Grundbegriffe der Aussagen

VO IS Technology
Wintersemester 2009-10
Prof. Dr. Dimitris Karagiannis
Dr. Hans-Georg Fill
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GRUNDBEGRIFFE DER LOGIK
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (1)
Die Aussagenlogik ist jener Teil der formalen Logik, der
sich mit der Analyse von Sätzen und
Satzkombinationen auseinandersetzt.
Aussagen werden nach den Bedingungen der formalen
Logik jeweils mit sog. Literalen codiert und stellen
Sätze dar, die entweder den Wahrheitswert “wahr”
oder “falsch” haben können (zweiwertige Logik).
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (2)
In der Aussagenlogik unterscheidet man folgende
Junktoren:
• Konjunktion
Die Konjunktion oder UND-Verknüpfung (Symbol “”) wird
Umgangssprachlich durch die Bindewörter “sowohl als auch”
oder “nicht nur” umschrieben. Eine Aussage “A UND B” ist
genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
• Diskunktion
Die Disjunktion bzw. ODER-Verknüpfung (Symbol “”) zweier
Aussagen “A ODER B” ist genau dann wahr, falls zumindest
eine der beiden Aussagen wahr ist.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (3)
• Implikation
Die Implikation (Symbol “”) entspicht einer “wenndann”-Verknüpfung.
• Äquivalenz
Die Äquivalenz (Symbol “”) kann
umgangssprachlich am besten mit “genau dann,
wenn” umschrieben werden.
• Negation
Dieser Operator (Symbol “¬”) negiert den
Wahrheitswert einer Aussage.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (4)
Wahrheitstafel aussagenlogischer Verknüpfungen:
A
falsch
falsch
wahr
wahr
B
falsch
wahr
falsch
wahr
AB
falsch
falsch
falsch
wahr
AB
falsch
wahr
wahr
wahr
AB
wahr
wahr
falsch
wahr
AB
wahr
falsch
falsch
wahr
A
wahr
wahr
falsch
falsch
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (5)
Besonderheit der formalen Logik:
Man kann - unabhängig von der Semantik einer
Aussage - einen logischen Operator durch einen
beliebigen anderen ersetzen, sofern der
Wahrheitsgehalt der Aussagekombination (vgl.
Wahrheitstabellen) unverändert bleibt.
Die erlaubten formalen Umformungen von
Aussagekombinationen richten sich demnach unter
rein syntaktischen Gesichtspunkten immer nach der
Gültigkeit von Wahrheitstabellen; die Semantik spielt
für die formale Äquivalenz überhaupt keine Rolle.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (6)
Ein Beispiel für so eine erlaubte Umformung ist die
Transformation der Aussagekombination
AB in ¬AB
da die Wahrheitswerte der beiden
Aussagekombinationen ident sind
(vgl.Wahrheitstabelle).
 Man sagt auch, die beiden Aussagekombinationen
oder Formeln sind äquivalent, weil sie bei jeder
Belegung denselben Wahrheitswert haben.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (7)
Wahrheitstabellen AB bzw. ¬AB
A
falsch
falsch
wahr
wahr
B
falsch
wahr
falsch
wahr
(A)B
wahr
wahr
falsch
wahr
AB
wahr
wahr
falsch
wahr
Äquivalenz
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (8)
Von zentraler Bedeutung in der Logik ist die Frage nach
der Erfüllbarkeit von Formeln. Dazu sind die
folgenden Definitionen wichtig, die für alle
Logiksprachen und -kalküle gelten:
• eine Formel A ist erfüllbar, wenn es eine Belegung
ihrer Literale gibt, sodaß sie wahr wird.
• eine Formel A ist unerfüllbar (kontradiktorisch), wenn
es keine Belegung ihrer Literale gibt, sodaß
sie wahr wird.
• eine Formel ist allgemeingültig (tautologisch), wenn
sie bei jeder Belegung ihrer Literale wahr wird.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (9)
Jede noch so komplizierte aussagenlogische Formel
kann in eine sog. Normalform übergeführt werden.
Man unterscheidet:
• konjunktive
• disjunktive
Normalformen.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (10)
Eine Formel F ist in konjunktiver Normalform (KNF),
wenn sie eine Konjunktion von Disjunktionen der
Literale ist. Die dabei auftretenden Literale können
positiv oder negiert sein.
Man schreibt allgemein:
n
mi
 
F (
(
Li , j )), mit Li , j  { A1, A2,...}  {A1, A2,...}
i 1 j 1
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (11)
Der Algorithmus für die Bildung der KNF einer Formel
kann wie folgt angegeben werden:
1. Jede Zeile der Wahrheitstafel mit Wahrheitswert
“falsch” trägt zu einem Disjunktionsglied bei.
2. Die Literale dieser Disjunktion bestimmen sich wie
folgt: Falls die Belegung eines Literals in der
betreffenden Zeile falsch ist, so wird das positive
Literal eingesetzt, sonst das negierte Literal.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (12)
Eine Formel F ist in disjunktiver Normalform (DNF),
wenn sie eine Disjunktion von Konjunktionen der
Literale ist.
Man schreibt allgemein:
n
mi
 
F (
(
Li , j )), mit Li , j  { A1, A2,...}  {A1, A2,...}
i 1 j 1
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (13)
Der Algorithmus für die Bildung der DNF einer Formel
kann wie folgt angegeben werden:
1. Jede Zeile der Wahrheitstafel mit Wahrheitswert
“wahr” trägt zu einem Konjunktionsglied bei.
2. Die Literale dieser Konjunktion bestimmen sich wie
folgt: Falls die Belegung eines Literals
in der betreffenden Zeile “wahr” ist, so wird das
Literal eingesetzt, sonst das negierte Literal.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (14)
In der Aussagenlogik und der Logik allgemein können
auch Schlußfolgerungen durchgeführt werden.
Folgende wichtige Inferenzmechanismen stehen zur
Verfügung:
• Modus ponens
• Resolution
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (15)
Modus ponens:
Der Modus ponens besagt:
Wenn eine Aussage A wahr ist und A eine weitere Aussage B
impliziert (A  B), dann ist auch B wahr.
Folgendes Beispiel veranschaulicht den
Schlußfolgerungsmechanismus beim Modus ponens:
• Aussage A: Der Himmel ist rot.
• Implikation AB: Wenn der Himmel rot ist, dann geht die Sonne
auf.
• Schlußfolgerung: Aussage B ist wahr: Die Sonne geht auf.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (16)
Bewertung des Modus ponens:
Vorteile:
• Es ist nicht notwendig, alle Fakten explizit im
Datenspeicher bereitzuhalten (dynamisches
Generieren von Fakten über feuernde Regeln).
Nachteile:
• Mit dem Modus Ponens kann man in der Regel nicht
alle gültigen Schlüsse ziehen.
• Verwendung als alleiniges Schlußverfahren sehr
aufwendig
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (17)
Resolutionsverfahren („Beweis durch Widerspruch“)
Damit kann man überprüfen, ob eine neue Tatsache anhand einer
Anzahl vorgegebener logischer Aussagen gültig ist.
• Ausgangspunkt ist zunächst die verneinte Tatsache (daher auch
der Name “Beweis durch Widerspruch”).
• Diese wird dann mit den anderen Fakten “resolviert”. Führen
nun die Schlüsse aus der negierten Tatsache und den Fakten
zu einem Widerspruch, so muß die verneinte Tatsache falsch
sein, also ist die Tatsache wahr.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (18)
Beispiel für Resolutionsverfahren:
Gegeben: AB und das Faktum A. Es soll nun mittels
Resolution überprüft werden, ob B sinnvoll daraus
gefolgert werden kann.
Formel F = (AB)  (B)  (A) ist in KNF
entspricht verneinte
Tatsache B
AB
(siehe vorne)
Faktum A
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (19)
Beispiel für Resolutionsverfahren (2):
Aufschreiben der Konjunktionsgliedern in sog. Klauseln
Ki
K1 = AB
K2 = B
K3 = A
Resolviere K1 und K2 nach B => streiche B, da B  (B)
nicht gleichzeitig wahr sein können („Satz vom
Ausgeschlossenen Dritten“)
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (20)
Beispiel für Resolutionsverfahren (3):
Es verbleiben somit
K1 = A
K3 = A
Resolution nach A führt zum Ergebnis der leeren
Klausel {}
Schlüsse aus existierenden Fakten und verneinter
Tatsache B führen zu Widerspruch => also muß B
wahr sein.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (21)
Veranschaulichung der Grenzen aussagenlogischer
Wissensrepräsentation anhand folgendes Beispiels:
In der Aussagenlogik ist es unmöglich, folgende Sätze abzubilden.
Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch.
Um daraus abzuleiten: Sokrates ist sterblich.
Die Prädikatenlogik bietet gegenüber der Aussagenlogik, deren
Ausdrucksmittel sich ja auf Literale und logische Operatoren
beschränken, zusätzliche Elemente, die es erlauben, obige
Sätze zu formalisieren.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (22)
Sprachrahmen der Prädikatenlogik:
•
•
•
•
•
Prädikate
Literale
Funktionen
logische Operatoren
Quantoren
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (23)
Prädikate beschreiben die Eigenschaft eines Objektes (einstelliges
Prädikat) oder die Beziehung zwischen Objekten (mehrstelliges
Prädikat).
Beispiel für einstelliges Prädikat: Herbert ist ein Mann
männlich (herbert)
Beispiel für zweistelliges Prädikat: Edgar ist Vater von Rainer
vater (edgar, rainer)
Beispiel für dreistelliges Prädikat: Rainer gibt Herbert ein Buch.
geben(rainer, herbert, buch)
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (24)
Als logische Operatoren werden in der Prädikatenlogik
jene eingesetzt, die wir schon bei der Aussagenlogik
eingeführt haben, also





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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (25)
Über die sog. Quantoren besteht in der Prädikatenlogik
die Möglichkeit, Begriffe einzuschränken oder zu
verallgemeinern. Man unterscheidet dabei zwischen
• Existenzquantor (“für einige”, “es existiert”, Symbol
“$”), mit dem Einzelaussagen gemacht werden
können
• Allquantor, (“für alle”, Symbol “"”), mit dem
Aussagen verallgemeinert werden können.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (26)
Die Aussagen zu Beginn des Kapitels über die
Prädikatenlogik lassen sich folgendermaßen
formalisieren:
("x) (mensch (x)  sterblich (x))
mensch (sokrates)
Mittels des Modus ponens läßt sich folgendes Faktum
ableiten:
sterblich (sokrates)
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (27)
• Inferentielle Prozesse sind in der Prädikatenlogik
wegen der erweiterten Ausdrucksmöglichkeiten
(Variablen) viel komplexer als in der Aussagenlogik.
• Die Grundidee bei der prädikatenlogischen
Resolution (J.A. Robinson): Erzeugung
prädikatenlogischer Resolventen aus
prädikatenlogischen Klauseln, wobei bei jedem
Resolutionsschritt eine sog. Substitution durchgeführt
wird.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (28)
• Diese macht gewisse Literale in den beiden
Ausgangsklauseln zueinander komplementär, d.h.
die Klauseln sind identisch bis auf die
Negationszeichen.
• Die Substitution wird dabei möglichst zurückhaltend
durchgeführt.
• Es wird also die allgemeinste und nicht eine spezielle
Unifikation durchgeführt.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (29)
Beispiel 2 Klauseln:
{P(x), Q(g(x))} und { P(f(y))},
wobei f und g jeweils einstellige Funktionen sind.
Dann genügt es (allgemeinster Unifikator), bei den
beiden Klauseln die Substitution [x/f(y))] (man sagt:
Ersetze Variable x in allen Klauseln durch die
Funktion f(y)) durchzuführen, um als Resolvent die
Klausel {Q(g(f(y)))} zu erhalten.
Über die Substitution der Variablen y braucht man sich
an dieser Stelle im Resolutionsprozeß noch keine
Gedanken zu machen.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (30)
• Eine Menge prädikatenlogischer Formeln kann als
Programm aufgefaßt werden.
• Es liegt nun nahe, eine Anfrage an dieses Programm
zu formulieren und diese Klauseln (Anfrage,
Programm) mit dem Resolutionsmechanismus
abzuarbeiten.
• Integriert man noch eine
Antworterzeugungskomponente in das System, so
hat man ein prädikatives Programmiersystem
entwickelt.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (31)
Gegeben sei die Klauselmenge, also die Wissensbasis
F = {{liebt(Eva, Essen)}, {liebt(Eva, Wein)},
{liebt(Adam, x), liebt(x, Wein)}}
Diese prädikatenlogischen Formeln können
umgangssprachlich folgendermaßen formuliert
werden:
Eva liebt zu essen.
Eva liebt Wein.
Adam liebt jeden, der Wein liebt.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (32)
Ein Programmaufruf könnte z.B. die Formel
G = $y liebt(Adam,y)
sein, die umgangssprachlich formuliert lautet:
“Gibt es jemanden, den Adam liebt?”.
Wir möchten nun herausfinden, ob aus dem Wissen in
der Wissensbasis ableitbar ist, daß G aus F folgt.
Gemäß dem Prinzip der Resolution testen wir, ob
F G unerfüllbar ist. Trifft dies zu, so ist G wahr
und die entsprechende Antwort wird über die
Antworterzeugungskomponente ausgegeben.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (33)
Die Formelmenge FG besteht also aus den
folgenden Klauseln:
FG = {{liebt(Eva, Essen)}, {liebt(Eva, Wein)},
{liebt(Adam, x), liebt(x, Wein)}, {liebt(Adam,y)}}
Die durchgeführten Substitutionsschritte bei der
Resolution sind aus der folgenden Abbildung
ersichtlich.
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (34)
{¬liebt(Adam,y)}
{liebt(Adam,x), ¬liebt(x, Wein)}
Substitution = [x/y] ... ersetze x durch y
{¬liebt(y, Wein)}
{liebt(Eva, Wein)}
Substitution = [y/Eva] ... ersetze y durch Eva
{ } ... leere Klauselmenge
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Grundbegriffe der Aussagen- und
Prädikatenlogik (35)
• Durch Herleitung der leeren Klausel ist klar, dass G aus F folgt.
Die entsprechende Antwort ergibt sich durch Betrachtung der
zweiten Substitution im Resolutionsprozess, wo y durch Eva
ersetzt wird  Damit kann als Antwort ausgegeben werden,
dass Adam Eva liebt.
• Lässt man beliebige Formeln bei der Resolution zu, so kann es
passieren, dass mehr als eine einzige Antwort möglich ist. Um
diese Situationen zu unterbinden, beschränkt man sich bei der
bekanntesten logischen Programmiersprache PROLOG auf sog.
Hornklauseln und eine einzige Aufrufklausel.
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Vor- und Nachteile der Logik (1)
Vorteile:
• Die formale Logik ist der am besten erforschte
Wissensrepräsentationsformalismus.
• Die verwendeten deduktiven Inferenzmechanismen
sind theoretisch abgesichert und können als
Beweisprozeduren eingesetzt werden.
• Die Logik bietet syntaktische Gültigkeit vollzogener
Schlußfolgerungen sowie Vollständigkeit und
Widerspruchsfreiheit.
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Vor- und Nachteile der Logik (2)
Vorteile (2):
• prädikatenlogische Wissensbasen sind aufgrund der relativ
einfachen Notation verständlich zu interpretieren.
• Der modulare Aufbau der Wissensbasis garantiert, daß Wissen
unabhängig eingetragen oder abgeändert werden kann.
• Inferenzregeln der Logik gewährleisten, daß der Speicher
effizient genutzt wird.=> Es müssen nicht alle Fakten auf einmal
im Speicher gehalten werden, da über die Inferenzregeln Fakten
zur Laufzeit dynamisch generiert werden können.
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Vor- und Nachteile der Logik (3)
Nachteile:
• Das strenge mathematische Korsett führt oft dazu,
daß die Wissensdarstellung künstlich und steril wirkt
und für gewisse Anwendungen einfach nicht genug
flexibel ist  Syntaktische Reinheit des
formallogischen Konzeptes verbietet es z.B.,
heuristische und prozedurale Informationen mit den
Faktenrepräsentationen zu verbinden. (wäre aber für
gewisse Anwendungen notwendig und sinnvoll.)
• Die Aussagen- und Prädikatenlogik erlaubt lediglich
zwei Wahrheitswerte („wahr“, „falsch“).
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Vor- und Nachteile der Logik (4)
Nachteile (2):
• Logik = monotones Schlussfolgerungssystem, d.h. die darin
repräsentierten Aussagen sind unabhängig von der Zeit.
Realität: Aussagen sind ständigem Wandel unterworfen.
• deklarativer Charakter der formallogischen
Wissensrepräsentation. (keine explizite Programmsteuerung
durch Kontrollstrukturen); Ablaufsteuerung wird durch
eingebauten Resolutionsmechanismus wahrgenommen, der
eine vollständige Suche durchführt  Ineffizienz durch nutzlose
Suchschritte.
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