Übungsaufgaben Aufgabe 1.1 Ein Motorradfahrer fährt in der Ebene

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Technische Mechanik II
Übungsaufgaben
WS 2009 / 10
Blatt 1
Aufgabe 1.1
Ein Motorradfahrer fährt in der Ebene 1 km mit 60 km/h. Nun kommt eine sehr steile, kurvenreiche Steigung von 1 km Länge, die er nur mit 30 km/h bewältigen kann. Wie schnell müsste
er anschließend ein 1 km langes Gefälle herunterfahren, um eine Durchschnittsgeschwindigkeit
von 60 km/h halten zu können?
(Die Geschwindigkeitswechsel sind als plötzlich anzunehmen.)
a) 75 km/h
b) 90 km/h
c) 120 km/h
d) unendlich schnell
Aufgabe 1.2
Welche mittlere Geschwindigkeit hat ein Zug, der 30 min lang mit einer Geschwindigkeit von
40 km/h und 90 min mit 60 km/h fährt?
Aufgabe 1.3
Eine Rakete bewegt sich zum aktuellen Zeitpunkt mit einer Geschwindigkeit von 800 m/s
und einer konstanten Beschleunigung von 40 m/s2 . Welchen Weg legt sie in den folgenden
3 Sekunden zurück und welche Geschwindigkeit hat sie dann?
Aufgabe 1.4
Ein durchschnittlicher Sprinter läuft die 100 m-Strecke in 12 s. Dabei beschleunigt er zunächst
20 m gleichmäßig, um dann mit konstanter Geschwindigkeit ins Ziel zu sprinten. Berechnen
Sie die Beschleunigung auf den ersten 20 m und die maximale Geschwindigkeit.
Aufgabe 1.5
Ein Schiff erreicht in ruhendem Wasser die Eigengeschwindigkeit ve . Das Schiff fährt zunächst
stromauf bis zu einem Wendepunkt und dann stromab zum Ausgangspunkt. Das Fahrwasser
hat die konstante Geschwindigkeit vw .
a) Welche mittlere Geschwindigkeit v̄ ergibt sich für die gesamte Fahrstrecke?
b) In einem konkreten Fall hat das Schiff die Eigengeschwindigkeit ve = 16 kt, erreicht aber
nur eine mittlere Geschwindigkeit v̄ = 12 kt. Wie groß ist die Geschwindigkeit vw des
Fahrwassers?
Aufgabe 1.6
Ein Zug hat die maximale Beschleunigung amax = 0.5 m/s2 , die maximale Verzögerung −amax
und die Höchstgeschwindigkeit vmax = 90 km/h.
Welche Fahrzeit benötigt der Zug, um eine Station in 10 km Entfernung zu erreichen?
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Aufgabe 1.7
Ein Sportwagen erreicht die Geschwindigkeit v1 = 100 km/h in der Zeit t1 = 5 s. Sein
Bremsweg bei dieser Geschwindigkeit beträgt s2 = 40 m.
Bei einer Testfahrt beschleunigt das Fahrzeug aus dem Stand bis zur Geschwindigkeit v1 =
100 km/h und bremst unmittelbar danach bis zum Stillstand ab.
a) Welchen Gesamtweg sges legt das Fahrzeug zurück?
b) Welche Zeit tges benötigt es dazu?
c) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit über das gesamte Manöver?
Aufgabe 1.8
Um die Tiefe eines Brunnenschachtes festzustellen, läßt man einen Stein hinabfallen. Nach
der Zeit t0 = 3 s hört man den Aufschlag. Wie tief ist der Schacht?
(Der Luftwiderstand darf vernachlässigt werden, die Schallgeschwindigkeit ist c = 320 m/s.)
Aufgabe 1.9
Ein Fahrzeug fährt mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 144 km/h. Wegen eines Hindernisses,
dem es nicht ausweichen kann, bremst der Fahrer mit der konstanten Verzögerung −a =
7 m/s2 . Zu Beginn des Bremsvorgangs hat er noch den Abstand d0 = 100 m vom Hindernis.
a) Wie lang wäre der Bremsweg des Fahrzeugs, wenn es ohne Hindernis zum Stand kommen
würde?
b) Mit welcher Restgeschwindigkeit v1 (in km/h) prallt das Fahrzeug auf das Hindernis
auf?
c) Welche Höchstgeschwindigkeit v0′ (in km/h) hätte der Fahrer einhalten müssen, um
unter sonst gleichen Bedingungen den Unfall zu vermeiden?
Aufgabe 1.10
Eine Kolonne gleicher Fahrzeuge (Fahrzeuglänge ℓ = 5 m) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit v0 auf einer geraden, horizontalen Straße. Die Reaktionszeit der Fahrer ist
tr = 0.8 s, die maximale Bremsverzögerung der Fahrzeuge liegt bei ab = 6.4 m/s2 .
a) Welchen Sicherheitsabstand s = s(v0 ) müssen die Fahrzeuge einhalten, damit sie innerhalb dieses Sicherheitsabstandes anhalten können?
b) In welchen Zeitabständen T passieren die Fahrzeuge eine feste Wegmarke?
c) Mit welcher Geschwindigkeit v0 muß die Kolonne fahren, um einen maximalen Durchsatz
an Fahrzeugen zu erreichen?
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Blatt 3
Aufgabe 1.11
Der Anfahrvorgang eines PKW soll näherungsweise durch Bewegungsgleichungen beschrieben
werden. Die Beschleunigung sinkt in Abhängigkeit
von der Zeit vom Wert a0 = 4.0 m/s2 . Die
√
Abnahme erfolgt etwa proportional zu t. Der Wagen erreicht nach 12 s eine Geschwindigkeit
von v = 100 km/h. Bestimmen Sie die Gleichungen s(t), v(t) und a(t).
Aufgabe 1.12
Ein Punkt befindet sich am Nullpunkt zunächst in Ruhe. Die mit a0 einsetzende Beschleunigung nimmt linear mit dem Weg ab und erreicht bei s1 den Wert Null, ändert sich darüber
hinaus jedoch gleichsinnig weiter (a < 0). Bestimmen Sie
a) die Funktion v(s),
b) die maximale Geschwindigkeit,
c) und die Strecke, nach der der Punkt umkehrt.
Aufgabe 1.13
Die Anfahrgeschwindigkeit eines Aufzuges wird so gesteuert, daß der Geschwindigkeits-ZeitVerlauf einer Cosinus-Funktion folgt. Seine Maximalgeschwindigkeit v1 soll der Aufzug zum
Zeitpunkt t1 erreichen.
a) Wie lautet die Funktion v = v(t) mit den gegebenen Parametern t1 und v1 ?
b) Welcher Beschleunigungs-Zeit-Verlauf a =
v
a(t) stellt sich ein? Wie groß ist die maximale Beschleunigung amax und zu welv1
chem Zeitpunkt wird sie erreicht? Skizzieren Sie die Funktion a = a(t).
c) Berechnen Sie den Weg-Zeit-Verlauf s =
s(t) zur Anfangsbedingung s(0) = 0. Welchen Weg s1 hat der Aufzug zurückgelegt,
wenn er seine Maximalgeschwindigkeit v1
erreicht hat?
0
0
t1
t
Aufgabe 1.14
Beim Anrollen eines Kleinflugzeugs ändert sich die Beschleunigung a in Abhängigkeit von der
Geschwindigkeit v nach dem Gesetz
v2
a = a0 1 − 2
vm
mit den Werten a0 = 1,5 m/s2 und vm = 140 kt. Das Flugzeug hebt mit v1 = 60 kt ab
und steigt dann bei gleichbleibender Fluggeschwindigkeit v1 mit der Steiggeschwindigkeit
w = 1 000 ft/min.
a) Wie groß ist die Startrollstrecke?
b) Wie groß ist die Startstrecke bis zum Erreichen der Höhe h = 50 ft?
(1 kt = 1,852 km/h, 1 ft = 0,3048 m)
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Aufgabe 1.15
Zwei Fahrzeuge stehen Stoßstange an Stoßstange hintereinander. Zum Zeitpunkt t = 0 fährt
das vordere Fahrzeug mit der konstanten Beschleunigung a1 = a0 los. Gleichzeitig setzt sich
auch das hintere Fahrzeug mit der zeitabhängigen Beschleunigung
a2 = a0 1 − e−t/τ
in Bewegung. Dabei ist τ eine vorgegebene Zeitkonstante.
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsverläufe v1 (t) und v2 (t) sowie die zurückgelegten
Wegstrecken s1 (t) und s2 (t) der beiden Fahrzeuge.
b) Welchen zeitlichen Verlauf hat der Abstand d(t) der beiden Fahrzeuge? Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Abstand d(t) und der Geschwindigkeit v2 (t) des
hinteren Fahrzeugs?
c) Eine alte Fahrschulregel lautet „Abstand gleich halber Tacho“. Wie muß die Zeitkonstante τ gewählt werden, damit diese Regel erfüllt ist?
t=0
t
s2 (t)
s1 (t)
Aufgabe 1.16
Beim Anfahrvorgang einer Lokomotive ändert sich die Beschleunigung a in Abhängigkeit vom
zurückgelegten Weg s nach dem Gesetz
3 √
a = α s.
4
Die Lokomotive erreicht die Geschwindigkeit v1 nach der Strecke s1 .
a) Ermitteln Sie die Konstante α.
b) Geben Sie den Weg s, die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung a als Funktionen
der Zeit t an.
Aufgabe 1.17
Beim freien Fall mit Luftwiderstand ist die nach unten gerichtete Beschleunigung
a = g − cv 2 .
a) Welcher Grenzgeschwindigkeit v∞ nähert sich ein Körper mit dem Widerstandskoeffizienten c = 0,004 m−1 ?
b) Nach welcher Zeit erreicht der Körper die halbe Grenzgeschwindigkeit v∞ /2 und wie
groß ist die zugehörige Fallhöhe?
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Aufgabe 1.18
Ergänzen Sie die leeren Felder für Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung! Alle Größen,
die nicht explizit als Funktion der Zeit t angegeben sind, können als konstant angenommen
werden.
Ort
Geschwindigkeit
Beschleunigung
a(t) = a0
v(t) = v0 + a1 t
Anfangsbedingungen
s(0) = v(0) = 0
s(0) = s0
ṡ(t) = v0 eωt
s(t0 ) = v0 /ω
s(t) = ℓ cos Ωt
s(t) =
√ r0
t−t1
sin
ω2
t2
−
t20
ϕ̇(t) = ϕ(t)
a(t) =
−λ2 s(t)
ϕ(0) = 1
s(0) = ℓ, v(0) = − λv02
Aufgabe 1.19
Ein Punkt bewegt sich entlang einer Bahnkurve von s0 = 0 nach s1 = ℓ. Dabei nimmt seine
Geschwindigkeit linear mit der Bogenlänge vom Anfangswert v0 auf den Endwert Null ab. Wie
lange dauert es, bis der Punkt die Stelle s1 = ℓ erreicht?
Aufgabe 1.20
Ein Polizeihubschraubers hält eine Position dicht über dem Boden. Von dieser Position aus
beobachten die Insassen in 1 km Entfernung ein Fahrzeug in östlicher Richtung. Eineinhalb
Minuten später taucht dasselbe Fahrzeug hinter einem Wald wieder auf, und zwar in 3 km
Entfernung genau nordöstlich.
a) Mit welcher mittleren Geschwindigkeit fährt das Fahrzeug?
b) In welche Richtung fährt das Fahrzeug?
Aufgabe 1.21
Ein Flugzeug, dessen Eigengeschwindigkeit 400 km/h beträgt, fliegt bei Windstärke 9 (≈
21 m/s) quer zur Windrichtung.
a) Welche seitliche Abdrift erfährt das Flugzeug je Flugstunde?
b) Welche seitliche Abdrift erfährt das Flugzeug je Flugkilometer?
Aufgabe 1.22
Mittelgroße Regentropfen fallen bei Windstille mit einer Geschwindigkeit von 8 m/s. An den
Wagenfenstern eines Zuges hinterlassen die Tropfen Wassenspuren, die um 70◦ von der Senkrechten abweichen. Mit welcher Geschwindigkeit fährt der Zug?
Aufgabe 1.23
Bestimmen Sie die Beträge der Geschwindigkeit und der Beschleunigung eines Teilchens, das
sich auf einer ebenen Kreisbahn bewegt: r(t) = cos(ω 2 t2 )ex + sin(ω 2 t2 )ey , t > 0, ω = const.
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Aufgabe 1.24
Um eine Strecke von 2 km zurückzulegen, benötigt ein Flugzeug bei Rückenwind 15 s und bei
Gegenwind 20 s.
a) Berechnen Sie die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges!
b) Wie groß ist die Windgeschwindigkeit?
Aufgabe 1.25
Ein Wagen fährt mit gleichförmiger Geschwindigkeit v auf einer geraden Strasse. Seitlich der
Strasse steht im Abstand e ein Beobachter.
a) Mit welcher Geschwindigkeit ve entfernt sich der Wagen vom Beobachter?
b) Nach welcher Zeit ist ve = v/2?
Aufgabe 1.26
Aus einem entlang einer geraden Strecke fahrenden Zug wird rechtwinklig und horizontal ein
Gegenstand geworfen. 4 m unter dem Abwurfpunkt befindet sich eine Wiese. Der Gegenstand
schlägt 20 m vom Abwurfpunkt (in Fahrtrichtung gemessen) und 8 m seitlich der Bahnschiene
auf.
a) Mit welcher Geschwindigkeit fährt der Zug?
b) Mit welcher Geschwindigkeit wird der Gegenstand abgeworfen?
c) Mit welcher Geschwindigkeit trifft der Gegenstand auf den Erdboden?
Aufgabe 1.27
Ein Flugzeug fliegt mit der Geschwindigkeit 300 km/h
auf einer schraubenförmigen Bahn vom Krümmungsradius 300 m und gewinnt dabei innerhalb von 3 min
die Höhe 1 500 m.
a) Berechnen Sie die zurückgelegte Bahnlänge!
b) Wie lange dauert das Durchfliegen einer Schleife?
c) Wie viele Schleifen wurden geflogen?
d) Ermitteln Sie die Steighöhe je Schleife!
Aufgabe 1.28
Ein Projektil wird horizontal abgeschossen. Seine Bahn senkt sich auf ℓ = 100 m um die
Höhe h = 1 m. Wie groß war die Abschussgeschwindigkeit v0 , wenn der Luftwiderstand
vernachlässigt wird?
v0
h
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ℓ
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Aufgabe 1.29
Über ansteigendem Gelände (Steigungswinkel α) wird ein Geschoß mit der Abschußgeschwindigkeit v0 unter dem Winkel β gegen die Vertikale abgefeuert.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Geschoßbahn im (x, y)Koordinatensystem an.
b) Zu welchem Zeitpunkt t1 trifft
das Geschoß auf das ansteigende
Gelände?
c) Wie groß ist die Schußweite w?
d) Bei welchem Abschußwinkel β
wird die größte Schußweite erzielt
und wie groß ist diese?
y
v0
β
w
α
x
Aufgabe 1.30
v
Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor v
und den Beschleunigungsvektor a des Punktes
als Funktion des Winkels ϕ.
b
Ein Punkt bewegt sich auf einem Halbkreis vom
Radius r, wobei die zum Durchmesser AB parallele Komponente der Geschwindigkeit den konstanten Wert c beibehält.
c
r
ϕ
A
bc
B
Aufgabe 1.31
Der Läufer einer Dampfturbine rotiert mit der Drehzahl n = 3000 min−1 . Welche Umfangsgeschwindigkeit erfährt ein Punkt am Läufer, wenn sein Abstand von der Drehachse r = 0.8 m
beträgt?
Aufgabe 1.32
Der Spindelmotor einer Drehmaschine hat die Nenndrehzahl n1 = 1450 min−1 . Wie groß muß
die Drehzahl der Hauptspindel sein, wenn ein Werkstück von d = 200 mm mit der Schnittgeschwindigkeit v = 90 m/min gedreht werden soll?
Aufgabe 1.33
Ein Boot wird mit einem Seil, das auf der gegenüberliegenden Uferseite von einem Spillkopf
mit der konstanten Geschwindigkeit vS aufgewickelt wird, quer zum Fluss gezogen. Die Strömungsgeschwindigkeit vw des Flusses sei über die Flussbreite b konstant. Ermitteln Sie die
Bahnkurve des Bootes, wenn dieses von der einen Uferseite an die gegenüberliegende Uferseite
gezogen wird.
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Aufgabe 1.34
Ein Elektromotor läuft mit konstanter Winkelbeschleunigung an und erreicht innerhalb von 2
s die Enddrehzahl 1450 min−1 , die er dann beibehält.
a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung?
b) Nach wie vielen Umdrehungen hat der Motor die Enddrehzahl erreicht?
c) Skizzieren Sie den Verlauf der Funktionen α(t), ω(t), ϕ(t) und ω(ϕ).
d) Bestimmen Sie die Tangential- und Normalbeschleunigung eines Punktes am Läufer des
Motors (r = 0.25 m) nach 0.5 s.
e) Welche Richtung und welchen Betrag hat der Beschleunigungsvektor nach 0.5 s?
Aufgabe 1.35
v
Auf einer Kreisbahn vom Radius r bewegt
sich ein Punkt mit konstanter Bahnbeschleunigung a0 . Gesucht sind, in Abhängigkeit vom
Zentriwinkel ϕ,
α
a
bc
b
ϕ
r
a) der Betrag a = |a| des Beschleunigungsvektors,
b) der Winkel α zwischen Beschleunigungsund Geschwindigkeitsvektor.
Aufgabe 1.36
Ein Punkt bewegt sich auf einer Ellipsenbahn, die sich als Schnittmenge des Zylinders
x2 (t) + y 2 (t) = r2
mit der Ebene z(t) = x(t) ergibt.
a) Geben Sie die Parameterdarstellung der Ellipsenbahn in der Form

x(t)
r =  y(t) 
z(t)

an, wobei die Zeit t als Parameter zu verwenden ist.
b) Ermitteln Sie den Geschwindigkeitsvektor (v) sowie den Beschleunigungsvektor a.
c) Geben Sie die Vektoren der Normal- und Tangentialbeschleunigung an.
d) Differenzieren Sie sowohl die Zylinder- als auch die Ebenengleichung nach der Zeit und
stellen Sie damit den Geschwindigkeitsvektor v als Funktion von x, y und der Geschwindigkeit in x-Richtung, ẋ, auf.
e) Leiten Sie aus dem Ergebnis von Aufgabenteil d) eine Darstellung des Beschleunigungsvektors her.
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Aufgabe 1.37
Ein Fahrzeug fährt mit der Geschwindigkeit v0 auf kreisförmiger Fahrstrecke vom Radius r.
Mit einer Vollbremsung wird das Fahrzeug bis zum Stillstand verzögert, wobei die Kreisbahn
beibehalten wird und der Betrag des Beschleunigungsvektors den konstanten Wert a0 annimmt.
a) Berechnen Sie den Bremsweg des Fahrzeugs.
b) Wie groß darf die Anfangsgeschwindigkeit höchstens sein, damit das Fahrzeug abgebremst werden kann, ohne die Kreisbahn zu verlassen?
c) Läßt sich auch die Bremszeit berechnen?
Aufgabe 1.38
Ein Punkt bewegt sich auf einer ebenen Kurve r(ϕ) mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ϕ̇ = ω um den Koordinatenursprung.
Die Geschwindigkeit des Punktes in radialer Richtung sei v0 = const. Zum Zeitpunkt
t = 0 befinde sich der Punkt im Koordinatenursprung, also r(0) = 0 und ϕ(0) = 0.
b
v
r
bc
ϕ
a) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit v des Punktes!
b) Ermitteln Sie die Radial- und Zirkularbeschleunigungen ar und aϕ !
c) Auf welcher Kurve r(ϕ) bewegt sich
der Punkt?
Aufgabe 1.39
Die Gleichung einer Kardioide lautet in Polarkoordinaten
r = ℓ cos2
ϕ
.
2
Ein Punkt bewege sich so auf der Kardioide,
daß sein Ortsvektor mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω umläuft.
bc
r
ϕ
a) Stellen Sie den Geschwindigkeitsvektor v in Polarkoordinaten auf.
b) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit v und die Bahnbeschleunigung at
als Funktionen des Polarwinkels ϕ.
c) Berechnen Sie den Beschleunigungsvektor a sowie seinen Betrag a = |a|.
d) Berechnen Sie die Krümmung κ der Kardioide als Funktion von θ.
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Aufgabe 2.1
Drei Räder mit den Radien r1 , r2 > r1 und r3 = r1 sind mit ihren Achsen in einem starren
Lagerschild gelagert. Dabei rollen die Räderpaare 1 /2 und 2 /3 aufeinander ab, ohne zu
gleiten. Der Radsatz wird mit den Rädern 1 und 3 auf eine Schiene gesetzt und rollt mit der
Geschwindigkeit v.
a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeiten ω1 , ω2 , ω3 der Räder.
b) Wo liegt der Momentanpol des Rades 2 ?
c) In welchen Punkten ist die Geschwindigkeit am größten?
2
bc
1
3
bc
bc
v
Aufgabe 2.2
Das untere Ende A eines Stabes
(Länge 2a) gleitet mit der Geschwindigkeit v0 auf dem horizontalen Boden. Die Stabmitte M
wird von einer Kurbel (Länge a)
gestützt, deren Drehpunkt O auf
dem Boden verankert ist. Im betrachteten Zeitpunkt sei der Stab
um den Winkel ϕ gegen die Vertikale geneigt.
B
a
bc
a
O
M
a
ϕ
bc
A
v0
a) Konstruieren Sie den Momentanpol P des Stabes.
b) Wie groß ist die augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes?
c) Welche Geschwindigkeit vM hat der Stabmittelpunkt M ?
d) Welche Geschwindigkeit vB hat das obere Stabende B? Welche Richtung hat die
Geschwindigkeit in B?
e) Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Stab vertikal, dann wird das untere Stabende mit konstanter
Geschwindigkeit v0 nach rechts bewegt. Berechnen Sie den Neigungswinkel ϕ als
Funktion der Zeit.
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Blatt 11
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Aufgabe 2.3
Ein Stab der Länge ℓ gleitet mit einem
Ende an einer vertikalen Wand, mit dem
anderen auf einer gegenüber der Horizontalen um den Winkel α nach unten geneigten Ebene. In der betrachteten Anordnung schließt der Stab mit der
vertikalen Wand den Winkel ϕ ein.
y
A
ϕ
a) Welchen Winkel ψ schließt der
Stab mit der geneigten Ebene ein?
ℓ
b) Berechnen Sie die Koordinaten des
Punktes A im eingezeichneten Koordinatensystem.
α
x
B
c) Welche Koordinaten hat der Momentanpol P des Stabes?
d) Berechnen Sie die Spurkurve des
Stabes.
e) Welche kinematische Beziehung besteht zwischen der Geschwindigkeit vA des linken
Stabendes und der Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes?
Aufgabe 2.4
“Whitworth’s quick return” (nach Sir
Joseph Whitworth, 1803–1887) ist
ein Kurbelgetriebe, welches die gleichförmige Rotation einer Eingangskurbel
AB (Drehwinkel ϕ) in eine ungleichförmige Rotation einer Ausgangskurbel
OB (Drehwinkel ψ) überträgt. Das
Übertragungsverhalten des Getriebes ist
durch den Abstand a der beiden Lagerpunkte und die Länge b > a der
Eingangskurbel festgelegt. Diese rotiert
entsprechend ϕ = ω0 t mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit.
y
B
b
O
A
ψ
a
ϕ
x
a) Stellen Sie die kartesischen Koordinaten (xB , yB ) des Gelenkpunktes B als Funktionen
des Eingangswinkels ϕ dar.
b) Drücken Sie tan ψ durch den Eingangswinkel ϕ aus.
c) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω = ψ̇(t) der Ausgangskurbel.
d) Die Winkelgeschwindigkeit ω schwankt zwischen den Extremwerten ωmin und ωmax ,
die sich in den Lagen ϕ = 0 und ϕ = π einstellen. Wie groß ist das Verhältnis
ωmin /ωmax ?
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Blatt 12
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Aufgabe 2.5
Ein homogener Stab (Länge ℓ) führt eine ebene Bewegung aus, bei der das Stabende A auf
einer horizontalen Linie geführt ist und der Stab tangential auf einem Halbkreisbogen vom
Radius r gleitet.
a) Bestimmen Sie in dem angegebenen Koordinatensystem {O; x, y} die Koordinaten xP =
xP (ϕ), yP = yP (ϕ) des Momentanpols in Abhängigkeit vom Neigungswinkel ϕ des
Stabes gegenüber der Vertikalen.
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit vA = vA (ϕ, ϕ̇) des rechten Stabendes als Funktion
des Neigungswinkels ϕ und der Winkelgeschwindigkeit ϕ̇ des Stabes.
c) Berechnen Sie die (skalare) Schwerpunktsgeschwindigkeit vS = vS (ϕ, ϕ̇) als Funktion
des Neigungswinkels ϕ und der Winkelgeschwindigkeit ϕ̇ des Stabes.
ℓ/2
S
y
ℓ/2
r
bc
O
ϕ
x
vA
A
Aufgabe 2.6
Eine Stange ist durch eine drehbare Muffe
im Punkt B geführt. Das Stangenende A
bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit vA auf einer vertikalen Gleitschiene
im Abstand a von B.
y
vA
bc
A
a) Konstruieren Sie den Momentanpol
der Stange und berechnen Sie seine
Koordinaten (x, y).
b) Stellen Sie die Gleichung der Spurkurve auf.
ϕ
B
a
x
c) Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ω der Stange in Abhängigkeit
vom Winkel ϕ an.
d) Welcher Punkt der Stange hat die geringste Geschwindigkeit und wie groß ist diese?
e) Zum Zeitpunkt t = 0 sei die Stange horizontal gerichtet. Berechnen Sie den zeitlichen
Verlauf ϕ = ϕ(t) des Neigungswinkels.
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Aufgabe 2.7
Bei einer Kurbelschwinge erzeugt die rotierende (Antriebs-)Kurbel bei ihrem kompletten Umlauf eine schwingende Bewegung des anderen Gliedes. In nebenstehender Skizze bewegt sich Punkt A
entlang einer Kreisbahn, während sich
Punkt B auf einem Kreisbogen hin und
her bewegt. Für die dargestellte Konfiguration mit r1 = 150 mm, r2 = 240 mm,
ℓ = 580 mm und n1 = 3 s−1 sind die folgenden Größen zu bestimmen:
B
ℓ
A
r2
r1
ω1
95◦
40◦
a) Winkelgeschwindigkeit ωS der Schubstange,
b) Geschwindigkeit vB des Gelenkpunktes B,
c) Geschwindigkeit vS des Schubstangenschwerpunktes,
d) Winkelgeschwindigkeit ω2 der Schwinge (Kurbel 2),
e) Beschleunigung aA und Normalbeschleunigung aBn der Gelenkpunkte A bzw. B,
f) Winkelbeschleunigung αS der Schubstange,
g) Beschleunigung aS des Schubstangenschwerpunktes.
Aufgabe 2.8
In dem abgebildeten System wird Rad A (dA = 80 mm) von Ruhe aus innerhalb von 50
Umdrehungen auf die Drehzahl n = 1200 min−1 beschleunigt. Die beiden Räder B und C
(dB = 450 mm, dC = 1000 mm) sind fest miteinander verbunden. Die Bewegungskopplung
über den Riemen und das Seil erfolgt schlupffrei, also ohne Rutschen.
a) Zu bestimmen sind die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen der Räder A und B
sowie der Masse m, die sich nach 2 s einstellen.
b) Wie lange dauert der Anfahrvorgang und um welche Strecke wird die Masse in dieser
Zeit bewegt?
C
ω
A
B
m
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Aufgabe 2.9
Drei Walzen unterschiedlicher Radien r1 , r2 , r3 sind über ein undehnbares Seil schlupffrei
miteinander gekoppelt. Die beiden oberen, feststehenden Walzen drehen mit den konstanten
Winkelgeschwindigkeiten ω1 bzw. ω2 .
a) Ermitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit ω3 der dritten, freihängenden Walze!
b) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Schwerpunkt von Walze 3?
r1
r2
ω2
ω1
r3
Aufgabe 2.10
Um die Zentralachse (Punkt A) eines Umlaufgetriebes mit Innenverzahnung drehen
sich das Zentralrad (Radius r1 = 120 mm,
Drehzahl n1 = 6 min−1 ) und der Steg (Länge r3 = 90 mm, Drehzahl n3 = 30 min−1 ).
Um die Achse durch Punkt B (Endpunkt des
Stegs) dreht sich das Planetenrad, dessen Bewegung mittels Verzahnung mit der des Zentralrads gekoppelt ist.
a) Berechnen Sie die resultierende Drehzahl n2res des Planetenrades!
b) Mit welcher Drehzahl n2eig rotiert das
Planetenrad um die Eigenachse in
Punkt B, d. h. relativ zum Steg?
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r1
ω1
r3
ω3
A
B
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Blatt 15
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Aufgabe 3.1
Ein Ball der Masse m ist an einem undehnbaren Seil der Länge ℓ befestigt
und rotiert vertikal auf einer Kreisbahn
um einen raumfesten Lagerpunkt.
a) Bestimmen Sie die im unteren Scheitelpunkt notwendige Geschwindigkeit, so dass das Seil
stets auf Zug beansprucht ist.
m
ℓ
ϕ
g
b) Wie groß ist die maximale Seilkraft?
Aufgabe 3.2
Zwei Massen m1 und m2 sind durch einen
undehnbaren Faden miteinander verbunden.
Die erste Masse m1 gleitet auf einer horizontalen Platte (Gleitreibungszahl µ). Die zweite Masse m2 hängt frei am Faden, der über
eine masselose, reibungsfrei drehbare Rolle
geführt ist (m2 > m1 ).
m1
bc
µ
m2
a) Mit welcher Beschleunigung a bewegen sich die beiden Massen?
b) Berechnen Sie die Fadenkraft F .
c) Welche Geschwindigkeit wird erreicht, wenn eine Strecke von 20 cm zurückgelegt wurde?
Der Gleitreibungskoeffizient sei µ = 0.4 und die hängende Masse m2 sei doppelt so groß
wie m1 .
Aufgabe 3.3
Eine Masse m gleitet mit der Anfangsgeschwindigkeit v0 auf einer vollkommen glatten Bahn. Die Bahn verläuft zunächst horizontal und geht dann in einen nach unten
gewölbten Kreisbogen vom Radius r über.
v0
m
v
ϕ
r
a) Wie hängt die Geschwindigkeit v des
Massenpunktes vom Neigungswinkel ϕ
der Bahn ab?
b) Berechnen Sie die Normalkraft FN auf den Massenpunkt in Abhängigkeit vom Neigungswinkel ϕ.
c) Bei welchem Winkel ϕ1 löst sich der Massenpunkt von der Bahn? Gibt es eine obere
Schranke für diesen Winkel?
d) Wie groß muß die Anfangsgeschwindigkeit v0 mindestens sein, damit der Massenpunkt
bei ϕ = 0, also unmittelbar am Ende der horizontalen Teilstrecke, von der Bahn abhebt?
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Übungsaufgaben
Aufgabe 3.4
Eine Trommel vom Innenradius r rotiert mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω um ihre horizontale
Achse. Eine kleine Masse m haftet an der Innenwand
der Trommel, die Haftreibungszahl ist µ0 .
ω
a) Welche Haftreibungskraft FR (ϕ) und welche
Normalkraft FN (ϕ) übt die Trommelwand in Abhängigkeit vom Drehwinkel ϕ auf die Masse aus?
g
ϕ
m
b) Wie groß muß die Winkelgeschwindigkeit ω mindestens sein, damit die Masse sich an keiner Stelle
von der Trommelwand löst?
r
µ0
c) Bei welchem Winkel ϕ1 wird das Verhältnis
FR /FN maximal? Zeigen Sie, daß (FR /FN )max =
− cot ϕ1 ist.
d) Welchen Wert ωmin darf die Winkelgeschwindigkeit ω nicht unterschreiten, damit die
Masse stets an der Trommelwand haftet?
Aufgabe 3.5
Die Masse m2 wird über ein masseloses, undehnbares Seil und eine masse- und reibungsfreie Rolle nach oben gezogen, indem die Masse m1 entlang einer glatten schiefen Ebene nach unten
bewegt wird. Die Gewichtskraft wirkt vertikal
nach unten.
a) Welche Beschleunigung erhält das System?
m1
m2
α
b) Wie groß ist die Seilkraft?
Aufgabe 3.6
Ein Kran wird innerhalb von 4 s mit konstanter Verzögerung aus der Geschwindigkeit v0 =
10 m/s bis zum Stillstand abgebremst. Am Kran
ist über ein undehnbares Seil eine Last der Masse m = 50 kg befestigt, die beim Bremsen aus der
senkrechten Gleichgewichtslage ausgelenkt wird.
v
a) Bestimmen Sie den Winkel, um den die
Last während des Bremsvorgangs ausgelenkt wird.
b) Wie groß ist die Seilkraft?
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m
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Blatt 17
Übungsaufgaben
Aufgabe 3.7
Eine Murmel (Masse m, Radius r) fällt in ein mit Honig (Viskosität η) gefülltes Glas. Aufgrund
der großen Zähigkeit des Honigs wird die Reibungskraft gemäß des Stokeschen Widerstandsgesetzes modelliert. Darüber hinaus wird angenommen, dass der Einfluss der Auftriebskraft
vernachlässigbar ist.
a) Ermitteln Sie den Weg, den die Murmel in Abhängigkeit von der Zeit zurücklegt.
b) Wie könnte die Viskosität η des Honigs experimentell bestimmt werden?
Aufgabe 3.8
Bei der Prüfung von Bergsteigerseilen wird gemessen, wie groß die maximale dynamische
Verlängerung ∆ℓmax eines Seils ist, das eine aus der Höhe h frei fallende Masse m auffängt.
Unter der Annahme eines ideal-elastischen Seils sind für m = 60 kg, ∆ℓmax = 95 cm und
h = 10 m
a) die maximal auftretende Seilkraft, und
b) die maximale Verzögerung der Masse
zu bestimmen.
Aufgabe 3.9
µ0
Ein undehnbares Seil ist um zwei feststehende Walzen gelegt. An einem Ende ist die
Masse m1 = 10 kg befestigt, die auf einer um
α = 30◦ geneigten Ebene aufliegt, während
am anderen Seilende die Masse m2 hängt.
Zwischen dem Seil und den beiden Walzen
sowie zwischen der Masse m1 und der schiefen Ebene herrscht Reibung mit dem Haftreibungskoeffizienten µ0 = 0.1.
a) Geben Sie den minimalen und maximalen Wert für m2 an, so dass das System in Ruhe bleibt.
b) Bestimmen Sie für die beiden Grenzfälle jeweils die größte Seilkraft.
µ0
m1
µ0
α
Aufgabe 3.10
Ein Radfahrer fährt mit der Geschwindigkeit v = 25 km/h durch eine Kurve mit Krümmungsradius r = 20 m. Um welchen Winkel muss er sich nach innen neigen?
Aufgabe 3.11
Ein Wagen rollt eine 200 m lange Strecke mit 4%-Gefälle abwärts und auf einer gleich großen
Steigung wieder nach oben. Welche Strecke legt er auf der Steigung zurück, wenn der Gleitreibungskoeffizient mit µ = 0.03 angenommen wird?
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m2
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Übungsaufgaben
Aufgabe 3.12
Die maximale Belegung einer Rolltreppe (h = 6 m,
ϕ = 30◦ ) betrage 1.3 Personen je Stufe, wobei
je Person 75 kg anzusetzen sind. Die Rolltreppe werde stets mit einer konstanten Geschwindigkeit von 0.8 m/s betrieben, die Leerlaufleistung des
Antriebs liege bei 8 kW und jede Stufe habe eine
Tiefe von a = 400 mm.
a) Wie viele Personen können je Stunde maximal transportiert werden?
b) Welche maximale Antriebsleistung P ist erforderlich?
c) Welche maximale Bremsleistung PB kann
generatorisch umgesetzt werden, wenn das
vollbesetzte Band abwärts fährt?
a
h
ϕ
Aufgabe 3.13
Ein Fahrzeug fährt mit der Geschwindigkeit v entlang einer horizontalen Strecke, als sich von einem
Reifen ein festgeklemmter Stein löst und weggeschleudert wird. Der Radius des Reifens sei r und
die Position des Steins sei durch den Winkel ϕ0
gegeben. Es ist von einer idealen Rollbewegung
auszugehen.
r
a) Wie hoch und wie weit fliegt das Steinchen?
b) Das Fahrzeug fahre mit der Geschwindigkeit v = 100 km/h. Welchen Sicherheitsabstand muss ein mit der gleichen Geschwindigkeit nachfolgendes Fahrzeug einhalten,
damit es nicht mehr getroffen werden kann?
~v
ϕ0
S
Aufgabe 3.14
Ein Seil der Länge ℓ und der (homogen verteilten) Masse m hängt mit der Länge a < ℓ über
einer Tischkante. Nach dem Loslassen zur Zeit
t = 0 fängt das Seil an, reibungsfrei über die
Tischkante zu rutschen.
a) Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung
mit Hilfe des Newtonschen Grundgesetzes.
b) Lösen Sie die Bewegungsgleichung für die
Anfangsbedingungen x(0) = a und ẋ = 0.
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x
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Übungsaufgaben
Aufgabe 4.1
Aus einer halbkreisförmigen Scheibe aus homogenem
Material wurde ein rechteckiges Stück entfernt.
b
Bestimmen Sie die Abmessung b so, dass sich der
Schwerpunkt S bei gegebenem Radius r und der Seitenlänge a = 9π 2 r/64 an der markierten Position befindet.
S
a
r
Aufgabe 4.2
Eine leere Getränkedose habe die Masse M . Ist die Dose vollständig gefüllt, so betrage die
Masse des Getränks m0 . Die Höhe der Dose sei h.
a) In welcher Höhe liegt der Schwerpunkt der leeren Dose und in welcher Höhe befindet
sich der Schwerpunkt der vollständig gefüllten Dose?
b) Stellen Sie die Funktion m(x) auf, die den Zusammenhang zwischen der Masse des
Getränks und der aktuellen Füllhöhe x ausdrückt.
c) Bei welcher minimalen Füllhöhe xmin liegt der Gesamtschwerpunkt am tiefsten?
Aufgabe 4.3
r1
Ein Kegelstumpf aus homogenem Material hat die
Masse m und die Höhe h. Grund- und Deckfläche
haben die Radien r0 und r1 .
h
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment bezüglich
der Kegelachse.
r0
Aufgabe 4.4
Eine homogene Kreisscheibe vom Radius r0 hat im
Abstand e vom Mittelpunkt eine kreisförmige Bohrung mit dem Radius r1 . Die Scheibe ist aus homogenem Material und hat die Masse m.
a) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment bezüglich
des Mittelpunkts M.
b) Bestimmen Sie die Lage des Schwerpunkts S.
c) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment bezüglich
des Schwerpunkts S.
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r1
e
M
bc
bc
S
r0
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Aufgabe 4.5
Auf einem dünnen homogenen Kreisring (Masse m, Radius r) ist ein Massenpunkt befestigt,
der ebenfalls die Masse m hat. Der Ring steht, mit nach oben weisender Zusatzmasse, auf
einer horizontalen Unterlage. Aufgrund einer kleinen Störung löst sich der Ring aus dieser
instabilen Gleichgewichtslage und rollt, ohne zu gleiten, auf der horizontalen Unterlage.
a) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω des Rings als Funktion des Drehwinkels ϕ.
b) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung ω̇ des Rings als Funktion des Drehwinkels ϕ.
m
b
m
b
ϕ
m
r
bc
r
Aufgabe 4.6
Eine homogene Seilscheibe (Masse m, Radius r) ist reibungsfrei
drehbar gelagert. Von der Seilscheibe spult sich ein Seil ab, dessen
Ende auf eine zweite, identische Seilscheibe aufgewickelt ist.
a) Berechnen Sie die Beschleunigung v̇, mit der sich der Schwerpunkt der freien Seilscheibe nach unten bewegt.
m
r
+
b) Welche Zugkraft F herrscht im Seil?
Aufgabe 4.7
Ein homogener Stab (Masse m, Länge ℓ)
ist an einem Ende reibungsfrei gelagert.
Der Stab wird aus seiner horizontalen Anfangslage losgelassen.
bc
ϕ
a) Berechnen Sie die Winkelgeschwinℓ
digkeit ω und die Winkelbeschleunigung ω̇ des Stabes als Funktionen
des Winkels ϕ, den der Stab mit der
Horizontalen bildet.
b) Welche Horizontalkomponente hat der Beschleunigungsvektor des Stabschwerpunkts?
c) Welche horizontale Kraftkomponente übt das Lager während der Bewegung auf den Stab
aus?
d) Bei welchem Winkel wird die Horizontalkomponente der Lagerkraft maximal und welchen
Wert nimmt sie dann an?
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Übungsaufgaben
Aufgabe 4.8
Eine homogene Walze (Masse m, Radius r) rollt mit der Geschwindigkeit v0 auf einer
horizontalen Ebene. Diese Ebene geht in eine kreisförmig gewölbte Bahn vom Radius R + r
über. Der Walzenmittelpunkt bewegt sich dadurch auf einem Kreisbogen vom Radius R.
a) Berechnen Sie, in Abhängigkeit vom Steigungswinkel ϕ der Bahn, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Walzenmittelpunkts, die Haftreibungskraft sowie die
Normalkraft, jeweils unter der Voraussetzung, daß die Walze rollt, ohne zu gleiten.
b) Welche Geschwindigkeit v0 muß der Walzenmittelpunkt zu Beginn der Bewegung haben,
damit die Walze gerade bis zum Steigungswinkel ϕ = 60◦ kommt und dann zurückrollt?
c) Welche Haftreibungszahl µ0 ist mindestens erforderlich, damit die Walze nicht rutscht?
+
R
+
+
ϕ
v0
r
Aufgabe 4.9
Eine homogene Walze (Masse m, Radius r) wird ohne zu rollen auf einem Förderband mit
der konstanten Geschwindigkeit v0 transportiert. Zum Zeitpunkt t = 0 wird das Förderband
blockiert. Die Walze rutscht weiter und beginnt sich zu drehen. Die Gleitreibungszahl zwischen
Walze und Förderband ist µ.
a) Bestimmen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v(t) und die Winkelgeschwindigkeit
ω(t) der Walze als Funktionen der Zeit t.
b) Mit welcher Geschwindigkeit vr (t) gleitet der jeweilige Auflagepunkt der Walze auf dem
ruhenden Förderband?
c) Zu welchem Zeitpunkt t1 ist die Gleitphase beendet und wie bewegt die Walze sich
weiter?
d) Um welchen Faktor η = T1 /T0 reduziert sich die ursprüngliche kinetische Energie T0
der Walze durch die Gleitreibung?
m
r
µ
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v0
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Blatt 22
Übungsaufgaben
Aufgabe 4.10
Eine homogene Walze (Masse m, Radius r) liegt auf einem Papierstreifen, und zwar im
Abstand ℓ von dessen Ende. Die Gleitreibungszahl zwischen Walze und Papierstreifen ist µ.
Der Papierstreifen wird aus der Ruhe heraus mit der konstanten Beschleunigung a0 unter der
Walze weggezogen.
a) Berechnen Sie die Beschleunigung v̇ des Walzenschwerpunktes und die Winkelbeschleunigung ω̇ der Walze unter der Voraussetzung, daß die Walze auf dem Papierstreifen
gleitet.
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v des Walzenschwerpunktes und die Winkelgeschwindigkeit ω als Funktionen der Zeit t.
c) Welche Geschwindigkeit vA (t) hat der Auflagepunkt der Walze?
d) Wie groß muß die Beschleunigung a0 des Papierstreifens mindestens sein, damit die
Walze gleitet?
e) Zu welchem Zeitpunkt t1 nach Beginn der Bewegung rutscht die Walze über das Ende
des Papierstreifens und um welche Wegstrecke s1 hat sie sich dann fortbewegt?
m
r
a0
µ
ℓ
Aufgabe 4.11
Eine homogene Walze (Masse m, Radius r) rollt ohne zu gleiten mit der Geschwindigkeit v0
auf einer horizontalen Ebene. Zum Zeitpunkt t = 0 erreicht die Walze ein Förderband, das
sich mit der konstanten Geschwindigkeit vB bewegt. Die Gleitreibungszahl für den Kontakt
zwischen Band und Walze ist µ.
a) Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit v = v(t) und die Winkelgeschwindigkeit
ω = ω(t) der Walze für t ≥ 0.
b) Zu welchem Zeitpunkt t1 geht die Bewegung der Walze in reines Rollen über? Mit
welcher Schwerpunktsgeschwindigkeit v1 rollt die Walze auf dem Band weiter?
c) Zu welchem Zeitpunkt t0 wird die Winkelgeschwindigkeit der Walze Null? Welche
Bedingung muß das Verhältnis v0 /vB erfüllen, damit dieser Fall eintritt?
v0
vB
bc
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bc