # ", $ # 1 erhält man dann die Punkte einer Parallelogrammfläche, deren Ecken A, B, C, D
278
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
eindeutig durch Parameterwerte beschrieben sind.
Man erkennt am Beispiel, dass die Parameter der Ebene als Koordinaten verwendet werden können; diese
Koordinaten sind ebenenspezifisch und haben mit den Koordinaten, die gerade im Anschauungsraum aktuell
sind, unmittelbar nichts zu tun. Man kann mit diesen neuen Koordinaten arbeiten und etwa versuchen, damit
in der Ebene liegende Geraden und Strecken näher zu beschreiben.
Beisp: (Parameter von Ebenenpunkten, die eine Gerade bilden)
Bei der Beschäftigung mit Geradengleichungen im üblichen zweidimensionalen Koordinatensystem
beschreibt man die erste Winkelhalbierende durch die Gleichung y = x; analog formuliert man für
die Verbindungsgerade AD (siehe oben), denen die Parameterwerte (", $) = (0, 0) und (", $) = (1,1)
zugeordnet sind, die Geradengleichung " = $, wenn man - im Vergleich mit gewohnten
Bezeichnungen - AC als “y-Achse” und AB als “x-Achse” ansieht. Für die Verbindung von (0,1)
und (1,0) findet man entsprechend $ = 1-" ] "+$ = 1 und hat damit die Gerade BC beschrieben.
Arbeitet man mit diesen Ergebnissen weiter, dann werden zum Beispiel Punkte des Dreiecks BCD
beschreibbar durch folgende Parameterwerte von " und $:
0#"# 1 v 0#$#1 v $ $1-"
13.3
]
0#"# 1 v 0#$#1 v "+$ $ 1
Ebenengleichungen in Normalenform
Zur Herleitung weiterer gängiger Ebenengleichungen wird der Begriff des Normalenvektors benötigt.
Def:
(Normalenvektor)
Ein Vektor
heißt Normalenvektor einer Ebene e, wenn er zur Ebene senkrecht steht. Das
bedeutet für alle Ebenenpunkte A, B:
, also
Natürlich hat eine Ebene unendlich viele Normalenvektoren gleicher Richtung, aber unterschiedlicher Länge.
Mit Hilfe eines Normalenvektors zu einer Ebene e zusammen mit den Koordinaten eines Aufpunktes A
dieser Ebene kann man alle Ebenenpunkte X genau beschreiben, wenn man berücksichtigt, dass nur für
Punkte X der Ebene der Verbindungsvektor von A und X und der Normalenvektor zueinander senkrecht
stehen, für Punkte außerhalb der Ebene aber nicht.
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Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Def:
(Punkt-Normalen-Form der Ebenengleichung)
Ist ein Vektor
Normalenvektor einer Ebene e und ist A irgendein Ebenenpunkt, dann lautet
die Punkt-Normalenform der Ebenengleichung zur Beschreibung der Ebenenpunkte X mit
Ortsvektor :
Durch einfache Umrechnungen gelangt man von der Punkt-Normalengleichung der Ebene zu zwei weiteren
Ebenengleichungsformeln, der allgemeinen Normalenform der Ebenengleichung und der Koordinatenform
der Ebenengleichung; beide Formen werden zunächst am Beispiel, dann per Definition erklärt.
Beisp: (Punkt-Normalenform, allgemeine Normalenform, Koordinatenform der Ebenengleichung)
Gegeben sind ein Punkt A und ein Normalenvektor einer Ebene e:
Die Punkt-Normalengleichung dieser Ebene lautet:
Multipliziert man das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Ortsvektor des Aufpunktes
aus, erhält man die allgemeine Normalenform der Ebenengleichung.
Multipliziert man auch das letzte verbleibende Skalarprodukt aus, erhält man die Koordinatenform
der Ebenengleichung:
280
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Def:
(Allgemeine Normalenform der Ebenengleichung)
Ist Normalenvektor einer Ebene e, und ist d 0 ú, dann lautet die allgemeine Normalenform
der Ebenengleichung zur Beschreibung der Ebenenpunkte X mit Ortsvektor durch:
Für die Koordinatenform findet man:
Def:
(Koordinatenform der Ebenengleichung)
Ist
Normalenvektor zu einer Ebene e, und ist d 0 ú, dann lautet die Koordinatenform
der Ebenengleichung zur Beschreibung aller Ebenenpunkte X mit Ortsvektor
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 - d =0
Ein Beispiel verdeutlicht die Bedeutung der Normalenformen der Ebenengleichungen.
Beisp: (Symmetrieebene zu zwei Punkten)
Bestimme eine Gleichung der Ebene e, die zu den Punkten A(1/ 2/ 1) und B(-1/0/3) symmetrisch
liegt!
Der Zeichnung entnimmt man den Lösungsplan: Der Verbindungsvektor zwischen den Punkten A
und B ist Normalenvektor der gesuchten Ebene, der Mittelpunkt M der Strecke AB ist ein
Ebenenpunkt; damit ist die Ebenengleichung in Punkt-Normalenform ermittelbar. Von dort aus ist
die allgemeine Normalenform leicht zu errechnen. Die zugehörige Rechnung lautet:
Wenn eine Ebene über eine Normalengleichung angegeben ist, dann hat man es besonders leicht, sich einen
zeichnerischen Eindruck ihrer Lage zu verschaffen, wenn man die Schnittpunkte der Ebene mit den
281
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Koordinatenachsen berechnet. Diese Hilfsrechnung kann man im Kopf erledigen, wenn man berücksichtigt,
dass für Punkte der x1-Achse x2=x3=0, für Punkte der x2-Achse x1=x3=0 und für Punkte der x3-Achse ist
x1=x2=0 gilt.
Beisp: (Zeichnerische Darstellung einer Ebene in Normalenform)
Gegeben ist eine Ebene e über ihre Koordinatengleichung. e: 3x1 + 2x2 - x3 = -6
Man ermittelt die Schnittpunkte P, Q und R von e mit den Koordinatenachsen durch:
P = e 1 x1-Achse:
Q = e 1 x2-Achse:
R = e 1 x3-Achse:
3x1 + 2@0 - 0 = -6 Y P(-2/0/0)
3@0 + 2x2 - 0 = -6 Y Q(0/-3/0)
3@0 + 2@0 - x3 = -6 Y R(0/0/6)
Die zeichnerische Darstellung deutet den Verlauf der Ebene an:
Alle Ebenengleichungsformen, die wir bis hierher kennen gelernt haben, ob es sich um
Parametergleichungen oder um Normalengleichungen handelt, haben einen Nachteil gemeinsam: Sie sind
nicht eindeutig, weil die Richtungsvektoren in den Parameterformen und die Normalenvektoren in den
Normalenformen in ihrer Länge nicht festgelegt sind und die Normalenvektoren zum Ursprung hin oder
davon weg zeigen können.
Um diesem Mangel abzuhelfen, wollen wir nun eine Form der Ebenengleichung in Normalenform kennen
lernen, die sich dadurch von den anderen unterscheidet, dass sie eindeutig ist. Dazu wird der Normalenvektor
auf die Länge 1 gebracht und vom Ursprung zur Ebene zeigend orientiert. Die rechnerischen Einzelheiten
dieses Vorganges entnimmt man den folgenden Ausführungen:
Def:
(HESSE-Normalenform der Ebenengleichung)
Eine Normalengleichung einer Ebene e, für die ein Normalenvektor der Länge 1 so gewählt ist,
dass er vom Ursprung zur Ebene zeigt, heißt HESSE-Normalenform der Ebenengleichung. Man
schreibt in Formeln:
Beisp: (HESSE- Normalenform der Ebenengleichung)
Gegeben sind zwei Ebenen e1, e2, die jeweils in HESSE-Normalenform dargestellt werden sollen,
durch
282
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Für e1 erhält man die HESSE-Normalenform aus der vorgegebenen allgemeinen Normalenform,
indem man ihre Gleichung durch die Länge des Normalenvektors dividiert:
Bei der Umformung von e2 ist außerdem zu berücksichtigen, dass d=-3, also negativ ist; folglich teilt
man die in allgemeiner Normalenform vorgegebene Ebenengleichung durch die Gegenzahl der Länge
des Normalenvektors:
Die Übertragung des Konzeptes der Normalengleichung für Ebenen im dreidimensionalen Raum ú3 auf den
zweidimensionalen Raum ú2 führt zur Normalengleichung von Geraden in ú 2, selten genutzt, aber zum
Beispiel für die Berechnung spezieller Abstandsprobleme in der Ebene nützlich.
Beisp: (Normalengleichung von Geraden im zweidimensionalen Raum ú2)
Eine Gerade der Form g: y = m x + b lässt sich, wie wir weiter oben gesehen haben, in
Vektorschreibweise darstellen:
Ein Normalenvektor zu g ist zum Beispiel
Normalengleichungen dieser Gerade sind:
In Punktnormalenform
g:
In allgemeiner Normalenform
g:
In Hesse-Normalenform
g:
In Koordinatenform
g: - m x1 + x2 - b = 0 ] x2 = m x1 + b
Diese Gleichung ist in anderer Schreibweise wieder gleich zu
g: y = m x + b
283
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
13.4
Umrechnung von Ebenengleichungen
a)
Von den Parameterformen zu Normalenformen der Ebenengleichung
Ist eine Ebene e in Parameterform angegeben, dann ermittelt man eine Normalengleichung von e über die
Punkt-Normalenform, wozu aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren von e der
Normalenvektor ermittelt und der Aufpunkt der Ebene eingerechnet wird.
Beisp: (Umformung von der Punkt-Richtungsform in die allgemeine Normalenform)
Gegeben ist eine Ebene e in Punkt-Richtungsform durch
Wir errechnen den Normalenvektor und mit dessen Hilfe die Ebenengleichung in PunktNormalenform und anschließend in allgemeiner Normalenform.
b)
Von den Normalenformen zu den Parameterformen der Ebenengleichung
Man gelangt von den Normalenformen zu den parameterabhängigen Formen der Ebenengleichung dadurch,
dass man drei Punkte der Ebene identifiziert, die nicht auf einer Geraden liegen, und diese in die
Drei-Punkte-Form der Ebenengleichung einsetzt. Häufig kann man die genannten drei Punkte über die
Koordinatenform der Ebenengleichung einfach ermitteln.
Beisp: (Umformung von der allgemeinen Normalenform in die Punkt-Richtungsform)
Gegeben ist eine Ebene e in allgemeiner Normalenform, beziehungsweise Koordinatenform, durch:
Der Einfachheit halber wählt man drei Punkte von e, bei denen möglichst viele Koordinaten 0
ergeben, hier etwa: A(2/0/0), B(0/4/0), C(0/0/-4). Damit erhält man:
13.5
Die Lage von Geraden und Ebenen im Raum
Wir wollen nun die verschiedenen erarbeiteten Darstellungen von Geraden und Ebenen dazu nützen, die
Lage von Geraden und Ebenen im Raum zu untersuchen.
284
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
13.5.1 Die möglichen Lagen zweier Geraden im Raum
Die folgende Tabelle gibt Auskunft über mögliche Lagen zweier Geraden g1 und g2 mit
Gleichzeitig gibt die Übersicht zugehörige Rechenmethoden an die Hand.
Geometrische Lage
in Zeichen
Rechnerisches Kriterium
g1 und g2 sind parallel.
g1 2g2
Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander.
g1 und g2 sind gleich.
g1=g2
g1 2 g2 und der Aufpunkt von g1 liegt auf g2.
g1 und g2 schneiden sich in
einem Punkt P.
g1 1 g2 = {P} Das Gleichsetzen der Geradengleichung liefert genau eine
Lösung.
g1 und g2 sind windschief.
g1 1 g2 = {} v Keiner der zuvor genannten Fälle trifft zu.
g1 ï g2
(nicht parallel, ohne Schnittpunkt)
Beisp: (Lage von Geraden im Raum)
Gegeben sind vier Geraden:
g1 und g3 verlaufen ebenso wie g2 und g4 jeweils parallel zueinander, denn:
g1 und g3 sind sogar gleich, weil zusätzlich der Aufpunkt von g3 auf g1 liegt, denn:
g2 und g4 sind dagegen parallel aber nicht gleich, weil der Aufpunkt von g2 nicht auf g4 liegt, denn
das entsprechende Gleichungssystem liefert widersprüchliche Lösungen:
g1 und g2 sind nicht parallel, weil ihre Richtungsvektoren nicht Vielfache voneinander sind; Sie
haben den Schnittpunkt S(3/3/1), der sich nach folgender Rechnung ergibt:
285
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
g1 und g4 sind windschief, denn sie verlaufen nicht parallel, weil die Richtungsvektoren nicht
Vielfache voneinander sind, und weisen auch keine gemeinsamen Punkte auf, wie die
widersprüchlichen Ergebnisse der folgenden Rechnung belegen.
13.5.2 Die möglichen Lagen einer Gerade und einer Ebene im Raum
Die folgende Tabelle gibt Auskunft über mögliche Lagen einer Geraden g zu einer Ebene e, welche in
allgemeiner Normalenform vorgegeben ist. Deren Gleichungen lauten:
Gleichzeitig informiert die Übersicht über die zugehörigen Rechenmethoden.
Geometrische Lage
in Zeichen
g und e sind parallel.
e 2g
Die Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der
Gerade stehen senkrecht zueinander; ihr Skalarprodukt ergibt 0.
g liegt in e.
gde
g 2 e und der Aufpunkt von g liegt in e.
g und e schneiden sich
in einem Punkt P.
g1 1 e = {P}
Rechnerisches Kriterium
Die Einsetzung der Geradengleichung in die Ebenengleichung liefert genau eine Lösung.
Beisp: (Lage von Geraden und Ebenen im Raum)
Gegeben sind drei Geraden und eine Ebene durch:
g1 und g2 sind jeweils parallel zu e, g3 ist nicht parallel zu e denn
Die Gerade g2 liegt sogar ganz in e, denn zusätzlich liegt ihr Aufpunkt in e; die Gerade g1 verläuft
dagegen echt parallel zu e, weil ihr Aufpunkt nicht in e liegt, denn:
286
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
g3 hat mit e einen Schnittpunkt, den man ermittelt, indem man die Geradengleichung in die
Ebenengleichung einsetzt.
Setzt man das gefundene ( in die Geradengleichung ein, ergibt sich der Schnittpunkt S der Gerade
g3 mit der Ebene e:
Beisp: (Spurpunkte)
Gegeben ist die Gerade g durch
Wir berechnen die Schnittpunkte von g mit den Koordinatenebenen, also jeweils den Schnittpunkt
von g mit der x-y-Ebene, der x-z-Ebene oder der y-z-Ebene. Diese Punkte nennt die Spurpunkte der
Gerade.
Die Gleichungen der Koordinatenebenen lauten in allgemeiner Normalenform:
Damit errechnen sich die drei Spurpunkte Sxy, Sxz und Syz wie folgt:
287
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
13.5.3 Die möglichen Lagen zweier Ebenen im Raum
Die folgende Tabelle gibt Auskunft über mögliche Lagen zweier Ebenen e1 und e2; gleichzeitig werden die
zugehörigen Rechenwege angedeutet.
Geometrische Lage
in Zeichen Rechnerisches Kriterium
e1 und e2 sind parallel.
e1 2e2
Die Normalenvektor der beiden Ebenen sind Vielfache
voneinander.
e1 und e2 sind gleich.
e1 = e2
e1 2 e2 und ein Punkt von e1 liegt in e2.
e1 und e2 schneiden sich in
einer Gerade g.
e1 1 e2 = g Die Einsetzung einer Ebenengleichung in Punkt-RichtungsForm in die zweite in allgemeiner Normalenform führt zur Gleichung der Schnittgerade.
Beisp: (Lage von Ebenen im Raum)
Gegeben sind vier Ebenen e1, e2, e3 und e4 durch:
Wir ermitteln die Normalenvektoren, um eventuell Parallelitäten erkennen zu können.
Also erfüllen je zwei der Ebenen e1, e3 und e4 das Parallelitätskriterium, sind also alle untereinander
parallel; die Ebene e2 jedoch ist zu keiner der anderen parallel.
Ein ausgewählter Punkt auf e3 ist P(0/0/3); dieser Punkt liegt auch auf e1; also sind e1 und e3 gleich.
Dagegen sind e1 und e4 nicht gleich, sondern echt parallel, weil der Aufpunkt A4(3/0/0) von e4 nicht
in e1 liegt. Die zugehörigen Rechnungen lauten:
Das Beispiel wird abgeschlossen von der Berechnung der Schnittgeraden von e1 und e2; dazu wird
die Gleichung von e2 in die von e1 eingesetzt.
288
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Das gefundene 8 wird in die Gleichung von e2 eingesetzt; nach einigen sortierenden Umformungen
erhält man daraus die gesuchte Gleichung der Schnittgerade g.
Beisp: (Spurgerade)
Gegeben ist die Ebene e und die Koordinatenebene exy durch:
Gesucht ist die Schnittgerade g von e mit der angegebenen Koordinatenebene, die man Spurgerade
von e in der x-y-Ebene nennt.
13.6
Einige geometrische Grundaufgaben
a)
Das Lot von einem Punkt auf eine Ebene
Man fällt das Lot von einem Punkt P auf eine Ebene e nach folgender Anweisung:
-
Bilde diejenige Lotgerade l, deren Richtungsvektor gleich dem Normalenvektor der Ebene
und deren Aufpunkt P ist.
-
Errechne den Lotfußpunkt L als Schmitt von l mit e.
Die Zeichnung gibt weitere Auskunft über den geometrischen Sachverhalt:
289
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Beisp: (Lot von einem Punkt auf eine Ebene)
Gegeben sind ein Punkt P und eine Ebene e durch P(2/1/-5) und e: -2x1 - x2 + 3x3 = 8
Wir fällen das Lot von P auf e nach der Anweisung oben:
b)
Der Spiegelpunkt eines Punktes an einer Ebene
Den Spiegelpunkt P’ eines Punktes P an einer Ebene e erhält man, wenn man den Lotfußpunkt L
von P auf e bereits gefunden hat, so: Der Lotfußpunkt L mit Ortsvektor ist Mittelpunkt der
Verbindungsstrecke von P und P’; also ist:
Die Zeichnung stellt den Zusammenhang graphisch dar:
Beisp: (Spiegelung eines Punktes an einer Ebene)
Wir nehmen das Beispiel zur Bestimmung des Lotfußpunktes wieder auf und berechnen den
Spiegelpunkt P’ des Punktes P(2/1/-5) an der Ebene e mit e: -2x1 - x2 + 3x3 = 8 .
Der Lotfußpunkt L(-2/-1/1) ist bereits oben berechnet worden; mit Hilfe seines Ortsvektors und dem
Ortsvektor von P berechnen wir P’ durch seinen Ortsvektor:
290
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
c)
Die orthogonale Projektion einer Geraden in eine Ebene
Man muss zur Berechnung der senkrechten Projektion g’ einer Gerade g in eine Ebene e zwei
grundsätzlich verschiedene Lagen zwischen Geraden und Ebenen berücksichtigen.
-
Schneiden sich g und e in einem Punkt S, dann ist S gemeinsamer Punkt von e, g und g’.
Zur Ermittlung der Gleichung von g’ benötigt man einen zweiten Punkt T, der auf g’ liegt;
diesen ermittelt man, indem von irgendeinem Geradenpunkt P, der nicht gleich S sein darf,
das Lot in e fällt.
-
Verlaufen e und g parallel, dann besitzen g und g’ die gleiche Richtung. Zur Ermittlung
der Punkt-Richtungsform der Geradengleichung von g’ benötigt man noch einen Punkt
von g’, den man findet, wenn man von irgendeinem Punkt auf g, zum Beispiel vom
Aufpunkt, das Lot in e fällt.
Die entsprechenden Zeichnungen findet man in den folgenden Beispielen.
Beisp: (Projektion einer Gerade in eine Ebene, wenn Gerade und Ebene sich schneiden)
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene e durch:
Gesucht ist die Projektion von g in e.
Zur Lage: g und e verlaufen hier nicht parallel, denn der Normalenvektor von e und der
Richtungsvektor von g sind nicht zueinander senkrecht, weil ihr Skalarprodukt nicht gleich 0 ergibt:
Die Aufgabe hat also nebenstehende graphische Darstellung:
Wir bestimmen zunächst S:
Ein von S verschiedener Geradenpunkt auf g ist zum Beispiel P(2/2/3), den man erhält, wenn man in
der Geradengleichung von g :=1 setzt. Das Lot von P in e liefert, unter Zuhilfenahme der Lotgerade
l, den Lotfußpunkt T:
Also
291
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Die gesuchte Gerade g’ erhält man als Verbindung von S und T:
Beisp: (Projektion einer Gerade in eine Ebene, wenn Gerade und Ebene parallel verlaufen)
Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene e durch:
g und e sind hier parallel, denn der Normalenvektor von e steht zu dem Richtungsvektor von g
senkrecht, weil ihr Skalarprodukt 0 ergibt:
Also stellt sich die Aufgabe graphisch so dar:
Die gesuchte Gerade g’ hat den gleichen Richtungsvektor wie g;
zu berechnen ist also nur noch der Aufpunkt L von g’, der sich
ergibt, wenn mit Hilfe der Lotgeraden l vom Aufpunkt P(-2/1/1)
der Geraden g das Lot in die Ebene e gefällt wird:
Damit ergibt sich die gesuchte Projektionsgerade:
d)
Die Spiegelung einer Gerade an einer Ebene
Analog zur Aufgabe “Senkrechte Projektion einer Gerade in eine Ebene” unterscheiden wir zwei
Fälle:
292
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
-
Falls die zu spiegelnde Gerade g und die Ebene e sich schneiden, ist S gemeinsamer Punkt
der Geraden g, der Ebene e und der Spiegelgeraden g'. Einen weiteren Punkt von g’ findet
man, wenn ein Punkt P auf g, der nicht gleich S ist, an e in einen Punkt P’ gespiegelt wird.
g’ ergibt sich dann als Verbindungsgerade von P’ und S.
-
Falls die zu spiegelnde Gerade g und die Ebene e parallel verlaufen, weisen g und die
Spiegelgerade g’ die gleiche Richtung auf. Einen Aufpunkt für g’ findet man, wenn man
einen Punkt von g, zum Beispiel den Aufpunkt, an e in einen Punkt P’ spiegelt.
Wir greifen in den beiden folgenden Beispielen die obigen Aufgaben zur Projektion einer Gerade in
eine Ebene wieder auf:
Beisp: (Spiegelung einer Gerade an einer Ebene, wenn Gerade und Ebene sich schneiden)
Eine Gerade g und eine Ebene e sind gegeben:
Gesucht ist die Spiegelgerade g’ von g an e entsprechend der Zeichnung oben.
Wir haben früher bereits festgestellt, dass sich g und e im Punkt S(-1/3/0) schneiden; auch der
Lotfußpunkt T des Lotes vom gewählten Punkt P(2/2/3) in e ist bereits berechnet. Damit ergibt sich
der Spiegelpunkt P’ von P an e durch die Berechnung seines Ortsvektors, die Gleichung der
Spiegelgerade g’ als Verbindung von P’ und S:
Beisp: (Spiegelung einer Gerade an einer Ebene, wenn Gerade und Ebene parallel verlaufen)
Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene
Gesucht ist die Spiegelgerade g’ von g an e.
g und e sind, wie wir oben schon festgestellt haben, parallel. Also stellt sich die Aufgabenstellung
graphisch so dar:
Die gesuchte Gerade g’ hat den gleichen Richtungsvektor wie g; es ist also nur noch ein Aufpunkt
von g’, etwa der Spiegelpunkt P’ von P an e zu errechnen. Der Ortsvektor von P’ lässt sich aus dem
Ortsvektor von P und dem Ortsvektor des oben schon ermittelten Lotfußpunktes L des Lotes von P
auf e errechnen. Also:
293
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
e)
Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade
Sind g und P gegeben, dann nimmt man zur Ermittlung des Lotfußpunktes L eine Ebene e zur
Hilfe, die senkrecht zu g ist und P enthält. Man erhält die Gleichung von e über die PunktNormalenform der Ebenengleichung, wenn man als Normalenvektor von e den Richtungsvektor
von g und P als erforderlichen Punkt annimmt. L erhält man dann als Schnittpunkt von e und g.
Das folgende Beispiel bezieht sich auf das hier in der Theorie erläuterte Verfahren:
Beisp: (Lot eines Punktes auf eine Gerade)
Gegeben sind ein Punkt P und eine Gerade g durch:
Bestimme das Lot - man sagt auch: die Projektion - von P in g!
f)
Der Spiegelpunkt eines Punktes an einer Geraden
Ist der Lotfußpunkt L des Lotes von einem Punkt P auf eine Gerade g bereits berechnet,
dann erhält man die Koordinaten des Spiegelpunktes P’ von P an g so, wie man in
vergleichbarer Situation Spiegelpunkte an Ebenen berechnet hat: Der Ortsvektor von P’
ergibt sich aus den Ortsvektoren von P und L durch:
In Erweiterung des Beispiels “Lot eines Punktes auf eine Gerade” rechnet man also:
294
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Beisp: (Spiegelpunkt eines Punktes an einer Gerade)
Errechne den Spiegelpunkt P’ des Punktes P an g mit den Koordinaten
Der Lotfußpunkt L(3/2,5/-2,5) ist bereits im vorangegangenen Beispiel berechnet. Daraus ergibt sich
der Ortsvektor von P’ und damit P’ selbst:
13.7
Abstandsberechnungen
Die Grundprobleme der Abstandsberechnung zwischen Punkten, Geraden und Ebenen sind:
1.
2.
Die Berechnung des Abstandes zweier Punkte
Die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene
Andere Abstandsprobleme zwischen Punkten, Geraden und Ebenen werden auf die Lösung dieser
Aufgaben zurückgeführt.
a)
Der Abstand zweier Punkte
Wie man den Abstand zweier Punkte P und Q mit Hilfe ihrer Ortsvektoren errechnet, haben wir
bereits bei der Untersuchung des Skalarproduktes herausgefunden:
b)
Der Abstand eines Punktes von einer Ebene
Der Abstand d(P,e) eines Punktes P von einer Ebene e ist durch folgende Konstruktion
bestimmbar: Ermittle den Lotfußpunkt L des Lotes von P auf e und rechne d(P,e) = d(P,L) .
Beisp: (Abstand eines Punktes von einer Ebene)
Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene e mit:
Wir berechnen den Lotfußpunkt L als Schnitt der Ebene e und der Gerade l, welche durch P und
senkrecht zu e verläuft und mit dessen Hilfe den gewünschten Abstand.
295
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Aus dem im Beispiel verwendeten konstruktiven Verfahren lässt sich eine Formel zur Berechnung
des Abstandes eines Punktes von einer Ebene ermitteln, wenn man den Vorgang theoretisch
nachvollzieht, wie es der Beweis des folgenden Satzes zeigt.
Satz: (Abstand eines Punktes von einer Ebene)
Ist eine Ebene e in allgemeiner Normalenform gegeben durch
dann berechnet man den Abstand d(P,e) von e zu P (Ortsvektor ) durch:
,
Bew:
Wir vergleichen die ermittelte Formel zur Berechnung des Abstandes eines Punktes P von einer
Ebene e mit der HESSE-Normalengleichung dieser Ebene:
296
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Man stellt erhebliche Ähnlichkeiten zwischen dem Term auf der linken Seite der HESSE-Gleichung
und der ermittelten Formel fest; daraus ergibt sich folgende Faustregel zur Berechnung des
Abstandes zwischen einer Ebene e und einem Punkt P:
Setze in den Term der linken Seite der HESSE-Normalengleichung der Ebene e für den
Unbekanntenvektor
den Ortsvektor des Punktes P, rechne aus und bilde den Betrag der
errechneten Zahl; der gefundene Wert bedeutet den Abstand von P und e.
Mit Hilfe dieser Faustregel berechnen wir das schon konstruktiv gelöste Beispiel anders:
Beisp: (Abstand eines Punktes von einer Ebene)
Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene e mit:
Wir bilden zunächst die HESSE-Normalengleichung der Ebene:
Nun wird zur Berechnung des Abstandes von P und e der Ortsvektor von P in die linke Seite
eingesetzt und der Betrag über den entstehenden Term gebildet:
Aus der HESSE-Normalengleichung einer Ebene e lässt sich ihr Abstand zum Ursprung unmittelbar
ablesen:
Satz: (Abstand einer Ebene zum Ursprung)
Ist eine Ebene in HESSE-Normalenform gegeben durch
dann berechnet man den Abstand d(e,O) von e zum Ursprung O durch d(e,O)= d 0.
Bew: Aus der Herleitung der HESSE-Normalengleichung und der Formel zur Berechnung des
Abstandes eines Punktes P zu einer Ebene e folgert man:
297
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Beisp: (Abstand einer Ebene zum Ursprung)
Berechne den Abstand von O zu folgender Ebene e mit
Man berechnet die HESSE-Normalengleichung von e und liest ab:
c)
Der Abstand zweier Ebenen
Der Abstand zweier Ebenen e1 und e2 errechnet sich, wenn man jeweils die Abstände der Ebenen
zum Ursprung kennt, nach folgender Übersicht:
Def:
(Abstand zweier Ebenen)
Der Abstand zweier Ebenen e1 und e2 ist definiert als der kürzestmögliche Abstand, den
irgend zwei Punkte P1 0 e1 und P2 0 e2 voneinander haben können.
Die einfachste Lösung dieses Abstandsproblems gibt der folgende Satz:
Satz: (Abstand zweier Ebenen)
Falls e1 und e2 nicht parallel sind, dann ist d(e1, e2 ) = 0
Falls e1 und e2 parallel sind, dann ist d(e1, e2 ) = d(A1, e2).
Wenn beide Ebenen in HESSE-Form vorliegen, kann man den Abstand auch auf andere Weise
bestimmen. Das Vorgehen orientiert sich an folgender Zeichnung:
Man erkennt hier:
Im Allgemeinen findet man folgenden Zusammenhang:
298
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Satz: (Berechnung des Abstandes zweier Ebenen)
Ob der Ursprung zwischen zwei parallelen Ebenen liegt oder nicht, erkennt man an den
Normalenvektoren von e1 und e2 in der jeweiligen HESSE-Normalengleichung. Sind beide gleich,
dann liegen die beiden Ebenen auf einer Seite des Ursprungs, sind Sie Gegenvektoren
voneinander, dann liegen beide Ebenen auf verschiedenen Seiten des Ursprungs.
Beisp: (Abstand paralleler Ebenen)
Gegeben sind drei Ebenen e1, e2 und e3 durch:
Diese drei Ebenen sind jeweils parallel zueinander, weil die entsprechenden Normalenvektoren
Vielfache voneinander sind. Die Länge der Normalenvektoren beträgt jeweils 7; also lauten die
HESSE-Normalengleichungen der drei Ebenen:
Man liest ab: d(e1,O) = 2
d(e2,O) = 1
d(e3,O) = 3
Der Ursprung liegt zwischen e1 und e2, weil die entsprechenden Normalenvektoren Gegenvektoren
voneinander sind. e2 und e3 liegen auf derselben Seite des Ursprungs, weil die beiden
Normalenvektoren gleich sind; also gilt:
d(e1,e2) = 2+1 = 3
d)
d(e1,e3) = 2+3 = 5
d(e2,e3) = 3 - 1 = 2
Der Abstand eines Punktes von einer Gerade
Def:
(Abstand eines Punktes von einer Gerade)
Der Abstand eines Punktes P von einer Gerade g ist definiert als der
kürzestmögliche Abstand, den irgendein Geradenpunkt von P haben kann.
Damit liegt anschaulich auf der Hand, dass man den Abstand eines Punktes von einer Geraden mit
Hilfe der Grundaufgabe “Lot von einem Punkt auf eine Gerade” berechnen kann.
299
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Satz: (Abstand eines Punktes von einer Gerade)
Der Abstand d(P,g) eines Punktes P von einer Gerade g ist gleich dem Abstand d(P,L)
von P zum Lotfußpunkt L des Lotes von P auf g.
Wir nehmen das Beispiel zur Grundaufgabe “Lot von P auf g” wieder auf und rechnen:
Beisp: (Abstand eines Punktes von einer Gerade)
Gegeben sind ein Punkt P und eine Gerade g durch:
Berechne den Abstand von P und g!
Der Lotfußpunkt L(3/2,5/-2,5) des Lotes von P auf g ist früher bereits berechnet. Damit ergibt sich
für den Abstand von P und g:
e)
Der Abstand einer Gerade von einer Ebene
Def:
(Abstand einer Ebene von einer Gerade)
Der Abstand einer Ebene e von einer Gerade g ist definiert als der kürzestmögliche
Abstand, den irgendein Geradenpunkt von e haben kann.
Rechnerisch ergibt sich damit folgende Anweisung zur Berechnung des Abstandes einer Ebene:
Satz: (Abstand einer Ebene von einer Gerade)
Der Abstand d(e,g) einer Ebene e von einer Gerade g mit Aufpunkt Ag ist:
Beisp: (Abstand einer Ebene von einer Gerade)
Gegeben sind zwei Geraden g1 und g2 und eine Ebene e durch:
g2 und e verlaufen nicht parallel, weil der Normalenvektor von e und der Richtungsvektor von g2
nicht zueinander senkrecht stehen, denn das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ergibt nicht 0. g2
und e besitzen also einen Schnittpunkt; ihr Abstand ist 0.
300
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Der Richtungsvektor von g1 verläuft senkrecht zum Normalenvektor von e, denn ihr Skalarprodukt
ergibt 0; also ist g1 parallel zu e. Der Abstand von g1 und e errechnet sich also aus dem Abstand des
Aufpunktes von g1 zu e.
f)
Der Abstand zweier Geraden
Def:
(Abstand zweier Geraden)
Der Abstand d(g1,g2) einer Gerade g1 von einer Gerade g2 ist definiert als der
kürzestmögliche Abstand, den zwei Punkte P1 0 g1 und P2 0 g2 haben können.
Die Berechnung des Abstandes zweier Geraden orientiert sich an möglichen Lagen der beiden:
Satz: (Abstand zweier Geraden)
Sind zwei Geraden g1 mit Aufpunkt Ag1 und g2 gegeben, und sind außerdem für den Fall,
dass g1 und g2 windschief sind, zwei parallele Ebenen e1 und e2 so gebildet, dass e1 die
Gerade g1 und e2 die Gerade g2 enthält, dann berechnet man den Abstand d (g1, g2 ) der
beiden durch:
Das Vorgehen im windschiefen Falle wird durch die folgende Skizze illustriert:
Beisp: (Abstand zweier Geraden)
Gegeben sind drei Geraden durch:
g1 und g2 haben den gemeinsamen Punkt P(1/1/0), wie man sieht, wenn man für "=0 und $=-1 setzt;
also ist der Abstand von g1 zu g2 gleich 0.
301
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
g1 und g3 sind parallel, weil Sie denselben Richtungsvektor aufweisen. Also ist der Abstand von g1
und g3 gleich dem Abstand des Aufpunktes von g1 zu g3. Die zugehörige Rechnung wird analog zum
entsprechenden früheren Beispiel durchgeführt.
g2 und g3 sind windschief. Zur Berechnung des Abstandes dieser beiden Geraden bilden wir eine
Ebene e2, welche g2 ganz enthält, und als zweite Richtung den Richtungsvektor von g3 aufweist,
sowie eine Ebene e3, welche g3 ganz enthält, und als zweite Richtung den Richtungsvektor von g2
aufweist. Diese beiden Ebenen erfüllen den Anspruch, parallel zu sein, weil beide die gleichen
Richtungsvektoren aufweisen. Die Berechnung ihres Abstandes, der gleich dem gesuchten Abstand
der beiden Geraden g2 und g3 ist, erfolgt dann über die entsprechenden HESSENormalengleichungen.
13.8.
Winkel zwischen Geraden und Ebenen
a)
Der Winkel zwischen zwei Geraden
Beim Schnitt zweier Geraden erhält man zwei Paare von Scheitelwinkeln. Man muss also festlegen,
welcher der in Frage kommenden beiden Winkel der Schnittwinkel sein soll.
Def:
(Schnittwinkel zweier Geraden)
Schneiden sich zwei Geraden rechtwinklig, beträgt der Schnittwinkel 90/. Schneiden sie
sich nicht rechtwinklig, nennt man den kleineren der beiden Scheitelwinkel, die entstehen,
Schnittwinkel von g1 und g2.
Dass der Schnittwinkel zweier Geraden vom Verlauf der Richtungen der beiden Geraden abhängt, ist
anschaulich klar; rechnerisch findet man:
302
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Satz: (Schnittwinkel zweier Geraden)
Ist " der Schnittwinkel zweier Geraden g1 und g2 mit Richtungsvektoren
und
,
dann gilt:
Bew: Der Winkel " zwischen den beiden Geraden g1 und g2 ist gleich dem kleineren der beiden
möglichen Winkel zwischen deren Richtungsvektoren. Aus den Rechenregeln für das
Skalarprodukt weiß man über den Winkel * zwischen den Richtungsvektoren:
Erhält man aus dieser Formel für cos * eine positive Zahl oder 0, dann ist 0#*#90 und " ist
mit * gleichzusetzen. Findet man dagegen für cos * eine negative Zahl, dann ist 90<*#180
und * ist der Komplementwinkel zum Winkel "; also " = 180-*. Da aber dann cos " = cos
(180-*) = -cos *, gilt auch hier die behauptete Formel.
Beisp: (Die winkelhalbierenden Geraden zu zwei sich schneidenden Geraden g1 und g2)
Berechne die Gleichungen der beiden winkelhalbierenden Geraden
Die Zeichnung weist darauf hin, dass ein gemeinsamer Punkt aller vier Geraden der Schnittpunkt
S(1/1/0) von g1 und g2 ist. Außerdem erkennt man - unter Erinnerung an die Berechnung eines
winkelhalbierenden Vektors im Allgemeinen-, dass sich die Richtung der winkelhalbierenden Gerade
g3 aus
, die der winkelhalbierenden Gerade g4 aus
errechnet.
Die Rechnung ergibt folgende Zahlen:
303
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
Also ist
b)
Der Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene
Def:
(Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene)
Der Schnittwinkel zwischen einer Gerade g und einer Ebene e ist definiert als der Winkel
zwischen g und der Projektionsgerade g' von g in e.
Mit dieser Definition ist das Problem zurückgeführt auf das schon gelöste Problem der
Winkelmessung zwischen zwei Geraden.
c)
Der Winkel zwischen zwei Ebenen
Def:
(Winkel zwischen zwei Ebenen)
Sind e1 und e2 zwei sich schneidende Ebenen, dann ist deren Schnittwinkel gleich dem
Schnittwinkel zweier Geraden g1z e1 und g2 z e2.
Da die beiden Richtungsvektoren der in der Definition angesprochenen Geraden g1 und g2 gleich den
Normalenvektoren von e1 und e2 sein müssen, rechnet man:
Satz: (Winkel zwischen zwei Ebenen)
Ist " der Schnittwinkel zweier Ebenen e1 und e2 mit Normalenvektoren
,
, dann gilt:
Beisp: (Die winkelhalbierenden Ebenen zu zwei sich schneidenden Ebenen e1 und e2)
Gegeben sind die beiden Ebenen
Gesucht sind deren winkelhalbierende Ebenen.
Wir wählen hier - aus Interesse - einen anderen Zugang als bei der Ermittlung von
winkelhalbierenden Geraden und stellen fest: Winkelhalbierende Ebenen bestehen aus all denjenigen
Punkten, die von den beiden gegebenen Ebenen den gleichen Abstand aufweisen. Also alle Punkte
X mit Ortsvektoren , die folgende Bedingung erfüllen:
304
Kapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
]
Also ergeben sich zwei winkelhalbierende Ebenen e3 und e4:
e3 und e4 entstehen also durch Subtraktion beziehungsweise Addition der beiden HesseNormalenformen von e1 und e2. Das Ergebnis deckt sich analog mit den Ergebnissen der Herleitung
der winklelhalbierenden Geraden zu einem gegebenen Geradenpaar.
Die Rechnung in Zahlen ergibt mit den Hesse-Normalenformen der Ebenen e1 und e2.
305