TD1: Rührwerk
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Aufgaben Thermodynamik Seite1 TD1: Rührwerk Aufgabenstellung: Ein Rührwerk enthält 20 Liter einer Flüssigkeit [Dichte 890 kg/m3, spezifische Enthalpiekapazität 2.3 kJ/(Kkg)]. Der Rotor dreht sich mit einer Winkelgeschiwindigkeit von 15 rad/s. Auf den Rotor wirkt ein Drehmoment von 25 Nmm ein. Das ganze Rührwek ist ideal wärmeisoliert und hat eine Energiekapazität von 12 kJ/K. a Was passiert energetisch bei diesem Prozess? Beschreiben Sie den Vorgang vom Energiestandpunkt aus. b Nach welcher Zeit ist die Temperatur der Flüssigkeit von 19.3°C auf 22.8°C gestiegen? Sie dürfen annehmen, dass die flüssigkeit mit dem Rührwerk im thermischen Gleichgewicht ist. Lösungshinweis: Die Leistung des Drehmomentes bewirkt eine Änderung der inneren Energie (genauer: der Enthalpie). Lösung: a W(M) ∆U P(M) = IW ∆U/∆t>0 b W ( M ) = ∆H ∆t = ( C + mc ) ∆T P(M ) W ( M ) = P ( M ) ∆t ∆H = ( C + mc ) ∆T = ( C + mc ) ∆T Mω = C + ρVc ∆T = 494 s Mω Schlüsselwörter: Energiebilanz, Energieträger, Enthalpiekapazität Quelle: Physik VII/MT 87.1 Aufgaben Thermodynamik Seite2 TD2: Gasflasche Aufgabenstellung: Wieviel Stoffmenge Wasserstoff (H2) enthält eine Stahlflasche mit 30 Liter Inhalt bei einer Temperatur von 25°C und 45 bar Absolutdruck? Welche Masse hat das Wasserstoffgas? Lösungshinweis: Universelle Gasgleichung (thermische Zustandsgleichung des idealen Gases) anwenden. Mit der absoluten Temperatur rechnen. Lösung: pV = nRT n= pV = 54.5 mol RT ˆ = 109 g m = mn Schlüsselwörter: ideales Gas, thermische Zustandsgleichung Quelle: Physik VII/MT 87.2 Aufgaben Thermodynamik Seite3 TD3: Eisschicht Aufgabenstellung: Ein Flugzeug mit 400 m2 Oberfläche ist ganz mit einer 2 mm dicken Eisschicht von 0°C überzogen. a Wieviel Wärmeenergie muss die elektrische Abtauanlage liefern, um das gesamte Eis zu schmelzen? b Welche elektrische Leistung muss freigesetzt werden wenn dies in 90 Minuten geschehen soll und der Wirkungsgrad 50% beträgt? (Dichte des Eises 900 kg/m3) Lösungshinweis: Die elektrische Leistung multipliziert mit dem Wirkungsgrad entspricht der Änderungsrate der Schmelzenthalpie. Lösung: m = ρ v = ρ Ad = 720 kg kJ Q = ∆H = qm = 334 ⋅ 720kg = 2.4 ⋅ 105 kJ kg Q 1 Q Pel = = = 89.1 kW η η ∆t Schlüsselwörter: Energiebilanz, Wirkungsgrad Quelle: Physik VII/MT 87.5 Aufgaben Thermodynamik Seite4 TD4: Sonnenstrahlung Aufgabenstellung: Die Sonnenstrahlung führt der Erde (Radius 6370 km) bei senkrechtem Einfall pro Quadratmeter eine Leistung von 79.6 kJ/min zu. a Wieviel Energie ergibt dies pro Jahr? b Wieviel Wasser von 10°C könnte damit auf der Erde verdampft werden? Schätzen Sie ab, ob dies mehr oder weniger als alles Wasser der Erde ist! Annahme: die Erde sei ganz mit einer 3.103 m dicken Wasserschicht bedeckt. Lösungshinweis: Eine Energiebilanz für das System Erde aufstellen. Lösung: a kJ min kW = 1.327 min 60 s m2 kJ w = jW ∆t = 4.187 ⋅107 2 ( pro Jahr ) m 2 21 W = wπ r = 5.337 ⋅10 kJ ( pro Jahr ) jW = 79.6 b W = ∆H m= ∆H = m ( c∆ϑ + r ) W = c ⋅ ∆ϑ + r W kJ 2633.1 kg = 2.03 ⋅ 1018 kg mWasser ≈ ρ 4π r 2 d = 1.5 ⋅ 1021 kg > m mWasser > m Schlüsselwörter: Energiebilanz, Enthalpiekapazität Quelle: Physik VII/MT 87.6 Aufgaben Thermodynamik Seite5 TD5: Kompressor Aufgabenstellung: Ein Luftkompressor nimmt eine Leistung von 15 kW auf und verdichtet isothem stündlich 200 m3 Luft vom Anfangsdruck 1.12.105 Pa. Welcher Enddruck wird bei einem Wirkungsgrad von 85% erreicht? Lösungshinweis: Nutzarbeit berechnen und mit der isothermen Kompressionsarbeit gleichsetzen. Lösung: PNutz = 0.85 ⋅ PKompressor = 12.75 kW W = ∫ PNutz dt = PNutz ∆t = 4.59 ⋅107 J p2 W = − ∫ pdV = p1V1 ln p1 V2 = V1e − V1 V2 W p1V1 W p2 = p1V1 = p1e p1V1 = 8.7 bar V2 Schlüsselwörter: ideales Gas, Kompressionsarbeit, Wirkungsgrad Quelle: Physik VIII/MT 87.2 Aufgaben Thermodynamik Seite6 TD6: Enthalpie und innere Energie Aufgabenstellung: Wieviel grösser als bei 0°C ist die Enthalpie von 30 kg Wasserdampf bei 25 bar und 300°C? Welchen Anteil daran haben innere Energie und Verdrängungsarbeit? (Siedepunkt des Wassers bei 25 bar: 224°C, mittlere Wärmekapazität zwischen 0°C und 224°C: 4.3 J/(gK), Verdampfungswärme 1845 J/g, spezifisches Volumen des Dampfes bei 25 bar und 300 °C: 100 dm3/kg, mittlere spezifische Wärmekapazität des Dampfes zwischen 224°C und 300°C: 2.72 J/(gK)). Behandeln Sie das Wasserdampf als ideles Gas. Lösungshinweis: Wird ein Stoff isobar geheizt, ist die Wärme gleich der Enthalpieänderung. Die Enthalpieänderung schliesst die Expansionsarbeit mit ein. Lösung: Isobare Erwärmung von 0°C auf 300°C Q = ∆H = m ( c1 ∆T1 + r + c2 ∆T2 ) = 9.045 ⋅ 107 J W = p∆V = p ( mv2 − V1 ) = 7.425 ⋅ 106 J ∆U = 8.303 ⋅ 107 J Schlüsselwörter: innere Energie, Expansionsarbeit, Enthalpie Quelle: Physik VIII/MT 87.5 Aufgaben Thermodynamik Seite7 TD7: Kreisprozess Aufgabenstellung: In einem Heissgasmotor wird eine kalte, komprimierte Gasmenge (p1 = 4 bar, V1 = 1.2 dm3, T1 = 300 K, κ = 1.4) ohne Volumenänderung in einem Behälter mit Temperatur T2 900 K gebracht. Sobald das Gass dort durch Wärmeaufnahme die Temperatur T2 angenommen hat, wird es isotherm auf V3 = 2.4 dm3 entspannt, wobei weitere Wärme aufgenommen und mechanische Arbeit abgegeben werden. Dann kommt es in einen kalten Behälter, wo es sich ohne Volumenänderung wieder auf die Temperatur T4 = T1 = 300 K abkühlt. Schliesslich wird es durch isotherme Kompression wieder in den Anfangszustand gebracht. Berechne die Drücke p2, p3, p4, die gewonnene mechanische Arbeit und den effektiven Wirkungsgrad. Lösungshinweis: Der Kreisprozess wird beim Heizen und Kühlen nicht reversibel geführt. Die vier Teilprozesse sind also in Einzelschritten zu rechnen. Bestimmen Sie in einem ersten Schritt den Druck für die drei andern Zustände. Danach können Sie Wärme und Arbeit für die vier Teilprozesse berechnen. Lösung: T p1 T14 = → p2 = p1 23 = 12 bar T14 p 2 T23 p1V1 = p4V4 → p4 = p1 ⋅ V1 = 2 bar V4 p3 T23 T = → p3 = p4 23 = 6 bar p4 T14 T14 W = nR (T23 − T14 ) ln V34 p1V1 V = (T23 − T41 ) ln 34 = 665.4 J V12 T1 V12 Q13 = Q12 + Q23 = ncˆV (T23 − T14 ) + nRT23 ln cˆV + R R ; = κ → cˆV = cˆV κ −1 Q13 = η= nR = V24 V12 p1V1 p2V2 = T1 T2 p1V1 V (T2 − T1 ) + p2V2 ln 24 = 3398 J V12 (κ − 1) T1 W = 19.6% Q12 Schlüsselwörter: ideales Gas, Kreisprozess, isochor, isotherm Quelle: Physik VIII/MT 87.6 Aufgaben Thermodynamik Seite8 TD8: Bleikugel Aufgabenstellung: Mit welcher Geschwindigkeit muss sich eine Bleikugel (2.2 g) bewegen, damit sie beim unelastischen Aufprall auf eine Wand schmilzt? Die ursprüngliche Temperatur der Kugel betrage 27°C, der Schmelzpunkt des Bleis liegt bei 327°C. Wir setzen voraus, dass die gesamte kinetische Energie der Kugel vollständig in ihre innere Energie übergeht. Blei hat eine spezifische Enthalpiekapazität von 129 J/(°C.kg) und eine spezifische Schmelzenthalpie von 23 kJ/kg. Wieviel Entropie wird bei diesem Aufprall erzeugt? Lösungshinweis: Energiebilanz aufstellen. Die Entropieproduktion ist gleich der Entropiezunahme des Bleis. Lösung: Wkin = ∆U (= ∆H ) 1 2 m mv = m ( c∆ϑ + q ) v = 2 ( c∆ϑ + q ) = 351 2 s T q J Serzeugt = ∆S Blei = m c ln 2 + = 0.28 K T1 T2 Schlüsselwörter: Energiebilanz, Schmelzenthalpie, Entropie Quelle: Physik XI/MT 87.1 Aufgaben Thermodynamik Seite9 TD9: Badewasser Aufgabenstellung: Eine Badewanne mit 250 Liter Wasser von 37°C steht in einem Badezimmer bei einer Raumtemperatur von 22°C. Wieviel Energie könnte man maximal freisetzten und einem weiteren Prozess zuführen, wenn dabei das Wasser auf 25°C abkühlt? Die Energiekapazität der Badewanne ist zu vernachlässigen. Lösungshinweis: Die in einem thermischen Prozess freisetzbare Energie hängt von der momentanen „Fallhöhe“ und der umgetzten Entropie ab. Lösung: Die freisetzbare Energie beträgt (T3 ist die Temperatur der Umgebung):: T dW = dS ( T − T3 ) = mc 1 − 3 T c dS = m dT T T1 T W = ∫ dW = mc T1 − T2 + ln 2 T3 = 370 kJ T1 T2 Schlüsselwörter: Prozessleistung, Prozessenergie Quelle: Physik XI/MT 87.3 Aufgaben Thermodynamik Seite10 TD10: Carnotzyklus Aufgabenstellung: Zwischen zwei Konstanttemperaturquellen (grosse Wärmebäder mit den Temperaturen T1 = 700 K und T2 = 300 K) läuft ein Carnotzyklus. Als Arbeitsgas werden 80 g Neon verwendet. Bei der isothermen Expansion (T1) wird das Gas von 3 Liter auf 0.09 m3 ausgedehnt. Wieviel Entropie wird bei der isothermen Kompression dem Wärmebad zwei zugeführt? Lösungshinweis: Beim Carnotzyklus wir Entropie auf hohem thermischen Niveau aufgenommen und auf tiefem wieder abgegeben. Sie können die Entropie also auch bei der Expansion rechnen. Lösung: + S Komp =+ S Exp + S Exp = nR ln mˆ = 20.2 J V2 m V = R ln 2 = 112 K V1 mˆ V1 g mol R = 8.31 Schlüsselwörter: Kreisprozess, Entropie, isotherm Quelle: Physik XI/MT 87.4 J mol ⋅ K Aufgaben Thermodynamik Seite11 TD11: Strahlungsgleichgewicht Aufgabenstellung: Ein Stern mit einem Radius von 10‘000 km hat einen Oberflächentemperatur von 25‘000 K. Der Stern wird von einem rasch rotierenden Planeten (Durchmesser 1500 km) im Abstand von 25 Millionen Kilometer umkreist. Welche Gleichgewichtstemperatur stellt sich auf dem Planeten ein? Stern und Planet sollen als Temperaturstrahler (schwarzer Körper, Hohlraumstrahler) behandelt werden. Der Planet habe überall die gleiche Temperatur. Wieviel Entropie wird auf dem Planeten pro Sekunde erzeugt? Lösungshinweis: Der Planet ist bezüglich der Energie im Gleichgewicht. Die Entropiezunahme ergibt sich aus der Entropiebilanz. Bei der Strahlung darf das Energieträgermodell nicht verwendet werden. Die Entopie ist hier gegenüber dem leitungsartigen Transport um 33% grösser. Lösung: IW , Planet , zu = σ TS4 rS2 π rP2 = 6.26 ⋅1015W 2 rSP IW , Planet ,ab = −σ TP4 4π rP2 TP = TS rS = 353.6 K 2rSP ∏ S = I s ,ab − I s ,ein = Schlüsselwörter: Strahlung, Entropie Quelle: Physik XI/MT 87.5 1 1 4 W IW , Planet − = 2.33 ⋅1013 3 K TP TS Aufgaben Thermodynamik Seite12 TD12: Kalorimeter Aufgabenstellung: In einem Kalorimeter (Enthalpiekapazität 350 J/K, Temperatur 25°C) werden zwei Liter Wasser von 45°C mit einem null Grad warmen Eisklotz (25 g) gemischt. Welche Endtemperatur stellt sich ein? Wieviel Entropie wird beim Mischen erzeugt? Lösungshinweis: Zuerst mit Hilfe der Energiebilannz den Gleichgewichtszustand bestimmen, dann die Entropieänderungen nachrechnen. Lösung: ∑ ∆H = 0 C (ϑM − ϑ1 ) + cm2 (ϑM − ϑ2 ) + m3 ( q + cϑM ) = 0 ϑM = Cϑ1 + cm2ϑ2 − m3 q = 42.7°C C + cm2 + cm3 q T T T ∆SWasser = cm2 ln M ; ∆S Eis = m3 + ln M c ; ∆S Kal = C ln M T2 T3 T1 T3 J J J J + 45.8 + 20 Serzeugt =+ SWasser ++S Eis ++S Kolorimeter = −60 = 6.1 K K K K Schlüsselwörter: Energiebilanz, Enthalpie, Entropie, Kalorimetrie Quelle: Physik XI/MT 87.6 Aufgaben Thermodynamik Seite13 TD13: Entropiekapazität Aufgabenstellung: Zwischen zwei Körpern mit gleicher, temperaturunabhängiger spezifischer Entropiekapazität (0.07 J/(kgK2) wird eine ideale Wärmekraftmaschine geschaltet. Welche Endtemperatur erreichen die Körper im thermischen Gleichgewicht? Der Körper eins hat eine Masse von 20 kg und eine Temperaturr von 45°C. Für Körper zwei lauten die Daten 7 kg und 24°C. Lösungshinweis: Die ideale WKM sorgt für Entropieerhaltung. Also muss die Entropie bilanziert werden. Lösung: Entropieerhaltung: + S1 ++S2 = 0 m1k (ϑM − ϑ1 ) + m2 k (ϑM − ϑ2 ) = 0 k : spezifische Entropiekapazität m ϑ − m2ϑ2 ϑM = 1 1 = 39.6°C m1 + m2 Schlüsselwörter: Entropiebilanz, Wärmekraftmaschine Quelle: Physik XI/MT 87.7 Aufgaben Thermodynamik Seite14 TD14: Wrackteile Aufgabenstellung: In zweihundertfünfzig Metern Meerestiefe löst sich von einem Wrack eine Holzplanke (4500mm mal 50 mm mal 30 mm, Dichte 850 kg/m3). a Wieviel Energie muss vom Meer aufgewendet werden, um das Brett an die Oberfläche zu bringen? b Diese Energie muss in einem zweiten Prozess freigesetzt werden. Beschreiben Sie diesen Prozess. c Wieviel Energie wird beim zweiten Prozess freigesetzt? Lösungshinweis: Die Planke wird gehoben und das zurückbleibende Loch mit Wasser gefüllt. Lösung: a ∆WG = mgh = V ρ gh = 4.22 ⋅104 J b Meerwasser fliesst von der Oberfläche an die Stelle, an der sich das Brett befunden hat. c ∆WG = V ρW gh = 4.97 ⋅104 J Schlüsselwörter: Auftrieb, Hubarbeit Quelle: Physik VII/MT 88.5 Aufgaben Thermodynamik Seite15 TD15: Mineralwasser Aufgabenstellung: Ein Liter Mineralwasser enthält sechs Gramm CO2. Behandeln Sie CO2 als ideales Gas. a Wie gross wäre der Druck in der Mineralwasserflasche bei Zimmertemperatur (22°C), wenn nur Kohlendioxid in der Flasche drin wäre? b Wieviel Energie könnte man bei reversibler isothermer Expansion aus dem Gas in Form von Arbeit gewinnen, wenn der Luftdruck genau 1 bar beträgt? Unter „gewinnen“ versteht man die frei verfügbare Energie. Molmasse des Kohlenstoffes: 12.01 g/mol Molmasse des Sauerstoffes: 16.00 g/mol Lösungshinweis: Der Druck ergibt sich aus der Zustandsgleichung für das ideale Gas. Die Arbeit ist gleich der Expansionsarbeit minus die Verdrängearbeit. Lösung: a m = 1.36 ⋅10−1 mol mˆ g g g mˆ = 12 + 2 ⋅16 = 44 mol mol mol nRT p= = 3.35 bar V n= b p p1 p2 V V1 V2 V1 p = p1V1 ln 2 = −404 J V2 p1 bezüglich System Gas: W = nRT ln verfügbar: ∆W = −W − p2 +V = −W − p2 (V2 − V1 ) pV = −W − p2 1 1 − V1 = W − V1 ( p1 − p2 ) = 169 J p2 Schlüsselwörter: ideales Gas, Arbeit Quelle: Physik VIII/MT 88.1 Aufgaben Thermodynamik Seite16 TD16: Carnot-Zyklus II Aufgabenstellung: In einem Zylinder mit frei verschiebbarem Kolben befinden sich 10 Mol (molare Energiekapazität 3/2 R) eines idealen Gases der Temperature 27°C. Das Gas füllt ein Volumen von 120 Liter aus. Nun durchläuft das System einen Carnot-Zyklus (alle Prozesse reversibel, Zylinder und Kolben haben keine Energiekapazität): zuerst wird das Gas isotherm auf einen Drittel seines ursprünglichen Volumens zusammengedrückt. Dann wird das Gas mittels adiabatischer Expansion auf -25°C abgekühlt. a Wie gross ist der Gasdruck nach der isothermen Kompression? b Was passiert energetische bei der isothermen Kompression? Beschreiben Sie den Prozess mit Hilfe der verschiedenen Namen, die man der Energie zuordnet. c Wie gross sind Druck und Volumen nach der adiabatischen Expansion? d Was passiert energetisch bei der adiabatischen Expansion? Lösung: a p1 = nRTI = 2.08 bar V1 p2 = p1 V1 = 3 p1 = 6.24 bar V2 b W Q W +Q =0 c 1 cˆ 5 T κ −1 2 V3 = V2 I κ= p = κ −1 = cˆV 3 3 TIII nRTIII V3 = 53.3 l p3 = = 3.88 bar V3 1 3 = κ −1 2 d W = ∆U ∆U < 0 W Schlüsselwörter: isotherm, isentrop, Energiebilanz, innere Energie, Arbeit, Wärme Quelle: Physik VIII/MT 88.3 Aufgaben Thermodynamik Seite17 TD17: U - Rohr Aufgabenstellung: Ein U-förmiges Rohr enthält eine Flüssigkeit. Der eine Schenkel befindet sich in schmelzendem Eis, der andere in Wasserdampf von 97°C. Die Höhe der beiden Flüssigkeitssäulen werden zu 415 mm und 465 mm gemessen. Wie gross ist der Volumenausdehnungskoeffizient dieser Flüssigkeit? Lösungshinweis: Die Flüssigkeit ist überall im Gleichgewicht, also kann der Druck am unteren Ende der beiden vertikalen Rohrteile gleich gesetzt werden. Lösung: pL + ρ0 gh1 = pL + ρ gh2 ρ0 ≈ ρ 0 (1 − γϑ ) 1 + γ ⋅ϑ ρ0 h1 = ρ0 (1 − γϑ ) h2 ρ= h1 1 − h2 γ = = 1.24 ⋅10 −3 K -1 ϑ Schlüsselwörter: Volumenausdehnungskoeffizient Quelle: Physik VIII/MT 88.4 Aufgaben Thermodynamik Seite18 TD18: Dampf im Kalorimeter Aufgabenstellung: In einem Kalorimeter (Energiekapazität 800 J/K) befinden sich 50 g Eis und 30 g Wasser. Das ganze Kalorimeter ist bei Normaldruck (1013 mbar) im thermischen Gleichgewicht. Wieviel Wasserdampf von 120°C muss bei Normaldruck in das Kalorimeter hineingepresst werden, damit das Gemisch - im thermischen Gleichgewicht mit dem Kalorimeter - eine Temperatur von 57°C erreicht? spezifische Schmelzenthalpie von Eis 334kJ/kg spezifische Enthalpiekapazität von Wasser 4190 J/kgK spez. Verdampfungsenthalpie von Wasser 2256 kJ/kg spez. Enthalpiekapazität von Wasserdampf 1860 J/kgK Lösungshinweis: Energiebilanz aufstellen. Lösung: ∆H1 + ∆H 2 = 0 ∆H1 = mE q + ( ( mE + mW ) c + C ) ϑM = 81.4 kJ ∆H 2 = m c (ϑM − ϑSp ) − r + cD (ϑSp − ϑD ) m= ∆H1 = 32.9 g c (ϑSp − ϑM ) + r + cD (ϑD − ϑSp ) Schlüsselwörter: Energiebilanz, Schmelzenthalpie, Verdampfungsenthalpie, Kalorimetrie Quelle: Physik VIII/MT 88.5 Aufgaben Thermodynamik Seite19 TD19: Nutzbare Energie von Gas Aufgabenstellung: 40 g Stickstoff (N2) befinden sich in einem fünf-Liter-Gefäss bei einer Temperatur von 85°C. Wieviel Energie kann mit Hilfe des Stickstoffes maximal „gewonnen“ und einem anderen Prozess zugeführt werden, wenn die Umgebungstemperatur 21°C und der Luftdruck 980 mbar betragen? Welche Prozesse führen Sie mit dem Stickstoff durch? ( relative Atommasse von Stickstoff 14) Lösungshinweis: Der Begriff nutzbare Energie bezieht sich immer auf die Umgebungsbedingungen. Im gegebenen Fall kann das Gas mittels einer WKM isochor gekühlt und dann mittels eines Kolbens isotherm expandiert werden. Lösung: m J 5 ; cˆV = R = 1.429 mol; R = 8.3144 molK 2 mˆ isochore Abkühlung: dW = (T − T2 ) dS n= dS = dW = n W1 = n ncˆV dT T 5R T2 1 − dT 2 T 5R T1 T1 − T2 − T2 ln = 181 J 2 T2 W2 = nRT2 ln V1 p = nRT2 ln 2 V2 p1 p1 = nRT1 / V1 = 6.984 bar W2 = −6858 J Wtotal = 7039 J W frei = Wtotal − ∆VpLuft = 4.04 kJ Schlüsselwörter: Entropie, Nutzarbeit, isochor, isotherm Quelle: Physik XI/MT 88.1 Aufgaben Thermodynamik Seite20 TD20:Entropiekapazität Aufgabenstellung: Ein fester Stoff hat die unten skizzierte spezifische Entropiekapazität. Wir heizen neun Kilogramm dieses Stoffes von 100K auf 300 K auf. Um wieviel nimmt dann die Entropie dieses Körpers zu? c kJ/(kgK) 4 kJ/(kgK) 4 3 3.25 kJ/(kgK) 2 1 T 100 200 300 K Lösungshinweis: Die Änderung des Inhaltes eines Speichers ist immer gleich dem Integral der Kapazität über das zugehörige Potential, also gleich der Fläche unter der Kapazitäts-PotentialKurve. Hier muss zuerst das Entropiekapazitäts-Temperatur-Diagramm skizziert werden. Lösung: 32.5 + 20 20 + 12.5 J J 100 + 100 = 4250 2 2 kgK kgK kJ + S = m+s = 38.25 K +s = Schlüsselwörter: Entropiekapazität, Entropie Quelle: Physik XI/MT 88.2 Aufgaben Thermodynamik Seite21 TD21: Wasser im Gefrierfach Aufgabenstellung: Ein Plastikbeutel mit drei Liter Wasser der Temperatur 15°C wird in eine Tiefkühlfach gelegt. Das Tiefkühlfach hat eine Temperatur von -22°C. Die Umgebungstemperatur liegt bei 25°C (spezifische Enthalpiekapazität von Wasser 4.19 kJ/(kgK), von Eis 2.1 kJ/(kgK), spezifische Schmelzenthalpie von Eis 334 kJ/kg). a Wieviel Energie muss dem Kühlgerät im Minimum zugeführt werden, um das Wasser abzukühlen? b Würde man das Wasser in einem Vorgefrierfach bei -1°C zu Eis erstarren lassen, so wäre die Prozessführung energetisch günstiger. Wieso? Geben Sie zwei Gründe. Lösungshinweis: Die Wärme wird total irreversibel vom zu kühlenden Körper auf das Kühlfach übertragen. Also bilanziert man für diesen Teilprozess die Energie. Danach pumpt die Kühlmaschine die Entropie an die Umgebung ab. Deshalb berechnet man die vom Kühlfach an die Umgebung abzuführende Entropie und bestimmt dann die Pumparbeit. Lösung: a ∆H = m ( cW ∆ϑ1 + q + cE ∆ϑ2 ) = 1328 kJ = QWärmepumpe SWärmepumpe = QWärmepumpe TKühlfach = 5.29 kJ K W = SWärmepumpe ⋅ ∆T = 248kJ b I.: Die beim Erstarren freigesetzte Entropie (grösster Anteil) muss weniger hoch gepumpt werden. II.: Diese Entropie fällt nicht weiter hinunter und produziert keine zusätzliche Entropie. Schlüsselwörter: Wärmepumpe, Energiebilanz, Entropie, Schmelzenthalpie Quelle: Physik XI/MT 88.3 Aufgaben Thermodynamik Seite22 TD22: Viskose Reibung Aufgabenstellung: Ein Körper (Masse 18 kg) gleitet mit einer Auflagefläche von 13 dm2 auf einer 1.2 mm dicken Ölschicht (Zähflüssigkeit 80 mPas) a Bestimmen Sie den Impulswiderstand der Gleitschicht. b Der Körper bewegt sich anfänglich mit 3 m/s .Wie schnell ist er 2 s später? c Wieviel Entropie wird erzeugt, wenn die Umgebungstemperatur 19°C beträgt? Lösungshinweis: Körper und Grenzschicht bilden ein mechanisches RC-Glied. Lösung: a Rp = ∆v ∆vd d m s = = = 0.115 = 0.115 Ns kg I p η A∆v η A b RC-Glied: v = v0 e − t τ τ = R p m = 2.08 s v ( 2s ) = 1.145 m s c ∆W = Serzeugt m 2 ( v1 − v22 ) = 69.19 J 2 J ∆W = = 0.237 K T Schlüsselwörter: RC-Glied, Entropieproduktion Quelle: Physik XI/MT 88.4 Aufgaben Thermodynamik Seite23 TD23: Körper kühlen Aufgabenstellung: Ein Stahlzylinder (Radius 40 cm, Höhe 60 cm, Wandstärke 3 mm) ist vollständig mit sechziggrädigem Wasser gefüllt. Boden und Deckel sind thermisch isoliert. Die Umgebung hat eine Temperatur von 5°C. a Wie stark ist der Wärmeenergiestrom bezüglich der Systems Stahlzylinder im ersten Moment? b Wie lange würde es dauern, bis das Wasser auf die Umgebungstemperatur abgekühlt wäre, wenn der Energiestrom konstant bliebe? Die Energiekapazität des Stahls können Sie vernachlässigen. c Wie stark kühlt das Wasser während dieser Zeit wirklich ab? Rechnen Sie mit folgenden Daten: Wärmeübergangskoeffizient innen 400 W/(m2K), aussen 20 W/(m2.K), Wärmeleitfähigkeit von Stahl 45 W/(mK) Lösungshinweis: Wärmeleitwert und Wärmekapazität legen die Dynamik des Abkühlvorganges fest. Hier soll die Kapazität von Stahl gegenüber Wasser vernachlässigt werden. Lösung: a 1 1 d 1 W = + + ⇒ k = 19 2 k αi λ α3 m K IW = Ak +T = 1578 W b t= ∆H mc∆ϑ = = 4.4 ⋅104 s IW IW c RC-Glied: ∆ϑ = ∆ϑ0 e − t τ ∆ϑ0 = 20.23°C e ϑ = 5°C + ∆ϑ = 25.23°C t =τ ⇒ ∆ϑ = Schlüsselwörter: RC-Glied, Wärmedurchgang Quelle: Physik XI/MT 88.5 Aufgaben Thermodynamik Seite24 TD24: Diamant heizen Aufgabenstellung: Diamant hat bei 200 K eine molare Enthalpiekapazität von 0.25 R und bei 300 K eine solche von 0.75 R (R 8.31451 J/(molK). Dazwischen verändern sich die Werte fast linear. a Wieviel Energie muss man einem Diamanten von 10 g zuführen, damit er von 200 K auf 300 K erwärmt wird? b Um wieviel nimmt dann die Entropie des Diamanten zu? Lösungshinweis: Die zugeführte Energie entspricht der Enthalpieänderung. Zur Berechnung der Entropieänderung integriert man über die Entropiekapazität. Die Entropiekapazität ist gleich der Enthalpiekapazität dividiert durch die aktuelle Temperatur. Lösung: a Q = ∆H = ncˆ∆T = 346.4 J cˆ + cˆ cˆ = 1 2 = 0.5R 2 m 5 n = = mol mˆ 6 b J molK 2 cˆ 1 T cˆS = 1 + k 1 − 1 = k + ( cˆ1 − kT1 ) T T T cˆ = cˆ1 + k (T − T1 ) k = 0.0415 T J + S = n ∫ cˆs dT = n k +T + ( cˆ1 − kT1 ) ln 2 = 1.357 T1 k T1 T2 Schlüsselwörter: Entropiekapazität, Enthalpie, Entropie Quelle: Physik XII/MT 88.1 Aufgaben Thermodynamik Seite25 TD25: Kreisprozess II Aufgabenstellung: Ein ideales Gas durchläuft einen Kreisprozess (isochore Erwärmung isotherme Expansion - isochore Abkühlung - isotherme Kompression). Skizzieren Sie den Prozess im p-V-und im T-S-Diagramm. Da die Entropie eines idealen Gases nicht absolut angegeben werden kann, dürfen Sie diese in einem Punkt frei wählen. Lösung: Das Gas durchläuft einen Stirling-Zyklus. Die zugehörigen Diagramme sind im Unterricht skizziert worden. Die Nutzarbeit ist in beiden Diagrammen gleich der ausgeschnittenen Fläche. Schlüsselwörter: Kreisprozess, Arbeitsdiagramm, T-S-Diagramm, isochor, isotherm Quelle: Physik XII/MT 88.2 Aufgaben Thermodynamik Seite26 TD26: Energieformen Aufgabenstellung: Eine bestimmt Menge eines einatomigen Gases wird von einem vorgegebenen Zustand (V1, T1) isotherm expandiert, bis es das Volumen V2 erreicht hat. In einem zweiten Fall wird das Gas von V1 auf V2 isobar und in einem dritten Fall adiabatisch von V1 auf V2 expandiert. Die Anfangstemperatur sei für alle drei Prozesse gleich gross. a Ordnen Sie die drei Prozesse nach der Grösse der zugeführten Wärme, wobei sie den Vorgang mit der kleinsten Wärme zuerst nennen. b Ordnen Sie nach der Grösse der Arbeit. c Ordenen Sie nach der Grösse der Änderung der inneren Energie. Zugeführte Energie wird positiv, abgeführte negativ gezählt. Lösungshinweis: Die Wärme entspricht der Fläche im T-S-Diagramm und die Arbeit der negativen Fläche im p-V-Diagramm. Die Änderung der inneren Energie hängt nur von der Temperatur ab. Lösung: a Qadiabatisch = 0 < Qisotherm < Qisobar b Wisobar < Wisotherm < Wadiabatisch < 0 c ∆Uadiabatisc h < ∆Uisotherm =0 < ∆Uisobar Schlüsselwörter: Wärme, Arbeit, innere Energie, ideales Gas Quelle: Physik VIII/MT 89.2 Aufgaben Thermodynamik Seite27 TD27: Quecksilber im Becherglas Aufgabenstellung: Ein Becherglas, vollständig mit Quecksilber gefüllt, hat hat bei 0°C ein Volumen von exakt 1000 cm3. Nun wird das Glas mitsamt dem Quecksilber auf 100°C erwärmt. Dabei fliessen 15.2 cm3 Quecksilber über. Der Volumenausdehnungskoeffizint von Quecksilber beträgt 0.000182°C-1. Wie gross ist der Längenausdehnungskoeffizient von Glas? Lösungshinweis: Das Becherglas (Volumenausdehnungskoeffizient = 3 x Längenausdehnungskoeffizient) dehnt sich weniger stark aus als das Quecksilber. Lösung: Quecksilber: ∆VHg = V0γ Hg ∆T = 18.2 cm 2 Glas: ∆VGlas = ∆VHg − Vaus γ Glas = α= γ 3 ∆VGlas = 3 ⋅10−5 K -1 V0 +T = 1⋅10−5 K -1 Schlüsselwörter: Längenausdehnungskoeffizient, Volumenausdehnungskoeffizient Quelle: Physik VIII/MT 89.3; Physik IX/MT 93.3 Aufgaben Thermodynamik Seite28 TD28: Thermische Spannung Aufgabenstellung: Ein drei Meter langer, quadratischer Kupferstab (Seitenlänge 45 mm, Elastizitätmodul 123 GPa, Längenausdehnungskoeffizient 17.10-6 K-1) wird bei 5°C so unter Zug gespannt, dass von links und rechts her je eine Kraft von 3500 Newton einwirkt. Dann wird der Stab gleichmässig erwärmt. Die Länge des Stabes soll sich dabei nicht ändern. a Bei welcher Temperatur ist der Stab spannungsfrei? b Welche Spannung herrscht bei 35°C? Ist der Stab bei dieser Temperatur auf Zug oder Druck beansprucht? Lösungshinweis: Die thermische und die mechanische Dehnung (Verlängerung pro Länge) sind konkurrierende Prozesse, die sich kompensieren. Lösung: mechanische Dehnung: thermische Dehnung: +l σ F = = l E EA +l = α +ϑ l a +ϑ = F = 0.83°C ϑ = 5.83°C α EA b σ = F N − Eα +ϑ = −6.1 ⋅ 107 2 A m ( Druckbeanspruchung ) Schlüsselwörter: Längenausdehnungskoeffizient, thermische Spannung Quelle: Physik VIII/MT 89.4 Aufgaben Thermodynamik Seite29 TD29: Energie und Enthalpie Aufgabenstellung: 150 Liter siebzehngrädiges Helium befinden sich unter einem Druck von zehn Bar in einem Zylinder. Das Helium wird isobar auf 90°C erwärmt und dann isochor auf 140°C weiter aufgeheizt. a Um wieviel haben sich innere Energie und Enthalpie des Heliums zwischen 17°C und 90°C geändert? b Um wieviel zwischen 90°C und 140°C? Lösungshinweis: Im ersten Teilprozess ist die zugeführte Wärme gleich der Enthalpieänderung, im zweiten gleich der Änderung der inneren Energie. Energie und Enthalpie hängen wie folgt zusammen H = U + pV ∆H = ∆U + p ⋅ ∆V + ∆p ⋅V Lösung: n= p1V1 = 62.21 mol RT1 a ∆U = ncˆV ∆T = p1V1 3 3 p1V1 ∆T = 5.66 ⋅104 J R∆T = RT1 2 2 T1 ∆H = ∆U + p∆V = ncˆV ∆T + nR∆T = ncˆP ∆T = 9.44 ⋅104 J b ∆U = 3 p1V1 +T = 3.88 ⋅104 J 2 T1 ∆H = ∆U + ∆pV = 6.47 ⋅104 J V = 188 Liter ∆p = 1.38 bar Schlüsselwörter: isochor, isobar, innere Energie, Enthalpie Quelle: Physik VIII/MT 89.5 Aufgaben Thermodynamik Seite30 TD30: Isentrope Kompression mit Zusatzkapazität Aufgabenstellung: Zwanzig Mol zweiatomiges Gas (molare Energiekapazität 2.5 R) füllen bei 22°C ein Zylindervolumen von hundert Liter. Nun wird das Gas mittels eines Kolbens so zusammengepresst, dass der thermisch isolierte Zylinder und der ebenfalls isolierte Kolben dauernd die gleiche Temperatur wie das Gas besitzen. Im Endzustand hat der gasgefüllte Raum eine Grösse von zwanzig Litern. Da die Kolbenreibung vernachlässigbar ist, kann man die Prozessführung als reversibel bezeichnen. Im neuem Zustand misst man eine Temperatur von 97°C. Wie gross ist die Energiekapazität des Gefässes (Kolben und Zylinder)? Lösungshinweis: Die Energiekapazität des Gefässes kann dem Gas zugerechnet werden. Das System verhält sich wie ein Gas mit einer grösseren molaren Energiekapazität oder einem reduzierten Adiabatenexponenten. Lösung: Die Herleitung der Adiabatengleichung für das System Gas-Gefäss (dU=-pdV) bleibt gültig. Wir berechnen darum als erstes κ: T1 T2 κ= + 1 = 1.14 V2 ln V1 ln κ −1 TV = T2 ⋅V2κ −1 1 1 κ= cˆV ,korr + R C + n ( cˆV + R ) = cˆV ,korr C + ncˆV 7 5 −κ 2 = 766 J C = nR 2 K κ −1 Schlüsselwörter: isentrop, Wärmekapazität Quelle: Physik VIII/MT 89.6 mit cˆV ,korr = cˆV + C n Aufgaben Thermodynamik Seite31 TD31: Rückprallende Bleikugel Aufgabenstellung: Eine Bleikugel wird in einer evakuierten Röhre aus einer Höhe von sieben Metern auf eine Stahlplatte fallen gelassen. Nach dem Aufschlag wird sie um 50 cm senkrecht zurückgeworfen. a Beschreiben Sie den Prozess mit Hilfe der verschiedenen Bezeichnungen, welche man der Energie zuordnet. b Um welchen Betrag ist die Temperatur de Bleikugel (spezifische Energiekapazität 130 J/ (K.kg) angestiegen, wenn keine Energie auf die Stahlplatte übertragen worden ist? Lösungshinweis: Die dissipierte Energie ändert die Enthalpie der Bleikugel. Lösung: a Gravitationsenergie => Bewegungsenergie => Innere Energie => Bewegungsenergie (7%) => Gravitationsenergie Bei diesem Prozess wird Entropie erzeugt. Weil keine Entropie über die Systemgrenze fliesst, ist bei diesem Prozess keine Wärme im Sinne der Physik im Spiel. b ∆WG = ∆H mg ∆h = mc∆T ∆T = g ∆h = 0.49 K c Schlüsselwörter: Energiebilanz, Enthalpie, Gravitationsenergie Quelle: Physik VIII/MT 89.7 Aufgaben Thermodynamik Seite32 TD32: Tauchsieder Aufgabenstellung: In einem idealen wärmeisolierten, offenen Gefäss werden fünf Liter zwanziggrädiges Wasser mit einem Tauchsieder erwärmt bis nur noch drei Liter hundertgrädiges Wasser bei Normaldruck vorhanden sind. Der Tauchsieder ist mit dem Wasser nahezu im thermischen Gleichgewicht und die Energiekapazität des Gefässes mit Tauchsieder beträgt 350 J/K. Anfänglich fliessen zehn Ampère durch den Tauchsieder. Während des Aufheizens sinkt die Stromstärke bei einer konstanten Spannung von 220 V auf acht Ampère. a Wie lange hat der Heizprozess gedauert? b Wie gross ist der Temperaturkoeffizient des Heizdrahtes? Lösungshinweis: Die zugeführte Energie (mittlere Leistun mal Zeit) ergibt die Enthalpieänderung. Lösung: a ∆H1 = ( cm1 + C ) ∆T = 1.7 ⋅106 J P1 = UI = 1980 W ∆H 2 = m2 r = 4.512 ⋅106 J P2 = UI 2 = 1760 W ∆t = ∆H1 ∆H 2 + = 3422 s P1 P2 b R= U I R1 = 22 Ω R2 = R1 (1 + α +ϑ ) R2 = 27.5 Ω α= +R 3.1 ⋅ 10 −3 = R1 +ϑ °C Schlüsselwörter: Energiebilanz, elektrische Leistung Quelle: Physik IX/MT 89.4 Aufgaben Thermodynamik Seite33 TD33: Körper mit veränderlicher Enthalpiekapazität Aufgabenstellung: Ein Material hat zwischen 20°C und 150°C eine temperaturabgängige spezifische Enthalpiekapazität, welche durch die folgende Funktion angenähert werden kann: 1.2 kJ 2 −2 c ( +ϑ ) = c20°C 1 + k ( +ϑ ) mit c = und k = 5 ⋅ 10−5 ( °C ) kg °C a Um wieviel ändert sich die innere Energie eines Körpers, der aus 17 kg dieses Materiales besteht, wenn er von 150°C auf 20°C abgekühlt wird? b Um wieviel ändert sich die Entropie des Körpers, der aus 17 kg dieses Materiales besteht, wenn er von 150°C auf 20 °C abgekühlt wird? Lösungshinweis: Zur Berechnung der Änderung einer Speichergrösse integriert man die Kapazität über das Potential. Lösung: a ϑ2 ∆H = m ∫ cdϑ c = c20°C (1 + k +ϑ ) ϑ1 setze: +ϑ = x, x1 = 130°C k ∆H = ∫ mc20°C (1 + kx 2 ) dx = mc20°C x + x3 3 x1 0 0 x1 k = − mc20 x1 + x13 = −3399 kJ 3 b T2 c + S = m ∫ dT T T1 c (T ) = c20 (1 + kT 2 − 2kTT2 + kT22 ) T2 = 293 K; T1 = 423 K 1 + kT22 k − 2kT2 + kT dT = mc20 (1 + kT22 ) ln T − 2kT2T + T 2 +S = m ∫ 2 T T2 T2 T kJ k = mc20 (1 + kT22 ) ln 2 − 2kT2 (T2 − T1 ) + (T22 − T12 ) = −9.412 2 K T1 Schlüsselwörter: Enthalpiekapazität, Entropiekapazität Quelle: Physik XI/MT 89.1 (für Teil a) Physik XI/MT 89.2 (für Teil b) T2 T1 Aufgaben Thermodynamik Seite34 TD34: Isotherme Atmospäre Aufgabenstellung: Ein mit Helium (relative Atommasse 4) gefüllter, runder Kinderballon (Radius 18 cm, Masse der Hülle und der Schnur 12 g, Innendruck 1023 mbar) wird in einer isothermen Atmosphäre (Dichte 1.23 kg/m3, Druck 988 mbar, Temperatur 10°C) losgelassen. Wie hoch steigt der Ballon unter der Annahme, dass er die Form nicht ändert? Lösungshinweis: Die mittlere Dichte des Ballons muss gleich gross sein wie die Dichte der umgebenden Luft. Lösung: pV mˆ He = 4.207g RT kg = 6.63 ⋅10−1 3 m mHe = nmˆ He = ρ= m + mHe V p = p0 e ρ = ρ0 e − − ρ0 g p0 z p ρ = p0 ρ 0 h0 = z h0 ρ z = h0 ln 0 = 5060 m ρ Schlüsselwörter: isotherme Atmosphäre, Auftrieb Quelle: Physik VII/MT 89.5 V = 2.443 ⋅10−2 m 3 p0 = 8188 m ρ0 ⋅ g Aufgaben Thermodynamik Seite35 TD35: reversibles Kühlen Aufgabenstellung: Ein Material hat zwischen 20°C und 150°C eine temperaturabgängige spezifische Enthalpiekapazität, welche durch die folgende Funktion angenähert werden kann: 1.2kJ 2 −2 c ( +ϑ ) = c20°C 1 + k ( +ϑ ) mit c = und k = 5 ⋅10−5 ( °C ) kg °C Ein Körper, der aus 17 kg dieses Materiales besteht wird mit Hilfe einer reversibel arbeitenden Wärmekraftmaschine abgekühlt. Wieviel Nutzenergie wird freigesetzt, wenn die Maschine die Abwärme bei 20°C abgeben kann? Lösungshinweis: Die Nutzenergie ist gleich der vom Körper abgegebenen Energie minus die von der abgeführten Entropie bei Umgebungstemperatur mitgenommenen Abwärme. Zur Berechnung der Enthalpieänderung vergl. TD33. Lösung: dW = (T − T2 ) dS W= T2 dS = mc dT T T2 T2 T1 T1 T2 ∫ (T − T )dS = ∫ TdS − ∫ T dS = ∫ mcdT − T ∫ dS 2 T1 2 = ∆H − T2 ∆S = −641.2 kJ freigesetzt Schlüsselwörter: Prozessenergie Quelle: physik XI/MT 89.3 T2 2 T1 T1 Aufgaben Thermodynamik Seite36 TD36: Kreisprozess III Aufgabenstellung: Ein Kreisprozess bestehe aus einer isothermen Expansion, einer isobaren Kompression, einer isothermen Kompression und einer isobaren Expansion. a Zeichnen Sie das p-V-Diagramm des Kreisprozesses b Zeichnen Sie das T-V-Diagramm des Kreisprozesses. c Zeichnen Sie das T-S- Diagramm des Kreisprozesses Lösung: a Viereck mit zwei horizontalen (isobaren) und zwei hyperbolischen (isothermen) Seiten. b Viereck mit zwei horizontalen (isothermen) Seiten. Die beiden andern Seiten (isobaren) zeigen gegen den Koordinatenursprung. c Die beiden isothermen Teilprozesse verlaufen horizontal, die beiden andern liegen auf parallel versetzten Exponentialfunktionen. Schlüsselwörter: isotherm, isobar, p-V-Diagramm, T-V-Diagramm, T-S-Diagramm Quelle: Physik XI/MT 89.4 Aufgaben Thermodynamik Seite37 TD37: Kühltruhe Aufgabenstellung: Eine Kühltruhe benötigt eine elekterische Leistung von durchschnittlich 50 W. Die Truhe hat eine Innentemperatur von -22°C und steht in einem Raum, der eine Temperatur von 21°C aufweist. Der energiebewusste Hausmann stellt die Truhe, nachdem er den Aufruf von Bundesrat Ogi gehört hat, in den 7°C warmen Keller. Welche durchschnittliche Leistung müsste die Kühltruhe noch aufnehmen, wenn das Aggregat reversibel arbeiten würde und die Materialkonstante temperaturunabhängig wären? Lösungshinweis: Beim Hineinfliessen bleibt die Energie erhalten, beim Hinauspumpen die Entropie. Lösung: P +T Wärmeleitung: IW = Ti I S Wärmepumpe: I S = Leitwert: GW = IW Ti I S TP W = = i 2 = 6.79 +T +T ( +T ) K GW und Ti bleiben fest: 2 Pneu +T = Palt neu = 22.7 W +Talt Schlüsselwörter: Wärmeleitung, Prozessleistung Quelle: Physik XI/MT 89.5 Aufgaben Thermodynamik Seite38 TD38: Auskühlender Kessel Aufgabenstellung: Ein zylinderförmiger Stahlkessel (Radius 4 m, Höhe 8 m) ist mit heissem Wasser der Temperatur 75°C gefüllt. Deckel und Boden sind sehr gut isoliert. Für die Wand wird ein Wärmedurchgangskoeffizient (inkl.Strahlung) von 45 W/(m2K) angegeben. Die Aussentemperatur beträgt 30°C. a Wie stark ist der thermische Energiestrom, der aus dem Kessel austritt? b Wie gross wäre die Nettostrahlungsleistung der Kesselwand, wenn sie ideal schwarz wäre? c Wie lange würde es dauern, bis das Wasser auf 50°C abgekühlt wäre, wenn der Wärmedurchgangskoeffzient konstant bliebe? Vergleichen Sie mit dem analogen Beispiel aus der Elektrizitätslehre. Lösungshinweis: Das System bildet ein thermisches RC-Glied. Lösung: a IW = kA∆ϑ = 407 kW b IW = σ A (T 4 − TU4 ) = 71.1 kW c C = mc τ = RC = R= 1 1 = G kA mc = 1.86 ⋅105 kA ∆ϑ = ∆ϑ0 e − t τ ∆ϑ t = τ ln 0 = 1.51 ⋅105 s ∆ϑ Schlüsselwörter: Wärmekapazität, Wärmeleitwert, RC-Glied Quelle: Physik XI/MT 89.6 Aufgaben Thermodynamik Seite39 TD39: Glas in Wasser Aufgabenstellung: Ein Glaszylinder (Innendurchmesser 6 cm, Höhe 10 cm) wird mit der Öffnung nach unten ins Wasser gedrückt, bis der Boden mit der Wasseroberfläche fluchtet. Vor dem Eintauchen wies das Glas die gleiche Temperatur wie die Luft (15°C) auf. Welches Volumen füllt die eingeschlossene Luft nach dem Eintauchen noch aus, wenn das Wasser 45°C warm ist? Lösungshinweis: Der Innendruck an der Unterseite der Luftblase muss gleich dem dort herrschenden Druck im Wasser sein. Lösung: Gasgesetz: V1 p1 V2 p2 = T1 T2 Hydrostatik: p2 = p1 + ρ gh2 T1 = 288 K T2 = 318 K h1 p1 h2 ( p1 + ρ gh2 ) = T1 T2 h2 = 10.9 cm ⇒ Luft geht hinaus bis V2 = V1 = 282.7 cm3 Schlüsselwörter: universelles Gasgesetz, Hydrostatik Quelle: Physik II/GS M1.4 Aufgaben Thermodynamik Seite40 TD40: Wasser verdampfen Aufgabenstellung: Zehn Liter Wasser (555 Mol) werden bei Normaldruck (1013 mbar) isobar verdampft. a Welches Volumen füllt der Dampf nachher aus? b Um wieviel hat sich die innere Energie bei diesem Vorgang geändert? c Um wieviel hat die Entropie zugenommen? Lösungshinweis: Der Dampf kann näherungsweise als ideales Gas behandelt werden. Lösung: a ideales Gas: T = 373 K, p = 1.013 ⋅105 Pa, n = 555 Mol nRT V= = 17 m 3 p b W = − p∆V = 1.72 ⋅106 J ∆U = ∆H + W = mr − p∆V = 2.084 ⋅107 J c ∆S = Q mr kJ = = 60.5 T T K Schlüsselwörter: Expansionsarbeit, ideales Gas, Entropie Quelle: Physik II/GS M1.5 Aufgaben Thermodynamik Seite41 TD41: Benzol im U - Rohr Aufgabenstellung: Um den Volumenausdehnungskoeffizienten von Benzol zu bestimmen, füllt man diese Flüssigkeit in eine U-förmige Röhre und bringt den einen Schenkel in Eiswasser, den andern in ein erwärmtes Bad. Wie gross ist der Ausdehnungskoeffizient von Benzol, wenn die Flüssigkeit im kalten Schenkel 167 mm, im warmen Schenkel bei einer Temperatur von 48.3°C 177 mm hoch ist? 4 cm2 16 cm2 0 °C 48.3 °C Lösungshinweis: Im horizontalen Teil herrscht Druckgkeichgewicht. Lösung: ρ1 = ρ0 1 + γϑ ρ1 = ρ 0 γ= h0 h1 h0 −1 h1 ϑ Schlüsselwörter: Volumenausdehnungskoeffizient Quelle: Physik II/GS E1.4 Aufgaben Thermodynamik Seite42 TD42: Isobares Heizen von Helium Aufgabenstellung: Vier Mol Helium werden bei einem konstanten Druck von zehn Bar von 150°C auf 300°C aufgeheizt. a Um wieviel ändert sich dabei die innere Energie? b Um welchen Betrag nimmt die Enthalpie zu? c Bestimmen Sie näherungsweise die Entropiezunahme. Die molare Energiekapazität von Helium ist gleich 3/2R. Lösungshinweis: Die Energieänderung ist unabhängig vom Volumen. Deshalb kann hier direkt mit der Energiekapazität gerechnet werden. Die Enthalpieänderung ist gleich der Wärmezufuhr. Die Entropieänderung ergibt sich aus der Entropiezufuhr. Diese hängt über die absolute Temperatur wiederum mit der Wärme zusammen. Lösung: a +U = ncˆV +T = 7.483 kJ b + H =+U + p+V =+U + nR+T = n 5R +T = 12.5 kJ 2 c Q = ∆H ∆S = S ≈ Q Tmittel = 25 J K 5R T2 J ln = 25.23 exakter Wert: S = n 2 K T1 Schlüsselwörter: innere Energie, Enthalpie, Entropie Quelle: Physik II/GS E1.5 Aufgaben Thermodynamik Seite43 TD43:Heizen mit variabler Kapazität Aufgabenstellung: Die Energiekapazität eines FestkörC pers nehme zuerst linear mit der Temperatur zu, um dann 10 kJ/K oberhalb von 100 K einen konstanten Wert (10 kJ/K) anzunehmen. a Skizzieren Sie das Energie-Temperatur-Diagramm für die ersten 200 K möglichst genau. b Bestimmen Sie den Entropieinhalt bei 200 K. 100 K 200 K T Lösungshinweis: Die Energie ist gleich dem Temperaturintegral der Energiekapazität (Fläche bestimmen). Die Entropiekapazität berechnet sich aus der Energiekapazität, indem man diese durch die absolute Temperatur dividiert. Danach ist wieder über die Temperatur zu integrieren. Lösung: a 1 U = ×10kJ×100K+10kJ×100K=1500 kJ 2 b C S = ∫ dT = T 100 K ∫ 200 K 100 0 J 10 kJ/K dT + ∫ dT 2 T K 100 K 200 S = 10 kJ/K + 10 kJ/K ⋅ ln = 16.9 kJ/K 100 Schlüsselwörter: innere Energie, Entropie Quelle: Physik II/GS E1.6 Aufgaben Thermodynamik Seite44 TD44: Kamindurchmesser Aufgabenstellung: Eine Kesselanlage verbraucht stündlich 300 kg Kohle. Pro Kilogramm Kohle müssen 12 m3 Luft zugeführt werden. Wie gross muss der Mündungsdurchmesser des Schornsteins sein, wenn die Rauchgase am Mündungskopf 250°C heiss sind und mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s abziehen sollten? Die Kohle besteht zum grössten Teil aus Kohlenstoff, der zu Kohlendioxid verbrennt. Lösungshinweis: Die Abgase können als ideale Gase behandelt werden. Anhand der chemischen Reaktion ist zu überlegen, wie sich die Stoffmenge während der Verbrennung ändert. Lösung: nein = naus , pein = paus ⇒ IV2 = IV1 T2 m3 m3 = 1 ×1.916 = 1.916 T1 s s IV = d= Schlüsselwörter: ideales Gas Quelle: Physik II/GS EM2.3 IV T V1 T1 = ⇒ 1 = 1 V2 T2 IV2 T2 πd2 4 v 4 IV = 0.78 m πv Aufgaben Thermodynamik Seite45 TD45: Körper abkühlen Aufgabenstellung: Ein Stoff, der eine konstante spezifische Entropiekapazität von 2 J/(kg·K2) besitzt, wird in einen Kühlraum gebracht. a Um wieviel ändert sich die Entropie und um wieviel ändert sich die Enthalpie von 50 kg des oben erwähnten Materials, wenn es isobar von 20°C auf -20°C abgekühlt wird? b Wieviel Wärmeenergie und wieviel Entropie nimmt der -20°C kalte Kühlraum während des Abkühlvorganges auf. c Wieviel Energie muss einer Wärmepumpe im Minimum zugeführt werden, damit sie diese Wärme wieder an die 15°C warme Umgebung abgeben kann? Lösungshinweis: Während des Abkühlvorganges fliesst die Entropie an den Kühlraum weg. Dabei bleibt die Energie erhalten und die Entropie nimmt maximal zu. Nachher muss die Entropie möglichst reversibel, d.h. ohne weitere Produktion, an die Umgebung abgeführt werden. Lösung: a + S = mk +T = −4 kJ K k : spezifische Entropiekapazität c = kT + H = mc +T = m k mk (T1 + T2 )+T = (T22 − T12 ) = −1.09 MJ 2 2 b Q = −+ H = 1.09 MJ S= Q kJ = 4.316 T2 K c W = S +T = 151 kJ Schlüsselwörter: Enthalpie, Entropie, Wärmepumpe Quelle: Physik II/GS EM2.4 Aufgaben Thermodynamik Seite46 TD46: Heizen von Wasser Aufgabenstellung: Hundert Liter Wasser werden in einem Behälter (Energiekapazität 10 kJ/ °C) von 17°C auf 67°C erwärmt. Der Behälter sei optimal isoliert und die elektrische Heizung setze eine konstante Leistung von 2 kW frei. a Wie lange dauert der Heizvorgang? b Wieviel Entropie wird beim Heizen produziert? Lösungshinweis: Die Entropieproduktion ist hier gleich der Entropiezunahme des Systems Wasser-Behälter. Lösung: Ctot = C + mc = 429 kJ K a WEL = P ⋅ t =+ H = ( C + mc )+ϑ t= Ctot +ϑ = 10 '725 s P b S prod =+S = ∫ KdT K= Ctot T + S = Ctot ln T2 kJ = 68.24 T1 K Schlüsselwörter: Enthalpie, Entropie, Entropieproduktion Quelle: Physik II/GS EM2.5 Aufgaben Thermodynamik Seite47 TD47: Luft in Glaskugel aufheizen Aufgabenstellung: Eine mit Luft gefüllte Glaskugel, die man bei 15°C gewogen hat, wird bei offenem Hahn auf 80°C erwärmt. Dann wird der Hahn geschlossen. Eine zweite Wägung ergibt einen Massenverlust von 0.250 g. Wie gross ist das Volumen der Kugel? Die Ausdehnung des Gefässes kann vernachlässigt werden? Die Dicht der Luft ist bei 0°C 1.293 kg/m3. Lösungshinweis: Der Masseverlust ergibt sich durch die isobare Erwärmung der Luft. Rechnen Sie zuerst die Dichte der Luft bei 15°C und bei 80°C aus. Lösung: pV = nRT p RT p = = konst. ρT = ρ mˆ Rmˆ kg kg T ρ 2 = ρ1 1 ρ1 = 1.226 3 ρ 2 = 1 3 m m T2 m = ρV +m =+ ρV Schlüsselwörter: universelles Gasgesetz Quelle: Physik II/GS M3.4 V= +m = 1.1 l +ρ Aufgaben Thermodynamik Seite48 T48: Wärmekraftmaschine Aufgabenstellung: Eine ideale Wärmekraftmaschine bezieht die Wärme bei 600 K mit einer Energiestromstärke von 10 MW. Die Kühlung geschieht über einen Wärmetauscher mit einem Leitwert (kA-Wert) von 105 W/K. Die Abwärme geht bei 300 K an die Umgebung. a Bestimmen Sie die Nutzleistung der Anlage. b Wie gross ist die Entropieproduktionsrate in der Anlage. Lösungshinweis: Das System besteht aus einer idealen WKM und einem Wärmetauscher. Die untere Temperatur der WKM ist vorerst unbestimmt. Indem man den Energiestrom, der aus der WKM kommt, über den Entropiestrom mit dem zufliessenden Energiestrom verknüpft und für den Durchgang durch den Wärmetauscher das lineare Wärmeleitungsgesetz formuliert, erhält man eine Gleichung für die gesuchte Temperatur. Lösung: a IWab = GW (T − Tu ) = TI Szu GW Tu = 360 K IWzu kW T = IWzu = 16.67 I Szu = GW − T0 K T 0 P = I Szu (T0 − T ) = IWzu T0 − T = 4 MW T0 b Π S = I Sab − I Szu = 3.33 kW K Schlüsselwörter: Wärmekraftmaschine, Entropieproduktion Physik II/GS M3.5 Aufgaben Thermodynamik Seite49 TD49: Wärmepumpe Aufgabenstellung: Eine Wärmepumpe holt Wärme aus dem Grundwasser bei 4°C und gibt sie an Wasser von 54°C ab. Die Anlage wird als ideale Wärmepumpe mit vor- und nachgeschaltetem Wärmetauscher modelliert (siehe Bild). Für die Seite beim Grundwasser hat man einen Wärmetauscher mit einem Wärmeleitwert von 1200 15 kW WT 1 W/K; der zweite Wärmetauscher hat einenWärmeleitwert 4 °C von 1000 W/K. Damit das Grundwasser nicht zu stark abgekühlt wird, darf man ihm nur einen Energiestrom von maximal 15 kW entziehen. a Wie gross ist die Heizleistung der Wärmepumpe? b Wie gross ist die Entropieproduktionsrate in der ganzen Anlage? Heizleistung WT 2 54 °C ideale WP Lösungshinweis: Die „Wärme“ strömt durch drei Systeme hindurch. Beim Durchfluss durch die Wärmetauscher bleibt die Energie und bei der Wärmepumpe die Entropie erhalten. Lösung: a IW = GW +ϑ unterer Wärmetauscher: +ϑ1 = IS = IW 1 = 12.5° GW 1 → ϑ2 = −8.5° IW W = 56.71 T2 K I S ( 327 K ++ϑ2 ) = GW +ϑ2 oberer Wärmetausch: +ϑ2 = I S 327K = 19.66°C − I S + GW → ϑ2 = 73.7°C IW 2 = I S ⋅ 346.7K = 19.66 kW b I S1 = IW 1 W = 54.15 277 K K IS 2 = IW 2 W W = 60.12 Π S = 5.97 327 K K K Schlüsselwörter: Wärmeleitung, Wärmekraftmaschine, Entropieproduktion Quelle: Physik III/HS M1.3 Aufgaben Thermodynamik Seite50 TD50: Heizen eines Stoffes Aufgabenstellung: Ein homogener Stoff, der in einem thermisch isolierten Gefäss steckt und 10°C warm ist, werde mit einer konstanten elektrischen Leistung von 300 W beheizt. Eine Messung ergibt den folgenden Temperaturverlauf ϑ = 10°C + k1·t + k2·t2 mit k1 = 0.02 °C/s und k2 = 0.0001°C/s2 a Welche Endtemperatur stellt sich ein, wenn der Stoff während zehn Minuten beheizt wird. b Um wieviel hat in dieser Zeit die Entropie des Systems zugenommen? Lösungshinweis: Die Entropiezunahme ist gleich der Energiezufuhr dividiert durch die aktuelle Temperatur. Lösung: a ϑ = 10°C + 12°C + 36°C = 58°C b Zeitpunkt 60s 120s 180s 240s 300s 360s 420s 480s 540s 600s total Schlüsselwörter: Entropie Quelle: Physik III/HS E1.4 Temperatur 11.56 °C 13.84 °C 16.84 °C 20.56 °C 25 °C 30.16 °C 36.04 °C 42.64 °C 49.96 °C 58 °C ∆Stot ∆S = J/K 63.43 63 62.43 61.71 60.86 59.88 58.8 57.63 56.37 55.05 599.16 Aufgaben Thermodynamik Seite51 TD51: Kreisprozess IV Aufgabenstellung: Ein Kilogramm Helium befindet sich in einem Arbeitszylinder (momentanes Volumen 50 Liter, Temperatur 0°C). Der gasgefüllte Behälter wird darauf in siedendes Wasser (100°C) getaucht. Sobald das Gas die Temperatur der Umgebung angegnommen hat, expandiert das Helium isotherm auf das zwanzigfache Volumen. Dann wird der Zylinder in ein Eis-Wasser-Gemisch gelegt. Sobald das Helium die Temperatur der Umgebung angenommen hat, wird der Kolben isotherm hineingedrückt. a Skizzieren Sie das p-V- und das T-S-Diagramm für diesen Kreisprozess qualitativ richtig. Geben Sie die vier Druckwerte an. b Wie gross ist die Nettoarbeit des ganzen Kreisprozesses? c Wieviel Entropie wird dem siedenden Wasser entzogen, wieviel ans Eis-Wasser-Gemisch abgeführt? Lösungshinweis: Die beiden isochoren Teilprozesse sind nicht reversibel. Lösung: a p= nRT = 113.5 bar, 155 bar, 7.75 bar, 5.67 bar V b +W = (T23 − T41 ) nRT ln V3 = 622.7 kJ V2 c Q1 = V 3 nR+T + nRT23 ln 3 = 311.8 kJ + 2323 kJ = 2635 kJ 2 V2 S1 = Q1 J = 7064 T23 K Q2 = −311.8 kJ − 1700 kJ = 2 − 012 kJ S2 = Q2 kJ = 7369 T41 K Schlüsselwörter: ideales Gas, Kreisprozess, isochor, isotherm Quelle: Physik HS/Test 3.4 Aufgaben Thermodynamik Seite52 Aufgabenstellung: Ein ideal schwarzer Temperaturstrahler (Durchmesser 20 cm, Temperatur 1000°C) strahlt eine ideal schwarze 1000 °C 3m Blechscheibe (Durchmesser 5 cm) an, die drei Meter entfernt normal 20 cm zur Strahlung ausgerichtet ist. a Welche Strahlungsleistung absorbiert das Blechstück? b Wie warm wird das Blech, wenn die Umgebung eine Temperatur von 21°C aufweist? 5 cm TD52: Temperaturstrahler Lösungshinweis: Das Blech bekommt vom Temperaturstrahler einen durch dessen Temperatur und die Geometrie festgelegten Energiestrom. Im thermischen Gleichgewicht ergänzen sich einfallender Energiestrom und Nettoenergiestrom bezüglich Umgebung zu Null. Lösung: IWab = σ 4π r 2T 4 = 18.7 kW a IWBlech = IWab π R2 r 2 R2 4 = σπ T = 0.325 W 4π s 2 s2 b IW , Blech = IW , weg TB = Schlüsselwörter: Strahlung Quelle: Physik HS/Test 3.5 4 IW , weg = σ 2π r 2 (TB4 − Tu4 ) IWB + σ 2π r 2Tu4 = 307.4 K; 34.4°C σ 2π r 2 Aufgaben Thermodynamik Seite53 TD53: Energieabgabe von Gas Aufgabenstellung: Ein vertikal stehender, thermisch isolierter Zylinder (Querschnitt 20 dm2, freie Länge 0.5 m), der mit einem Kolben verschlossen ist, enthält 300 Mol Helium bei einer Temperatur von 327°C. a Wieviel Energie kann mechanisch gewonnen werden, wenn der fünf Kilogramm schwere Kolben um einen halben Meter hinaufgedrückt wird und der Luftdruck ein Bar beträgt? b Wieviel freisetzbare Energie könnte mit einer idealen WKM durch isochores Abkühlen der eingeschlossenen Gasmenge auf 20°C gewonnen werden, wenn die Aussentemperatur ebenfalls 20°C beträgt? Lösungshinweis: Die Expansion erfolgt isentrop. Die zu gewinnende Arbeit ist gleich der Expansionsarbeit minus die Hub- und Verdrängungsarbeit. Beim zweiten Prozess berechnet man zuerst die abzugebende Entropie. Diese Entropie nimmt bei der Abgabe an die Umwelt eine ganz bestimmte Energie mit. Die freisetzbare Energie ist dann gleich der Differenz zwischen der Energieänderung des Gases und der von der Entropie mitgeschleppten Wärmeenergie. Lösung: a V2 W = − ∫ pdV pV χ = p1V1χ χ = V1 cˆ p cˆv = 5 V1 = 0.1 m3 3 p1 = nRT1 = 1.497 ⋅ 107 Pa V1 W = p1V1χ (1 − χ ) (V1χ −1 − V2χ −1 ) = −8.307 ⋅ 105 J 1 χ −1 V Alternativlösung: T2 = T1 1 = 378 K W =+U = ncˆv +T V2 +WG = mg +h = 24.5 J +WL = pL A+h = 104 J W = −8.2 ⋅ 105 J b +U = ncˆV +T = −1.149 ⋅106 J + S = ncˆV ln Q = +S T2 = 7.858 ⋅105 J T2 J = −2.682 ⋅103 K T1 W = +U − Q = 3.63 ⋅105 J Schlüsselwörter: innere Energie, Entropie, Expansionsarbeit, Wärmekraftmaschine Quelle: Physik V/HS M1.3 Aufgaben Thermodynamik Seite54 TD54: Heisser Stern Aufgabenstellung: Ein Stern mit einem Radius von 15’000 km habe eine Oberflächentemperatur von 25’000 K. Der Stern wird von einem rasch rotierenden Planeten (Durchmesser 2000 km) im Abstand von 25 Millionen Kilometer umkreist. Welche Gleichgewichtstemperatur stellt sich auf dem Planeten ein? Stern und Planet sollen als schwarze Strahler behandelt werden. Der Planet habe überall die gleiche Temperatur. Lösungshinweis: Eingestrahlte und abgegebene Energie halten den Planeten im thermischen Gleichgewicht. Lösung: Stern: IWab = σ 4π rS2TS4 = 6.26 ⋅1025 W Planet : IWein = IWabπ rP2 rS2 rP2 4 = σπ TS = 2.5 ⋅1016 W 2 2 4π rSP rSP IWabP = σ 4π rP2TP4 Strahlungsgleichgewicht: rS2 rP2 4 σ 4π r T = σπ 2 TS rSP 2 4 P P TP = 1 4 Schlüsselwörter: Strahlung Quelle: Physik V/HS E1.1 1 4 rS TS = 433 K rSP Aufgaben Thermodynamik Seite55 TD55: Kreisprozess V Aufgabenstellung: Achthundert Mol Neon, die ein Volumen von 50 Liter ausfüllen, werden bei konstantem Druck von 27°C auf 527°C erwärmt, dann adiabatisch wieder auf 27°C abgekühlt und zum Schluss isotherm auf das ursprüngliche Volumen zusammengedrückt. a Skizzieren Sie diesen Kreisprozess im p-V- und im T-S-Diagramm qualitativ richtig. b Bestimmen Sie, um wieviel sich die Entropie des Gases bei jedem von diesen drei Teilprozessen ändert. c Während des Aufheizens sei das Gas über einen Wärmetauscher mit einer Wärmequelle verbunden. Wieviel Entropie wird bei der Zufuhr im Wärmetauscher drin erzeugt, wenn die Quelle eine konstante Temperatur von 600°C aufweist? Lösungshinweis: Die Produktion ergibt sich aus der Differenz zwischen vom Bad abgegebener und vom Gas aufgenommener Entropie. Lösung: a b + S I = ncˆ p ln T2 kJ ; + S II = 0; + S III = −+S I = 16.31 K T1 c Q =+ H = ncˆ p +T = 8.314 ⋅106 J SWB = kJ Q = 9.523 K TWB S prod =+ S1 − SWB = 6.79 kJ K Schlüsselwörter: ideales Gas, Entropie, isobar, isentrop, isotherm Quelle: Physik V/HS E1.2 Aufgaben Thermodynamik Seite56 TD56: Erdwärme Aufgabenstellung: Zwanzig Meter unter der Erdoberfläche misst man eine Temperatur von 10°C. Zweihundert Meter tiefer klettert das Quecksilber bereits auf 15°C. a Mit welcher Stromdichte wird Energie gegen die Erdoberfläche transportiert, wenn die mittlere Wärmeleitfähigkeit des Gesteins 2.2 W/mK beträgt? b Wieviel Entropie wird in einem Zylinder, der sich zwischen den beiden Messpunkten erstreckt und eine Grundfläche von 10 m2 aufweist, infolge der Wärmeleitung produziert? Lösungshinweis: Das Wärmeleitungsgesetz liefert den Energiestrom. Lösung: a A d I λ mW jW = W = +ϑ = 55 A d m2 IW = GW +ϑ GW = λ b 1 1 W Π S = I S 2 − I S 1 = AjW − = 3.37 ⋅10−5 K T2 T1 Schlüsselwörter: Wärmeleitung, Entropieproduktion Quelle: Physik I/HS E2.1 Aufgaben Thermodynamik Seite57 TD57: Kühltruhe Aufgabenstellung:In einem Prospekt findet man zu einer Kühltruhe die folgenden Angaben: Nutzinhalt 312 Liter; H/B/T 85/156/65 cm; Gefrierleistung 36 kg/24 h; Stromverbrauch 0.71 kWh in 24 h. Wir nehmen an, die Truhe sei mit einer idealen Wärmepumpe bestückt, die zwischen -22°C und 55°C arbeitet. Die Aussentemperatur betrage 20°C. a Wieviel Entropie vermag die Wärmepumpe in 24 Stunden zu fördern? b Wie gross ist der mittlere Wärmedurchgangskoeffizient der Truhenhülle? Lösungshinweis: Die Wärmepumpe fördert die Entropie, die infolge der Wärmeleitung und vom Gefriergut im Innern der Kühltruhe ankommt. Lösung: a Dauerbetrieb: P = 29.6 W; I S = P W kJ = 0.384 ; S = 33.2 +T1 K K Gefrierbetrieb: + H = m ( cW +TW + q + cE +TE ) = 16.7 MJ +H kJ = 66.6 251K K kJ kJ kJ + 33.2 = 99.8 Stot = 66.6 K K K S= b IW = Ti I S = 96.4 W GW = IW W = 2.3 +TE K Oberfläche: A = 2 ⋅ 0.85 ⋅ 2.21 + 2 ⋅ 1.56 ⋅ 0.65m 2 = 5.785 m 2 k= GW W = 0.397 A Km 2 Schlüsselwörter: Wärmepumpe, Wärmeleitung Quelle: Physik I/HS M2.3 Aufgaben Thermodynamik Seite58 TD58: Eis schmelzen Aufgabenstellung: Mit der Entropie, die zehn Gramm Wasserdampf (1.013 bar, 100°C) beim Kondensieren abgeben, soll eine entsprechende Menge Eis abgeschmolzen werden. Der ganze Prozess soll reversibel ablaufen, wobei 100 g Helium als Medium dient. Diesem Helium wird die “Wärme” isotherm zugeführt, dann wird die Temperatur des Gases reversibel und adiabatisch abgesenkt und nachher wird die “Wärme” an das Eis-Wasser-Gemisch weitergegeben. Das Helium stehe anfänglich unter einem Druck von 10 bar. a Wieviel Eis wird durch die Zufuhr dieser Wärmemenge geschmolzen? b Wieviel Energie wird total freigesetzt, wenn das Helium zum Schluss wieder in den Anfangszustand gebracht worden ist? c Berechnen Sie das Volumen, welches das Helium unmittelbar nach der Entropieabgabe einnimmt. Lösungshinweis: Bei einem reversiblen Prozess bleibt die Entropie erhalten. Die Wärmeenergie berechnet sich dann aus dem Produkt von Entropie und absoluter Temperatur (Menge mal Beladungsmass). Lösung: a Saus = +S = J mr = 60.5 K Tdampf mE = Tschmelz Saus = 49.5 g q b W = Saus +T = 6.05 kJ c 1 nRT1 V1 = = 77.5 l p1 κ= cˆ p 5 = cˆn 3 T κ −1 V4 = V1 1 = 123.8 l T4 1 3 = κ −1 2 Schlüsselwörter: ideales Gas, Entropie, isotherm, isentrop Quelle: Physik V/HS EM2.2 Aufgaben Thermodynamik Seite59 TD59: Nutzbare Energie von warmem Wasser Aufgabenstellung: 250 Liter Wasser von 35°C dürfen auf 22°C abgekühlt werden. Die Umgebung sei 4°C warm. a Wieviel frei nutzbare Energie kann dabei mit einer idealen Wärmekraftmaschine gewonnen werden. Die Maschine arbeite zwischen 20°C und 6°C? b Wieviel frei verfügbare Energie kann unter den gegebenen Bedingungen im Maximum gewonnen werden? Lösungshinweis: Im ersten Fall ist die bezüglich der Wärmekraftmaschine (WKM) zufliessende Energie gleich der Enthalpieänderung des Wassers. Dividiert man diese Wärmeenergie durch die am Eingang der WKM herrschende absolute Temperatur, erhält man die zugehörige Entropie. Diese Entropie gibt in der WKM nutzbare Energie frei. Im zweiten Fall ist die an die Umwelt abgeführte Entropie gleich der Entropieänderung des Wassers. Also weiss man wieviel Energie die Entropie beim Übergang an die Umwelt mitschleppt. Zieht man diese „gebundene“ Energie von der Wärmeenergie, welche das Wasser verlässt (Enthalpieänderung) ab, erhält man die maximal nutzbare Energie. Lösung: a + H = mc +T = 13.65 MJ Sauf = Qauf Tauf = +H kJ = 46.6 Tauf K W = Sauf +T = 652 kJ b +S = mc ln T1 kJ = 45.3 = S ab T2 K Qab = S abTab = 12.54 MJ W = + H − Qab = 1.11 MJ Schlüsselwörter: Enthalpie, Entropie, Wärmekraftmaschine Quelle: Physik V/HS EM2.3 Aufgaben Thermodynamik Seite60 TD60: Strahlende Kugel Aufgabenstellung: In einer evakuierten Kammer, deren Wände 27°C warm sind, befinde sich eine Kugel aus schwarzem Blech (Radius 50 cm). Diese Blechkugel werde von einer zweiten Kugel (Radius 10 cm) aufgeheizt, die sich in deren Zentrum befindet und elektrisch auf konstant 527°C gehalten werde. Auf welche Temperatur wird die Blechkugel aufgeheizt? Alle Körper können als optimale (schwarze) Strahler angesehen werden. Lösungshinweis: Die auf der Innenseite der Blechkugel auftreffende Strahlungsleistung muss gleich der nach aussen abgegebenen Leistung sein. Lösung: IW 1 = IW 2 4 IW 1 = σ AHeizkugel (THK −T 4 ) AHK (TH4 − T 4 ) = ABK (T 4 − TU4 ) 1 4 IW 2 = σ ABlechkugel (T 4 − TUmgebung ) r2 T 4 + r2 T 4 4 T = BK U2 HK2 HK = 392 K 119° rBK + rHK Schlüsselwörter: Strahlung Quelle:Physik V/HS EM2.4 Aufgaben Thermodynamik Seite61 TD61: Raketentriebwerk Aufgabenstellung: Aus einem Raketentriebwerk tritt reiner Wasserdampf mit einer Geschwindigkeit von 3200 m/s und einem Druck von einem Bar aus. Die Brennkammer weise eine Temperatur von 3227°C auf. a Wieviel Masse wird pro Sekunde aus der ein Quadratmeter grossen Öffnung ausgestossen? b Wie gross ist die Dichte in der Brennkammer? c Wie gross ist der Querschnitt an der engsten Stelle der Düse? Lösungshinweis: Die Lösung dieser Aufgabe setzt voraus, dass die Thermodynamik des Raketentriebwerks im Unterricht behandelt worden ist. Lösung: a 2κ RTB m = 3743 κ − 1 mˆ s kg I m = ρ vA = 735.5 s v2 m mp ρ= = mit T = 1 − 2 V nRT c∞ c∞ = ρ= TB = 942 K ˆ mp kg = 0.23 3 RT m b κ T κ −1 pB = p B = 295.2 bar T ˆ mp kg ρ B = B = 18.26 3 RTB m c 1 v 2 κ −1 Im V 2 κ − 1 1 − = = 2 c∞ ρ B c∞2 κ + 1 c∞ Im = 4.75 ⋅ 10−2 m 2 AS = 1 κ −1 2 κ −1 ρB c∞ κ +1 κ + 1 v AS s c∞ Schlüsselwörter: Raketentriebwerk Quelle: Physik V/HS EM2.5 Aufgaben Thermodynamik Seite62 TD62: Kreisprozess VI Aufgabenstellung: Eine bestimmte Menge Helium vollp bar führt als Arbeitsgas den nebenstehend skizzierten Kreisprozess. Die Expansion erfolgt isotherm und die Komp1 ression isobar bei einem Druck von 5 bar. Die tiefste Temperatur des Gases liegt bei 300 K. a Zeichnen Sie den ganzen Prozess im p-T-Diagramm und geben sie die zugehörigen Werte an allen drei 5 3 Eckpunkten an. b Skizzieren Sie das T-S-Diagramm qualitativ richtig. 10 c Wieviel Wärmeenergie muss dem Gas zugeführt werden? d Um wieviel nimmt die Entropie der 7°C warmen Umgebung pro Zyklus zu? 2 50 V Liter Lösungshinweis: Im isobaren Prozess verlaufen Temperatur und Volumen proportional zueinander. Beim isochoren Heizen steigt der Druck mit der Temperatur. Wärme muss beim isochoren Heizen und bei der isothermen Expansion zugeführt werden. Die Entropieabgabe an die Umgebung entspricht der Wärmeenergie dividiert durch den dort herrschenden absolute Temperatur. Die Wärmeenergie ist gleich der Enthalpieänderung bei der isobaren Kompression. Lösung: pV = nR T n= pV 5 ⋅105 ⋅ 0.01 = mol = 2 mol RT 8.314 ⋅ 300 a T12 = 1500 K p1 = 25 bar b Das T-S-Diagramm besteht aus einer exponentiell steigenden Kurve, einer horizontalen Linie und einer exponentiell zum Startpunkt zurücklaufenden Kurve. c 3R V Q =+U 31 + W12 = n +T + RT12 ln 2 V1 2 3+T V + T12 ln 2 = 70.24 kJ = nR V1 2 d 5R +T = −50 kJ 2 Q J SU = − a = 178.6 TU K Qa =+ H 23 = Schlüsselwörter: isochor, isobar, isotherm, Entropie, Enthalpie Quelle: Physik VI/HS EM2.2 Aufgaben Thermodynamik Seite63 TD63: Kinetische Gastheorie Aufgabenstellung: Ein Liter Stickstoff sei 20°C warm und weise einen Druck von einem Bar auf. a Wie gross ist die gesamte Bewegungsenergie aller Moleküle? b Wieviele Moleküle bewegen sich mit einer Schnelligkeit (Betrag der Geschwindigkeit), die zwischen 299.5 m/s und 300.5 m/s liegt? Lösungshinweis: Die Bewegungsenergie ergibt sich aus dem Äquipartitionsprinzip. Die Geschwindigkeitsverteilung muss im Unterricht behandelt worden sein. Lösung: a f kT f =5 2 pV 5 5n 5 = N kT = RT = pV = 250 J n = RT 2 2 2 WTeilchen , Bew = WBew,tot b 3 v2 − Teilchen m 2 N+ = n ( v )+v = 4π Teilchen v 2 e 2 kT N +v 2π kT pV mTeilchen N A = mˆ N = nN A = N A = 2.472 ⋅1022 Teilchen RT kg m R +v = 1 mˆ = 0.028 k= NA mol s 3 − m 2 N+ = 4π Teilchen v 2 e 2π kT Schlüsselwörter: kinetische Gastheorie Quelle: Physik VII/HS E2.3 mTeilchen v 2 2 kT m N +v = 4.12 ⋅109 Moleküle Aufgaben Thermodynamik Seite64 TD64: Sonnenkollektor Aufgabenstellung: Ein Sonnenkollektor soll dimensioniert werden. Das austretende Wasser ist gegenüber dem eintretenden um 25°C wärmer und die zugehörige Volumenstromstärke betrage 0.20 Liter/s. Die von der Sonne pro Fläche eingestrahlte Leistung (800 W/m2) wird vom Kollektor mit einem Wirkungsgrad von 65% zur Erwärmung des Wassers ausgenutzt. Welche Fläche muss der Kollektor aufweisen? Lösungshinweis: Die netto eingestrahlte Leistung muss vom Wasser konvektiv wegtransportiert werden. Lösung: vom Wasser abtransportiert: IW ,con = ρW IV = ρ c+ϑ IV = 20.91 kW vom Kollektor pro Quadratmeter absorbiert: W W jW ,ab = 0.65 ⋅ 800 2 = 520 2 m m I A = W ,con = 40.2 m 2 jW ,ab Schlüsselwörter: Energiebilanz, konvektiver Energiestrom Quelle: Physik I/HS M3.4 Aufgaben Thermodynamik Seite65 TD65: Kühltruhe Aufgabenstellung: Eine Kühltruhe sei mit einer reversibel arbeitenden Wärmepumpe bestückt, welche die Wärme von -22°C auf 50°C hinaufpumpt. Die Umgebungstemperatur betrage 22°C und das Kühlgerät nehme in vierundzwanzig Stunden 0.9 kWh elektrische Energie auf. a Wie gross ist der Wärmeleitwert der thermischen Isolation? b Wie gross ist die Entropieproduktionsrate in der thermischen Isolation drin? Lösungshinweis: Aus der mittleren Pumpleistung und der Temperaturdifferenz kann die geförderte Entropiestromstärke gerechnet werden. Mulitpliziert man diese mit der absoluten Innentemperatur der Truhe, erhält man den thermischen Energiezufluss. Lösung: P = 37.5 W, I S = P W = 0.5208 = I S ,innen +TP K a IWi = I Si Ti = 130.7 W GW = +TW = Ta − Ti IWi W = 2.97 +TW K b Π S = I Si − I Sa = IWi Ta − Ti W = 7.77 ⋅ 10 −2 K Ta Ti Schlüsselwörter: Entropieproduktion, Wärmepumpe Quelle: Physik I/HS M3.5 Aufgaben Thermodynamik Seite66 TD66: Stirlingzyklus Aufgabenstellung: Zehn Kilomol eines zweiatomigen Gases (molare Energiekapazität 2.5 R) durchlaufen einen idealen Stirlingzyklus. Die Wärme wird bei 367°C zugeführt und bei 27°C wieder abgegeben. Aufgeheizt wird das Gas bei einem Volumen von 2 m3 und abgekühlt bei 6 m3. a Wie gross sind der Maximal- und der Minimaldruck? b Wieviel Entropie fliesst dem Gas von aussen, d.h. vom wärmeren Reservoir her, zu? c Wieviel Energie gibt das Gas an das kältere Bad in Form von Wärme ab? d Wieviel Entropie wird im Verdrängerkolben zwischengespeichert? Lösungshinweis: Beim Stirlingzyklus wird wie beim Carnotzyklus Entropie vom einen Wärmebad angesaugt und später an ein zweites Wärmebad weitergegeben. Der einzige Unterschied der beiden Zyklen liegt in der Art, wie die Temperatur des Arbeitsgases geändert wird. Beim Carnotzyklus geschieht dies isentrop, bei Stirlingzyklus isochor. Weil beim Stirlingzyklus die Temperaturänderung nicht isentrop erfolgt, muss die Entropie auf dem jeweiligen Temperaturniveau zwischengelagert werden. Lösung: a pV = nRT pmax = nRT1 = 266 bar V1 pmin = nRT2 = 41.6 bar V2 b S =+ S = nR ln V2 kJ = 91.34 K V1 c Q2 = T2 S = 27.4 MJ d T 5 kJ + S = n R ln 1 = 157.5 2 T2 K Schlüsselwörter: isochor, isotherm, Entropie, ideales Gas Quelle: Physik IV/HS M3.4 Aufgaben Thermodynamik Seite67 TD67: Gefrieren von Wasserdampf Aufgabenstellung: 100 kg Wasserdampf müssen bei Normaldruck von 100°C auf -40°C abgekühlt werden. Die Umgebungstemperatur beträgt 20°C. a Berechnen Sie die Energie, die aufgewendet werden muss, wenn der heisse Dampf direkt in eine Kühlkammer eingeleitet wird, die eine Temperatur von -40°C aufweist. Die Kammer werde von einer Wärmepumpe kühl gehalten, die reversibel zwischen -50°C und +30°C arbeitet. b Wieviel Energie könnte gewonnen bzw. müsste aufgewendet werden, wenn der ganze Kühlprozess reversibel durchgeführt würde? Lösungshinweis: Im ersten Fall ist die Wärmeabgabe an die Kühlkammer zu berechnen. Diese Wärme legt die Entropie fest, die hochgepumpt werden muss. Im zweiten Fall bestimmt man zuerst die Entropieänderung des Wassers, daraus kann die von der idealen Kühlmaschine an die Umgebung abgegebene Wärmenergie berechnet werden. Der Unterschied zwischen dieser Wärmeenergie und dem Betrag der Enthalpieänderung des Wasser entspricht der Arbeit der Wärmepumpe. Lösung: a + H = m ( r + c+ϑ1 + q + cE +ϑ2 ) = 3.09 ⋅ 108 J = Q kJ Q = 1387 223 K K 8 W = S +T = 1.11 ⋅ 10 J S= b 373 q 273 kJ r + c ln + + cE ln +S = m = 891.2 273 273K 233 K 373K 8 Q = + S ⋅ 293 K = 2.611 ⋅10 J W = + H − Q = 4.79 ⋅107 J Schlüsselwörter: Kühlmaschine, Entropie Quelle: Physik IV/HS M3.5 (Energiegewinn) Aufgaben Thermodynamik Seite68 TD68: Kreisprozess VII Aufgabenstellung: Zehn Kilomol eines einatomigen Gases (molare Energiekapazität 1.5·R) durchlaufen einen Kreisprozess. Zuerst wird das Gas isochor bei einem Volumen von einem Kubikmeter von 27°C auf 627°C erwärmt. Dann wird es isotherm entspannt, bis der Druck wieder den ursprünglichen Wert angenommen hat. Zum Schluss wird das Gas isobar auf den Anfangswert zurückgeführt. a Wie gross sind der Maximal- und der Minimaldruck? b Um wieviel ändert sich die Entropie des Gases bei jedem dieser drei Teilprozesse? c Die Wärme wird einem Ofen entnommen, der 727°C warm ist und an die 7°C warme Umgebung abgeführt. Wieviel Entropie wird pro Zyklus mindestens produziert? Lösungshinweis: Sowohl bei der Zufuhr als auch bei der Abfuhr wird infolge der vorhandenen Temperaturdifferenzen Entropie erzeugt. Die Entropieproduktion kann mit Hilfe der Energie berechnet werden. Bei den Wärmebädern ist die ausgetauschte Energie immer gleich der ausgetauschten Entropie mal die herrschende Temperatur. Beim Arbeitsgas sind Energie und Entropie separat zu rechnen. Lösung: a p= nRT V p1 = 249 bar p2 = 748 bar b +SI = n 3R T2 kJ ln = 137 2 K T1 + S III = −+ S I 5 kJ = −228 3 K 2 kJ + S II = − ( +S I ++S III ) = + S I = 91 3 K c QI = n V 3R+T = 7.48 ⋅ 107 J QII = nRTII ln 2 = 8.22 ⋅ 107 J V3 2 SW 1 = QI + QII J = 1.57 ⋅ 105 TW 1 K SW 2 5 R+T QII J = = 2 = 4.45 ⋅ 105 TW 2 TW 2 K Serz = SW 2 − SW 1 = 288 kJ K Schlüsselwörter: ideales Gas, isochor, isotherm, isobar, Entropie Quelle: Physik V/HS M3.4 Aufgaben Thermodynamik Seite69 TD69: Schwebende Glaskugel Aufgabenstellung: Eine hohle Glaskugel (Radius 3 cm) schwebt in zwanziggrädigem Wasser. a Wie gross ist die Wandstärke der Kugel? b Steigt oder sinkt die Kugel, wenn die Temperatur zunimmt? Begründung! c Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich die Kugel bei einer Wassertenperatur von 25°C? Glas: Dichte (20°C) 2.55 kg/m3 Längenausdehnungskoeffizient 4.6·10-6/K Wasser: Dichte (20°C) 998 kg/m3 Raumausdehnungskoeffizient 2.1·10-4/K Zähigkeit 1mPas Lösungshinweis: Zwei Faktoren, welche den Auftrieb beeinflussen, sind temperaturabhängig: das Volumen der Kugel und die Dichte von Wasser. Zur Berechnung der Endgeschwindigkeit müssen beide Umströmungen (laminar oder turbulent) berechnet werden. Das Gesetz, welches die kleiner Endgeschwindigkeit liefert, gilt. Lösung: a FG = FA 4π 3 3 4π 3 R − r ) ρGl g = R ρW g ( 3 3 r= 3 ρGl − ρW R ρGl +ρ R − r = R 1 − ρGl = 4.57 mm b FA = V ρW g = V20 (1 + 3α +ϑ )(1 − γ +ϑ ) ρ 20 g 3α < γ ⇒ sinkt c + FA = FR V20 ρ 20 3α − γ +ϑ g = 6πη Rv v= 2 2 R ρ 20 g 3α − γ +ϑ m = 1.92 9 η s + FA = FW 1 4π 3 0.4 m 20 2 ρ 25v 2π R 2 v = R 3α − γ +ϑ g = 0.0439 R ρ 20 3α − γ +ϑ g = 3 2 s 3 ⇒ turbulente Umströmung Schlüsselwörter: Quelle: Physik VIII/MT 90.1 d Aufgaben Thermodynamik Seite70 TD70: Eistee Aufgabenstellung: 54 g Eis von -15°C werden mit 0.2 Litern Tee von 30°C gemischt. Der Tee wird dadurch auf 7°C abgekühlt. Wieviel Energie hat das System Eistee während des Mischens mit der Umwelt ausgetauscht? Wasser: Dichte (20°C) 998 kg/m3 Raumausdehnungskoeffizient 2.1·10-4/K Zähigkeit 1mPas spez. Schmelzenthalpie 334 kJ/kg spez. Enthalpiekapazität 4.19 kJ/kgK spez. Enthalpiekapazität (Eis) 2.1 kJ/kgK spez. Verdampfungsenthalpie 2256 kJ/kg Lösungshinweis: Die Enthalpieänderung des Eises und des Tees rechnen und vergleichen. Lösung: + H1 = mE ( cE +ϑ1 + g + cW +ϑ2 ) = 21.32 kJ + H 2 = mT cW +ϑ3 = −19.27 kJ ⇒ 2.05 kJ aufgenommen Schlüsselwörter: Enthalpie, Energiebilanz Quelle: Physik VIII/MT 90.2 d Aufgaben Thermodynamik Seite71 TD71: Kreisprozess VIII Aufgabenstellung: Ein ideales Gas durchläuft einen Kreisprozess mit folgenden Teilprozessen: isobare Expansion, isochore Abkühlung, isotherme Kompression. a Zeichnen Sie für den ganzen Kreisprozess das p-V- und das p-T-Diagramm. b Bei welchen Teilprozessen ändert sich die innere Energie des Gases? c Wann ändert sich die Enthalpie? molare Energiekapazität des einatomigen Gases: 3/2 R Lösung: a p-V-Diagramm: horizontale Linie, vertikale Linie, Hyperbelbogen p-T-Diagramm: horizontale Linie, Linie in Richtung Ursprung, vertikale Linie b U(T) => isobar, isochor c H = U + pV => isobar, isochor Schlüsselwörter: ideales Gas, isobar, isochor, isotherm, Enthalpie Quelle: Physik VIII/MT 90.3 d Aufgaben Thermodynamik Seite72 TD72: auskühlendes Stahlfass Aufgabenstellung: Ein Stahlfass (70 cm Durchmesser, 120 cm hoch) ist ganz mit sechziggrädigem Wasser gefüllt. a Wie stark ist der thermische Energiestrom aus dem Fass, wenn zwei Tage später eine Temperatur von 52°C gemessen wird? b Wie gross ist die thermische Energiestromdichte durch den Mantel, wenn die Energiestromdichten durch den Boden 30% und durch den Deckel 70% des gesuchten Wertes annehmen? Lösungshinweis: Das Stahlfass verhält sich als thermisches RC-Glied. Hier ist aber nur die Energiestromdichte im zeitlichen Mittel gefragt. Lösung: a + H = π r 2 h ρ cW +ϑ = 15.48 MJ IW = +H = 89.58 W +t b jW = IW 2π h + π r ( 0.3 + 0.7 ) 2 Schlüsselwörter: Energiestromdichte Quelle: Physik VIII/MT 90.4 d = IW W = 29.63 2 π r ( 2h + r ) m Aufgaben Thermodynamik Seite73 TD73: Luft komprimieren Aufgabenstellung: Luft hat bei Normalbedingung (1013 mbar, 0°C) eine Dichte von 1.23 kg/ m3. Um wieviel ändert sich die Dichte, wenn der Druck adiabatisch und reversibel vom Normalzustand auf den dreifachen Wert erhöht wird? Die Luft kann dabei als ideales, zweiatomiges Gas behandelt werden. universelle Gaskonstante: 8.3145 J/molK Lösungshinweis: Die Adiabatengleichung mit Hilfe der Masse in eine Beziehung zwischen Dichte und Druck umformen. Lösung: 7 cˆ p 2 R 7 κ= = = = 1.4 cˆv 5 R 5 2 κ p1V1 = p2V2κ : mκ p1 ρ1−κ = p2 ρ 2−κ 1 p κ kg ρ 2 = ρ1 2 = 2.696 3 m p1 ρ2 kg + ρ = 1.466 3 = 2.192 ρ1 m Schlüsselwörter: isentrop, adiabatisch Quelle: Physik VIII/MT 90.5 d Aufgaben Thermodynamik Seite74 TD74: Kreisprozess IX Aufgabenstellung: Helium (0.3 m3, 220 °C und 27 bar) wird isotherm auf 6 m3 expandiert, isochor auf 25 °C abgekühlt, isotherm auf 0.3 m3 komprimiert und schlussendlich wieder auf 220°C erwärmt. a Wieviel mechanische Energie wird pro Kreisprozess abgegeben? b Wie gross ist der Wirkungsgrad, wenn das Aufheizen des Heliums auch mit Hilfe des heisseren Wärmebades geschieht? Lösungshinweis: Berechnen Sie zuerst die Energieumsätze der vier Teilprozesse. Lösung: −+U II =+U IV = ncˆv +T = WI = p1V1 ln WIII = p1V1 3 pV 3 R+T = 1 1 +T = 480.6 kJ RT1 2 T1 2 V1 = −2426.5 kJ V2 p1V1TIII V2 ln = 1486.68 kJ TI V1 a W = − (WI + WIII ) = 9.597 ⋅ 105 J b η= Schlüsselwörter: isochor, isotherm Quelle: Physik VIII/MT 90.6 d W = 33% +U + WI Aufgaben Thermodynamik Seite75 TD75: Iglu Aufgabenstellung: Ein halbkugelförmiges Iglu habe einen Innenradius von 1.4 m, die Aussentemperatur betrage 0°C. Wie dick muss die Eiswand des Iglus gebaut sein, damit sich die Innentempereratur auf 18°C einstellt, wenn zwei Personen eine Leistung von zusammen 180 Watt abgeben und 40 % der Wärme über den Boden und die ausgetauschte Luft die Eishütte verlassen? Hinweis: Rechnen Sie in der einfachsten Näherung. Die Materialwert sind aus Handbüchern oder Formelsammlungen zu entnehmen. Lösungshinweis: Die Nettoleistung entspricht dem thermischen Energiestrom durch die Eiswände. Aus Temperaturgefälle und Energiestrom kann der thermische Widerstand berechnet werden. Lösung: RW = +T IW ,therm = 1K 6W 0.Näherung: R W = ∑ Rw,i = i 1 1 d 1 + + 2π r 2 α λ α 2 d = λ RW 2π r 2 − = 0.24 m α 1 1 1 d + + 1.Näherung: R W = 2 2 2 2π r α d (r + d ) α r + λ 2 1 1 1 ≈ ( λ + dα + λ ) ≈ ( 2λ + dα ) 2 2π 2παλ ( r 2 + rd ) d r + αλ 2 2 R 2π r αλ − 2λ d= W = 0.3 m α − 2π rRW αλ Schlüsselwörter: Wärmewiderstand, Wärmeleitungsgesetz Quelle:Physik XII/MT 90.1 d Aufgaben Thermodynamik Seite76 TD76: Wärmewiderstand a Bestimmen Sie den Wärme(energie)widerstand einer Betonhohlkugel (Innenradius 50 cm, Aussenradius 1.5 m). b Bestimmen Sie den Wärme(energie)widerstand eines zwei Meter hohen Betonzylindermantels (Innenradius 50 cm, Aussenradius 1.5 m). Lösungshinweis: Berechnen Sie zuerst eine beliebig dünnwandige Hohlkugel oder einen beliebig dünnwandigen Zylinder. Integrieren Sie dann über die Wandstärke. Lösung: R W = ∫ dR W a dR W = dr λ 4π r 2 dr 1 1 1 K = − = 0.106 2 λ 4π r 4πλ r1 r2 W r1 r2 RW = ∫ b dr dR W = λ 2π hr r2 dr 1 r K = ln 2 = 0.0874 λ 2π hr 2π hλ r1 W r1 RW = ∫ Schlüsselwörter: Wärmewiderstand, Wärmeleitungsgesetz Quelle: Physik XII/MT 90.2 d Aufgaben Thermodynamik Seite77 TD77: Luft trennen Aufgabenstellung: Fünfhundert Kubikmeter Luft (Luftdruck 917 mbar, Temperatur 18°C) soll in Sauerstoff (21%) und Stickstoff (79%) aufgespalten werden. Die beiden Gase müssen dabei auf 150 bar komprimiert und in 30-Literflaschen abgefüllt werden. Die Endtemperatur soll wieder 18°C betragen. a Wieviele Flaschen können abgefüllt werden? b Wieviel Entropie wird bei reversibler Prozessführung an die Umgebung (18°C) abgegeben? c Wieviel Energie muss mindestens aufgewendet werden? Lösungshinweis: Die Entropieabnahme von Sauerstoff und Stickstoff darf getrennt berechnet werden, da die beiden Gase kaum miteinander wechselwirken. Bei reversibler, isothermer Prozessführung (Trennung mittels semipermeablen Kolben) addieren sich die beiden Austauschformen der Energie, Wärme und Arbeit, zu Null. Lösung: pV = ( n1 + n2 ) RT m1 21 n1mˆ 1 = = m2 79 n2 mˆ 2 n1 = pV 1 = 3576 mol RT 1 + 21 mˆ 1 79 mˆ 2 n 2 = n1 21 mˆ 1 = 15 '375 mol 79 mˆ 2 a V1 = n1 RT = 0.577 m3 19 Flaschen p V2 = n2 RT = 2.48 m3 p 82 Flaschen b V V J ∆S = ∆S1 + ∆S2 = R n1 ln 1 + n2 ln 2 = −8.79 ⋅105 V V K c W + Q = ∆U ⇒ W = −Q = −TS = 256 MJ Arbeit des Luftdruckes: WLuft = pL ∆V = 44.6 MJ Schlüsselwörter: ideales Gas, Mischentropie, isotherm Quelle: Physik XII/MT 90.3 d Aufgaben Thermodynamik Seite78 TD78: Temperaturausgleich Aufgabenstellung: Ein wärmeisoliertes Gefäss sei so durch eine Trennwand (400 mm x 1200 mm, Wärmedurchgangskoeffizient 2.5 W/m2K) in zwei Kammern aufgeteilt, dass der eine Teilbehälter 5000 l und der andere 8000 l speichern kann. Die Energiekapazität des Behälters selber sei sehr klein. a Wieviel Entropie wird in der ersten Minute erzeugt, wenn das Wasser in der grösseren Kammer 85°C und in der kleineren 15°C warm ist? b Wie lange wird es dauern, bis der Temperaturunterschied zwischen den beiden Kammern nur noch 20°C beträgt? Lösungshinweis: Wärmeleitwert und Temperaturdifferenz legen die Stärke des Energiestromes fest. Daraus können Entropieströme und Entropieproduktion berechnet werden. Dynamisch verhält sich das System als RC-Glied. Lösung: a RW = 1 5 K = kA 6 W IW ,therm = +T = 168 W RW 1 1 W ∏ s = I S 2 − I S 1 = IW ,therm − = 1.14 ⋅10−1 K T2 T1 J Serz. = ∏ s t = 6.84 K b − t +ϑ =+ϑ0 e τ , t = τ ln τ = RW C = RW C1C2 mm = RW c 1 2 = 1.074 ⋅107 s C1 + C2 m1 + m2 +ϑ0 = 1.345 ⋅107 s +ϑ Schlüsselwörter: Wärmeleitung, Entropieproduktion, RC-Glied Quelle: Physik XII/MT 90.4 d Aufgaben Thermodynamik Seite79 TD79: Stirling Aufgabenstellung: Ein Stirling-Zyklus besteht aus einer isothermen Expansion, einer isochoren Abkühlung, einer isothermen Kompression und einer isochoren Erwärmung. a Skizzieren Sie das p-V-Diagramm für den ganzen Zyklus. Markieren Sie im Diagramm die total freigesetzte Energie. b Skizzieren Sie das T-S-Diagramm für den ganzen Zyklus. Markieren Sie im Diagramm die total freigesetzte Energie. c Worin unterscheidet sich der Stirling-Zyklus vom Carnot-Zyklus? d Bei welchen Teilprozessen nimmt das Gas im Stirling-Zyklus Entropie auf? Bei welchen gibt es Entropie ab? e Was muss bei den isochoren Teilprozessen mit der Entropie geschehen, damit der StirlingProzess absolut reversibel bleibt? Lösungshinweis: Im T-S-Diagramm entspicht die ausgeschnittene Fläche der Wärme und im p-V-Diagramm kann die ausgeschnittene Fläche als (negative) Arbeit gelesen werden. Lösung: a P 1 2 4 3 V b P 1 4 2 3 S c Beim Stirling-Kreisprozess erfolgt die Temperaturänderung isochor statt adiabatisch. d ∆S > 0 bei 1 − 2, 4 − 1 ∆S < 0 bei 2 − 3, 3 − 4 e In den isochoren Teilprozessen darf die Entropie nicht mit den Wärmebädern ausgetauscht werden, da sie dabei thermisch hinunterfallen und infolge der freigesetzten Energie zunehmen würde. Folglich muss bei den isochoren Teilprozessen des Strirling-Zyklus die Entropie bei der aktuellen Temperatur zwischengelagert werden. Schlüsselwörter: Entropie, isochor, isobar Quelle:Physik XII/MT 90.5 d Aufgaben Thermodynamik Seite80 Lösungshinweis: Luftdruck und hydrostatischer Druck des Quecksilbers bestimmen zusammen den Druck im Helium. Lösung: a pV = nRT V = π r 2l = 7.34 ⋅10−6 m3 p = pL + ρ Hg gh = 9.966 ⋅104 Pa n= pV = 3.08 ⋅10−4 mol RT b p1l1 = p2l2 p2 = p0 + ρ Hg g ( l − l2 ) p1l1 = p0l2 + ρ Hg gll2 − ρ Hg gl22 ρ Hg gl22 − ( p0 + ρ Hg gl ) l2 + p1l1 = 0 l2 = 0.1242 m l − l2 = 0.1758 m lHg + = 0.1558 m Schlüsselwörter: ideales Gas, Hydrostatik Quelle: Physik VIII/MT 90.1 a m = ρ Hg π r 2lHg + = 106 g 150 Aufgabenstellung: Ein dreissig Zentimeter langes, einseitig abgeschlossenes Glasrohr mit einem Durchmesser von 8 mm ist 15 cm hoch mit Helium gefüllt. Die Füllung wird mit einem zwei Zentimeter hohen Quecksilberpfropfen eingeschlossen. a Wieviel Helium (Stoffmenge) ist im Glasrohr enthalten, wenn der ganze Raum eine Temperatur von 20°C aufweist und der Luftdruck 970 mbar beträgt? b Wieviel Quecksilber kann eingefüllt werden, bis dessen Niveau gleich hoch ist wie der Rand des Glasrohres? Dichte von Hg (20°C): 13.55 t/m3; rel. Atommasse von He: 4.003 20 TD80: Glasrohr mit Hg-Pfropfen Aufgaben Thermodynamik Seite81 TD81: Kalorimeter Aufgabenstellung: Ein Kalorimeter (Enthalpiekapazität 800 J/K) enthält bei einer Temperatur von 24°C einen Liter Wasser. Dann werden 500 g eines Eis-Wasser-Gemisches dazugeschüttet. Wieviel Eis enthielt das kühle Gemisch, wenn die Endtemperatur des Kalorimeters 5°C beträgt? Lösungshinweis: Die Summe der Enthalpieänderungen muss gleich Null sein. Lösung: + H1 = ( m1c + C )+ϑ1 = −94.81 kJ m1 == 1000 g + H 2 = m2 c+ϑ = 10.48 kJ m 2 == 500 g + H 3 = m3 g = 84.33 kJ m3 = Schlüsselwörter: Kalorimetrie, Enthalpie Quelle: Physik VIII/MT 90.2 a +H 3 = 252.5 g g Aufgaben Thermodynamik Seite82 TD82: Eisfeld Aufgabenstellung: Die Sonnenstrahlung hat am Ort der Erde eine Energiestromdichte von 1326 W/m2. Wie lange dauert es, bis auf einem Null Grad Celsius warmen Eisfeld eine zwei Millimeter dikke Eisschicht geschmolzen ist, wenn die Atmosphäre nur 60% der Strahlung durchlässt, die EisWasser-Schicht 30% der einfallenden Strahlung reflektiert und die Sonne 40° über dem Horizont steht? Wasser: spez. Schmelzenthalpie: 334 kJ/kg; spez. Energiekapazität: 4.19 kJ/kg·K; spez. Verdampfungsenthalpie: 2256 kJ/kg; Dichte von Eis: 917 kg/m3 Lösungshinweis: Zuerst muss die Nettoenergiestromdichte gerechnet werden. Dann kann die Energiebilanz pro Quadratmeter Eisfläche aufgestellt werden. Lösung: jWnetto = jW ⋅ 0.6 ⋅ 0.7 ⋅ cos 50° = 358 Energiebilanz: jWnetto At = ρ E Adq t= Quelle: Physik VIII/MT 90.3 a d : Dicke der Eisschicht ρ E dq = 1.71⋅103 s = 28'31'' jWnetto Schlüsselwörter: Energiebilanz, Strahlung W m2 Aufgaben Thermodynamik Seite83 TD83: Kreisprozess X Aufgabenstellung: Ein Kreisprozess eines idealen Gases bestehe aus einer isobaren und einer isothermen Expansion, sowie einer isobaren und einer anschliessenden isothermen Kompression. a Zeichnen Sie für den ganzen Kreisprozess das p-V- und das p-T-Diagramm. b Bei welchen Teilprozessen ändert sich die innere Energie des Gases? c Wann ändert sich die Enthalpie? ideales, einatomiges Gas: molare Energiekapazität: 3/2 R ideales, zweiatomiges Gas: molare Energiekapazität: 5/2 R universelle Gaskonstante: 8.3145 J/molK Lösungshinweis: Lösung: a p p 1 2 4 3 1 2 4 3 V T b Die innere Energie ändert sich nur bei den isobaren Prozessen, da die innere Energie eines idealen Gases nur von der Temperatur abhängt U(T). c H = U+pV Bei den isothermen Prozessen eines idealen Gases ist U und pV konstant. Also ändert sich die Enthalpie auch nur bei den isobaren Prozessen. Schlüsselwörter: ideales Gas, isobar, isotherm, innere Energie, Enthalpie Quelle: Physik VIII/MT 90.4 a Aufgaben Thermodynamik Seite84 TD84: Luftblase im Teich Aufgabenstellung: Eine Luftblase (Durchmesser 5 mm) löst sich vom Boden eines Teiches in fünf Meter Wassertiefe und bewegt sich gegen das 15°C warme Oberflächenwasser. Die eingeschlossene Luft sei immer gleich warm wie die Umgebung und die Blase behalte ihre Kugelgestalt bei. Die Oberflächenspannung sei zu vernachlässigen. a Welchen Durchmesser weist die Blase unmittelbar vor dem Auftauchen auf, wenn das Tiefenwasser sechs Grad Celsius warm ist und der Luftdruck 950 mbar beträgt? b Wieviel Wärme tauscht die Luft beim Aufstieg mit der Umgebung aus? Machen Sie eine möglichst genaue Abschätzung! Lösungshinweis: Die Zustände sind durch die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases (universelles Gasgesetz) festgelegt. Die Wärme ist gleich der Änderung der inneren Energie reduziert um die Arbeit am System (Energiebilanz oder 1. Hauptsatz der TD). Lösung: a p1V1 p2V2 = T1 T2 d2 V =3 2 = d1 V1 3 p1T1 = 1.161 p2T d 2 = 5.805 mm b Die Expansionsarbeit an der Luftblase hängt vom Temperaturprofil des Teiches ab. Deshalb genügt eine einfache Abschätzung. Q = ∆U − W Abschätzung: W = − p+V 5 Q = n R+ϑ + p+V = 7.603 ⋅10−4 J + 4.417 ⋅10−3 J = 5.178 ⋅10−3 J 2 4π 3 V1 = r1 = 6.545 ⋅10−8 m3 3 p1 = p0 ρ gh = 1.44 bar n= p1V1 = 4.06 ⋅10−6 mol RT1 Schlüsselwörter: ideales Gas, Energiebilanz Quelle: Physik VIII/MT 90.5 a Aufgaben Thermodynamik Seite85 TD85: Luft in Wasser Aufgabenstellung: Ein einseitig geschlossenes Rohr (Aussendurchmesser 10 cm, Innendurchmesser 8 cm, Länge 50 cm, Gesamtmasse 11 kg) ist am offenen Ende mit einem reibungsfrei verschiebbaren Kolben (Masse 1200 g, Höhe 3 cm) abgeschlossen. In drei Meter Wassertiefe (untere Fläche des Kolbens) misst der luftgefüllte Innenraum eine Länge von 30 cm. a Welche Länge weist der Luftraum in 2 Metern Wassertiefe (untere Fläche des Kolbens) auf, wenn der Luftdruck 967 Hektopascal beträgt? b Mit welcher Seilkraft muss das Gefäss bei einer Eintauchtiefe von 2.5 Meter festgehalten werden? Lösungshinweis: Der Druck legt bei gegebener Temperatur das Volumen fest. Lösung: pU = pL + ρ gh1 = p1 + p1 = pL + ρ gh1 − m g A m g = 123'788 Pa π r2 a p2 = pL + ρ gh2 − l2 = l1 m g = 113'978 Pa π r2 p1 = 32.25 cm p2 b p3 = pL + ρ gh3 − m p g = 118'883 Pa l3 = l1 1 = 31.25 cm 2 πr p3 ( ) Fs = FG − FA = g m − ρ wπ ( rA2l − ri 2 h ) = 88.43 N h = l − d − l3 − hk = 14.75 cm Schlüsselwörter: Auftrieb, Boyle-Mariotte Quelle: Physik VIII/MT 91.3 Aufgaben Thermodynamik Seite86 TD86: Stickstoff im Barometer Aufgabenstellung: In einem Barometer (Rohrlänge 90 cm, Querschnitt 1.5 cm2) stand die Quecksilbersäule anfänglich 75 cm hoch. Die Raumtemperatur beträgt 27°C. Nachdem ein wenig Stickstoff in den evakuierten Teil hineingeleitet wurde, hat sich die Säule auf 70 cm verkürzt. a Wieviele Mol Stickstoff wurden hineingeleitet? b Wieviel Gramm sind das? Lösungshinweis: Der Partialdruck des Stickstoffs ergibt sich aus der Änderung der Quecksilbersäule. Lösung: a m kg ⋅13'500 3 = 6622Pa 2 s m 2 −4 −1 V = 1.5 ⋅10 m ⋅ 2 ⋅10 m = 3 ⋅10−5 m3 p = 0.05m ⋅ 9.81 n= pV = 7.96 ⋅10−5 mol RT b ˆ = 2.23 mg m = mn Schlüsselwörter: ideales Gas, Stoffmenge Quelle: Physik IX/MT 91.1 Aufgaben Thermodynamik Seite87 TD87: Wasserdampf Aufgabenstellung: Um bei 2 bar Druck ein Kilogramm Wasser zu verdampfen muss 2.2 MJ Wärmeenergie zugeführt werden. Der Dampf nimmt dann ein Volumen von 824 Liter pro Kilogramm ein und der Siedepunkt liegt bei 120°C. a Wieviel Energie wird beim Verdampfen von 5 kg Wasser bei 120°C in Form von Expansionsarbeit an die Umwelt abgegeben? b Um wieviel ändert sich die innere Energie von 5 kg Wasser, wenn es bei 2 bar und 120°C vollständig verdampft wird? c Welches Volumen würde der Dampf einnehmen, wenn er sich wie ein ideales Gas verhalten würde? Lösungshinweis: Die zugeführte Wärme ist gleich der Änderung der inneren Energie minus die Expansionsarbeit (1. Hauptsatz der TD). Lösung: a W = − p∆V = −2 ⋅105 ⋅ 5 ⋅ 0.823 J = −823 kJ b ∆U = Q + W = mr + W = 10.18 MJ c m 5000 = = 277.5 mol mˆ 18.016 nRT V= = 4536 m3 p n= Schlüsselwörter: Verdampfungsenthalpie, Expansionsarbeit, ideales Gas Quelle: Physik IX/MT 91.2 Aufgaben Thermodynamik Seite88 TD88: Temperaturabhängigkeit einer Pendeluhr Aufgabenstellung: Um wieviel geht eine Uhr mit einem 1 m langen Pendel aus Stahl, die bei 20°C genau richtig läuft, am Tag vor, wenn die Temperatur auf 0°C sinkt? Lösungshinweis: Behandeln Sie das Pendel als dünnen Stahlstab, der um das eine Ende frei drehbar gelagert ist. Die Schingungsdauer oder Periode eines idealisierten Pendels hängt nur von der Länge und der Gravitationsfeldstärke ab. Lösung: J + ms 2 2l = 2π 3g mgs l2 12 l 2 J =m Anzahl Schwingungen pro Tag n = 86 '400s Tϑ T = 2π Verhältnis: β = s= Tϑ = 1 + αϑ T0 effektive Dauer: t0 = nT0 = 1 β ⋅ 86 '400s = 86409.5s ∆t = 9.5 s Schlüsselwörter: Längenausdehnung, Pendel Quelle: Physik IX/MT 91.3 lϑ = l0 (1 + αϑ ) Aufgaben Thermodynamik Seite89 TD89: Verdampfungsenthalpie von Wasser Aufgabenstellung: In einem Kalorimeter (Energiekapazität 126 J/K) befinden sich 240 g Wasser von 12°C. Nach dem Einleiten von 6.5 g gesättigtem Wasserdampf von 99°C steigt die Temperatur auf 26.7°C. Berechnen Sie daraus die spezifische Verdampfungsenthalpie des Wassers bei dieser Temperatur. spezifische Energiekapazität von Wasser: 4.19 kJ/kgK Lösungshinweis: Die Verdampfungsenthalpie ergibt sich aus der Enthalpiebilanz. Lösung: + H1 ++ H 2 = 0 + H1 = ( m1cw + C )+ϑ1 = 16 '635J + H 2 = − m2 r + m2 cw +ϑ2 r= + H1 J + cw +ϑ2 = 2.256 ⋅ 106 kg m2 Schlüsselwörter: Kalorimetrie, Verdampfungsenthalpie Quelle: Physik IX/MT 91.6 +ϑ1 = 14.7°C Aufgaben Thermodynamik Seite90 TD90: Kreisprozess XI Aufgabenstellung: Ein Zylinder mit verschiebbarem Kolben enthalte 0.1 mol ideales, zweiatomiges Gas bei einem Absolutdruck von einem Bar und einer Temperatur von 27°C. Das Gas werde isochor auf 327°C erwärmt, adiabatisch abgekühlt und isobar in den ursprünglichen Zustand gebracht. a Zeichnen Sie das p-V- und das T-V-Diagramm des ganzen Kreisprozesses. b Berechnen Sie Volumen und Temperatur am Schluss des adiabatischen Teilprozesses. c Wie gross ist die Nettoarbeit des Kreisprozesses? d Wieviel Wärme wird dem Gas zugeführt, wieviel abgeführt? Lösungshinweis: Berechnen Sie zuerst den zweiten Zustand. Der dritte Zustand ist durch die Isentropengleichung und den Druck des ersten Zustandes festgelegt. Schreiben Sie für alle drei Teilprozesse die Energiebilanz (1. Hauptsatz der TD) auf. Lösung: a p T 2 2 3 1 3 1 V b V2 = V1 = nRT1 T = 2.494 l p2 = p1 2 = 2 bar p1 T1 p3V3κ = p2V2κ mit κ = 1.4 und p3 = p1 = 1 bar 1 p κ pV V3 = V2 2 = 4.09 l T3 = 3 3 = 492 K nR p1 c W23 = ∆U = ncˆV ( T3 − T2 ) = −224.5 J W31 = − p1 (V1 − V3 ) = 159.6 J Wtot = −64.9J d Qzu = ncˆV (T2 − T1 ) = 623.55 J Qab =+ H = ncˆ p (T1 − T3 ) = −558.7 J Schlüsselwörter: ideales Gas, isochor, isentrop, isobar, Wärme, Arbeit Quelle: Physik X/MT 91.2 V Aufgaben Thermodynamik Seite91 TD91: Zimmer heizen Aufgabenstellung: Ein Elektroofen gibt 4000 Watt thermische Leistung bei 60 °C ab. a Wieviel Entropie gibt er pro Sekunde ab? b Das zu beheizende Zimmer habe eine Temperatur von 24°C. Wieviel nimmt die Entropie des Zimmers pro Sekunde zu. c Welche Heizleistung könnten mit den 4000 W erbracht werden, wenn die Entropie reversibel vom Garten (0°C) in das Bodenheizungssystem (30°C) gepumpt würde? Lösungshinweis:die Energie bleibt erhalten, die Entropie kann bei irreversiblen Prozessen zunehmen. Lösung: a IS = IW ,th T = 12 W K b I W SZimmer = I S = W ,th = 13.47 TZimmer K c Entropiepumpleistung: P = I S ∆T IS = IW ,th 1 W P = 133 3 K ∆T = I S Toben = 40.4 kW Schlüsselwörter: Entropie, Wärme Quelle: Physik X/MT 91.4 Aufgaben Thermodynamik Seite92 TD92: Aluminiumproduktion Aufgabenstellung: In welcher Zeit werden mit einem Aluminium-Schmelzofen, in dem ein Strom von 100’000 Ampère fliesst, fünf Tonnen dreiwertiges Aluminium (relative Atommasse 26.98, Dichte 2700 Kg/m3) abgeschieden? Lösungshinweis: Geflossene Ladung und abgeschiedenes Aluminium sind proportional zueinander. Lösung: I = zeI N = zeN A I n F = eN A m = 1.853 ⋅105 mol mˆ 10 Q = 5.363 ⋅10 C Q t = = 5.363105 s = 149h = 6.2d I Q = zFn Schlüsselwörter: Stoffmenge Quelle: Physuk X/MT 91.5 n= Aufgaben Thermodynamik Seite93 TD93: Wein kühlen Aufgabenstellung: Eine Flasche Wein (Energiekapazität 3500 J/K) kühlt in einem Eisschrank in den ersten drei Stunden von 20°C auf 11°C ab. Der Schrank habe eine konstante Temperatur von 6°C. a Wie gross ist der thermische Widerstand der Flasche (zusammen mit der umgebenden Grenzschicht)? b Wie lange dauert es, bis die Flasche auf 7°C abgekühlt ist? Lösungshinweis: Das System kann als thermisches R-C-Glied modelliert werden. Lösung: a +ϑ =+ϑ0 e τ= t τ t = 2.914h = 10 ' 489 s +ϑ0 ln +ϑ τ = RC ⇒R= τ C = 2.997 K W b t = τ ln Schlüsselwörter: RC-Glied Quelle: Physik XI/MT 91.4 +ϑ0 = 27 '681s = 7.69h +ϑ Aufgaben Thermodynamik Seite94 TD94: Widerstand einer Hohlkugel Aufgabenstellung: Berechnen Sie den thermischen Widerstand einer Styroporhohlkugel (spezifische Wärmeleitfähigkeit 0.036 W/mK, Innenradius 10 cm, Aussenradius 50 cm) a mit einer Näherungsformel b möglichst genau. Lösungshinweis: Zuerst den Widerstand einer beliebig dünnen Schicht bestimmen, dann über die ganze Wandstärke aufsummieren. Lösung: a RW = 1 l 1 = λ A λ R−r R+r 4π 2 2 = 9.824 K W b 1 dr λ 4π r 2 R0 1 dr 1 1 1 1 R0 − ri K R= ∫ = = 17.68 − = 2 λ 4π r 4πλ ri R0 4πλ R0 ri W ri dünne Schale: dR = Schlüsselwörter: thermischer Widerstand Quelle: Physik XI/MT 91.6 Aufgaben Thermodynamik Seite95 TD95: Heisses Wasser in Rohrleitung Aufgabenstellung: In einem Rohr (Durchmesser 0.4 m) fliessen zwanzig Liter Wasser pro Minute. An einer bestimmten Stelle misst man eine Wassertemperatur von 51°C. Sechs Meter weiter hat das Wasser nur noch eine Temperatur von 47°C. Im umgebenden Raum beträgt die Temperatur 20°C. a Welchen Wert würden Sie für den Wärmedurchgangskoeffizienten Wasser-Umgebung angeben? b Wieviel Entropie wird auf diesen sechs Metern insgesamt pro Sekunde produziert? Lösungshinweis: Zuerst mit Hilfe einer Energiebilanz die Enthalpieänderung pro Masse rechnen. Der Wärmeenergiestrom ist dann proportional zur Änderung der spezifischen Enthalpie multipliziert mit dem Massenstrom. Die Entropieproduktionsrate ist gleich dem in die Umwelt eintretenden Entropiestrom minus des vom heissen Wasser abgegebenen Entropiestromes. Lösung: a Q =+ H = mc+ϑStrecke I = H = I c+ϑ W ,th m Strecke = 5576 W IW ,th = Ak +ϑ +ϑ = 29° k= IW ,th A+ϑ = 25.5 A = π dl = 7.5 m 2 W Km 2 b + S = mc ln T1 T2 I S 1 = I m c ln T1 W = −17.31 T2 K IS 2 = IW ,th TU = 19.02 W K Π S = I S 1 + I S 2 = 1.71 W K Schlüsselwörter: Energiebilanz, Entropieproduktion, Konvektion Quelle: Physik IX/MT 92.1 Aufgaben Thermodynamik Seite96 TD96: Kollektor mit Wärmepumpe Aufgabenstellung: Vergleich von zwei Methoden des Heizens von 50-grädigem Wasser: (1) Wasser, das im Moment eine Temperatur von 50°C hat, wird weiter mit einem solaren Warmwasserkollektor erwärmt. (2) Die Sonnenstrahlung treibt in einem Kraftwerk eine ideale Wärmekraftmaschine zwischen den Temperaturen von 300°C und 50°C. Mit der in diesem idealen Kraftwerk gewonnenen elektrischen Energie wird eine ideale Wärmepumpe betrieben, welche die Wärme bei 15°C holt und damit das 50-grädige Wasser heizt. In beiden Fällen wird 60% der Sonnenstrahlung genutzt. Was ist das Verhältnis der Effizienz der beiden Methoden? Lösungshinweis: Im zweiten Prozess setzt der primäre Entropiestrom eine Prozessleistung frei, mit der ein zweiter Entropiestrom gepumpt werden kann. Diese beiden Entropieströme sind mit dem Entropiestrom zu vergleichen, der bei direkter Einstrahlung dem System zugeführt wird. Lösung: IW , Sonne ,eff . I. Kollektor: I SI = II. Wärmepumpe: I SII = I S 1 + I S 2 I S1 = TK IW , Sonne,eff . T1 P = (T1 − TK ) I S 1 = (TK − T2 ) I S 2 IS 2 = TK = 323 K T1 = 573 K T2 = 288 K (T1 − TK ) I (TK − T2 ) S 1 (T − T ) IW , somm ,eff . (T1 − TK ) I SII = I S 1 + I S 2 = I S 1 1 + 1 K = 1 + T1 ( TK − T2 ) (TK − T2 ) I SII TK (T1 − TK ) = 1 + = 4.6 I SI T1 (TK − T2 ) Schlüsselwörter: Wärmekraftmaschine, Entropieproduktion Quelle: Physik IX/MT 92.2 Aufgaben Thermodynamik Seite97 TD97: Eisturm a Wieviel Energie muss mindestens aufgewendet werden, um einen Eisturm (0°C) von 6.00 m Durchmesser und 20.0 m Höhe herzustellen, wenn das dazu benötigt Wasser 15°C warm ist und die reversibel arbeitende Wärmepumpe die Wärme bei -4°C ansaugt und bei 45°C abgibt? b Wieviel Energie müsste aufgewendet werden, wenn der ganze Kühlprozess reversibel ablaufen würde und die Umgebungstemperatur 38°C beträgt? Lösungshinweis: Bei der ersten Prozessführung ist mit Hilfe einer Energiebilanz die Entropie zu rechnen, die von der Pumpe bei -4°C gefördert werden muss. Die Pumpenergie ist dann gleich Menge mal Förderhöhe. Beim zweiten Prozess ist die minimale Pumpenergie gleich der Differenz der Enthalpieänderung und der von der Entropie an die Umwelt abgeführten Energie. Lösung: a Q = + H = ρ EisV ( c+ϑ + q ) = 2.057 ⋅1011 J Q J = 7.648 ⋅108 T K 10 W =+TS = 3.747 ⋅10 J (1.04 ⋅10 4 kWh ) bei -4 °C: S = b Eissturm: Umgebung: T q J ∆S = m c ln 2 − = −7.5 ⋅108 = Sab T1 T2 K J Sein = − Sab = 7.5 ⋅108 K Qein = SeinTU = 2.334 ⋅1011 J W = Qein − ∆H = 2.7666 ⋅1010 J Schlüsselwörter: Energiebilanz, Entropiebilanz Quelle: Physik IX/MT 92.3 Aufgaben Thermodynamik Seite98 TD98: Stossfuge Aufgabenstellung: Die bei 5°C 10.0 mm breiten Stossfugen zwischen 10 m langen und 20 cm dicken Betonplatten einer Autostrasse sind mit Teer zugegossen. Wieviel Teervolumen quilt pro 10 cm Fugenlänge heraus, wenn sich der ganze Belag auf 30°C erwärmt hat? Lösungshinweis: Durch die Erwärmung werden die Fugen enger und der Teer (Bitumen) dehnt sich aus. Pro Platte kann eine Fuge gerechnet werden. Lösung: Teer: Fuge Breite Fuge =>∆V=62.8 cm3 vorher nachher: vorher: nachher: nachher: Schlüsselwörter: thermische Ausdehnung Quelle: Physik IX/MT 92.4 VT = 200 cm3 VTn = (1+γ∆ϑ)VT = 202.75 cm3 VF = 200 cm3 b = 1cm - Länge α ∆ϑ = 0.7 cm VF =140 cm3 Aufgaben Thermodynamik Seite99 TD99: Tauchsieder Aufgabenstellung: Ein ideal isoliertes Kalorimeter mit einer Energiekapazität von 550 J/K ist mit 6.00 Litern Wasser von 9°C gefüllt. Der eingebaute Tauchsieder (Energiekapazität 140 J/ K, Leistung 200 W) sei zwölf Minuten eingeschaltet. a Welche Endtemperatur stellt sich ein? b Wieviel Entropie ist insgesamt produziert worden? Lösungshinweis: Die Endtemperatur kann über eine Energiebilanz berechnet werden. Die Entropieproduktion entspricht der Entropieänderung des Systems, da keine Entropie von aussen zugeführt wird. Lösung: a W = ∆H = 144 kJ ∆H ∆ϑ = = 5.585°C mc + C1 + C2 ϑ = 14.585°C b S prod = ∆S = Ctot ln T2 J = 505 K T1 Schlüsselwörter: Energiebilanz, Entropieproduktion Quelle: Physik IX/MT 92.5 Aufgaben Thermodynamik Seite100 TD100: Diamant Aufgabenstellung: Diamant hat bei 200 K eine molare Enthalpiekapazität von 0.25 R (R ist die universelle Gaskonstante). Bei 300 K beträgt sie 0.75 R. Dazwischen steigt sie linear an. a Wieviel Energie muss man einem Diamanten von 10 g Masse zuführen, um ihn von 200 K auf 300 K zu erwärmen? a Um wieviel nimmt dabei sein Entropie zu? Lösungshinweis: Zur Berechnung der Energie kann für die Kapaziät der Wert in der Mitte des Temperaturintervalls genommen werden. Zur Berechnung der Entropie muss die Entropiekapazität über die Temperatur integriert werden. Lösung: a Q = ∆H = ncˆ ∆T = m 0.5 R∆T = 346.6 J mˆ b R 4 cˆ cˆ 3R cˆ1 − aT1 T − T1 kˆ = = 1 + a = a− = a+ T T T 4T T cˆ = cˆ1 + a∆T ; a = 5 ⋅10 −3 K −1 R; cˆ1 = 2 ˆ = m a∆T − 3R ln T2 ∆S = n ∫ kdT mˆ 4 T1 T1 T = m 3 J R 0.5 − 0.75 ln = 1.357 mˆ 2 K Schlüsselwörter: Enthalpiekapazität, Entropiekapazität Quelle: Physik IX/MT 92.6 Aufgaben Thermodynamik Seite101 TD101: Kalorimeter mit idealer Wärmepumpe Aufgabenstellung: Ein Kalorimeter (Energiekapazität 850 J/K) enthält 400 g Wasser und 1.2 kg Eis bei 0°C. a Wieviel Wasser von 50°C kann hineingegossen werden, bis das Kalorimeter nur noch Wasser von 0°C enthält? b Wieviel Energie muss im Minimum aufgewendet werden, um den alten Zustand wieder herzustellen? Die Umgebung habe eine Temperatur von 18°C. Lösungshinweis: Die erste Frage kann mit Hilfe einer Energiebilanz (totale Enthalpieänderung muss gleich Null sein) beantwortet werden. Der alte Zustand ist wieder hergestellt, wenn die erzeugte Entropie an die Umgebung abgeführt und der Rest der Erstarrungsentropie auf das aktuelle Niveau des Wassers hochgepumpt worden ist. Die hochzupumpende Entropie entspricht der Entropieänderung des zu heizenden Wassers. Lösung: a ∆H1 + ∆H 2 = 0 m1q + m2 c∆ϑ = 0 ⇒ m2 = m1 q = 1.913 kg c ∆ϑ b Serz = T J m1q − m2 c ln W = 119.87 K TEis TEis wegpumpen: m1 = 1200 g W1 = (TUmg − TEis ) Srez = 2157.7 J Wasser erwärmen: W2 = ∆H 2 − Q = m2 c∆ϑ − ∆S2TEis T W2 = m2 c ∆ϑ − TEis ln W TEis Wtot = W1 + W2 = 34.9 kJ Kontrolle: Serz + ∆S2 = = 32740.9 J qm1 TEis Schlüsselwörter: Kalorimetrie, Entropiebilanz, Entropieproduktion Quelle: Physik X/MT 92.1 Aufgaben Thermodynamik Seite102 TD102: Kreisprozess XII Aufgabenstellung: In einem Zylinder befinden sich 12 g Helium bei einem Druck von 4 bar und einer Temperatur von 35°C. Zuerst wird das Gas isochor auf 200°C erwärmt und dann isobar auf das doppelte Volumen expandiert. Die Abkühlung erfolgt zuerst isochor und dann isobar. a Skizzieren Sie den Prozess im T-V- und im T-S-Diagramm. b Welche Maximaltemperatur erreicht das Gas? c Wieviel Wärme wird im ganzen Kreisprozess zugeführt und wieviel abgeführt? p V Lösungshinweis: Bei den isobaren Prozessen wächst das Vorlumen proportional zur absoluten Temperatur an. Lösung: a T T 3 3 2 2 1 4 4 1 V S b T3 = V3 ⋅ 473.15K = 946.3 K V2 c n = 3 mol, T4 = 2T1 = 616.3 K 5 3 Q1 = nR (T2 − T1 ) + (T3 − T2 ) = 35.68 kJ 2 2 5 3 Q2 = nR (T4 − T3 ) + (T1 − T4 ) = −31.55 kJ 2 2 Schlüsselwörter: isochor, isobar Quelle: Physik X/MT 92.2 Aufgaben Thermodynamik Seite103 TD103: Kreisprozess XIII Aufgabenstellung: In einem Zylinder befinden sich 12 g Helium bei einem Druck von 4 bar und einer Temperatur von 35°C. Zuerst wird das Gas isochor auf 200°C erwärmt und dann isobar auf das doppelte Volumen expandiert. Die Abkühlung erfolgt zuerst isochor und dann isobar. Die Wärme werde einem Bad entzogen, das genau so warm ist, wie das Gas im heissesten Moment und die Abwärme werde an ein Bad abgegeben, das 35°C warm ist. a Wieviel Entropie wird pro Zyklus im Minimum produziert? b Wie gross ist der theoretische Wirkungsgrad des Zyklus? Lösungshinweis: Die Wärmemenge (vergl. vorhergehende Aufgabe TD102) dividiert durch die Tem-peratur des jeweiligen Wärmebades ergibt die ausgetauschte Entropie. Die Entropieproduktion ist dann gleich der Differenz der beiden Entropiemengen. Die Nutzarbeit entspricht der ausgeschnittenen Fläche im p-V-Diagramm. Lösung: a Q Q J Serz = − 1 + 2 = 64.7 K T3 TBad b η= W Q1 W = ( p2 − p1 ) ∆V1 = 4115.8 J p2 = p1 V1 = T2 = 6.142 bar T1 nRT1 = 19.2l p1 η = 0.115 zum Vergleich: ηc = 1 − T1 = 0.674 T3 Schlüsselwörter: isochor, isobar, Entropie, Entropieproduktion Quelle: Physik X/MT 92.3 Aufgaben Thermodynamik Seite104 TD104: Isentrope Expansion Aufgabenstellung: Fünf Mol Helium werden isentrop expandiert, bis sich das Volumen verdoppelt hat. Wie gross ist die Expansionsarbeit, wenn der Anfangsdruck bei 20 bar und die Anfangstemperatur bei 330°C liegt? Lösungshinweis: Die Isentropengleichung liefert die Endtemperatur. Die Expansionsarbeit ergibt sich dann aus der Energiebilanz. Lösung: p1V1κ = p2V2κ p= cˆ nRT , κ= p V cˆv κ −1 = T2V2κ −1 TV 1 1 κ −1 V T2 = T1 1 V2 2 1 3 = T1 = 380 K 2 3 W = ∆U = n R (T1 − T2 ) = −13.917 kJ 2 Schlüsselwörter: isentrop, Energiebilanz Quelle: Physik X/MT 92.4 Aufgaben Thermodynamik Seite105 TD105: Glühbirne Aufgabenstellung: An einer Glühbirne werden Strom und Spannung gemessen. Bei einer Spannung von 12 mV misst man einen Strom von 10 mA. Erhöht man die Spannung auf 24 Volt, so steigt die Stromstärke auf 1.05 Ampere an. Für die Temperaturabhängigkeit des Widerstandes darf die untenstehende Formel verwendet werden: R(∆ϑ) = R20°C[1+α∆ϑ+β(∆ϑ)2] Berechnen Sie die Temperatur und die Grösse der strahlenden Oberfläche des Glühdrahtes bei 24 Volt. Der Draht ist als ideal schwarz zu betrachten. Lösungshinweis: Die oben angegebene Formel liefert die Temperaturdifferenz, falls der Widerstand bei 20°C und bei der unbekannten Betriebstemperatur vorgängig berechnet worden sind. Im Betriebszustand ist die elektrisch freigesetzten Leistung gleich der Stärke des abgestrahlen Energiestromes. Lösung: R20 = U1 = 1.2 Ω I1 Hilfsgrösse r'= R= U2 = 22.875 Ω I2 R − R20 = 18.05 R20 β +ϑ 2 + α +ϑ − r ' = 0 +ϑ = 2693°C ϑ = 2713°C Näherung: A= T = 2986 K Pel = IW ,th = σ AT 4 UI = 5.59 ⋅10 −6 m 2 4 σT Schlüsselwörter: Temperaturabhängigkeit des Widerstandes, Strahlung Quelle: Physik XI/MT 92.2 Aufgaben Thermodynamik Seite106 TD106: Bimetall Aufgabenstellung: Ein Bimetallstreifen bestehe aus je einem Kupferband und einem Zinkband von 0.4 mm Dicke und 20 cm Länge. Erwärmt man den anfänglich gestreckten Streifen von 10°C auf 40°C, so krümmt er sich. Berechnen Sie den Krümmungsradius. Lösungshinweis: Machen Sie eine Skizze! Die Mittellinien der beiden Bimetallsteifen liegen auf zwei Segmenten von konzentrischen Kreisen mit gleichem Winkel. Der Unterschied der Länge der beiden Mittellinien ist durch die Erwärmung entstanden. Lösung: b1 = ϕ R1 b2 = ϕ R2 Geometrie: therm. Ausdehnung: R i : mittlere Radien ∆b = ϕ ( R2 − R1 ) = ϕ d ∆b = b (α1 − α 2 ) ∆ϑ b∆α∆ϑ = 0.29 d b d R= = = 684 mm ϕ ∆α∆ϑ ϕ= Schlüsselwörter: thermische Ausdehnung Quelle: Physik X/MT 93.1 d Aufgaben Thermodynamik Seite107 TD107: Benzol im U-Rohr Aufgabenstellung: Um den Volumenausdehnungskoeffizienten von Benzol zu bestimmen, füllt man diese Flüssigkeit in eine U-förmige Röhre und bringt den einen Schenkel in Eiswasser, den andern in ein erwärmtes Bad. Wie gross ist der Ausdehnungskoeffizient von Benzol, wenn die Flüssigkeit im kalten Schenkel 167 mm, im warmen Schenkel bei einer Temperatur von 48.3°C 177 mm hoch ist? Lösungshinweis: Der Druck im horizontalen Teil des U-Rohres ist konstant, d.h. die Druckzunahme in den beiden aufsteigenden Flüssigkeitssäulen muss gleich gross sein. Lösung: pL + ρ0 gh0 = pL + ρ1 gh1 → ρ1 = γ= ρ0 1 + γϑ1 h1 −1 h0 ϑ1 = 1.24 ⋅10−3 / °C Schlüsselwörter: thermische Volumenausdehnung Quelle: Physik IX/MT 93.2 d ρ1 h0 = ρ0 h1 0˚ 48.3˚ Aufgaben Thermodynamik Seite108 TD108: Anthrazit Aufgabenstellung: Für die spezifische Enthalpiekapazität von Anthrazit kann die folgende Funktion angegeben werden: c = (0.885 + 1.33·10-3 °C-1·ϑ) kJ/(kg°C) a Wieviel Wärme geben 200 t Anthrazit beim Abkühlen von 100°C auf 25°C ab? b Wieviel freisetzbare Energie könnte mit einer reversibel arbeitenden Wärmekraftmaschine gewonnen werden, wenn die gleiche Menge Anthrazit von 100°C auf 25°C abgekühlt wird und die Umgebung 10°C warm ist? Lösungshinweis: Die Wärme ist bei konstantem Druck gleich der Enthalpieänderung. Diese berechnet sich als Temperaturintegral der Kapazität. Analog dazu ist die Entropieänderung gleich dem Temperaturintegral der Entropiekapazität, wobei die Entropiekapazität aus der Enthalpiekapazität durch Division mit der absolute Temperatur berechnet wird. Die maximal freisetzbare Energie entspricht der Differenz zwischen der Enthalpieänderung des Stoffes und und der von der wegfliessenden Entropie auf dem Niveau der Umgebung mitgeschleppten Energie (Abwärme). Lösung: a ϑ2 k c = k1 + k2ϑ ∆H = m ∫ cdϑ = m k1 (ϑ2 − ϑ1 ) + 2 (ϑ22 − ϑ12 ) = Q 2 ϑ1 Q = −1.452 ⋅107 kJ b spez. Entropiekapazität: k= k1 − k2T0 + k2 T kJ T ∆S = m ∫ kdT = m ( k1 − k2T0 ) ln 2 + k2 ( T2 − T1 ) = 4.34 ⋅104 = S ab K T1 T1 T2 Q = S abTU = −1.27 ⋅107 kJ W = Q − ∆U = 2.24 ⋅106 kJ Schlüsselwörter: Enthalpiekapazität, freisetzbare Energie Quelle: Physik IX/MT 93.3 d Aufgaben Thermodynamik Seite109 TD109: Auskühlende Kugel Aufgabenstellung: Eine Stahlhohlkugel mit 40 cm Innendurchmesser und 5 mm Wandstärke sei mit 2 cm Styropor isoliert und vollständig mit siebziggrädigem Wasser gefüllt. a Wie lange dauert es, bis die Innentemperatur auf 40°C abgesunken ist, wenn die Umgebung 25°C warm ist. b Wieviel Entropie ist in der Zwischenzeit produziert worden? Lösungshinweis: Das System kühlt als thermisches RC-Glied aus. Die Entropieproduktion entsprich der Differenz zwischen der in die Umwelt eintretenden und der vom Wasser abgegebenen Entropie. Lösung: W K λ W G2 = Ast st = 4122 K d st G1 = Aiα i = 301.6 G3 = AS λs ds = 1.046 G4 = Aaα a = 14.6 Gtot = 0.972 τ= W K W K W K C= 4π 3 J r ρ c = 1.404 ⋅105 3 K C = 1.4445 ⋅105 s m = 33.5 kg Gtot a +ϑ =+ϑ0 e − t τ → t = −τ ln +ϑ = 1.587 ⋅ 105 s +ϑ0 b Sab = Q ∆H kJ = = −14.135 TU TU K S prod = 1.28 kJ K Schlüsselwörter: RC-Glied, Entropieproduktion Quelle: Physik IX/MT 93.4 d ∆S = mc ln T2 kJ = −12.851 T1 K Aufgaben Thermodynamik Seite110 TD110: Dieselmotor Aufgabenstellung: Ein Dieselmotor, der pro Stunde 18 kg Heizöl (Heizwert 40 MJ/kg) verbraucht, gibt eine mechanische Leistung von 60 kW ab. a Berechnen Sie den Wirkungsgrad des Motors. b Der Dieselmotor treibe ein Wärmepumpe, welche die Wärme von 4°C auf 50°C hinaufbefördert. Die Pumpe arbeite mit 50% des theoretisch möglichen Wirkungsgrades. Welche Heizleistung erbringt die ganze Anlage, wenn die Abwärme des Dieselmotors auch bei 50°C anfällt? Wärmeverluste (Abgase, Strahlung, Leitung und Konvektion) sind zu vernachlässigen. Lösungshinweis: Die Wärmepumpe wird mit der vom Dieselmotor freigesetzten Leistung betrieben. Der Wirkungsgrad von 50% kann auf zwei Arten eingebaut werden. Entweder ist die Leistungsziffer der Pumpe halb so gross wie die einer idealen Maschine, oder die vom Motor freigesetzte Leistung wird halbiert und dann einer idealen Wärmepumpe zugeführt. Im zweiten Fall kann der Rest der vom Motor freigesetzten Leistung auch noch (teilweise?) zum Heizen benutzt werden. Lösung: a = 200 kW η = 30% H = mh b 1. Interpretation: T ε rev = 2 = 7.02 ε = 0.5ε rev = 3.51 +T IW ,th = Pε = 210.6 kW IW ,th , Diesel = 200 kW - 60 kW = 140 kW I w, tot = 210 kW + 140 kW = 350 kW 2. Interpretation: Prev = 0.5PMotor = 30 kW Toben = 210 kW +T IW ,tot =210 kW + 30 kW + 140 kW = 380 kW IW ,th = Prev Schlüsselwörter: Wärmepumpe Quelle: Physik IX/MT 93.5d Aufgaben Thermodynamik Seite111 TD111: Heisser Draht Aufgabenstellung: Ein sehr langer Draht (Durchmesser 10 mm) habe eine Temperatur von 2500°C. Die Umgebungstemperatur betrage 27°C. a Wieviel Energie kann der Draht pro Sekunde und Meter im Maximum abstrahlen? b Der Draht sei von einem Blechzylinder (Durchmesser 100 mm) umhüllt. Wie warm wird das Blech? Rechnen Sie alle Flächen ideal-schwarz. Lösungshinweis: Der Blechzylinder befindet sich im Strahlungsgleichgewicht. Die Nettostrahlung zwischen Draht und Blech ist vom Draht aus zu rechnen, die Nettostrahlung zwischen Blech und Umgebung vom Blech aus. Lösung: a IW' = σ 2π r1 (T 4 − TU4 ) = 1.053 ⋅105 W m b Innenraum: IW' = σ 2π r1 (T 4 − TB4 ) Aussenraum: IW' = σ 2π r2 (TB4 − TU4 ) TB = Schlüsselwörter: Strahlung Quelle: Physik X/MT 93.3 4 4 rT + r2TU4 1 = 1523 K 1250°C r1 + r2 Aufgaben Thermodynamik Seite112 TD112: Kreisprozess XIV Aufgabenstellung: 20 mol einatomiges, ideales Gas durchlaufe den folgenden Zyklus: isochore Erwärmung von 20°C auf 200°C, isotherme Expansion von 20 Liter auf 40 Liter, isochore Abkühlung auf 20°C und dann isotherme Kompression. a Wie gross ist die totale Arbeit des Zyklus? b Wieviel Entropie wird pro Zyklus produziert, wenn die ganze Wärme aus einem 200°C warmen Speicher entnommen und an einen 20°C-Speicher weitergereicht wird? Lösungshinweis: In zwei Prozessen wird Wärme zugeführt und in zwei Prozessen Wärme abgeführt. Die produzierte Entropie ergibt sich aus der Differenz der vom kalten Speicher aufgenommenen Entropie (vom Gas abgegebene Wärmeenergie dividiert durch die Temperatur des Speichers) und der vom heissen Speicher abgegebenen Entropie. Lösung: a WNutz = nR (TII − TIV ) ln V3 = 20.75 kJ V2 b 3 V QI , II = ∆U I − WII = nR ∆T + TII ln 3 = 99.41 kJ V2 2 3 V QII , IV = ∆U III − WIV = nR +T + TIV ln 1 = −78.67 kJ V4 2 SP = − QII , IV TIV + QI , II TII = 58.3 J K Schlüsselwörter: Arbeit, isochor, isotherm, Entropieproduktion Quelle: Physik X/MT 93.4 Aufgaben Thermodynamik Seite113 TD113: Kochsalz kühlen Aufgabenstellung: Die molare Enthalpiekapazität von Kochsalz kann bei tiefer Temperatur durch die nebenstehende Funktion beschrieben werden. T cˆ = 234 R 321K 3 Wieviel Energie muss im Minimum aufgewendet werden, um 100 kg Kochsalz von -200°C um weitere 60°C abzukühlen? Die Umgebung sei 27°C warm. Lösungshinweis: Die reversibel aufzuwendende Energie ist gleich der Differenz zwischen der Enthalpieänderung des Systems und der von der Entropie an die Umwelt abgeführten Wärmeenergie. Lösung: g mol W = ∆H − Q mˆ = 58.45 ⇒n= T2 ∆H = ∫ CdT = n T1 T 234 R 4 ( 321K ) 3 T4 m = 1.711 kmol mˆ T2 T1 = −713.8 kJ T 2 2 cˆ 234 R 2 234 R T dT = n T3 ∆S = ∫ n dT = ∫ n 3 3 T 3 ( 321K ) ( 321K ) T1 T1 W = ∆H − TU ∆S = −713.8kJ + 3893kJ = 3.18 MJ Schlüsselwörter: Prozessenergie, Enthalpie, Entropie Quelle: Physik X/MT 93.5 T2 T1 = −12.98 kJ K Aufgaben Thermodynamik Seite114 TD114: U-Rohr mit Luft Aufgabenstellung: Ein U-Ror, das teilweise mit Quecksilber gefüllt ist, sei auf einer Seite offen und auf der anderen verschlossen. Das geschlossene Rohrteil weist einen Querschnitt von 10 cm2 auf, das oben offene Rohr hat einen Querschnitt von 40 cm2. Anfänglich sind beide Flüssigkeitsspiegel gleich hoch und im verschlossenen Teil befindet sich eine 50 cm hohe Luftsäule. Die Temperatur betrage 0°C, der Luftdruck 1 bar. Auf wieviel wächst der Niveauunterschied an, wenn die Temperatur auf 50°C steigt und der Luftdruck konstant bleibt? Die Ausdehnung des Quecksilbers ist zu vernachlässigen. Lösungshinweis: Die eingeschlossene Luft befolgt das allgemeine Gasgesetz. Der Niveauunterschied entsteht durch das Absinken des Quecksilbers im engen Rohr und das Aufsteigen im weiten Rohr. Das Verhältnis der beiden Höhen ist reziprok zum Verhältnis der beiden Querschnitte. Der Gasdruck ist gleich der Summe aus hydrostatischen Druckdifferenz des Quecksilbers und Luftdruck. Lösung: p1l1 p2l2 = T1 T2 4 l2 = l1 + h 5 p2 = p1 + ρ gh p1l1 = T1 ( p1 + ρ gh ) l1 + 4 h 5 T2 T 4 4p ρ gh2 + 1 + ρ gl1 h + p1l1 1 − 2 = 0 5 5 T1 N N N 105985 3 h 2 + 14627 2 h − 9157.1 = 0 m m m h = 6 cm Schlüsselwörter: ideales Gas, Hydrostatik Quelle: Physik IX/MT 93.2 Aufgaben Thermodynamik Seite115 TD115: Reversibler Temperaturausgleich Aufgabenstellung: Ein Körper weise zwischen 100 K und 200 K eine konstante Entropiekapazität von 300 J/K2 auf. Seine Temperatur betrage anfänglich 180 K. Ein zweiter Körper mit 100 K Anfangstemperatur besitze im gleichen Temperaturintervall ein konstante Enthalpiekapazität von 20 kJ/K. Wieviel Energie wird maximal freigesetzt, wenn man zwischen den beiden Systemen eine Wärmekraftmaschine laufen läst. Lösungshinweis: Die Wärmekraftmaschine fördert Entropie von einem System zum andern bis zum Ausgleich. Die Summe der Entropiedifferenzen muss also verschwinden. Die freigesetzte Energie entspricht dann der totalen Enthalpieänderung. Lösung: ∆S1 + ∆S2 = 0 ⇒ K (Tm − T1 ) + C ln ⇒ Tm e KTm C Tm =0 T2 = T2 e KT1 C 1. Näherung (mittlere Entropiekapazität für den zweiten Körper): K1 (Tm − T1 ) + K 2 ( Tm − T2 ) = 0 T1 = 180 K Tm = T2 = 100 K J C 1 1 + = 150 2 2 T1 T3 K T3 = 200 K K2 = K1T1 + K 2T2 1 = 153 K 3 K1 + K 2 2. Näherung (mittlere Entropiekapazität im nun bekannten Temperaturintervall): J K 2 = 165 2 Tm = 151.6 K K Energiebilanz: W + ∆H1 + ∆H 2 = 0 ∆H 2 = C ∆T2 = 1032 kJ K1Tm + K1T1 +T1 = −1413 kJ 2 W = 381 kJ ∆H1 = Schlüsselwörter: Wärmekraftmaschine, Entropiebilanz Quelle: Physik IX/MT 93.3 Aufgaben Thermodynamik Seite116 TD116: Rührwerk Aufgabenstellung: Bei einem Rührwek (thermisch isoliert, Energiekapatität 10 kJ/K), das mit zehn Liter Wasser gefüllt ist, nimmt das einwirkende Drehmoment proportional mit der Winkelgeschwindigkeit (Proportionalitätsfaktor 100 Nm/s) zu. Wie lange dauert es, bis die Wassertemperatur von 20°C auf 21°C gestiegen ist, wenn das an der Achse einwirkende Drehmoment mit M(t) = 20Nm.cos (2s-1.t) an- und abschwillt? Lösungshinweis: Die mechanische Leistung bewirkt eine Enthalpieänderungsrate, also ist die mittlere mechanische Leistung mal die Zeit gleich der Enthalpieänderung. Lösung: Energiebilanz: ∫ Pdt = ∆H M2 mit M = kω k M2 −1 2 ∫ Pdt = ∫ k dt = 4W ∫ cos ( 2s t ) dt = 2W ⋅ t ∆H = ( C + mc ) ∆ϑ = 5.19 ⋅104 J P = Mω = t= ∆H = 2.6 ⋅104 s P Schlüsselwörter: Leistungsbilanz, Leistung eines Drehmomentes Quelle: Physik IX/MT 93.5 Aufgaben Thermodynamik Seite117 TD117: Reversibles Kühlen von Wasser Aufgabenstellung: Siedendes Wasser ist bei Normaldruck in Eis von 0°C zu ‚verwandeln‘. Die Umgebungstemperatur betrage 25°C. Muss bei reversibler Prozessführung Energie aufgewendet werden oder gewinnt man nutzbare Energie? Wieviel Energie muss pro Kilogramm aufgewendet werden bzw. kann gewonnen werden? Lösungshinweis: Die nutzbare Energie berechnet sich aus der Differenz der Enthalpieänderung und der von der Entropie auf dem Temperaturniveau der Umgebung mitgenommenen Energie (Abwärme). Lösung: Energieabgabe des Wassers: ∆H = m ( c∆ϑ − q ) = −753 kJ Entropieabgabe des Wassers: mq 273K kJ − = −2.531 373K 273K K Energieaufnahme der Umgebung (Abwärme): ∆S = mc ln Q = ∆S ⋅ 298K = 754.3 kJ W = Q − ∆H = −1.3 kJ aufgewendet Schlüsselwörter: Wärmekraftmaschine, Energiebilanz, Entropiebilanz Quelle: Physik IX/MT 93.6 Aufgaben Thermodynamik Seite118 TD118: Strömendes Gas Aufgabenstellung: In ein Gerät fliesst ein konstanter Gasstrom der Stärke 3 l/s bei einem Absolutdruck von 4 bar hinein. Gleichzeitig strömt die gleiche Menge Gas pro Zeit durch ein zweites Rohr weg. Im zweiten Rohr herrscht ein Absolutdruck von nur einem Bar und die gleiche Temperatur wie im Zuleitungsrohr. a Wie stark ist der zweite Volumenstrom? b Wie gross ist die Volumenproduktionsrate des Systems? c Wie stark ist der resultierende, hydraulisch zugeordnete Energiestrom bezüglich des Systems? 1 bar 4 bar black box 3 l/s Lösungshinweis: Das Produkt aus Volumen und Druck ist bei fester Temperatur und bei gegebener Menge konstant. Lösung: a IV 2 = − p1 l IV 1 = −12 s p2 b ∏V = − ( IV 2 + IV 1 ) = 9 l s c IW = p1 IV 1 + p2 IV 2 = 1200W − 1200W = 0 Schlüsselwörter: ideales Gas, Bilanz Quelle: Physik I/MT 93.2 Aufgaben Thermodynamik Seite119 TD119: Rohrströmung Aufgabenstellung: Der Druckverlust in einem Rohr wird mit der folgenden Formel beschrieben: ∆p = 0.05 . l/d . ρ/2 . v2 Wieviel Energie wird bei einem Rohr von 25 cm Durchmesser auf sieben Metern Länge dissipiert, wenn pro Minute 1200 Liter Wasser hindurchfliessen? Lösungshinweis: Die Leistung ist gleich Druckdifferenz mal Stärke des Volumenstroms. Lösung: 0.4 l l ρ IV2 I = 2 5 ρ IV3 = 2.32 W 2 4 V d 2π d π d 16 2 4I lρI m ∆p = 0.4 2 V5 = 116 Pa v = V2 0.407 s π d πd PVerlust = ∆pIV = 0.05 Schlüsselwörter: Hydraulische Leistung Quelle:Physik I/MT 93.3 Aufgaben Thermodynamik Seite120 RM120: Satellit umkreist Stern Aufgabenstellung: Ein Stern (Temperatur 5700 K, Durchmesser 1’400’000 km) soll von einem kugelförmigen Satelliten (Durchmesser 10 m) erforscht werden, der diesen in einem Abstand von 120 Millionen Kilometer umkreist. Die Hälfte der Satellitenoberfläche sei verspiegelt (Emissions- und Absorptionsvermögen 0.1). Der andere Hälfte sei mit einer speziellen Farbe bemalt, die für die einfallende Strahlung ein Absorptionsvermögen von 0.3 und bei der Temperatur des Satelliten ein Emissionsvermögen von 0.8 aufweist. Wie warm wird der langsam rotierende Satellit? Lösungshinweis: Im Strahlungsgleichgewicht ist die einfallende gleich der emittierten Strahlung. Lösung: jW ,th R02 = σ T 2 = 2036 W/m 2 R 4 0 IW ,ein = jW ,th ( 0.1 + 0.3) IW ,aus π r 2 = jW ,th 0.2π r 2 2 = σ T ( 0.2 + 0.8 ⋅ 2 ) π r 2 = σ Tsa4 0.9 ⋅ 2π r 2 Bilanz: 4 sa IW ,ein = IW ,aus jW ,th ⋅ 0.2π r 2 = 1.8π r 2σ Tsa4 1 j R 1 4 Tsa = W ,th = T0 0 = 251.3 K R 9 9σ Schlüsselwörter: Strahlung Quelle:Physik X/MT 92.6
