Vorlesung 4
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Dynamik 4.Vorlesung EP I) Mechanik 1. Kinematik 2.Dynamik Fortsetzung a) Newtons Axiome (Begriffe Masse und Kraft) b) Fundamentale Kräfte c) Schwerkraft (Gravitation) d) Federkraft e) Reibungskraft Versuche: 1. Freier Fall im evakuierten Fallrohr 2. Zwei Schlitten auf Luftschiene: Kraft = Gegenkraft 3. Rakete mit Luft/Wasser 4. Beschleunigung von träger Masse (Schlitten) und schwerer Masse (Gewicht) 5. Feder = Kraftmessgerät 6. Haft- und Gleitreibung 1 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Fortsetzung a) Newtons Axiome (Begriffe Masse und Kraft) Anwendung und Erweiterung des 2. und 3. Newtonschen Axioms auf ein System von Massenpunkten, mit Unterscheidung von inneren und äußeren Kräften: n Faussen = ∆ Gesamtimpuls/ ∆t mit Gesamtimpuls = r m v ∑ i i i =1 führt für den Fall, dass äußere Kraft Faussen = 0, zum Impulserhaltungssatz: Bei einem abgeschlossenen System, d.h. ohne äußere Kräfte, ändert sich der Gesamtimpuls nicht! Die Impulse von Teilen des Systems können sich dabei infolge innerer Kräfte ändern. ( 2. und 3. Newton-Axiom ∆p1 = F12 •∆t= - F21 •∆t = - ∆p2 ) n ∑ i =1 r m i v i = const 2 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Träge Masse mi ist eine grundlegende Eigenschaft von Körpern Versuche auf Luftkissenschiene zur Impulserhaltung und Masse: z. B. Massen zunächst inrRuhe:r v1 = v 2 = 0 Nach Wechselwirkung (interner Kraftwirkung) r r m 1v1 + m 2 v 2 = 0 m1 v =− 2 m2 v1 Masse mi ist Eigenschaft des Körpers und kann durch Vergleichsmessung mit Referenzmasse bestimmt werden. Masse ist unsere 3. Basisgröße. Referenzmasse, d. h. Basis(Maß)einheit für träge Masse m 1 Kilogramm = 1 (kg) liegt als Urkilogramm bei Paris (Masse 1 kg entspricht ungefähr der Masse von 1 (dm)3 = 1 Liter Wasser bei 4°C, 1 bar Druck) 3 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Kraft: Das 2. Newtonsche Prinzip beschreibt empirischen Zusammenhang zwischen Kraft und zeitlicher Änderung des Impulses p=mv: r F = r ∆ (p) ∆t und definiert Einheit der Kraft (1 Newton) auf der Basis der 3 Basiseinheiten m, s, kg: kg ⋅ m 1[N] = 1[Newton] = 1 2 s Kraft ist abgeleitete Größe, ihre Einheit entsprechend abgeleitet. Zusammenhang mit Basisgrößen und – Einheiten über Naturgesetz. 4 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler b) Fundamentale Krä Kräfte Dynamik Es gibt in der Natur 3 fundamentale Krä Kräfte: ● Schwerkraft (Gravitation) wirkt auf Masse oder Energie: Führt zur Bildung (Massenakkretion) und Bewegung von Planeten, Sternen, Galaxien..., und macht uns schwer. ● ElektromagnetischElektromagnetisch-Schwache Kraft (oder kurz: Elektroschwache Kraft) wirkt auf elektrische und schwache Ladung: Elektromagnetische Kraft führt zur Bildung von Atomen, Molekülen, Festkörper ...; schwache Kraft führt zur Umwandlung Neutron ⇄ Proton, Fusion pp zu d auf Sonne, Kernzerfälle. Unser Alltag wird von elektromagnetischen Kräften beherrscht: Muskelkräfte, Reibungskräfte, thermodynamische Kräfte sind auf molekularer Ebene elektromagnetische Kräfte. ● Starke Kraft wirkt zwischen den Elementarteilchen Quarks und Gluonen: Bindet Quarks zu den Kernbausteinen Proton (p), Neutron (n) und bindet p und n zu Kernen, ist Ursache von Kernkräften. Alle Krä Kräfte kö können auf diese 3 elementaren Krä Kräfte zurü zurückgefü ckgeführt werden. 5 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Schwerkraft c) Schwerkraft Trä Trägheit und Gewichtskraft Beobachtungen: Gegenstände auf der Erdoberfläche werden beschleunigt (Erdbeschleunigung, siehe Experiment mit evakuiertem Fallrohr) Damit Gegenstand nicht fällt, ist eine (Halte-) Gegen-Kraft notwendig Versuche zur Beschleunigung im Erdfeld: 1.Fallender 1.Fallender Gegenstand Beschleunigte Bewegung mit Erdbeschleunigung g, d.h. nach Newtons Newtons Gesetz #2 wirkt auf den Kö Diese Kraft heiß Körper die Kaft: Kaft: FG = m g. heißt Gewicht! Gewicht! Man sollte als Physiker eigentlich nicht sagen: „das Gewicht von X ist Y kg“ oder gleichbedeutend „Objekt X wiegt Y kg“ . Die Masse ist Y kg, das Gewicht auf der Erde ist dann 9.81 mal Y Newton) Als verkürzte Sprechweise für „das Gewicht von X ist (wie das einer Masse von) Y kg“ akzeptiert 6 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Schwerkraft 2. Versuch: Fallender Gegenstand (Masse mG) zieht , d.h. beschleunigt zweite Masse (Schlittenmasse mS) Gesamtmasse = mGesamt =mG + mS wird beschleunigt durch Kraft FG = mG g Gewicht = beschleunigende Kraft: F = mG ⋅ g = mGesamt⋅ a = (ms + mG) ⋅ a Die Beschleunigung wird also durch die zusätzliche (Schlitten-) Masse verringert! Der Versuch veranschaulicht die begriffliche Unterscheidung zwischen träger und schwerer Masse. träge Masse = Ursache des Beharrungsvermögens schwere Masse = Quelle der Gravitationskraft 7 Empirisch sind beide gleich. EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Schwerkraft Newtons Gravitationsgesetz: Zwischen 2 Körpern wirkt eine Kraft, die von den Massen der Körper abhängt: M1 ⋅ M 2 F = GN r2 Richtung der Kraft (anziehend) siehe Skizze mit GN = 6,67 10-11 Nm 2 2 kg Einschränkung: Dieses einfache Gesetz gilt nur, wenn Abstand r größer als Summe der Radien der beiden Körper. Für Punktmasse M2 innerhalb Körpers M1 nimmt F mit r ab. 8 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Schwerkraft Spezialfall: Schwerkraft auf der Erdoberfläche: Masse der Erde M1 = MErde (= 6 ⋅ 1024 kg) und Radius r (= 6400 km) ergibt: 24 M1 ⋅M 2 −11 6 ⋅10 ⋅ M 2 F = GN = 6,67⋅10 2 2 r 6400000 ≈ 9,81 m/s² M2 Erdbeschleunigung g =9.81 m/s² m/s Wiederholung: Gewicht = Kraft, die Erde auf Körper ausübt. Allgemeine Aussagen (empirisch): 1. Erdbeschleunigung g hängt nicht von M2 ab Versuch mit evakuiertem Fallrohr zeigte, Feder und Stein fallen gleich schnell 2. Postulat: Schwere und träge tr ge Masse sind identisch! (Einstein→ (Einstein allgemeine Relativitätstheorie). Relativit tstheorie). Damit wird begriffliche Trennung (siehe Versuch S.7) zwischen träger tr ger und schwerer Masse aufgehoben. 9 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Federkraft d) Federkräfte Federkr fte Äußere Kräfte bewirken eine elastische Verformung von Festkörpern wie Stahl (siehe deformierbare Medien). Gegenkraft kommt letztlich durch elektromagnetische Kräfte zwischen Atomen zustande. Für "kleine" Kräfte F und kleine Verformungen x (besser „Δx“) gilt ein linearer Zusammenhang: r r F = −D x D ist die "Federkonstante“, F die Kraft, ´mit der die Feder zieht´. Einheit von D : [N/m] Federn können als Kraftmesser eingesetzt werden. "Newtonmeter", "Dynamometer„ siehe Versuch 10 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik e) Reibung: Reibung Mußte in unseren Versuchen unterdrückt werden; im Alltag lebensnotwendig (Gehen, Bremsen ..) Reibung ist durch elektrische Kräfte zwischen Atomelektronen an den Grenzflächen bedingt Einfachste Formen: a) Haft-, Gleit-, Rollreibung b) innere Reibung bei Flüssigkeiten (Stokes) Erfahrung: Um einen Körper in Bewegung zu setzen, ist eine „Haftreibungs-Kraft“ FRH notwendig, die proportional zur Normalkraft FN ist und der Art der Oberfläche abhängt. = mg r r FRH = µ H FN µΗ : Haftreibungs-Koeffizient (0.05-0.8) 11 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Reibung Die Haftreibung hängt nur von der Normalkraft ab, nicht von der Größe der Auflagefläche. Rutscht der Körper, dann nimmt die Reibungskraft ab: Gleitreibung F Versuch: (Ziehen mit Newtonmeter) r r r FRG = µG FN ≤ µ H FN t 12 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Reibung Rollreibung durch Verformung von Rad und Untergrund: Stokes Reibung (Viskose Reibung, laminare Strömung) Beispiel: fester Körper, der sich langsam durch Fluid bewegt, mit Relativgeschwindigkeit v. Dann ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit: FR ~ v Beispiel: Kugel mit Radius r in Fluid mit Viskosität η FR = 6 πηrv [Versuch zur Stokes-Reibung] 13 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler Dynamik Newton Reibung Bei schneller Bewegung! (Wirbelbildung). Der Körper verdrängt und beschleunigt Fluidteile Reibung FR ~ v 2 ANHANG für Interessierte: FR = 0.5C WρAv 2 Mit ρ = Dichte des Fluids, A = Querschnitt des Körpers senkrecht zur Bewegungsrichtung, v = Geschwindigkeit und Widerstandskoeffizient CW (formabhängig) Kugel CW = 1, Auto CW = 0.2 – 0.5 Bei konstanter Kraft wird die maximale Geschwindigkeit durch die Reibung bestimmt: FR (v) = Fext Beispiel: Auto mit CW = 0.5; A = 2m² ρLuft = 1.3 kg/m³ Maximale Leistung WMax = 100 kW, Fext = WMax /v 2WMax 1 WMax m km 2 = 53 = 192 FR = C WρAv = Fext = → v max = 2 v s h C WρA 14 EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler
