Astronomie II (online

Fachbereich Physik, AG Teilchen- und Astrophysik, Universität Rostock
DESY-Zeuthen
Universität Wroclav
Astronomie II
(online-kurs)
Prof. Dr. David Blaschke
Dr. Jens Berdermann
Dr. Danilo Behnke
Inhaltsverzeichnis
1 Zustandsgrößen der Sterne
1.1 Strahlungsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Informationen aus dem Sternlicht . . . . . . . . . . .
1.2.1 Leuchtkraft der Sterne . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Scheinbare Helligkeit . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Absolute Helligkeit . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Farbindizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Spektrallinien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Intensität der Spektrallinien . . . . . . . . . .
1.2.7 Ionisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Hertzsprung-Russell-Diagramm (HRD) . . . . .
1.3.1 Evolution der Sterne und deren Weg im HRD
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2 Aufbau und Entwicklung der Sterne
2.1 Die Sonne als Hauptreihenstern . . . . . . . . . . .
2.1.1 Kräftegleichgewicht . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Massenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Energietransport . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Standard-Sonnenmodell . . . . . . . . . . .
2.1.7 ZAMS-Rechnungen . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Energieerzeugung in Sternen . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Einführung in die Kernphysik . . . . . . . .
2.2.2 Der p-p-Zyklus in der Sonne . . . . . . . . .
2.2.3 Weitere Fusionsprozesse in Sternen . . . . .
2.3 Das solare Neutrinoproblem . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Das Neutrino . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.1 Solares Neutrinospektrum . . . . .
2.3.2 Experimente zur Messung solarer Neutrinos
2.3.3 Wieviele Neutrinos gelangen zu uns? . . . .
2.3.4 Neutrino-Astrophysik . . . . . . . . . . . .
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3 Endstadien der Sternentwicklung
3.1 Zustandsgleichung für superdichte Materie
3.2 Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kompakte Sterne . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Supernovae und Neutronensterne . . . . .
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3
INHALTSVERZEICHNIS
3.5
3.6
Pulsare → Rotierende Neutronensterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beispiel: Supernova-Explosion 1054 – Krebsnebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Sternsysteme
4.1 Milchstraße, Hubble-Klassifikation . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Entfernungen im Weltall . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Strahlungsquellen in der Milchstraße . . . . . . . . .
4.1.3 Daten und Fakten zur Milchstraße . . . . . . . . . .
4.1.4 Die Gestalt unserer Milchstraße . . . . . . . . . . . .
4.1.4.1 Geschichtliche Bemerkungen . . . . . . . .
4.1.4.2 Galaxiencluster und Eigenbewegung . . . .
4.2 Extragalaktische Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Aktive Galaxien (Seyfart, BL Lac, Radio, Quasare) .
4.2.1.1 Seyfert-Galaxien . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.2 BL Lac(ertae)-Galaxien . . . . . . . . . . .
4.2.1.3 Radio-Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1.4 Quasare (Quasi-stellare Objekte) . . . . . .
4.2.1.5 Jets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Gemeinsames Modell für aktive Galaxien (AG)
(Seyfert-Galaxien, BL Lac,Radio und Quasare) . .
4.2.2.1 Gamma Ray Bursts . . . . . . . . . . . . .
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5 Kosmologie
5.1 Modell des heißen Urknalls . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Der Urknall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Prozesse während des Urknalls . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2.1 Urknall-Nukleosynthese . . . . . . . . . . . . .
5.1.2.2 Das Kochen der Elemente im Urknall . . . . .
5.1.2.3 Vorhersagen des SBBN zu Elementhäufigkeiten
4 He - Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2.4
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A
A.1 Grundzüge der Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Einführung beliebiger Grundsysteme . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1.1 Das ko- und kontravariante Grundsystem . . . . . . .
A.1.1.2 Vektoren in den Grundsystemen . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2.1 Tensoren 2. Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2.2 Gradient, Divergenz und Rotation von Tensorfeldern .
A.1.2.3 Die Christoffel-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kapitel 1
Zustandsgrößen der Sterne
1.1
Strahlungsgesetze
Sterne verhalten sich mehr oder weniger wie gute “Hohlraumstrahler”, also wie schwarze Körper. Es
gilt also das Plancksche Gesetz
Bν (ν, T )dν =
2hν 3 π
dν .
c2 (ehν/kT − 1)
(1.1)
Diese Gleichung gibt die spektrale Verteilung an. Mit Kenntnis des Zusammenhangs c = λ · ν ergibt
sich die Wellenlängenverteilung:
Bλ (λ, T )dλ =
2hc2 π
λ5 (ehc/λkT − 1)
dλ .
(1.2)
Dabei ist λ die Wellenlänge, ν die dazugehörige Frequenz und k = 1.3896 · 10−23 J/K.
Aus diesen Gleichungen kann man einige Eigenschaften “ablesen”:
• Maximum der Wellenlängenverteilung
dBλ (λ, T )
= 0=
dλ
...
λmax · T
2hc2 π
λ5 (ehc/λkT − 1)
′
,
= 2.898 · 10−3 mK .
(1.3)
(1.4)
Dieser Zusammenhang ist auch als Wiensches Verschiebungsgesetz bekannt.
• Gesamtstrahlungsleistung, Energie pro Flächeneinheit
Z ∞
Z
2hπ ∞
ν3
dν ,
Bν (ν, T )dν = 2
c
(ehν/kT − 1)
0
0
mit der Substitution x = hν/kT und daraus dx = h/kT dν ergibt sich:
Z
Z ∞
2hπ kT 4 ∞ x3
dx
Bν (ν, T )dν =
c2
h
ex − 1
0
0
L
2π 5 k4
.
= 2 · 3T4 = σ T4 =
c 15 h
A
Dies ist das Stefan-Boltzmann-Gesetz und es ist σ =
4
2π 5
c2 15
·
k4
h3
(1.5)
(1.6)
= 5.6696 · 10−8 J/(m2 K 4 s).
5
KAPITEL 1. ZUSTANDSGRÖSSEN DER STERNE
• Solarkonstante
Die Solarkonstante S gibt die von der Sonne auf einer senkrecht zur Strahlung stehende Fläche
von 1 m2 empfangene Leistung an. Dabei ist S = 1.37 kW · m−2 und es gilt L = σ · T 4 · A.
So ist man in der Lage, auf relativ einfache Art und Weise auch die gesamte, von der Sonne
abgegebene, Leistung zu berechnen. Dazu benötigt man zum einen den Radius r der Erde, deren
Abstand a von der Sonne und eben die Solarkonstante S.
r = 6370 km ,
a = 1 AE ,
S = 1.37 kW/m2 .
Dann gilt nämlich für die von der Erde empfangene Leistung
LE = πr 2 S
(1.7)
14
= 1.73 · 10
kW .
Es beträgt die gesamte von der Sonne abstrahlte Leistung
L⊙ = 4πa2 S
(1.8)
23
= 3.82 · 10
1.2
kW .
Informationen aus dem Sternlicht
Aus der Strahlung, der einzigen uns direkt zugänglichen Quelle von Informationen über Sterne, lassen sich interessante Dinge ableiten, wie z.B. die Oberflächentemperatur eines speziellen Sternes, der
Sonne.
Dieses Verfahren ist natürlich auch auf andere Sterne übertragbar.
Wir unterscheiden hier 2 verschiedene Lösungs-Klassen.
• Stefan-Boltzmann-Gesetz
L⊙ = 4πa2 · S
→ Teff
2
4
.
= 4πR⊙
· σTeff
2 1/4
a S
=
2σ
R⊙
= 5770 K .
(1.9)
(1.10)
(1.11)
• Wiensches Verschiebungsgesetz mittels der absoluten Lage des Wellenlängenmaximums
T =
b
λmax,⊙
=
2.898 · 10−3 m · K
= 6075 K .
477 nm
(1.12)
Die Differenz zwischen diesen beiden Werte ist erklärbar durch Absorptionsprozesse in der jeweiligen
Sternatmosphäre!
Nimmt man diese beiden fundamentalen Gesetze als Randbedingungen, kann man sich leicht überlegen,
wie sich das Spektrum bei variierender Temperatur verändert.
6
KAPITEL 1. ZUSTANDSGRÖSSEN DER STERNE
1.2.1
Leuchtkraft der Sterne
Die pro Sekunde abgestrahlte Energie eines Sterns wird als Leuchtkraft bezeichnet, wobei man
sinnvollerweise diese in Einheiten der Sonnenleuchtkraft angibt.
Man sieht leicht, dass aus
4
L∗ = 4πR∗2 · σTeff
und
∗
2
4
L⊙ = 4πR⊙
· σTeff
folgt:
L∗ =
R∗
R⊙
·
4
Teff
∗
4
Teff ⊙
!4
⊙
· L⊙ .
(1.13)
(1.14)
Allerdings ist es nur in den seltensten Fällen möglich, mit dieser Gleichung die Leuchtkraft von beliebigen Sternen zu bestimmen, da dafür eben immer der Radius des Sterns und seine effektive Oberflächentemperatur bekannt sein muss.
1.2.2
Scheinbare Helligkeit
Astronomen sind in der Lage, Helligkeiten visuell, fotografisch oder photoelektrisch zu messen. Dabei
ist die Helligkeit, unter der uns der Stern wirklich erscheint, die so genannte scheinbare Helligkeit
m. Man kann sich vorstellen, dass diese Helligkeit ein Maß dafür ist, welche Intensität die an den
Empfänger gelangende Strahlung besitzt.
Es ist bekannt, dass, lange bevor Photozellen und andere elektronische Mittel zur Messung und
Verstärkung von elektromagnetischer Strahlung benutzt wurden, die Angabe der scheinbaren Helligkeit ausschließlich auf der physischen Empfindung beruhte, die das Licht im Auge des Betrachters
hervorrief.
In diesem Zusammenhang muss ein wichtiges Gesetz der Sinnesphysiologie genannt werden, welches
in fast allen (mittleren) Bereichen der menschlichen Sinneswahrnehmung seine Gültigkeit hat: das
Weber-Fechnersche Gesetz. Dieses Gesetz liefert einen Zusammenhang zwischen einem Reiz, wie
etwa einem Strahlungsstrom Φ, und einer Empfindung, in diesem Fall also der scheinbaren Helligkeit
m.
Dabei geht dieses Gesetz davon aus, dass die Empfindung einer arithmetischen Reihe folgt, wenn die
Reizänderung sich wie eine geometrische Reihe verhält.
m0
Φ0
m1 = m0 + ∆m
Φ1 = qΦ0
m2 = m0 + 2∆m
Φ2 = q 2 Φ0
m3 = m0 + 3∆m
Φ3 = q 3 Φ0
Verknüpft man die beiden Folgen miteinander, führt dies auf
m2 − m1 = const. lg
Φ2
.
Φ1
(1.15)
Um zu gewährleisten, dass die Skala der scheinbaren Helligkeiten, die sich in Größenklassen oder magnitudines misst, mit der Skala, die schon seit dem Altertum von Astronomen benutzt wird, weitgehend
übereinstimmt, wurde der in dieser Gleichung auftretende Proportionalitätsfaktor von Pogson gleich
−2.5 gesetzt. Damit gilt also:
m2 − m1 = −2.5 lg
Φ2
Φ2
, bzw.
= 10−0.4(m2 −m1 ) .
Φ1
Φ1
(1.16)
KAPITEL 1. ZUSTANDSGRÖSSEN DER STERNE
7
Dementsprechend ist also die scheinbare Helligkeit um so größer, je kleiner die empfangene Strahlungsleistung ist.
Um nun nicht nur Differenzen zwischen scheinbaren Sternhelligkeiten angeben zu können, sondern
auch jedem Stern seine spezifische Größenklasse zuzuordnen, ist es notwendig, den Nullpunkt der
Skala festzulegen. Man behalf sich damals, indem man mit dem Polarstern die scheinbare Helligkeit
m = +2.12m verband. Im Laufe der Zeit stellte sich bei genaueren Messungen jedoch heraus, dass der
Polarstern schwach veränderlich ist. Aus diesem Grund ist man dazu übergegangen, eine Gruppe von
Sternen zur Festlegung des Nullpunkts zu nutzen.
Als notwendig gilt auch die Angabe des Spektralbereichs, aus dem der vom Empfänger registrierte
Lichtstrom stammt. So gibt es z.B. die so genannte visuelle scheinbare Helligkeit mv und einige andere
mehr.
1.2.3
Absolute Helligkeit
Allerdings gibt es ein großes Manko, denn die scheinbare Helligkeit ist keine Zustandsgröße, da sie
nicht nur von der Leuchtkraft des Sterns, sondern wesentlich auch von dessen Entfernung und anderen
interstellaren Einflüssen abhängt.
Will man also die Leuchtkräfte von Sternen miteinander vergleichen, dann muss man versuchen, den
Einfluss der Entfernung aus den Gleichungen zu eliminieren. Dies gelingt, wenn man in Gedanken alle
Sterne in die gleiche Entfernung - man hat hier als Standard 10 pc gewählt - versetzt. Berücksichtigt man noch die Tatsache, dass sich die Intensität mit dem Abstandsquadrat 1/r 2 ändert und läßt
vorerst die interstellaren Einflüsse außen vor, kann man den Lichtstrom eines Sterns in r pc mit dem
Lichtstrom vergleichen, der den Empänger träfe, wenn sich der Stern in 10 pc befinden würde.
102
Φr
= 2 .
(1.17)
Φ10
r
Die Helligkeit eines Sterns in der Entfernung von 10 pc wird mit M bezeichnet und absolute Helligkeit
genannt. Es gilt dann
m − M = −2.5 lg
102
Φr
= −2.5 lg 2 = 5 lg r − 5 .
Φ10
r
(1.18)
Den Ausdruck m − M bezeichnet man als Entfernungsmodul.
Es ist uns nun möglich, Leuchtkräfte von Sternen unmittelbar zu vergleichen. Denn es gilt
M2 − M1 = −2.5 lg
L2
Φ2
= −2.5 lg
Φ1
L1
(1.19)
Als Aufgabe vergleiche man die Leuchtkräfte am Beispiel der Sonne und des Sirius.
1.2.4
Farbindizes
Der Farbindex ist wie folgt definiert: FI = mkurzwellig − mlangwellig .
Man spricht hier vom so genannten UBV-System (Ultraviolet, Blue, Visible) mit den folgenden
Werten für die entsprechenden Wellenlängen:
λU
= 365 nm
λB = 440 nm
λV
= 548 nm
8
KAPITEL 1. ZUSTANDSGRÖSSEN DER STERNE
Man trifft folgende Festlegung für den Farbindex: FI (T = 10000 K) = 0, d.h., in diesem Fall sind
mU = mB = mV bzw. mU B = mBV .
Weiterhin gilt es zu bedenken, dass die Sonne kein idealer Hohlraumstrahler ist und dementsprechend das Spektrum von dem des idealen Strahlers abweicht. Dies zeigt sich auch darin, dass einige
Spektralinien nicht im normalerweise kontinuierlichen Spektrum enthalten sind. Diese “Linien” werden nach ihrem Entdecker Fraunhofer-Linien genannt und enthalten wichtige Informationen über
die Sonne im Speziellen und die Sterne im Allgemeinen.
Die Ursache für das Auftreten dieser Linien liegt prinzipiell in der Quantenmechanik begründet. Wesentlich ist die Tatsache, dass die Elektronenkonfiguration in einem Gas nur aus diskreten Zuständen
besteht. Diese sind zudem charakteristisch für die jeweilige Atomsorte. Zu jeder dieser Konfigurationen gehört ein spezifischer Energiewert, wobei man die Konfiguration mit der niedrigsten Energie
E0 = hν0 Grundzustand und die Konfigurationen mit höherer Energie E1 = hν1 angeregte Zustände
nennt. Zwischen diesen Zuständen und Licht, hier also Photonen der Energie EPhoton , besteht eine
Wechselwirkung.
Ist nämlich die Energie EPhoton gleich der Energiedifferenz zweier Energiezustände ∆E = E1 − E0
in einem Gas, dann ist es möglich, dass ein Photon mit dieser Energie absorbiert wird. Dabei wird
dann diese Energie einem Elektron im niedrigen Zustand (z.B. Ei ) zugeführt, so dass es sich nach der
Wechselwirkung in einem Zustand höherer Energie Ej , (i < j) befindet.
1.2.5
Spektrallinien
Die Energieniveaus sind nicht sehr scharf, sondern werden durch verschiedene Effekte verbreitert
1.) Thermische, Doppler-Verbreiterung
Ein Gas mit der Temperatur T und bestehend aus Teilchen der Masse m nimmt eine Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung v an. Dabei erhalten die meisten Teilchen eine mittlere
kinetische Energie von < mv 2 /2 >= 3kT /2 . Mit dieser Geschwindigkeit bewegen sich die Teilchen auf einen Beobachter zu oder von ihm weg und absorbieren oder emittieren dabei Licht.
Diese Geschwindigkeitsdistribution bewirkt eine Verteilung der absorbierten Frequenzen △ν .
Das Doppler’sche Gesetz lautet für kleine Geschwindigkeiten v ≪ c ,
△λ
<v>
△ν
=
=
.
ν
λ
c
In unserem Fall ist < v >=
sich daher
q
< v >=
und
3kT
m
r
(1.20)
× 1c . Für die Wasserstoffatome der Sonne (T = 6000K) ergibt
3 × 1.38 × 10−23 × 6000
m/s = 12000m/s
1.67 × 10−27
1.2 × 104 m/s
△λ
=
= 4 × 10−5 .
λ
3 × 108 m/s
(1.21)
(1.22)
Durch die thermische Doppler Verbreiterung wird z.B. die rote Hα Balmer Linie mit λ = 6563Å
auf ±0.3Å verbreitert.
KAPITEL 1. ZUSTANDSGRÖSSEN DER STERNE
9
2.) Druck- (oder Stoß-) Verbreiterung
Sie wird verursacht durch Stöße mit den Nachbarteilchen, insbesondere bei geladenen Teilchen
(Ionen, Elektronen) durch den Stark-Effekt. Sterne mit sehr niedrigen Dichten in der äußeren
Atmosphäre, sowie Riesensterne wie rar Betelgeuse, haben bei gleicher Temperatur schärfere
Linien als kleine, dichte Sterne.
3.) Zeeman-Effekt
Starke Magnetfelder können Spektrallinien aufspalten, dagegen bewirken schwächere Magnetfelder nur eine Verbreiterung der Linien. Bei einem starken und konzentrierten Magnetfeld, wie
z.B. in Sonnenflecken, kann man über Linienaufspaltungen die Magnetfeldstärke und Ausrichtung bestimmen. Einige Sterne besitzen Felder der Stärke ∼ 0.1 T , wie sie sonst nur innerhalb
von Sonnenflecken auftreten. Dagegen wurden bei Sternen im Endstadium der Sternentwicklung
enorm große Magnetfelder gefunden. Bei weißen Zwergen wurden bis zu 104 T und bei Neutronensternen sogar bis zu 108 T ermittelt. Solche riesigen Feldstärken ändern das Sternspektrum
komplett. Zum Vergleich: Auf der Erde kann man kurzfristig Magnetfelder bis ungefähr 100 T
([T]=Tesla) erzeugen.
4.) Doppler-Verbreiterung
Die Rotation eines Sternes wird über den Doppler-Effekt gemessen. Aufgrund der Rotation
bewegt sich ein Teil der Oberfläche auf uns zu und ein anderer von uns weg. Dies ergibt eine Verbreiterung mit spezifischer Linienform. Man kann z.B. über Emissionslinienverbreiterung
Rückschlüsse auf die Rotationsgeschwindigkeit und Sterntemperatur ziehen.
1.2.6
Intensität der Spektrallinien
Die Intensität der jeweiligen Spektrallinien ist abhängig von der Atomanzahl (Moleküle -für kalte
Sterne- ) eines Elementes und von der Temperatur. Die Temperatur bestimmt den Anteil der Atome
im Energieniveau Ei und in den verschiedenen Ionisationsstufen. Die Beobachtung der Sternspektren
hat zu einer Spektralklassifikation OBAFGKM geführt. (Merke: Oh, be a fine girl, kiss me) Eine
feinere Unterteilung ist durch die Ziffern 0 bis 9 gegeben, z.B. B0, B1, ..., B9, A0, A1, ..., A9 usw.
Wobei O die heißesten und M die kältesten Sterne kennzeichnen. Nach dieser Klassifizierung ist die
Sonne ein G2 Stern. Temperatur und Spektralklasse stehen in guter Korrelation zueinander, obgleich
in den Spektralklassen mehr Informationen als nur die Temperatur enthalten sind.
Hauptklasse
O
B
A
F
G
K
M
dominierende Linien
He+ , He, N + , O+ , Si+ , Hmin
H ⇑, He ⇓
He ⇓ Hmax
H ⇓ Metalllinien ⇑
Ca+
max n. Metalle ⇑ i. Metalle ⇓
Hmin , n. Metalle (wie Ca) ⇑ Ca+ ⇓
T iO ⇑
Bemerkungen
Maximum des Kontinuums liegt im UV-Bereich.
Fast keine He+ -Linien mehr vorhanden.
Auftreten erster Metalllinien (F e+ und Ca+ ).
Neutrale Metalle nehmen zu.
Intensitätsmaximum liegt jetzt im visuellen
Deutliche Molekülbanden (CH, CN ) treten auf.
Fast nur Metalllinien und Molekülbanden vorhanden.
10
KAPITEL 1. ZUSTANDSGRÖSSEN DER STERNE
(n. - neutrale, i. -ionisierte , max -maximal, min -minimal, ⇓ -Intensitätsabnahme, ⇑ - Intensitätszunahme)
Die Leuchtkraft wird zusätzlich zur Spektralklasse als weiteres Klassifikationsmerkmal eingeführt.
Leuchtkraftklasse
I
II
III
IV
V
VI
Bezeichnung
Überriesen
helle Riesen
Riesen
Unterriesen
Zwerge
Unterzwerge
Bemerkungen
sehr große und daher leuchtstarke Sterne
etwa 10 mal so groß wie Klasse V Sterne
Spektrallinien von Riesen sind schärfer als die der Hauptreihensterne.
Bezeichnet die normale Hauptreihe. Ihr gehören die meisten Sterne an
-
Eine neue Klasse bilden die weißen Zwerge, welche ungefähr so groß wie die Erde sind und deshalb
lichtschwach. Sie werden mit D(Dwarf ) DO,DB,DA usw. bezeichnet.
−→ Die Sonne ist nach diesen Klassifikationen ein G2V-Stern.
1.2.7
Ionisation
Im thermischen Gleichgewicht ergibt sich der Anregungszustand nach der Formel von Boltzmann.
Der Anregungsgrad ist die Teichenzahl Ns im atomaren Energieniveau der Energie Es , relativ zur
Teichenzahl im Grundzustand N0 . gs ist das Produkt des Niveaus S und wird als statistisches Gewicht
bezeichnet.
Die Boltzmann Formel lautet:
gs
Es − E0
Ns
=
exp −
(1.23)
N0
g0
kT
• Beispiel: H-Atom im ersten angeregten Zustand
g0 = 2 und g1 = 8, E1 − E0 = 10.2eV , kT = 1eV für T = 11600K
N1 /N0
3.2 × 10−17
1.1 × 10−8
2.1 × 10−4
0.011
T [K]
3000
6000
12000
20000
Man sieht, dass sich für Sterne mit T ∼ 10000K (A-Stern) eine große Intensität (in Übereinstimmung
mit der Beobachtung) ergibt. Über 10000K nimmt die Intensität jedoch wieder ab, da man dann
auch die Ionisation betrachten muss. Für das Ionisationsgleichgewicht H ⇀
↽ H + + e− , gilt die SahaGleichung:
N+
−χ0
A(kT )3/2
=
exp
(1.24)
N0
Ne
kT
Hier ist N+ die Dichte von H + , Ne die Dichte von e− und χ0 die Ionisationsenergie. Für Wasserstoff ist
χ0 = 13.6eV und es gilt N+ = Ne . Bei 20000 K ist die Ionisation so groß, dass nur wenig unionisiertes
11
KAPITEL 1. ZUSTANDSGRÖSSEN DER STERNE
H und deshalb nur wenig Teilchen im Grundzustand N0 existieren. Deshalb ist N1 (Teilchenzahl im
ersten angeregten Zustand) ohne die Beachtung der Ionisation auch viel kleiner als 0.01. Die kompletten Berechnungen erhält man durch die Kombination von Boltzmann- und Saha-Gleichung. Daraus
folgt z.B., dass bei ungefähr 10000K die Balmer-Linien am stärksten sind. Für 7500K ist N+ = N0 ,
für 10000K ist N+ = 100N0 und für 20000K ist N+ = 106 N0 . In sehr heißen Sternen werden durch
zunehmende Ionisierung die He+ -Linien stärker als He-Linien, deshalb gibt es weniger neutrales He.
1.3
Hertzsprung-Russell-Diagramm (HRD)
Man kennt Sterne verschiedenster Temperaturen, die zu den Spektraltypen O ... M gehören. Deren
absolute Helligkeiten variieren von 15m bis −5m . Man könnte nun im Prinzip erwarten, dass eine zweidimensionale Darstellung mit dem Spektraltyp (oder der Temperatur) auf der horizontalen und der
absoluten Helligkeit auf der vertikalen Achse eine gleichmäßige Verteilung der Sterne liefern würde.
Dem ist aber nicht so. Es zeigt sich, dass die Sterne sich in bestimmten Gebieten des Diagramms
häufen. Man war deshalb bemüht, diese Gruppierungen zu erklären.
Traditionell werden in einem HRD die Sterne so angeordnet, dass die hellsten Sterne oben und die
heißesten Sterne links liegen. Dieses Vorgehen zeigt sich in der Tatsache, dass in einem HRD die Temperatur von rechts nach links aufgetragen wird, umgekehrt als üblich.
Dabei wurde in seiner ursprünglichen Form die absolute visuelle Helligkeit Mv gegen seinen Spektraltyp aufgetragen. Da nun aber der Spektraltyp auf das Engste mit der Temperatur korreliert ist, sieht
man auch oft HR-Diagramme, in denen statt des Spektraltyps die Temperatur dargestellt wird.
Neben den Spektraltypen (O ... M) wurden, wie schon erwähnt, auch verschiedene Leuchtkraftklassen
(I ... VI) eingeführt. Diese verbinden die Sterne im HRD durch mehr oder weniger horizontale Linien.
Die meisten, etwa 95% aller Sterne, befinden sich ja bekanntlich auf der Hauptreihe (Klasse V).
Es werden hier einige charakteristische Kenngrößen für Sterne verschiedener Spektralklassen der
Hauptreihe angegeben.
Spektraltyp
O5
A0
F5
K0
M5
G2
Teff [K]
44000
9500
6400
5200
3200
5770
Mv
−6.0m
+0.7m
+3.5m
+5.9m
+12.3m
+4.8m
B.C.
−4.4m
−0.3m
−0.14m
−0.31m
−2.7m
−0.08m
MBol
−10.4m
+0.4m
+3.36m
+5.59m
+9.6m
+4.72m
M/M⊙
60
1.9
1.4
0.8
0.2
1.0
L/L⊙
1.1 × 106
53.5
3.50
0.45
0.011
1.0
(T /T⊙ )4
3381
7.35
1.51
0.66
0.095
1.0
R/R⊙
18
2.7
1.5
0.8
0.3
1.0
Die in dieser Tabelle auftretende bolometrische Korrektur (B.C.) wird dadurch verursacht, dass nur
für Sterne des Typs GV2 (Sonnentyp) die bolometrische Helligkeit gleich der visuellen Helligkeit ist.
Diese Sterne haben das Maximum ihrer Strahlung gerade im visuellen Bereich. Bei allen anderen Sternen, deren maximale Strahlung bei größeren oder kleineren Wellenlängen liegt, wird vom visuellen
Messsystem ein von der Gesamtstrahlung verschiedener Wert erfasst und muss korrigiert werden.
So strahlen sehr heiße Sterne viel Energie im UV-Bereich ab, kühlere Sterne mehr im IR-Bereich.
Um also Leuchtkräfte mit der der Sonne zu vergleichen, muss die Gesamthelligkeit MBol verwendet
werden. Man kann die Achsen im HRD auch logarithmisch darstellen. Man erkannt dann Linien, für
die R = const..
Aufgabe: Leiten Sie einen Zusammenhang aus dem Strahlungsgesetz L = F · A = (σT 4 ) ·
(4πR2 ) ab, der die Position eines Sterns im HRD (log L−log T ) mit seiner Größe in Verbindung
bringt. Wo findet man ‘‘Riesen’’, und wo ‘‘Zwerge’’?
KAPITEL 1. ZUSTANDSGRÖSSEN DER STERNE
1.3.1
12
Evolution der Sterne und deren Weg im HRD
Als naheliegendste Erklärung dafür, dass man so viele Sterne auf der Hauptreihe findet, gilt, dass sie
dort die meiste Zeit ihres “Lebens” verbringen.
Der Entwicklungsweg der Sonne sei in groben Zügen wie folgt skizziert. Für das Entstehen der Sonne geht man von dem Zeitpunkt aus, als die ursprüngliche große kalte Gaswolke unter dem Einfluss
der Eigengravitation begann, zusammenzufallen. Die dabei entstehende Gravitationswärme erhitzte
die Wolke, bis sie anfing zu glühen. Da die Gaswolke sehr groß war, war dementsprechend auch die
Leuchtkraft L sehr groß, etwa 100 × L⊙heute und das Strahlungsmaximum lag im roten Wellenlängenbereich bei T ∼ 3000 K. Der Radius war damals dementsprechend 40× so groß wie der heutige Radius
R⊙ .
Der Kollaps der Gaswolke geht indes weiter, währenddessen die Temperatur weiter auf T = 4000 K
steigt, die Leuchtkraft reduziert sich dabei auf L = 10 × L⊙ und der Radius beträgt R ∼ 10 × R⊙ . Im
Zentrum der Wolke herrscht jetzt eine Temperatur von T ∼ 5 · 105 K, nicht genug, um die elektrostatische Abstoßung zwischen den Protonen zu überwinden und die Fusion der Protonen zu Helium
zu beginnen. Erst wenn der Radius auf R ∼ 1.5 × R⊙ gesunken ist und die Temperatur T ∼ 106 K
erreicht, beginnt die Wasserstofffusion. Nun kann man die Wolke einen Stern nennen!
Diese kurz beschriebene Vorentwicklung der Sonne dauert etwa 10 Millionen (107 ) Jahre, was in astronomischen Zeitskalen recht wenig ist.
Ist der Stern auf der Hauptreihe angekommen, halten sich die Gravitationskraft und der Strahlungsdruck des heißen Gases die Balance. Dieser Strahlungsdruck entsteht durch die nukleare Fusion im
Inneren des Sterns, 4 H → 4 He + 2e+ + Energie (+ν). Diese Reaktion erzeugt soviel Energie, dass die
Sonne im Stande ist, 1010 Jahre mit der jetzigen Leuchtkraft zu strahlen. Etwa 1% ihres Lebens ist
die Sonne eine Protosonne. Mittlerweile ist sie aber etwa 4.8 × 109 Jahre alt , dies entspricht ungefähr
der Hälfte ihrer Lebensdauer.
Die Frage ist nun, was denn geschieht, wenn der Wasserstoff im Zentrum zu Helium verbrannt ist?
Alle Sterne, so auch die Sonne, werden am Ende ihres Lebens instabil. (Diese Phasen der Instabilität
hängen allerdings stark von der ursprünglichen Masse des Sterns ab.) Die Masse in der Nähe des Zentrums fällt in sich zusammen, dabei steigt die innere Temperatur und die Wasserstoffhülle außerhalb
des Heliumkerns beginnt zu brennen. Dies bewirkt eine Ausdehnung des Sterns. Diese Vergrößerung
des Radius’ bei gleichzeitiger Abkühlung läßt den Stern zu einem roten Riesen werden. Nun kann die
innere Temperatur so groß werden, dass die Abstoßung der Heliumkerne überwunden wird und das
so genannte Heliumbrennen beginnt und für etwa 109 Jahre anhält. In dieser Phase beginnt sich der
Stern zu einem roten Überriesen zu entwickeln. Die beim Heliumbrennen entstehende Asche (Kohlenstoff) kann in der Sonne allerdings nicht für weitere Fusionsprozesse benutzt werden, dafür war die
Temperatur zu gering. In massereicheren Sternen (M > M⊙ ) sind diese Prozesse hingegen möglich.
Am Ende dieser Phase beginnt der Stern instabil zu werden und zeigt oszillatorisches Verhalten bei
mehr oder weniger gleichbleibender Leuchtkraft. Bei diesen Oszillationen wird ein Teil (etwa 10%) der
Masse abgestossen und bildet den so genannten Planetarischen Nebel.
Die Sonne fängt nun langsam an, sich abzukühlen und wird von einem weißen Zwerg zu einem roten
Zwerg und schließlich unsichtbar. Am Ende ihres Lebens ist die Sonne etwa so groß wie die Erde und
bleibt es auch, währenddessen sie sich weiter abkühlt.
Kapitel 2
Aufbau und Entwicklung der Sterne
2.1
Die Sonne als Hauptreihenstern
Der Stern wird als Gaskugel mit vorgegebener chemischer Zusammensetzung aus Wasserstoff und
Helium und einer vorgegebenen Masse behandelt. Für die Sonne geht man von der primordialen Elementverteilung (XH = 0.685, XHe = 0.294) aus. Alle Zustandsgrößen seien stationär, d.h. innerhalb
des Betrachtungszeitraums konstant. Der Stern befinde sich im hydrostatischen und lokalen thermischen Gleichgewicht. Die Rotation des Sterns und Magnetfelder werden nicht berücksichtigt.
Man spricht dann von einem Zero Age Main Sequence (ZAMS)-Modell.
Folgende Zustandsgrößen charakterisieren einen Stern:
• lokale Dichte ρ(r)
• lokaler Druck p(r)
• lokale Temperatur T (r)
• lokale chemische Zusammensetzung X(r), Y (r), Z(r)
Weiterhin werden betrachtet:
• lokale Leuchtkraft L(r)
• lokale Energieproduktionsrate ǫ(r)
• lokale Opazität κ(r)
• Masse innerhalb einer Kugel mit Radius r M (r)
Es werden nun die grundlegenden physikalischen Beziehungen dargestellt, die diese Größen miteinander verbinden.
1.
2.
3.
4.
5.
Mechanik:
Thermodynamik:
Kernphysik:
Astrophysik:
Plasma- und Atomphysik:
hydrostatisches Gleichgewicht
Zustandsgleichung
Massenbilanzgleichung
Leuchtkraftbilanz
Energietransport durch
Konvektion oder Strahlung
13
p, ρ, M
p, ρ, T
M, ρ
L, ǫ, ρ
T, κ, L
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
14
↓
Sternmodell
↓
berechnetes HRD
l
beobachtetes HRD
Es werden nun die einzelnen Beziehungen näher erläutert:
2.1.1
Kräftegleichgewicht
An jeder Stelle im Stern sind die Gravitation (zum Zentrum des Sterns gerichtet) und die Kraft
aufgrund von Druckgradienten (nach außen gerichtet) im Gleichgewicht:
Die Gravitationskraft auf ein Gasvolumen der Größe 1cm2 × dr beträgt
FGrav = −
γM (r)ρ(r)dr
.
r2
(2.1)
Dabei ist γ die Gravitationskonstante. Die Kraft aufgrund von Druckunterschieden lautet
FDruck = dp(r) .
(2.2)
Der Stern kontrahiert oder expandiert solange, bis sich ein Gleichgewicht einstellt
dp(r)
γM (r)ρ(r)
=−
.
dr
r2
(2.3)
Folgende Annahme soll gemacht werden, um zu einer Abschätzung des Drucks im Sonneninneren zu
gelangen:
Es sei die von einer Kugel des halben Sonnenradius eingeschlossene Masse gerade die Hälfte der
Gesamtmasse, d.h.
M⊙ 4π R⊙ 3
M⊙
(2.4)
ρ(R⊙ /2) =
/
≈ 3 ≈ 4ρ̄ ,
2
3
2
R⊙
wobei ρ̄ die mittlere Dichte der Sonne ist. Für den Mittelpunkt nehmen wir daher an, dass:
ρ(0) = 8 × ρ̄ .
(2.5)
Wählt man nun dp = p(R⊙ ) − p(0) und dr = R⊙ − 0, so folgt
p(0) = 8ρ̄γ
Numerisch erhält man dann: p(0) = 2.2 × 1015 Pa.
M⊙
.
R⊙
(2.6)
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
2.1.2
15
Zustandsgleichung
Diese Gleichung verknüpft die Größen Temperatur T , Dichte ρ und Druck p. Im Inneren der Sonne
stellt die Zustandsgleichung eines idealen Gases
p(r) =
kB
ρ(r)T (r) ,
m(r)
(2.7)
eine gute Beschreibung der Verhältnisse dar, während im Außenbereich der Sonne Wechselwirkungseffekte mitberücksichtigt werden müssen (reales Gas!).
Es sind:
kB
m(r)
Boltzmann-Konstante
molekulares Gewicht
Zusammen mit der Beziehung für das Kräftegleichgewicht kann die Temperatur im Inneren der Sonne
abgeschätzt werden über
m(r)γ M⊙
.
(2.8)
T (0) ≈
kB R⊙
Setzt man hier Zahlen ein, so erhält man: T (0) = 1.1 × 107 K . Genauere Berechnungen ergeben:
T (0) = 1.5 × 107 K und ρ(0) = 156 g · cm−3 .
2.1.3
Massenbilanz
Volumen der inneren Kugel
Volumen der äußeren Kugel
Volumen der Schale
Masse der Schale
V (r) = 4/3πr 3
V (r + dr) = 4/3π(r + dr)3
V (r + dr) − V (r) = 4/3π((r + dr)3 − r 3 ) ≈ 4πr 2 dr
dM (r) = 4πr 2 drρ(r)
Damit erhält man als Beziehung die Massenbilanz:
dM (r)
= 4πr 2 ρ(r) .
dr
2.1.4
(2.9)
Energiebilanz
Die Leuchtkraftzunahme in einer Schale der Dicke dr ist proportional zur Masse der Schale. Die
Proportionalitätskonstante ist die Energieproduktionsrate:
dL(r)
= 4πr 2 ǫ(r)ρ(r) .
dr
(2.10)
Die Energieproduktionsrate ist selbst wieder eine Funktion der Temperatur und der Dichte. Sie ist
charakteristisch für die ablaufende Fusionsreaktion. Einige Abhängigkeiten für verschiedene Reaktionszyklen: ǫ = ǫ0 ρλ T ν seien hier angegeben:
Fusionsprozeß
p-p Kette
CNO-Zyklus
Triple-α
λ
1
1
2
ν
≈4
≈ 15
≈ 40
16
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
2.1.5
Energietransport
Die Energie wird von innen (heiß) nach außen (kalt) transportiert. Prinzipiell kommen drei Mechanismen dafür in Frage:
Strahlungstransport, Konvektion, Wärmeleitung
Die Wärmeleitung ist für die Sonne mehr oder weniger unbedeutend. Es bleiben damit:
a.) Strahlungstransport:
Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz ist LGes ∝ T 4 , so dass Differentiation nach r die Proportionalität:
dT
dLGes
∝ T3
(2.11)
L(r) =
dr
dr
ergibt. Weiterhin ist die Nettoleuchtkraft proportional zur Kugelschalenoberfläche:
L(r) ∝ 4πr 2 .
(2.12)
Insgesamt erhält man:
dT (r)
dr
=−
Strahlung
3 κ(r)ρ(r) L(r)
,
16 σT 3 4πr 2
(2.13)
wobei κ(r) die lokale Opazität bezeichne. Diese Größe beschreibt die Absorption von Strahlung
durch das Medium (Anregung, Streuung, Photoionisation etc.).
b.) Konvektion:
Aus der Thermodynamik ist für ein ideales Gas die sogenannte Adiabatengleichung bekannt:
T γ p1−γ = const ,
(2.14)
hierbei ist γ der so genannte Adiabatenexponenten. Differenziert man diese Relation nach dem
Abstand r, so erhält man eine Beziehung zwischen Temperatur- und Druckgefälle
γ
dp
dT γ−1 1−γ
T
p
+ T γ (1 − γ)p−γ
dr
dr
dT
dp
γ
p + T (1 − γ)
dr
dr
= 0,
(2.15)
= 0
(2.16)
und daraus dann man durch Umstellen:
dT (r)
1 T dp
.
= 1−
dr
γ p dr
Adiabat.
(2.17)
Es gilt das Schwarzschild-Kriterium:
Man findet in einer Schale Konvektion vor, falls
dT
dr
>
Strahlung
dT
dr
(2.18)
Adiabat.
17
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
2.1.6
Standard-Sonnenmodell
Im Standard-Sonnenmodell werden einige Annahmen gemacht, von denen die wesentlichen hier kurz
angegeben seien.
• Die Sonne besteht fast vollständig aus Wasserstoff und Helium.
• Es herrscht hydrostatisches Gleichgewicht.
• Die Sonne produziert ihre Energie durch Fusionsprozesse.
• Die produzierte Energie wird durch Licht und Konvektion an die Oberfläche transportiert.
Man erhält somit ein System aus Differentialgleichungen, das auf dem Computer gelöst wird und Resultate für Dichte, Temperatur, Zusammensetzung im Inneren liefert:
zentrale Temperatur:
zentrale Dichte:
zentraler Druck:
2.1.7
15.7 × 109 K
155 gcm−3
200 Milliarden At.
ZAMS-Rechnungen
Hier sollen nun einige Resultate vorgestellt werden, die im Rahmen eines ZAMS-Modells gewonnen
wurden. Bei diesem Modell werden als Eingabeparameter die totale Sternenmasse, der Radius, der
zentrale Druck und die zentrale Temperatur, die zentrale Luminosität sowie die chemische Zusammensetzung übergeben.
Als numerische Grundlage dient der Code aus dem Buch
C.J. Hansen, S.D. Kawaler: Stellar Interiors, Springer 1994 .
Mit Hilfe dieses Codes kann nun ein HRD berechnet werden. So erhält man für Sterne mit Massen
zwischen 0.8 M⊙ und 20 M⊙ folgenden Verlauf für die Hauptreihe:
Insbesondere findet man mit diesem Modell für einen Stern mit M = 1 M⊙
Teff = 5652 K und log L/L⊙ = −0.04 .
(2.19)
Damit wird unsere Sonne relativ gut beschrieben. Will man zu einer besseren Modellierung der Sonne
gelangen, so muß man die schweren Elemente (Metalle) berücksichtigen und die Entwicklung der Sonne
von ihrer Bildung bis heute berechnen.
2.2
2.2.1
Energieerzeugung in Sternen
Einführung in die Kernphysik
Um die relevanten Prozesse der Energieproduktion in der Sonne zu verstehen, ist es notwendig, einige
Punkte aus der Kernphysik anzusprechen.
18
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
1. Einheiten und Größen
typische Längeneinheit
typische Energieeinheit
atomare Masseneinheit
Elementarladung
Boltzmannkonstante
h̄2 /mp
1 fm = 10−15 m = 1 Fermi
1 eV = 1.602 × 10−19 J
1 u = 1.66 × 10−24 g = 913.5 MeV/c2
e2 = 1.44 MeV · fm
kB = 1 eV/110605 K
41.36 MeV · fm2
2. Kernbausteine
Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die Elementarteilchen, die bei den uns interessierenden Reaktionen von Bedeutung sind:
n
939.6
0
1/2
0
Masse Mc2ev
Ladung [in e]
Spin [in h̄]
Baryonenzahl
Teilchen
p
e−
938.3 0.511
1
-1
1/2
1/2
0
1
νe
0
0
1/2
1
Antiteilchen
n̄
p̄
e+
939.6 938.3 0.511
0
-1
1
1/2
1/2
1/2
0
0
-1
ν¯e
0
0
1/2
-1
Man beachte: Bei Kernreaktionen sind Energie und Drehimpuls und für unsere Anwendungen
auch die Baryonen- und Leptonenzahl Erhaltungsgrößen.
3. Kernaufbau: Bezeichnungen, Bindungsenergien
Atomkerne bestehen aus A Nukleonen, Z Protonen und N=A+Z Neutronen.
Dabei ist A die Massenzahl eines Atomkerns und Z seine Ladung. Man benutzt folgende Notation:
A
Z XN
Insbesondere benutzt man
1
1H
3
1H
= p
= t
2
1H = d
4
2 He = α.
Atomkerne mit gleicher Protonenzahl, aber unterschiedlicher Neutronenzahl werden als Isotope
bezeichnet. Viele Eigenschaften von Isotopen der Elemente lassen sich aus Nuklidkarten ablesen.
Eine wesentliche Größe zum Verständnis von Ketterreaktionen ist die Bindungsenergie. Das
ist die Energie, die aufgewendet werden muss, um einen Atomkern in seine Bestandteile zu
zerlegen. Über die Einsteinsche Energie-Masse-Äquivalenz kann die Bindungsenergie durch eine
Massendifferenz ausgedrückt werden
B(Z, N ) = (ZmH + NmN − m(Z, N ))c2 ,
wobei
mH
mn
m(Z, N )
Masse des neutralen Wasserstoffs
Masse des Neutrons
Masse des zugehörigen Atoms.
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
19
Aus der Isotopenkarte kann man neben weiteren Eigenschaften auch die Bindungsenergie ablesen.
Hier sei die Berechnung der Bindungsenergie für 4 He angegeben
mH
= 1.0078250 u
mn = 1.0086650 u
m4 He = 4.0026032 u
B(2, 2) = 2mH + 2mn − m4 He = 0.0303768 u
= 28.295989 M eV .
Dabei gilt es folgendes zu beachten: Bildet man aus 2 Protonen und 2 Neutronen einen HeliumKern (α-Teilchen), so wird dabei die Bindungsenergie von 28.29 MeV frei. In der Sonne wird
aus 4 Protonen ein α-Teilchen gebildet. Der Energiegewinn beträgt 26.2 MeV. Bildet man
aus leichten Elementen einen Atomkern mit einer Massenzahl kleiner als 56 (Eisenpeak), so wird
Energie frei. Der entsprechende Prozess wird als Fusion bezeichnet.
Bei Atomkernen mit A ≥ 56 muss jedoch bei Fusionsprozessen Energie aufgewandt werden,
während die Spaltung Energie freisetzt.
4. Kernreaktionen: Zerfälle, Fusion, Spaltung
2.2.2
Der p-p-Zyklus in der Sonne
1. Temperatur- und Dichtebedingungen
Die Sonne besteht vorwiegend aus Wasserstoff und Helium. Im Zentrum der Sonne liegt die
Dichte bei 150 g/cm3 und die Temperatur beträgt etwa 15.6×106 K. Bei derartigen Temperaturen
und Dichten sind die Atome vollständig ionisiert. Man spricht von einem sogenanntem Plasma.
Ein Plasma unterscheidet sich hinsichtlich seiner physikalischen Eigenschaften deutlich von einem
Gas, weshalb man es auch als 4. Aggregatzustand bezeichnen kann. → Als Reaktionspartner für
die Fusion stehen Protonen zur Verfügung. Bei der Proton-Proton-Kette laufen die Reaktionen
p + p → np + e+ + ν,
e+ + e− → γ,
np + p → npp + γ,
npp + npp → α + 2p,
4p + 2 e− → α + 26.2 MeV,
ab, die letzte Gleichung beschreibt die Netto-Reaktion. Jedoch ist die Wahrscheinlichkeit für das
Zusammentreffen von vier Protonen extrem klein, so dass tatsächlich einen Kette von Reaktionen
mit zwei beteiligten Teilchen abläuft.
→ Die Protonen können nur miteinander reagieren, wenn ihr Abstand kleiner als die doppelte
Reichweite der Kernkraft (ca 1.3 fm) ist.
→ Dazu benötigen die Protonen eine Energie von
e2
r
1.44 MeV fm
2 × 1.3 fm
= 554 keV.
=
Die entsprechende Temperatur kann leicht ermittelt werden, da
1 eV
→
11605 K,
554 keV
→
6.4 × 109 K.
20
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
Die Reaktion sollte also in der Sonne bei einer Temperatur von 1.5 × 107 K nicht auftreten.
Die Wahrscheinlichkeit, Elektronen mit hinreichend großer Energie zu finden, ist verschwindend
klein (Größenordnung 10−275 ).
→ Zwei Effekte sorgen jedoch dafür, dass diese Reaktion trotzdem auftritt: der Tunneleffekt
und die Abschirmung.
2. Tunneleffekt
Klassisch kann sich ein Teilchen nur dort aufhalten, wo seine Anfangsenergie größer als die
potentielle Energie ist. Aufgrund der Wellennatur der Teilchen, in diesem Fall der Protonen,
findet man auch im klassisch verbotenen Bereich des Potentials eine endliche Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Proton. Es handelt sich hierbei um einen quantenmechanischen Effekt. Die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit hängt von der Differenz zwischen Potentialhöhe und Anfangsenergie ab. Je größer diese Differenz ist, desto kleiner ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit. Dieser
Effekt wird quantenmechanischer Tunneleffekt genannt.
Aufgrund des Tunneleffekts können die Protonen die Coulombbarriere auch für Energien kleiner
als die Potentialbarriere (Ec ) durchdringen.
3. Abschirmung im solaren Plasma
Selbst unter Berücksichtigung des Tunneleffekts ist noch nicht erklärbar, weshalb die ProtonProton-Reaktion in der Sonne abläuft. Einen weiteren zu berücksichtigenden Effekt stellt die
Abschirmung dar. Ladungsträger umgeben sich in einem Plasma mit einer Wolke aus ungleichnamigen Ladungsträgern. Das langreichweitige Coulomb-Potential wird effektiv abgeschwächt.
4. p-p-Ketten
Die Anfangsreaktion der p-p-Kette ist eine über die schwache Wechselwirkung vermittelte Reaktion. Sie verläuft extrem langsam.
Ladung
Spin
Baryonenzahl
Leptonenzahl
p
+1
1/2
1
0
+
p
+1
1/2
1
0
→
d
+1
1
2
0
+
e+
+1
1/2
0
-1
+
ν
0
-1/2
0
1
Bei den weiteren Reaktionen treten auch Prozesse über die starke bzw. elektromagnetische Wechselwirkung auf. Der Wirkungsquerschnitt σ(E) bzw. der S-Faktor S(E)
σ=
Zahl der Reaktionen in der Zeit t
Stromdichte j der einfallenden Teilchen
(2.20)
dieser Reaktionen wird als Funktion der Energie in irdischen Labors gemessen. Allerdings kann
der Wirkungsquerschnitt nur bei Reaktionen bestimmt werden, bei denen die Energie deutlich
höher liegt als in astrophysikalischen Prozessen. Daher muß der Wert für solare Bedingungen
mit Hilfe kerntheoretischer Modelle extrapoliert werden.
2.2.3
Weitere Fusionsprozesse in Sternen
1. CNO-Zyklus
Für massereichere Hauptreihensterne als unsere Sonne ist die p-p-Kette energetisch ungünstiger, als der sogenannte CNO-Zyklus, der auch effektiv 4 Protonen in ein α-Teilchen umwandelt.
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
Dabei vermittelt Kohlenstoff
Es ist:
12 C
21
als Katalysator.
Energieerzeugung p-p-Kette
Zündtemperatur p-p-Kette
Energieerzeugung CNO-Zyklus
Zündtemperatur CNO-Zyklus
13
C
(p,γ)
−→
+
(e , ν) ↑
13
15
O
↓ (e+ , ν)
(p, γ) ↑
C
N
↓ (p, γ)
N
12
14
T ∼ 107 K,
ǫpp ∝ T 5 ,
T ∼ 2 × 107 K,
ǫCNO ∝ T 17 ,
(p,α)
←−
15
N
Damit wird für Temperaturen größer als 2 × 106 K der Bethe-Weizsäcker-Zyklus der
dominierende Energieerzeugungsprozess.
2. He-Brennen
Ist im Zentrum der Sonne der Wasserstoff aufgebraucht, so kontrahiert der Kernbereich des
Sterns! Gleichzeitig dehnt sich die Hülle stark aus. Die Temperatur im Zentrum wächst stark
an, der Helium-Brennprozess zündet, bei dem Helium zu Kohlenstoff fusioniert! Dieser Prozess
bildet die Energieversorgung eines roten Riesensterns.
3. C-O-Brennen und Si-Brennen
Wenn das gesammte Helium zu Sauerstoff und Kohlenstoff verbrannt ist, so setzen zwischen
5 · 108 und 109 K Reaktionen von Kohlenstoffkernen ein. Dabei auftretende leichte Elemente
werden faktisch sofort durch weitere Reaktionen bei diesen hohen Temperaturen verbraucht.
Ab T = 1.4 · 109 K können auch die beim Heliumbrennprozess entstandenen Sauerstoffkerne
miteinander reagieren. Mögliches Endprodukt ist z.B. Silizium. Ist dieses Element durch vohergehende Prozesse ausreichend vorhanden, so kann es ab etwa 2 · 109 K zum Siliziumbrennen
kommen. Eine der wesentlichsten Reaktionen ist dabei der Aufbau von Eisen ( V Fe) als stabilstes
Element. Bei weiteren Fusionen wird dann keine Energie mehr frei, sondern verbraucht.
2.3
2.3.1
Das solare Neutrinoproblem
Das Neutrino
Neutrinos sind ungeladene Elementarteilchen mit Spin 1/2. Es ist nicht definitiv bekannt, ob sie Masse
besitzen!
Sie wurden 1930 von W. Pauli zur Erklärung des β-Zerfalls postuliert:
n → p + e− + ν̄
Neutrinos wurden 1956 von F. Reines und C. Cowan erstmals experimentell nachgewiesen.
Inzwischen sind Neutrinos in drei Sorten bekannt:
22
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
Elektron-(νe ), Myon-(νµ ), und Tauneutrinos(ντ )
Neutrinos sind Elementarteilchen, die im Rahmen von Reaktionen der schwachen Wechselwirkung
auftreten. Entsprechend ist ihr Wirkungsquerschnitt mit Nukleonen sehr klein! Jeder Leptonfamilie
ist ein Neutrino zugeordnet. Die folgende Tablle zeigt die 3 Elementarteilchenfamilien und die vier
fundamentalen Wechselwirkungen.
Leptonen Spin=1/2
Flavor
Masse
GeV/c2
νe -Elektronneutrino < 7 × 10−9
e-Elektron
0.000511
νµ -Myonneutrino
< 0.0003
µ-Myon
0.106
ντ -Tauneutrino
< 0.03
τ -Tau
1.7771
2.3.1.1
Elektrische
Ladung
0
-1
0
-1
0
-1
Quarks Spin=1/2
Flavor
Masse Elektrische
GeV/c2
Ladung
uup
0.005
2/3
ddown
0.01
-1/3
ccharm
1.5
2/3
sstrange
0.2
-1/3
ttop
170
2/3
bbottom
4.7
-1/3
Solares Neutrinospektrum
Sowohl in der p-p Kette als auch im Bethe-Weizsäcker-Zyklus kommen Reaktionen vor, bei denen
Neutrinos entstehen. Aufgrund ihrer geringen Wechselwirkungswahrscheinlichkeit verlassen diese Neutrinos den Kernbereich der Sonne fast ungehindert. Sie stellen für uns daher eine einmalige Möglichkeit
dar, Informationen über das Sonneninnere zu gewinnen!
Hier seien noch einmal die p-p-Ketten dargestellt:
2
p+p →
2
H + e+ + νe
H +p →
3
He + γ
kontinuierlich
(2.21)
• p-p I:
3
He + 3 He →
4
He + p + p
• p-p II:
3
He + 4 He →
7
Be + γ
7
7
Li + νe
4
4
−
e + Be →
7
Li + p →
diskret
He + He
• p-p III:
p + 7 Be →
8
B+γ
8
8
Be∗ + e+ + νe
4
4
8
B →
∗
Be
→
kontinuierlich.
He + He
Es ist jeweils angedeutet, ob das emittierte Neutrino mit einer diskreten Energie auftritt oder ein
Kontinuum von Energien vorliegt. Damit kann man ein Spektrum der theoretisch zu erwartenden
solaren Neutrinos angeben.
23
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
2.3.2
Experimente zur Messung solarer Neutrinos
Solare Neutrinos werden in mehreren Experimenten auf der Erde nachgewiesen.
Als Einheit zur Angabe des Neutrinoflusses wird das SNU (Solar Neutrino Unit) eingeführt, welches
die Zahl der eingefangenen Neutrinos pro Sekunde und 1036 Nachweisatome angibt
1 Reaktion
.
1036 Atome · s
Zur Zeit operieren vier Großexperimente zur Messung des solaren Neutrinoflusses:
1 SNU =
Name
Homestake
Kamiokande
GALLEX
SAGE
Ort/Land
South Dakota/USA
Kamioka/Japan
Gran Sasso/Italien
Kaukasus/Rußland
Nachweisreaktion
ν + 37 Cl
e− + ν
ν + 71 Ga
ν + 71 Ga
→ 37 Ar + e−
→ e− + ν
→ 71 Ge + e−
→ 71 Ge + e−
Alle Experimente messen einen deutlich geringeren Neutrinofluß als aus dem theoretischen Spektrum
der solaren Neutrinos für das entsprechende Experiment vorhergesagt wurde:
Experiment
Kamiokande
Homestake
Gallex
SAGE
total: Ga
Fexp (SNU)
+0.22
2.89−0.21 ± 0.35
2.55 ± 0.17 ± 0.18
131.5+7
−6
Ftheo (SNU)
5.69 ± 0.82
8±1
79 ± 10 ± 6
74+13+5
−12−7
77 ± 9
Exp/Theo
0.50 ± 0.07
0.32 ± 0.03
0.59 ± 0.07
Die Abweichung zwischen den experimentellen Werten und den theoretischen Vorhersagen wird als
Solares Neutrinoproblem bezeichnet.
Es soll nun etwas genauer auf das Gallex Experiment eingegangen werden, dass am Laboratori Nazionali del Gran Sasso in Mittelitalien durchgeführt wird.
Das Gallex-Experiment
Den 30t Galliumchlorid wird 1 mg Carrier (stabiles Ge) hinzugefügt. Die Detektorsubstanz wird für
3-4 Wochen den solaren Neutrinos ausgesetzt.Dabei wandelt sich das Gallium in Germanium um
νe +
71
Ga → e+ +
71
Ge.
Es entstehen in 1.3t Gallium rund 10071 Germaniumatome pro Tag. Andererseits zerfällt
einer Halbwertszeit von 11.4 Tagen wieder in 71 Ga
e− +
71
Ge →
71
71 Ge
mit
Ga + νe .
Es stellt sich somit ein Sättigungswert ein. Nach rund 4 Wochen hat man 90% des Sättigungswertes
erreicht!
Das entstandene Germaniumchlorid wird extrahiert durch Spülen mit N2 .
Über einen Zeitraum von 6 Monaten wird der Zerfall von Germanium detektiert. Folgendes charakteristisches Spektrum wird beobachtet:
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
24
Danach wird der Vorgang wiederholt.
Zur Überprüfung der Extraktion wurde die Detektorsubstanz einer Neutrinoquelle bekannter Intensität, hier ein Krypton-Isotop, ausgesetzt.
Über die letzten Jahre wurden bei derartigen Experimentzyklen folgende Werte gemessen:
Die Messreihe des Chlor-Experimentes sieht wie folgt aus:
Beim Kamiokande-Experiment gelingt es, die Neutrinos richtungsabhängig zu detektieren. In der Abbildung entspricht der Wert 1 der Richtung zur Sonne. Es ist ein deutliches Anwachsen zur Sonne hin
feststellbar.
2.3.3
Wieviele Neutrinos gelangen zu uns?
• Solarkonstante: 1.33 kW/m2 = 8.3 × 1011 MeV/s · cm2
Sie gibt an, wieviel Energie pro Sekunde von der Sonne als Photonen auf einen Quadratzentimeter
Erdboden gelangt.
• Bei der Fusion in der Proton-Proton-Kette werden 26.73 MeV freigesetzt.
• Von dieser Energie gehören nur 1 MeV zur kinetischen Energie der Photonen, der Rest, also
25.73 MeV, sind reine Photonenenergie!
• Pro Proton-Proton-Kette werden 2 Neutrinos emittiert.
• Damit treffen auf eine Fläche von einem Quadratzentimeter pro Sekunde 8.3 × 1011 /25.73 · 2 =
65 Milliarden Neutrinos!
• Aufgrund ihres extrem kleinen Reaktionsquerschnitts sind diese Neutrinos jedoch extrem schwer
nachzuweisen!
• Hypothesen zum Neutrinoproblem
erwartete Zahl von Neutrinos: 31 Neutrinos / 4 Wochen
gemessene Zahl von Neutrinos: 19 Neutrinos / 4 Wochen
Welche Effekte können dazu führen, dass auf der Erde weniger Neutrinos nachgewiesen werden,
als man theoretisch vorhersagt?
Dafür kommen mehrere Ursachen in Frage:
1. Unser Modell der Sonne als Gaskugel ist falsch!
2. Unsere Vorstellung der energieerzeugenden Mechanismen der Sonne, insbesondere der p-pKette sind falsch!
3. Es gibt neue elementarteilchenphysikalische Effekte!
Obwohl die ersten beiden Punkte sowohl damals als auch noch heute diskutiert werden, gilt bei
vielen Physikern die 3. Hypothese als die Wahrscheinlichste. Insbesondere erfreut sich die Idee
endlicher Neutrinomassen und die dadurch mögliche resonante Neutrinooszillation von νe ind νµ
oder ντ großer Beliebtheit!
25
KAPITEL 2. AUFBAU UND ENTWICKLUNG DER STERNE
• Mikheev- Smirnov-Wolfenstein-Effekt
Voraussetzung für Vakuumoszillationen ist die Existenz einer von Null verschiedenen Masse
mindestens einer Neutrinosorte (und die Ungleichheit der Eigenzustände von Massenmatrix und
schwacher Wechselwirkung, so dass sich eine Neutrinomischung herausbildet).
Vereinfacht sei dies am Beispiel von zwei Neutrinos gezeigt, wobei hier wichtig ist, dass die Elektronneutrinos νe über W- und Z-Bosonenaustausch wechselwirken, die anderen Neutrinosorten
jedoch nicht. Die Folge davon ist, dass ein zusätzliches Potential existiert, dass im Vakuumfall
nicht vorhanden ist. Trotzdem erält man eine Mischung, die der Vakuummischung ähnlich ist:
νe
cos ϑMSW sin ϑMSW
ν1
=
.
(2.22)
νµ
sin ϑMSW − cos ϑMSW
ν2
p
2π
und
L
=
L
1 + L2 /L2e + 2L cos 2ϑ/Le ,
Dabei gilt dann tan 2ϑMSW = sin 2ϑ/(cos 2ϑ+ LLe ), Le = √2G
MSW
FN
wobei N die Elektronendichte ist.
Als Unbekannte in diese Gleichungen gehen dabei die Differenz der Neutrinomassen ∆m2 und
der Mischungswinkel ϑ ein.
2.3.4
Neutrino-Astrophysik
• Supernova - Explosionen werden durch Neutrino-Prozesse angetrieben!
• Aktive Galaxienkerne: Kernreaktionen spielen eine große Rolle!
• Suche nach Dunkler Materie: Massive Neutrinos tragen zur Gesamtmasse des Universums bei!
• Die Neutrino-Hintergrundstrahlung gestattet den Blick zurück auf eine Sekunde nach dem Urknall!
Neue solare Neutrino Experimente
Kollaboration
Super-Kamiokande (JP)
SNO (KAN)
GNO (I)
Chlorine
Iodine
ICARUS (I)
BOREXINO (I)
KamLAND (JAP)
HELLAZ (F)
HERON (USA)
ν’s
8B
8B
7
pp, Be + . . .
8 B, 7 Be + . . .
7 Be, 8 B, . . .
8B
7 Be
7 Be
pp, 7 Be
pp, 7 Be
Technik
ν − e-Streuung
abs.,nc disint.
radiochemisch
radiochemisch
radiochemisch
νe abs., TPC
ν − e-Streuung
ν − e-Streuung
νe -Streuung
νe -Streuung
(superfluid,Protonen)
Weitere Informationen über Neutrinoexperimente sind gelistet unter
http://www-zeuthen.desy.de/∼csspier/neutrino.html.
Datum
April 1996
April 1998
April 1998
1999
1999
1999
2001
2001
in Entwicklung (TPC)
in Entwicklung
Kapitel 3
Endstadien der Sternentwicklung
3.1
Zustandsgleichung für superdichte Materie
Zustandsgleichung
kalte, dichte Materie
⇐⇒
Struktur kompakter
Objekte
1. Stabilität ( Tolman-Oppenheimer-Volkoff-Gleichung)
G · m(r) · ǫ(r)
Pr
4πP (r)r 3
2m(r) −1
dP
=−
1
+
1
+
1
−
dr
r2
ǫ(r)
m(r)
r
Newton
Korrekturen, Allg. Relativitätstheorie
2. Massenverteilung
m(R) =
ZR
ǫ(r)4πr 2 dr
0
Lösung:
- Bestimmen der Zustandsgleichung P (ǫ)
- Numerische Integration
Beispiel:
P (ǫ) = K · ǫ
Γ
qualitatives Ergebnis:
K · ǫΓc
R
∼
G · M · ǫc
R2
K · MΓ
R1+3Γ
∼
G · M2
R5
∼
M
G
K
1
Γ−2
26
R
ǫc ∼
3Γ−4
Γ−2
M
R3
27
KAPITEL 3. ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Γ = 5/3 nichtrelativist. Gas
(niedrige Dichten
=⇒
=⇒
Γ = 34 ultrarelativist. Gas
(hohe Dichten)
M∼
M∼
Chandrasekhar-Limit: MCh ∼ 1.4M⊙
3.2
3
K
G
R−3
3
2
K
G
∼ MCh
Zustandsgleichung
Druck:
4π 1
p=g·
(2πh̄)3 3
Z∞
dpp3
Z∞
dpp2 ǫ(p)n(p)
dǫ(p)
n(p)
dp
0
Energiedichte:
4π
u=g·
(2πh̄)3
0
Grenzfall T −→ 0 : Θ(pF − p)
sc Fermi-Impuls:
ρ =
4π
N
=g·
V
(2πh̄)3
ZpF
dpp2 =
0
pF
= h̄
6π 2 ρ
g
g
p3F
6π 2 h̄3
1/3
hohe Dichte −→ hoher Fermi-impuls !
Energie-Impuls-Beziehung:
ǫ(p) =
p
p2 c2
+ m2 c4
2
− mc
dǫ
dp
p2
2m ,
=
(
nichtrelativistisch p ≪ mc
pc, ultrarelativistisch p ≫ mc
(3.1)
=
(
p/m
c
(3.2)
Druck:
(
1 5
5m pF
c 4
4 pF
(
1
5
10m pF
c 4
4 pF
g
p= 2 3
6π h̄
Energiedichte:
g
u= 2 3
2π h̄
Polytrope Zustandsgleichung:
P = KρΓ
(
p=Γ=
5/3, nichtrelativistisch
4/3, ultrarelativistisch
KAPITEL 3. ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
3.3
28
Kompakte Sterne
(Weiße Zwerge, Neutronensterne, Quarksterne, schwarze Löcher)
Problem:
Wie kann der Stern ein hydrostatisches Gleichgewicht ohne thermischen Druck durch Kernreaktionen
ausbilden?
Welche Kraft kann der Gravitation entgegenwirken?
Antwort: Pauli-Prinzip
Für Fermionen (Teilchen mit halbzahligen Spin: Elektronen, Neutrinos, Protonen, Neutronen, Quarks,
...) gilt das Pauli’sche Ausschließungsprinzip oder kurz Pauli-Verbot.
Ein Platz im Zustandsraum darf nur höchstens von einem Fermion besetzt werden!
Beispiele:
- Atomstabilität (Besetzung der Elektronenzustände im Atom −→ Orbitale −→ Periodensystem der
Elemente)
- Kernzustände in Atomkernen
Fermi-Gas:
Bei hoher Dichte werden kollektive Eigenschaften ausgebildet. Aus einem Gas von individuellen Atomen wird z.B. ein Kristallgitter aus Atomkernen und einem Gas aus quasifreien Elektronen (Elektronengas), die nicht an einem konkreten Atomrumpf gebunden sind (Leitungselektronen).
Analog dazu: Nukleonen im Atomkern
Fermi-Verteilung:
Angabe der Wahrscheinlichkeit für die Besetzung eines Zustandes mit dem Impuls p~:
n(~
p) = {exp[(ǫ(~
p) − µ)/kB T ]±1}−1
( +1 = Fermi-verteilung ; −1 = Bose-verteilung )
Durch Summation (also Integration) über alle möglichen Zustände erhält man die Teilchenzahl im
Volumen V:
Z
d3 ~p
n(~
p)
N (T, µ) = g · V
(2πh̄)3
g = 2 : e− ↑, e− ↓
g = 4 : n ↑, n ↓, p ↑, p ↓
Bedingungen für ein entartetes Quantengas:
(
> 1, Quanten, Fermi/Bose − Gas
nλ3
< 1, klassisch, Boltzmann − Gas
n = N/V . . . Teilchenzahldichte
KAPITEL 3. ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
29
λ = (2πh̄2 /mkB T )1/2 . . . thermische Wellenlänge
Weiße Zwerge:
R ∼ 103 km
0.6 M⊙ < M < 1.4 M⊙
ρ ∼ 105 . . . 107 g cm−3
Tc = 107 K
(3.3)
- thermische Energie ≪ Fermi-Energie (Pauli-Prinzip)
- Elektronendruck ≫ Druck der Atomkerne (He,...)
- unstabil für ρc ≥ 10−5 ρ0 , ρ0 = 2.4 · 1014 g cm−3
Neutronensterne:
R ∼ 10 km
M
∼ 1.4 M⊙ < 2 . . . 3 M⊙
ρ ∼ 2 . . . 10 × 1014 g cm−3
(3.4)
- β-Gleichgewicht: p + e− ⇀
↽n+ν
- im Inneren der Sterne:
• superfluide Neutronen
• angeregte Hadronen: Kaonen, Hyperonen
• Quarkmaterie:
– Supraleitung?
– fremde Materie (strange matter) - s-Quarks?
Schwarze Löcher:
aus ART folgt:
M = M⊙ ←→ R ≈ 3 km
vFlucht = c
2
=
Abschätzung: 21 vFlucht
G·M
R
→ RS =
2GM
c2
Schwarzschild-Radius: RS (“Ereignis-Horizont”)
Mögliche Beobachtung durch X-Ray Binaries.
KAPITEL 3. ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
3.4
30
Supernovae und Neutronensterne
• Was passiert bei einer Supernova - Explosion?
Nach Ausbrennen der Kernreaktionen im Innern des Sterns:
– [Typ I] Supernova (Kohlenstoff-Detonation):
Der Stern wird vollständig zerstört.
– [Typ II] Supernova (Eisen-Kern):
Implosion gefolgt von Schockwellen-Explosion, die nicht im Zentrum des Stern zündet.
• Ergebnis:
– Äußere Sternhülle wird in den umgebenen Raum “geblasen”
– Sterninneres kollabiert zum NEUTRONENSTERN
• Eigenschaften:
– Radius: R ≈ 10 km
– Dichte: ρ ≈ 1014 ...1015 g/cm3
– Masse: M ≈ M⊙ = 2 × 1030 kg
1
– Rotation: Periode T < 1 sec, wenn der Vorgänger-Stern z.B. eine Periode von ca. 1 Monat
hatte (vgl. Sonne)
– Magnetfeld: Kontraktion erhöht Magnetfeldliniendichte drastisch ⇒ H/HErde ≈ 1012
3.5
Pulsare → Rotierende Neutronensterne
• 1967 J. Bell und A. Hewish (Nobelpreis 1974) entdecken pulsierende Strahlungsquelle im
Radiobereich (Pulsintervall: 1.34 sec; Pulsdauer: 0.01 sec)
• Heute sind hunderte solcher Quellen in der Milchstraße bekannt ⇒ PULSARE
Pulsfrequenz extrem stabil: ∆T /T ≈ 1 sec/ 1 Million Jahre
• 1968 T. Gold erklärt das Phänomen als
⇒ ROTIERENDE NEUTRONENSTERNE, weil:
a) Nur Rotation erklärt die hohe Präzision der Pulse
b) Nur kleine Objekte (R ≈ 10 km) haben so kleine Pulsdauern
• 1969 Entdeckung des Pulsars im Krebs-Nebel:
Verbindung Supernova - Neutronenstern - Pulsar hergestellt.
• 1974 R. Hulse und J. Taylor (Nobelpreis 1993)
Entdeckung des binären Pulsars PSR 1913+16
1
Ein Mensch (70 kg) würde an der Neutronenstern-Oberfläche soviel wiegen wie 1 Billion kg auf der Erde.
KAPITEL 3. ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
31
Nachweis neuer Materiezustände in Neutronensternen durch Pulsarbeobachtungen:
• Superfluide Kernmaterie (keine Viskosität) ⇒ GLITCHES
• Quarkmaterie ⇒ BRAKING INDEX
3.6
Beispiel: Supernova-Explosion 1054 – Krebsnebel
• 1054 Chinesische Astronomen beobachten “Gast-Stern” in der Nähe des Sternbildes Stier:
– 6-mal heller als die Venus, rötlich-weißes Licht
– 1 Monat lang sichtbar am Tag
– 1 Jahr lang sichtbar am Abendhimmel
– Absolute Leuchtkraft ≈ 400 Millionen Sonnen
– Entfernung ∼ 7.000 Lichtjahre (ly)
(Bei einer Entfernung von ca. 50 ly hätte die Explosion vermutlich das Leben auf der Erde
ausgelöscht)
• 1731 J. Bevis: Teleskop-Beobachtung der SN-Überreste
• 1758 C. Messier: Katalog von Nebeln und Sternclustern
• 1844 Lord Rosse: Name “Krebsnebel” wegen der Tentakel-Strukturen
• 1939 J. Duncan: Extrapoliert Expansion des Nebels und errechnet eine Explosion von einer
Punktquelle vor 766 Jahren
• 1942 W. Baade: Stern in der Nähe des Nebelzentrums könnte mit dessen Ursprung zu tun
haben.
• 1948 Krebsnebel als eine der stärksten Radioquellen identifiziert
• 1963 Nachweis von Röntgenstrahlung durch Raketensonden in der Hochatmosphäre
• 1968 Baade’s Stern als Pulsar identifiziert!
KAPITEL 3. ENDSTADIEN DER STERNENTWICKLUNG
Jahr
1054
1572
1932
1932
1934
Beobachter “
”
Chinesen
T. Brahe
J. Chadwick
L. Landau & andere
W. Baade & F. Zwicky
1935
1939
1946
R. Oppenheimer & G. Volkoff
R. Oppenheimer & G. Volkoff
G. Gamow
1967
1969
1973
1987
1987
1995
J. Bell & A. Hewish
1996
1997
RXTE
BeppoSAX
1998
Supernovareste
R. Hulse & J. Taylor
Neutrinodetektoren
Nijmegen Datenbasis
32
Entdeckung
Supernova im Krebsnebel beobachtet
beobachtet eine Supernova
entdeckt das Neutron
nehmen die Existenz von Neutronensternen an
verbinden Supernova’s durch einen
Gravitationskollaps mit den Neutronensternen
berechnen erste Neutronensternstruktur
Rechnungen und Modelle
entwickelt Nukleosynthese, die schwerere
Elementerzeugung durch Supernovas erfordert
entdecken ersten Pulsar
Pulsar im Krebs-Nebel, Vela entdeckt
entdecken erste Zwillingspulsare
Supernova in Großer Magellanscher Wolke (SN-1987A)
sammeln 19 Neutrinos von der Supernova SN-1987A
Zusammenstellung von >
∼ 5000 nn Wirkungsquerschnitten
führt zu modernennn-Potentialen
und Zustandsgleichungen
kHz Oszillationen (QPQ) in X-Ray Binaries
Gamma Ray Burst mit Nachleuchten bei z >
∼1
Abstrahlung von Synchrotonstrahlung wurde beobachtet
passen zu Daten des polaren Eiskerns (N O3− -Spitzen)
Kapitel 4
Sternsysteme
4.1
4.1.1
Milchstraße, Hubble-Klassifikation
Entfernungen im Weltall
AE
ly
pc
Entfernung Erde - Sonne
Lichtjahre
Längeneinheit, die zu einer
jährlichen Parallaxe von 1 ” gehört
1.49 × 108 km
9.46 × 1012 km
30.84 × 1012 km
Insbesondere gilt dann zwischen den Größen
1 pc = 206265 AE,
1 pc = 3.26 ly.
4.1.2
Strahlungsquellen in der Milchstraße
Um die Struktur der Milchstraße zu erkunden, wurden Messungen in allen Wellenlängenbereichen
durchgeführt. Die folgende Auflistung zeigt eine Zuordnung zwischen den Wellenlängen, den Meßgeräten (M), den zugrunde liegenden physikalischen Effekten (E) und daraus gewinnbaren Informationen (I).
Radioastronomie - (1 mm - 20 m)
M: Radioteleskope, z.B. 100m-Teleskop Effelsberg/Eiffel (D), VLA Socorro, New Mexico (USA)
E: z.B. Hyperfeinstrukturübergang des H (21cm-Linie)
I: räumliche Verteilung des Interstellaren Gases, Hintergrundstrahlung
Infrarotastronomie - (0.001 mm - 1 mm)
M: Teleskop + IR-empfindlicher Film, DIRBE-Instrument auf dem COBE-Satelliten
E: thermische Strahlung, Streulicht
I: räumliche Verteilung des interstellaren Staubes, HII - Regionen
Optische Astronomie - (400 nm - 800 nm)
M: Teleskope, z.B. Keck-Teleskop, Mauna Kea/Hawaii (USA)
E: leuchtende Sterne, Rekombinationsstrahlung
I: Sternverteilung und Sterntypen HII-Regionen (Sternentstehungsgebiete)
33
34
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
Ultraviolettastronomie - (10 nm - 400 nm)
M: Teleskop + UV-empfindlicher Film, EUVE-Satellit
E: leuchtende Sterne
I: extrem heiße Sterne
Röntgenastronomie - (0.01 nm - 10 nm)
M: Satellitenteleskope, z.B. ROSAT, Uhuru, u.a.
E: hochenergetische Strahlungsübergänge
I: Massenakkretion, Pulsare, Novae, Supernovae
Gammaastronomie - ( < 0.01 nm)
M: Gammadetektoren, z.B. Compton Gamma Ray Observatory
E: Kernreaktionen
I: Supernovae, aktive Galaxien
Unter Anwendung dieser Untersuchungsmethoden läßt sich nachweisen, dass unsere Galaxie aus Sternen, interstellarem Gas und interstellarem Staub besteht.
Im optischen Bereich werden Sternzählungen, die sogenannte Stellarstatistik durchgeführt. Im folgenden Diagramm ist die Zahl der Sterne in galaktischen Koordinaten dargestellt. Es ist deutlich zu
erkennen, dass die Sterne sich um die galaktische Ebene häufen, dass im galaktischen Zentrum besonders viele Sterne liegen und dass lokale Maxima in der Sternhäufigkeit (z.B. bei 70 und bei 100)
auftreten, die auf die Spiralarme unserer Galaxis hinweisen.
Im Radiobereich zeigt sich ein ähnliches Bild. Insbesondere findet sich im Ursprung des galaktischen
Koordinatensystems eine extrem starke Radioquelle: Sagittarius A (Sgr A). Sie wird mit dem Zentrum der Milchstraße identifiziert. Im optischen Bereich ist dieses Gebiet durch Staub- und Gaswolken
verdeckt. Interessanterweise stammen Röntgen- und Gammaemissionen in diesem Gebiet jedoch von
Quellen, die nicht mit Sgr A übereinstimmen.
Insbesondere aus der 21cm Linie des neutralen Wasserstoffs, läßt sich die großräumige Verteilung des
kalten Wasserstoffgases bestimmen. Aus der Dopplerverschiebung dieser Linie gewinnt man Informationen über Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung des Gaswolken.
4.1.3
Daten und Fakten zur Milchstraße
Durchmesser der Scheibe:
Durchmesser des Zentrums:
Durchmesser Korona + Halo:
Masse des Zentrums:
Masse Korona + Halo:
Gesamtmasse:
Form:
20 kpc
5 × 10−8 kpc
100 kpc
5 × 107 M⊙
1.2 × 1012 M⊙
2.1 × 1012 M⊙
Spiralgalaxie
35
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
4.1.4
4.1.4.1
Die Gestalt unserer Milchstraße
Geschichtliche Bemerkungen
400 v.u.Z.
1609
1790
1910
1920
1923
2003
Demokritsche Vermutung: Milchstraße besteht aus Einzelsternen
Galilei löst mit seinem Fernrohr einige Teile der Milchstraße in Einzelsterne auf
Herschel führt Sternenzählungen durch, Sonne im Mittelpunkt einer Sternscheibe
Der Niederländer Kapteyn findet Anzeichen für Untergruppen
Shapley untersucht Kugelsternhaufen, Sonne am Rand der Milchstraße
Hubble: Andromedanebel (M31) ist ein extragalaktisches Objekt
2dFGRS katalogisiert über 200000 Galaxien mit z.T. großer Rotverschiebung
Sternenzählung
• Es werden Sterne einer bestimmten Farbklasse in der Umgebung der Sonne gezählt. Dabei deutet
sich eine ungleichmäßige Verteilung der Sterne an:
• Es werden offene Sternenhaufen in der solaren Umgebung kartiert. Es zeigen sich mehrere Arme:
0 Lokaler Arm mit der Sonne
+I Perseus - Arm
-I Sagittarius - Arm
Der typische Abstand zwischen den Armen beträgt 1 bis 2 kpc.
Globulare Cluster
• Riesige, meist kugelförmige Ansammlung von Sternen.
Typischerweise wird ein Cluster aus 104 bis 107 Sternen gebildet, wobei die Dichte der Sterne
im Zentrum bei mehreren 1000 Sternen pro kpc liegt.
• Die Entfernung dieser Cluster wird durch die Beobachtung von RR Lyrae - Sternen und Cepheiden als Standardkerzen bestimmt. Man findet, dass globulare Cluster das Zentrum der Milchstraße in einer sphärischen Anordnung umgeben. Sie sind Teil des Halos der Milchstraße.
• Aus dem HRD kann man ablesen, dass globulare Cluster die ältesten Objekte in unserer
Milchstraße sind; ihr Alter liegt in der Größenordnung von 1010 Jahren.
• Globulare Cluster enthalten kaum Gas.
• Die Sterne dieser Cluster sind sehr metallarm und damit sogenannte Population II - Sterne.
Elementverteilung Für die Elementverteilung bei Scheibensternen als Funktion des Alters erhält
man folgende Kurve:
Folgerungen:
• Selbst bei den ältesten Sternen in der galaktischen Scheibe war die Metallhäufigkeit bei der
Bildung nicht Null.
• Es tritt eine Sättigung der Elementverteilung auf.
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
36
Die Milchstraße ist von einer großen Zahl von Kugelsternhaufen umgeben, deren Sterne alle extrem alt
sind (metallarme Population II - Sterne). Es finden sich auch Zwerggalaxien in nächster Umgebung
der Milchstraße. Diese bilden den Halo der Milchstraße. Weiterhin hat man in den beiden letzten
Jahrzehnten Anzeichen für stark verdünnte und extrem heiße Gaswolken gefunden, die im Halo und
auch außerhalb des Halo liegen. Man spricht von der Korona der Milchstraße. Damit ergibt sich für
die Milchstraße von der Seite aus gesehen das folgende Bild:
Die folgende Abbildung zeigt die Rotationskurve unserer Galaxies, d.h. Die Winkelgeschwindigkeit
als Funktion des Abstandes zum galaktischen Zentrum. Nimmt man an, dass die Masse unserer Galaxis im Zentralbereich konzentriert ist, so würde man eine Abnahme der Winkelgeschwindigkeit mit
zunehmender Entfernung erwarten! Dies ist offensichtlich nicht der Fall und stellt damit ein noch zu
lösendes Problem der modernen Astrophysik dar. (Ansätze z.B. dunkle Materie) Erscheinungsbild
von Galaxien Galaxienkataloge:
Galaxien werden in der Regel mit Katalognummern bezeichnet. Nur einige besonders auffällige Galaxien tragen Namen wie Whirlpool-Galaxie, Sombrero-Galaxie oder Wagenrad-Galaxie. Der erste
Galaxienkatalog wurde von Charles Messier in den Jahren 1758 bis 1782 erstellt, der 110 diffuse Objekte (planetare Nebel, Sternencluster und Galaxien) kartierte. So ist der bekannte Andromedanebel
die Nummer 31 im Messier-Katalog. Später wurde ein weiterer Katalog von rund 10000 Objekten
erstellt, der unter dem Namen NGC (New General Catalog) bekannt ist. Der Andromedanebel ist in
diesem Katalog NGC224.
Hubble-Klassifikation: Hubble führte in den zwanziger Jahren eine Klassifikation der Galaxien ein,
bei der er sich an der Morphologie orientierte. Er unterschied nach elliptischen und spiralförmigen
Galaxien, wobei letztere noch in Spiralen und Balkenspiralen unterteilt wurden. Dieses Schema wird
auch noch heute benutzt, da viele physikalische Eigenschaften einer Galaxie eng mit dem Aussehen
der Galaxie verknüpft sind. Die folgende Abbildung zeigt das Hubblesche Klassifikationsschema.
Weiterhin findet man noch Galaxien, die keine erkennbare reguläre Gestalt aufweisen und daher
als irreguläre Galaxien bezeichnet werden. Spiralgalaxien: Rund 60% aller beobachteten Galaxien
zeigen eine spiralförmige Gestalt, wobei die Spiralarme mehr oder weniger ausgeprägt sind. Sowohl
gewöhnliche als auch balkenförmige Spiralen haben einen elliptischen Zentralbereich, der sich in vielen Eigenschaften ähnelt. Insbesondere in den Spiralarmen finden sich Überriesen, OB-Sterne und die
zugehörigen HII-Regionen. Die Galaxie M33 ist eine helle Galaxie geringer Masse mit Spiralstruktur,
die zu unserer lokalen Gruppe gehört und rund 2.5 Millionen Lichtjahre entfernt ist. Die folgenden
Bilder zeigen M33 im blauen Licht und im Hα Licht.
Der physikalische Mechanismus, der zur Ausbildung von Spiralarmen führt, ist noch nicht völlig verstanden. Hingegen gibt es die Beobachtung, dass Galaxiencluster mit hoher Galaxiendichte kaum
Spiralgalaxien aufweisen, was nahelegt, dass diese durch Kollisionen zerstört worden sind. Neueste
Aufnahmen der Wagenrad-Galaxie zeigen, dass die gestörte Galaxis nach einer Kollision mit einer
anderen Galaxie dabei ist, ihre Spiralstruktur wieder herzustellen. Elliptische Galaxien: Elliptische
Galaxien zeichnen sich gegenüber spiralförmigen Galaxien dadurch aus, dass sie sehr alte Sterne beherbergen. Der Anteil an Gas und Staub und insbesondere an HII-Regionen ist deutlich geringer. Sehr
große Galaxien, deren Radius mehrere Millionen Lichtjahre betragen kann, sind elliptisch. Aktive
Galaxien: Schon zu Beginn dieses Jahrhunderts wurden Galaxien gefunden, die neben Absorptionslinien auch Emissionslinien aufweisen. Derartige Galaxien werden als Aktive Galaxien (AG) oder auch
Seyfertgalaxien bezeichnet, da C. Seyfert in den vierziger Jahren des letzten Jahrhunderts diese
Galaxien eingehend untersucht hat.
Aktive Galaxien strahlen enorme Energiemengen aus einem sehr kleinen Raumgebiet um
37
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
das Zentrum der Galaxis ab.
M87 ist z.B. eine solche Galaxis. Detaillierte Untersuchungen des Zentrums von M87 zeigen heißes Gas
(rund 10.000 K), dass mit Geschwindigkeiten von 550 km/s um das Zentrum rotiert. Die abgeschätzte
akkretierende Masse in einem Raumbereich von der Größe unseres Sonnensystems liegt bei 3 Milliarden Sonnenmassen. Es wird gemeinhin angenommen, dass es sich bei einem derart massiven Objekt
um ein Schwarzes Loch handelt.
Das man zwei spektroskopisch verschiedene Typen von aktiven Galaxien findet, wird damit erklärt,
dass je nach Lage der Akkretionsscheibe sekundär erzeugte Maserstrahlung beobachtet wird.
Beobachtungen der Galaxie NGC4258 unterstreichen die Annahme eines schwarzen Loches.
Dunkle Materie Es gibt zahlreiche Hinweise, dass wir bislang den größten Anteil der Masse in
einer Galaxie nicht beobachtet haben. Die drei wichtigsten Hinweise sind:
• die flache Rotationskurve vieler Spiralgalaxien. Obwohl die beobachtete Materieverteilung
in den Spiralarmen nach außen abnimmt, ist die Winkelgeschwindigkeit nahezu konstant.
• Geschwindigkeiten von Galaxien in Galaxienhaufen. Die gemessenen Geschwindigkeiten
von Galaxien in Galaxienhaufen sind teilweise erheblich zu groß, wenn man nur die Gravitation der beobachteten Massen zugrundelegt. Selbst bei großzügiger Abschätzung der Masse des
intergalaktischen meßbaren Gases fehlt ein beträchtlicher Teil der Masse.
• heißes Gas in Galaxienhaufen. Man beobachtet räumlich fixierte heiße Gaswolken. Die nötige Masse der Galaxis ist deutlich größer als die sichtbare Masse.
Der erste Punkt soll hier etwas eingehender behandelt werden. Im folgenden Diagramm ist die Rotationskurve der Galaxie NGC3198 zu sehen. Es ist die Rotationsgeschwindigkeit als Funktion des
Abstands vom galaktischen Zentrum angegeben. Insbesondere zeigt sich, dass die Rotationsgeschwindigkeit nach außen nicht abnimmt, sondern annähernd konstant ist. Geht man nun von der Beziehung
v2 =
G · M (r)
r
der klassischen Mechanik aus, wobei v die Rotationsgeschwindigkeit, M(r) die innerhalb des Radius r
eingeschlossene Masse und G die Gravitationkonstante ist, so muss die eingeschlossene Masse proportional zum Abstand sein. Insbesondere beobachtet man bei NGC3198, dass die sichtbare Masse nach
außen abnimmt. Mit Hilfe der obigen Formel kann die Gesamtmasse von NGC3198 (genauer: die in
einem Radius von 30 kpc eingeschlossene Masse) berechnet werden. Benutzt man
r = 30kpc = 925.2 × 1015 km,
km2
km 2
2
= 22500 2 ,
v =
150
s
s
3
3
m
−20 km
G = 6.67 × 10−11
=
6.67
×
10
,
kg s2
kg s2
so erhält man
v2 r
= 3.12 × 1041 kg = 1.6 × 1011 M⊙ .
G
Dieser Wert ist rund 5 mal größer als die aufgrund der leuchtenden Masse abgeschätzte Gesamtmasse.
Kandidaten für die dunkle Materie sind:
M=
38
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
• baryonischer Natur
MAssive Compact Halo Objects (MACHOs)
– rote Zwerge, braune Zwerge
• nicht-baryonischer Natur:
– Neutrinos mit endlicher Masse
– exotische Elementarteilchen:
Weak Interacting Massive Particles (WIMPs)
Photino, Neutralino , etc.
Es wurde in letzter Zeit von Mikrolinseneffekten berichtet, die auf die Existenz von MACHOs hindeuten. Der wesentliche Anteil der dunklen Materie ist jedoch nicht-baryonischer Natur, wenn die Modelle
zur Nukleosynthese im Urknall richtig sind.
Die Rotationskurve der Milchstraße
Wie wiegt man die Milchstraße ?
Aus der Dopplerverschiebung kann die Geschwindigkeit der Gaswolke entlang der Sichtlinie bestimmt werden. Aus langwierigen Messungen der Eigenbewegung kann die Transversalgeschwindigkeit gemessen werden. Mit Hilfe
der in der nebenstehenden Abbildung angedeuteten Geometrie läßt sich dann die Rotationsgeschwindigkeit eines Objektes im Abstand R vom
galaktischen Zentrum bestimmen.
Aus der klassischen Mechanik ist für die Rotationsgeschwindigkeit die folgende Gleichung bekannt,
die aus dem Gleichgewicht zwischen Zentrifugalkraft und Gravitationskraft folgt
G M (r)
.
r
Da die Rotationskurve einen nahezu konstanten Verlauf für große Abstände zeigt, muss die Masse
proportional mit dem Abstand wachsen! Dies widerspricht der Beobachtung der Verteilung der leuchtenden Masse!
Man betrachte nun die Rotationskurve für die Sonne
v2 =
r = 8.5 kpc = 261.8 × 1015 km ,
v 2 = (220 km/s)2 = 48400 km/s2 ,
3
m3
−20 km
=
6.67
×
10
.
G = 6.67 × 10−11
kg s2
kg s2
Dann erhält man für die eingeschlossene Masse:
39
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
v2 r
,
G
= 1.9 × 1041 kg,
M (r) =
= 9.6 × 1010 M⊙ .
Führt man eine derartige Betrachtung für die Galaxis als ganzes durch, so stellt man fest, dass die
aus der Rotationskurve bestimmte Masse rund doppelt so groß ist, wie die sichtbare Masse.
→ Problem der dunklen Materie!
4.1.4.2
Galaxiencluster und Eigenbewegung
Galaxien sind nach unserem heutigen Kenntnisstand nicht gleichförmig im Weltall verteilt, sondern
häufen sich in sogenannten Galaxienclustern. Unsere eigene Milchstraße ist Teil der sogenannten lokalen Gruppe, zu der auch der Andromedanebel gehört. Die Erforschung der direkten Umgebung der
Milchstraße ist dadurch erschwert, dass im optischen Bereich rund 15% des Himmels von der Milchstraße selbst verdeckt werden. Erst die Benutzung von kohärent arbeitenden Radioteleskopen (Very Large
Array) hat in den letzten Jahren zur Aufklärung der näheren Umgebung der Milchstraße beigetragen.
Insbesondere wurde im letzten Jahr eine Zwerggalaxie entdeckt, die der Milchstraße so nah ist, dass
sie durch diese zerissen wird. Der große Attraktor Ein Studium der Eigenbewegung (Bewegung der
Galaxien zusätzlich zur Expansion des Universums) unserer Galaxis und ihrer Nachbargalaxien zeigt,
dass sich die Milchstraße in Richtung auf den Andromedanebel bewegt, die lokale Gruppe als ganzes
sich auf den Virgo-Haufen zubewegt, und beide sich in Richtung des Hydra-Centaurus-Superhaufens
bewegen. Man findet sogar weiter, dass sich auch dieser Haufen noch auf eine uns bislang unsichtbare
sehr große Massenkonzentration zubewegt, der man den Namen Großer Attraktor“ gegeben hat. Die
”
folgende Skizze verdeutlicht diese Situation.
4.2
Extragalaktische Objekte
4.2.1
Aktive Galaxien (Seyfart, BL Lac, Radio, Quasare)
Aktive Galaxien besitzen einen Strahlungsausstoß in der Größenordnung von ≥ 1037 W (etwa 100 mal
soviel wie normale “ Galaxien). Diese Strahlung ist nicht-thermischer Natur und besitzt daher nicht,
”
wie die meisten Sterne, ein Planck-Spektrum.
Dagegen sind starke Emissionslinien und/oder Synchrotronstrahlung (Bremsstrahlung) charakteristisch.
Aktive Galaxien unterliegen starken Strahlungsschwankungen, die schon über einen Beobachtungszeitraum von 15 Minuten sichtbar werden können. An einem Tag kann die Strahlungsveränderung 10-30
% betragen und über das gesamte Jahr liegt sie bei einem Faktor 100. Innerhalb dieser Galaxien gibt
es kleine aktive Regionen in der Größenordnung von einigen Lichtjahren.
4.2.1.1
Seyfert-Galaxien
Etwa 1% aller Galaxien sind Seyfert-Galaxien.
Sie besitzen ein sehr helles Zentrum und sind meistens von Spiralarmen umgeben.
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
40
Gekennzeichnet sind sie zudem durch klare Emissionslinien, die schmal, aber kräftig sind.
Die Variabilität des Spektrums ist sehr stark über Tage und Monate, aber nur gering im Minutenbereich.
Jedoch kann es zu plötzlichen Änderungen der Breite und Stärke der Spektrallinien kommen.
Seyfert-Galaxien treten oft in Paaren auf. (Tidal-Effekt)
4.2.1.2
BL Lac(ertae)-Galaxien
Zum jetzigen Zeitpunkt ist es noch nicht restlos geklärt, ob es sich bei diesen Objekten wirklich um
Galaxien handelt.
Ihr Spektrum kann sich schnell vom Visuellen zum Radiowellenbereich verschieben. (Faktor 100 für
größere Objekte, 10-30% für kleinere)
Da sie keine Emissionslinien besitzen und somit keine Rotverschiebung zu messen ist, sind auch ihre
Entfernungen noch völlig unbestimmt.
Die Strahlung ist kontinuierlich, aber nicht thermischer Natur.
Die BL Lac-Galaxien besitzen eine starke und veränderliche Polarisierung, die phasengleich mit den
Intensitätsveränderungen sind.
4.2.1.3
Radio-Galaxien
Normale Galaxien emittieren etwa 1033 W im Radiowellenbereich. Dagegen emittieren Radiogalaxien
deutlich mehr, typischerweise im Bereich von ≥ 1037 W .
Die Emission der Radiowellen verändert sich im allgemeinen innerhalb eines Zeitraums von 10 Jahren.
Es gibt eine starke Röntgenemission, welche die Emission von sichtbaren Licht um einen Faktor ∼ 50
übersteigt.
Radiogalaxien lassen sich unterteilen in:
erweiterte Radio-Galaxien
- sind grösser als ihr optisches Bild und besitzen oft zwei große “lappenartige” Bereiche
kompakte Radio-Galaxien
- besitzen nur kleine aktive Regionen im Größenbereich von Lichtjahren
4.2.1.4
Quasare (Quasi-stellare Objekte)
Quasare wurden als sehr intensive Radioquellen ohne optisches Bild entdeckt.
Mittlerweile kann man sie mit Hilfe des Hubble-Teleskops (HST) auch optisch auflösen.
Sie sind sehr weit entfernt und man mißt eine relativistische Rotverschiebung von z ≈ 0.1 − 5.
Sie “leuchten” sehr intensiv und sind die “hellsten” bekannten Objekte. (bezüglich auf die entsprechende Wellenlänge leuchten sie teilweise über 40 mal so stark wie eine normale Galaxie!)
Dabei ist ihnen ein kompliziertes Spektrum, dessen größter Energieanteil im Infarot-Bereich liegt, eigen.
Während die Emissionslinien Auskunft über die Quelle geben, kann man die Informationen über das
umgebende Medium, durch die von ihm verursachten Absorptionslinien erhalten, z.B. ob es sich um
eine normale Galaxie handelt oder nicht.
Dabei können schnelle Veränderungen des Spektrums über wenige Minuten bis hin zu einigen Jahren
auftreten.
Quasare scheinen ein schwarzes Loch im Zentrum zu besitzen und liegen wahrscheinlich im inneren
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
41
größerer Galaxien.
Sie sind, dank der umgebenden Materieringe (Akkretiosscheiben), die das schwarze Loch sehr schnell
umkreisen, sichtbar“ .
”
Die Temperatur dieser Materieringe wird dabei stark erhöht und infolgedessen strahlen sie Energie
ab.
Ihre Geschwindigkeit ist meßbar und das Hubble-Teleskop (HST) kann in einigen Fällen sogar die
Ringgröße auflösen.
Wenn die Geschwindigkeit sehr hoch und die Ringgröße klein genug ist, muss es sich bei dem Objekt
im Zentrum um ein schwarzes Loch handeln.
4.2.1.5
Jets
Jets haben “nur” einen Querschnitt von einigen Lichtjahren.
Sie besitzen viele Knoten“ die durch wiederholte Materie/Strahlungsausbrüche erzeugt werden.
”
Die Emission ist ebenfalls nicht thermisch und ist vom Röntgen- bis zum Radiowellenbereich verteilt.
Man unterscheidet sogenannte Back to Back“ Jets oder gebogene“Jets.
”
”
Sie besitzen 50-3000 Lichtjahre große Lobes mit in ihnen sichtbaren heißen Flecken.
Dabei hat einer dieser “Lobes” eine Energie von ≈ 1053 J und existiert für ca. 107 − 109 Jahre.
Senkrecht zu den Jets sind Akkretionsscheiben zu erkennen.
Letztlich ist auch der Mechanismus der Radioemission in Jets noch nicht vollkommen verstanden.
Jets existieren aber auch in neueren Sternsystemen. Sie scheinen hier von neugeborenen Sternen zu
kommen und verlassen sie senkrecht zu dem planetarischen System. Man nimmt an, dass sie dabei auch
einen großen Teil des Drehmomentes des sich bildenden Sterns davonzutragen, was erklären würde,
warum die Sterne im Allgemeinen ein geringes Drehmoment besitzen.
Besitzt die Quelle eines galaktische Jets eine hohe Geschwindigkeit, so sind diese oftmals gebogen.
Jets sind manchmal auch superluminal“ , das bedeutet, sie scheinen sich schneller als das Licht zu
”
bewegen. Dies ist dann der Fall, wenn ihre tatsächliche Geschwindigkeit hoch genug ist, und wenn wir
als Beobachter unter einem kleinen Winkel in den Jet schauen.
4.2.2
Gemeinsames Modell für aktive Galaxien (AG)
(Seyfert-Galaxien, BL Lac,Radio und Quasare)
• AGs besitzen schwarze Löcher in ihrem Zentrum mit Massen von 106 − 1010 M⊙
• AGs besitzen eine Akkretionsscheibe von einfließender Materie, welche Synchrotronstrahlung
abgibt
• große Materiemengen (bisweilen ganze Sterne) werden “verschluckt” und über starke Veränderungen der Luminosität in kurzen Zeiträumen wieder abgestrahlt
• Jets stehen senkrecht auf der Akkretionsscheibe, wenn geladene Teilchen entlang der magnetischen Feldlinien entfliehen
• immer dann, wenn Materie durch die schwarzen Löcher “verschluckt” wird, können Jets auch
gepulst auftreten
• wenn Jets das intergalaktische Gas treffen, entstehen sogenannte “Lobes”
• BL Lac = wenn man in ein Jet schaut
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
42
• Seyfert = wenn man auf die Scheibe schaut
All diese Erscheinungen kommen in jungen Galaxien vor.
Offene Fragen
• Waren alle Galaxien einmal Quasare?
• Existierten schwarze Löcher vor der Galaxien oder sind sie mit ihnen entstanden?
• Haben sich schwarze Löcher erst geformt, nachdem zwei kleinere Galaxien kollidiert sind?
• Haben schwarze Löcher die Galaxien erzeugt?
• Warum wurden Galaxien/Quasare so schnell nach dem Urknall gebildet?
• Oder beziehen sich die sehr hohen Rotverschiebungswerte von jungen Galaxien auf etwas anderes
als Alter und Entfernung?
4.2.2.1
Gamma Ray Bursts
Ein Gamma-Ray-Burst (im folgenden GRB) ist ein plötzlicher Ausbruch von Gammastrahlen von
einem Punkt des Universums.
Sie wurden durch US-Satelliten entdeckt, die eigentlich zur Erkennung von versteckten russischen
Atombombentest entwickelt worden waren. Man beobachtete seinerzeit starke Gammastrahlenkonzentrationen, jedoch nicht von der Erde kommend, sondern aus dem All!
Heute werden sie bewuß mit eigens dafür konstruierten Gamma- und Röntgensatelliten (HETE, Swift,
BeppoSAX u.a.) beobachtet, sowie im optischen Bereich mit erdgestützten Teleskopen sowie dem
Hubble-Teleskop (HST).
Mittlerweile arbeiten die Beobachtungsinstrumente sehr koordiniert und es wurden bisher über 4000
solcher Ereignisse verzeichnet (≈ 1 pro Tag).
Typisch für GRBs sind:
• ein intensiver Ausbruch von Gammastrahlung, der sogar für kurze Zeit den Rest des Universums
überstrahlen kann,
• die Lebenszeit von etwa 60 ms - 1000 s,
• ihre irreguläre Zeitentwicklung, die sowohl zu spitzen“ als auch zu weichen“ Spektralverläufen
”
”
führen kann,
• dass alle bisher beobachteten GRB-Spektren sich voneinander unterscheiden,
• dass die Energien der Gammastrahlung typisch für kernphysikalische Prozesse sind und bis in
den MeV-Bereich reichen,
• dass sie verschiedene Energiespektren besitzen, die keinen Planckschen Kurvenverlauf zeigen,
aber unter Umständen, dem der Synchrotronstrahlung entsprechen,
• dass sie kein Standardaussehen besitzen, da manche Eigenschaften von der Ausbruchsquelle und
andere von der sie umgebenden Materie verursacht werden,
• dass der Antrieb und damit die Ausbruchsursache möglicherweise bei allen identisch ist,
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
43
• dass sie statistisch absolut gleichmäßig über dem gesamten Universum verteilt sind,
• dass innerhalb unserer Milchstraße oder aus dem Andromedanebel es, trotz geringerer Entfernung, keine erhöhtes Auftreten von GRB’s gibt,
• dass etwa ein GRB pro Tag beobachtet wird, dies aber rein statistisch nur ein Ereignis pro
Galaxie alle 106 Jahre bedeutet,
• dass es keine Wiederholungen von dem selben Punkt in den Galaxien gibt, daher handelt es sich
bei der Ursache für GRB’s um katastrophale“ Ereignisse,
”
• dass bisher keine GRBs aus bereits bekannten Galaxien entdeckt wurden,
• dass einige Galaxien erst nach einem GRB verzeichnet wurden,
• da es oftmals gar keinen sichtbaren Ursprung für einen GRB gibt, man davon ausgehen kann,
dass sie von sehr weit entfernten Orten des Universums stammen,
• dass es vergleichsweise zu wenige schwache GRBs gibt,
• mögliche Gründe können neben den großen Entfernungen auch unzureichende Detektoren, die
Raumkrümmung oder vielleicht ein generell geringeres Auftreten im noch jungen Universum
sein.
Nachglühen“ von GRBs
”
• Durch Satelliten wurde im Röntgenbereich ein Nachglühen beobachtet, dessen Intensität mit
t−α (α ∼ 1) über den Zeitraum von Wochen abnimmt.
• Auch mit dem Teleskop ist es möglich, optisches “Nachglühen” zu beobachten.
• Das Hubble-Teleskop hat einige Ursprungsgalaxien von GRBs beobachtet, die sich meistens in
einer intensiven Periode der Sternbildung befanden.
• Die Rotverschiebungen von GRB’s kann man entweder über die Absorptionslinien beim “Nachglühen”
oder an den Emissionslinien von der Ursprungsgalaxie untersuchen.
• Dabei werden sehr hohe Rotverschiebungswerte gemessen (z ≈ 1), die die Schlussfolgerung
zulassen, dass die GRBs von Objekten in einer Entfernung von über 7 · 109 Lichtjahren kommen.
• Der Energieausstoß ist mit ∼ 1052 − 1054 erg/s enorm hoch, (vorausgesetzt es handelt sich um
isotropische Strahlung).
• Der sogenannte “Beaming”-Effekt ist wahrscheinlich.
• Beaming“ über nur 1/100 vom gesamten Raumwinkel bedeutet, dass die Gesamtenergien
”
nur“ 1050 − 1052 erg/s betragen. Aber dann müssten 100 mal soviele GRBs existieren, von
”
denen wir aber nur 1% sehen.
• Aus der schnellen Entwicklung der GRBs kann man schlussfolgern, dass sie in einem kleinen
Volumen erzeugt werden. (Zum Beispiel muss ein Burst, der 10 Sekunden dauert, in einem
Bereich entstanden sein, der kleiner als 10 Lichtsekunden1 ist.
1
Das Licht legt in einer Sekunde ungefähr eine Distanz von 300 000 km zurück, was in etwa der Entfernung Erde Mond entspricht.
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
44
• Da die Entwicklung der Röntgenstrahlung und des sichtbaren Lichts von GRBs etwas langsamer
vorangeht, muss das “Nachleuchten” in einem größeren Volumen erfolgen.
Folgendes Szenarium ist denkbar:
Es erfolgt eine Explosion von einer sehr kleinen Quelle, der ein Ausstoß von sehr schnellen geladenen
Teilchen folgt. Die Gammastrahlung wird durch Kollision mit in der Nähe befindlicher Materie verursacht. (z.B. die Quelle umgebende Materie (Akkretionsscheiben) oder dichte interstellare Gase.) Das
Nachglühen“ erfolgt dann durch spätere Kollision mit Materie.
”
Beweis:
Das Nachglühen“ im Röntgenbereich sieht aus wie Synchrotronstrahlung (Bremsstrahlung).
”
Das Beaming“ kann von der Quelle oder von einem inhomogenen Umgebungsmedium verursacht
”
werden.
Die Quelle:
Es gibt zwei Modelltypen:
1. Zwei kollidierende Objekte
2. Ein kollabierendes Objekt
Zu 1) Folgende mögliche Szenarien ergeben sich für das Modell von zwei kollidierenden Objekten:
Neutronenstern + Neutronenstern
Schwarzes Loch + Schwarzes Loch
Neutronenstern + Schwarzes Loch
Quarkstern + Quarkstern
Anzeichen die für diese Theorie sprechen sind:
1. Man vermutet, dass eine Kollision von zwei Neutronensternen in einer Galaxie ungefähr alle 106
Jahre einmal auftritt.
2. Der daraus resultierende Gewinn an Gravitationsenergie beträgt ≈ 1053 erg .
3. Diese Gravitationsenergie wird möglicherweise in Form von Neutrinos abgegeben. Diese Neutrinos vernichten sich in Elektronen und Positronen, welche sich wiederum in Gammastrahlung
annihilieren.
Zu 2) Die Theorien für das Modell des kollabierenden Objektes sind die folgenden:
Beispiel 1:
Ein Neutronenstern kollabiert zu einem Quarkstern, wenn sich seine Rotation verlangsamt hat, oder
er sich durch Neutrinostrahlung abgekühlt hat. Eine weitere Möglichkeit wäre auch der Übergang der
Quarkmaterie eines Quarksterns zu einem Materiezustand im Diquarkkondensat.
Beispiel 2:
Ein sehr großer Stern kollabiert zu einem schwarzen Loch. (Hypernova-Theorie)
Anzeichen die für das Modell des kollabierenden Sterns sprechen sind:
1. Es existiert ein den Stern umgebendes Medium.
2. Das “Beaming” ist wie bei Quasaren natürlich.
KAPITEL 4. STERNSYSTEME
45
3. Große Sterne haben kürzere Lebenszeiten. Dafür spricht die erwartete höhere Anzahl von GRBs
von jungen Galaxien und die große Rotverschiebung.
4. Die GRB-Impulse kommen von Pulsen in den Jets (Wie z.B. den Quasar-Jets).
Beispiel 3:
GRB’s könnten auch von normalen Supernovaexplosionen kommen, wenn es sich um stark gebündelte
Jets handelt. (Kanonenball-Model)
Kapitel 5
Kosmologie
5.1
5.1.1
Modell des heißen Urknalls
Der Urknall
• Annahme: Weltall ist homogen und isotrop
• benutze die Einsteinsche Relativitätstheorie
• wesentlicher Eingangsparameter: Gesamtmasse des Universums
Ω=
Energiedichte
ρ0
=
ρc
kritischeDichte
• unterschiedliches Lösungsverhalten für Parameter
• Untersuche die Entstehung der Elemente im expandierenden, heißen Universum:
Homogenität + Isotropie =⇒ Robertson-Walker-Metrik
dr 2
2
2
2
2
2
2
2
ds = dt − R(t)
+ r (dθ + sin θdφ )
1 − kr 2
R(t) = Skalenparameter
Einstein-Gleichungen:
• Friedmann-Gleichung (Λ = 0):
H
2
R̈
R
2
8πG̺
k
Ṙ
=
− 2
=
R
3
R
= −
4πG
(̺ + 3p)
3
H(t) : Hubble-Parameter
̺
: Massen-Energie-Dichte
p
: isotroper-Druck
46
47
KAPITEL 5. KOSMOLOGIE
k
R02 H02
= Ω0 − 1
Ω0 =
̺0
̺c
kritische Dichte ̺c :
̺c =
3H 2
g
= 1.88 × 10−29 h2 3
8πG
cm
Hubble-Konstante:
H0 = 100 h0 km s−1 Mpc−1 =
k = 1 =⇒
k = −1 =⇒
k = 0 =⇒
Ω0 > 1
Ω0 < 1
Ω0 = 1
h0
9.78Gyr
geschlossen
offen
flach
Zustandsgleichungen:
Strahlung:
Materie:
Vakuum:
Strahlungsdominanz:
Materiedominanz:
p = ̺/3 =⇒
̺ ∼ R−4
p = 0
=⇒
̺ ∼ R−3
p = −̺
=⇒
̺ ∼ const.
̺γ
≫ ̺M
̺γ
≪ ̺M
für
für
T ≥ 4000K
T ≤ 4000K
48
KAPITEL 5. KOSMOLOGIE
5.1.2
5.1.2.1
Prozesse während des Urknalls
Urknall-Nukleosynthese
Inputs:
• Schwache Reaktionsraten =⇒ Neutron-Lebensdauer
τn = 887 ± 2s
• Zahl der Familien:
Nν = 3
• Baryon-Photon-Verhältnis:
η = η10 × 10−10
• Kern-Reaktions-Raten: =⇒ Reaktions-Netzwerk
5.1.2.2
Das Kochen der Elemente im Urknall
d (n, γ) 3 H,
d (d, p) 3 H
d (p, γ) 3 He,
d (d, n) 3 He
3
He (n, p) 3 H,
3
He (n, γ) 4 He,
3
H (p, γ) 4 He,
3
He ( 3 He, 2p) 4 He
4
He ( 3 H, γ) 7 Li
4
He ( 3 He, γ) 7 Be,
3
3
H −→ 3 He + e− + ν̄e
He (d, p) 4 He
3
7
H (d, n) 4 He
Be (e− , νe ) 7 Li
49
KAPITEL 5. KOSMOLOGIE
5.1.2.3
Vorhersagen des SBBN zu Elementhäufigkeiten
Input:
Big Bang - Szenario + Reaktionsraten
Unsicherheiten:
• Reaktionsraten (Extrapolation der Raten):
• Neutron-Lebensdauer:
τn = 891 ± 2s
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
(Spivak 1988)
= 887 ± 10s
(Paul et al. 1989)
= 887.6 ± 3s
(Mampe et al. 1989)
Im Urknall entstehen H, D, 3 He, 4 He, 7 Li, 7 Be
die genauen Mengen hängen von η ab!
Bestimme aus Messungen diese Mengen ֒→ η
Messe (primordiale) Häufigkeiten:
Y,
D 3 He 7 Li 7 Be
,
,
,
H H
H
H
Theoretische Vorhersage (in Abhängigkeit von η):
Weiterhin geht ein:
• Neutron-Lebensdauer
• Zahl der Leptonenfamilien
5.1.2.4
4 He
- Häufigkeit
Steigman,Olive 1993
Yp = 0.232 ± 0.003 ± 0.005
Izotov 1997
- 10 mit niedrigster Metal.
Yp = 0.243 ± 0.003
- I Zwicky 18 SE
Yp = 0.245 ± 0.003
Yp = 0.245 ± 0.002
KAPITEL 5. KOSMOLOGIE
=⇒ Neue Daten signifikant größer als die alten Weltdaten (Systematische Fehler)
Mögliche Fehler:
• Fluoreszens und Stoßanregung
• neutrales He
• Absorption durch Na (5890 Å) von 5876 Å
• stellare Absorpton
50
Literaturverzeichnis
[1] http://flash.uchicago.edu/∼fxt/code pages/net bigbang.shtml .
[2] Cyburt, Fields, Olive, astro-ph/0302431 .
51
Anhang A
A.1
Grundzüge der Tensorrechnung
A.1.1
Einführung beliebiger Grundsysteme
A.1.1.1
Das ko- und kontravariante Grundsystem
Def. : Es sei gµ ein kovariantes Grundsystem. gν , ν = 1, 2, 3 heisst kontravariantes Grundsystem, falls
gµ · gν = δµν
∀µ, ν = 1, 2, 3
(A.1)
gilt.
Dabei wird das Paar (gµ , gν ) als biorthogonales Grundsystem bezeichnet. Es gilt der
Satz: Ist gµ ein kovariantes Grundsystem, dann ist das kontravariante Grundsystem gν nach Gl. A.1
eindeutig festgelegt und umgekehrt.
Es zeigt sich, dass sich das kontravariante Grundsystem über das Vektorprodukt des kovarianten
Grundsystems berechnen lässt. Eine andere Verknüpfungsvorschrift zwischen den Grundsystemen, die
frei vom Vektorprodukt und damit auf beliebige Räume übertragbar ist, wird durch folgende Definition
eingeführt.
Def. : Die kovarianten Metrikkoeffizienten gµν zerlegen das kovariante GS in Richtung der kontravarianten Basisvektoren, und die kontravarianten Metrikkoeffizienten gµν zerlegen das kontravariante
GS in Richtung der kovarianten Basisvektoren, d.h.
gµ = gµν gν und gµ = gµν gν .
(A.2)
Offensichtlich sind die Metrikkoeffizienten also Transformationskoeffizienten zwischen den kovarianten
und kontravarianten GS. Dabei ist die Matrix der Metrikkoeffizienten wegen der Kommutativität des
Skalarprodukts symmetrisch.Es besteht der Zusammenhang
gµν gνλ = δµλ .
A.1.1.2
(A.3)
Vektoren in den Grundsystemen
~ kann man in Richtung eines ko- oder kontravarianten GS zerlegen.
Einen Vektor A
~ = Aµ gµ = A1 g1 + A2 g2 + A3 g3 ,
A
~ = Aµ gµ = A1 g1 + A2 g2 + A3 g3 .
A
52
(A.4)
53
ANHANG A.
Dabei stellen die Aµ die kovarianten Komponenten bzgl. des kontravarianten GS dar. Man erhält die
~ skalar mit dem kontravarianten Basisvektor gν
kontravariante Komponente, indem man den Vektor A
multipliziert.
~ · gν .
Aν = A
(A.5)
Entsprechend für das kovariante GS
A.1.2
~ · gν .
Aν = A
(A.6)
Tensoren
Ein Tensor 0. Stufe ist ein Skalar, ein Tensor 1. Stufe ist ein Vektor mit den bekannten ko- und
kontravarianten Komponenten.
Def. : Ein Tensor T(2) ≡ T zweiter Stufe wird durch das dyadische oder tensorielle Produkt der beiden
Vektoren (Tensoren 1. Stufe)
~ = Aµ gµ und B
~ = B ν gν ,
A
(A.7)
~ ⊗B
~ =A
~B
~ bzw. abkürzend
nämlich T = T(2) = A
T = T µν gµ gν
(A.8)
und die Invarianzforderung T = T̄ bei Wechsel des Bezugssystems gebildet.
~ und B
~ für A
~ 6= B
~ nicht kommutativ. Ein
Dabei ist das dyadische Produkt der beiden Vektoren A
µν
Tensor 2. Stufe besitzt 9 unabhängige Komponenten T .
A.1.2.1
Tensoren 2. Stufe
Für jeden Tensor 2. Stufe existieren vier Darstellungsmöglichkeiten:
T = T µν gµ gν im kovarianten Basissystem
µ ν
T = Tµν g g
(A.9)
im kontravarianten Basissystem
ν µ
T = Tµ g gν ,
T = T µ ν gµ gν im gemischten Basissystem.
A.1.2.2
Gradient, Divergenz und Rotation von Tensorfeldern
Def. : Sind xν die Koordinaten eines ortsveränderlichen Koordinatensystems, gν der zu xν -Koordinatenlinie
gehörige kontravariante Basisvektor und T ∈ W ein differenzierbares Vektorfeld beliebiger Stufe,
dann ist
∂(T)
∂(T)
∂(T)
∂(T)
= g1
+ g2
+ g3
≡ grad(T) ≡ ▽(T)
(A.10)
gν
ν
1
2
∂x
∂x
∂x
∂x3
der Gradient von T, bzw. die tensorielle Anwendung des Nabla-Operators auf das Tensorfeld
T.
Der Gradient besitzt folgende Eigenschaften:
• Der Gradient ist ein linearer, partieller Ableitungsoperator mit Vektorcharakter.
• Der Gradient wird von einem kontravarianten Basisvektor gebildet.
54
ANHANG A.
• Der Gradient ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen und damit ein Tensor 1.
Stufe.
• Erst die Anwendung auf ein Skalar oder Tensor legt ihn endgültig fest. Der Gradient selbst ist
weder in seiner Richtung noch in seinem Betrag bestimmt.
∂(·)
µ
Man schreibt auch: grad(·) = gµ ∂x
µ = g (·), µ . Je nach Verknüpfungsart des Nabla-Operators mit
dem Tensorfeld unterscheidet man
▽ · (T) = div(T)
(A.11)
▽ × (T) = rot(T)
(A.12)
▽(T) = grad(T) .
(A.13)
Dabei führt die Divergenz eines Tensors n-ter Stufe auf einen Tensor n − 1-Stufe.
A.1.2.3
Die Christoffel-Symbole
Def. : Die Christoffel-Symbole Γλµν zerlegen die Ableitung ∂gµ /∂xν der kovarianten Basisvektoren gµ
nach der Koordinate xν in Richtung der kovarianten Basisvektoren, d.h.
∂gµ
= gµ,
∂xν
ν
= Γλµν gλ .
(A.14)
Eine wichtige Eigenschaft der Christoffel-Symbole ist deren Symmetrie bzgl. der beiden unteren Indizes.
Zusammenfassend können wir für die Christoffel-Symbole schreiben:
1
Γλµν = Γλνµ = gλσ (gνσ,
2
µ
+ gσµ,
ν
− gµν, σ ) ,
(A.15)
wobei z.B. gσµ, ν die kovariante Ableitung des kovarianten Metrikkoeffizienten ist. Betrachten wir nun
die bekannte FRW-Metrik, die durch
ds2 = −gµν dxµ dxν ,
dr 2
2
2
2 2
2
2
2
= dt − R (t)
+ r dθ + r sin θdφ
1 − kr 2
(A.16)
gegeben ist. Man kann nun leicht die Metrikkoeffizienten gµν berechnen. Es ist
g00 = −1
(A.17)
gi0 = 0 ,
und
gij = R2 (t)gˆij ,
(A.18)
wobei, nutzt man die Metrik in Polarkoordinaten,
1
,
1 − kr 2
= r2 ,
gˆrr =
gˆθθ
gˆφφ = r 2 sin2 θ ,
gˆij
= 0 , i 6= j .
(A.19)
55
ANHANG A.
Wir können nun auch die entsprechenden Komponenten der Christoffel-Symbole bestimmen.
Γ0ij = RṘgˆij ,
(A.20)
Ṙ i
δ ,
R j
kr
=
,
1 − kr 2
= −(1 − kr 2 )r ,
Γi0j =
Γ111
Γ122
Γ133 = −(1 − kr 2 )r sin2 θ ,
Γ212 = Γ221 = Γ313 = Γ331 = 1/r ,
Γ233 = − sin θ cos θ ,
Γ323 = Γ332 = cot θ .
Beschränken wir uns auf den Fall eines flachen Raumes k = 0, dann können wir die Metrik wie folgt
umschreiben
ds2 = dt2 − R2 (t)(dx21 + dx22 + dx23 ) .
(A.21)
Damit vereinfachen sich die Metrikkoeffizienten zu
g00 = −1 ,
(A.22)
gi0 = 0 ,
= R2 (t)δij ,
gij
(A.23)
und die Christoffel-Symbole zu
Γ0ij = RṘδij ,
(A.24)
Γi0j
Γijk
(A.25)
i
= Ṙδ j /R ,
= 0.
Def. : Die mit den Christoffel-Symbolen gebildete Komponente
δ
= Γδαγ,
Rαβγ
β
− Γδαβ,
γ
+ Γδσβ Γσαγ − Γδσγ Γσαβ
(A.26)
bildet den Riemann-Christoffel-Tensor (RCT) 4. Stufe
δ
R(4) = Rαβγ
gδ gγ gβ gα .
(A.27)
Es ergibt sich für die rein kovariante Komponente des RCT mit den allgemeinen Symmetriebedingungen
Rαβνδ = −Rαβδν = −Rβανδ = Rνδβα = Rβαδν ,
(A.28)
Rαβνδ =
1
(gαβ,νδ − gβν,αδ − gαδ,βν + gβδ,αν ) + gησ (Γηνα Γσβδ − Γηδα Γσβν ) .
2
(A.29)