Vorlesung 4

Dynamik
4.Vorlesung EP
I) Mechanik
1. Kinematik
2.Dynamik Fortsetzung
a) Newtons Axiome (Begriffe Masse und Kraft)
b) Fundamentale Kräfte
c) Schwerkraft (Gravitation)
d) Federkraft
e) Reibungskraft
Versuche:
1. Freier Fall im evakuierten Fallrohr
2. Zwei Schlitten auf Luftschiene: Kraft = Gegenkraft
3. Rakete mit Luft/Wasser
4. Beschleunigung von träger Masse (Schlitten) und schwerer Masse (Gewicht)
5. Feder = Kraftmessgerät
6. Haft- und Gleitreibung
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EP WS 2009/10 Dünnweber Faessler
Dynamik
Fortsetzung a) Newtons Axiome (Begriffe Masse und Kraft)
Anwendung und Erweiterung des 2. und 3. Newtonschen Axioms
auf ein System von Massenpunkten, mit Unterscheidung von
inneren und äußeren Kräften:
n
Faussen = ∆ Gesamtimpuls/ ∆t
mit Gesamtimpuls =
r
m
v
∑ i i
i =1
führt für den Fall, dass äußere Kraft Faussen = 0, zum
Impulserhaltungssatz: Bei einem abgeschlossenen System,
d.h. ohne äußere Kräfte, ändert sich der Gesamtimpuls nicht!
Die Impulse von Teilen des Systems können sich dabei infolge innerer Kräfte
ändern. ( 2. und 3. Newton-Axiom ∆p1 = F12 •∆t= - F21 •∆t = - ∆p2 )
n
∑
i =1
r
m i v i = const
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Dynamik
Träge Masse
mi ist eine grundlegende Eigenschaft von Körpern
Versuche auf Luftkissenschiene zur Impulserhaltung und Masse:
z. B. Massen zunächst inrRuhe:r
v1 = v 2 = 0
Nach Wechselwirkung (interner Kraftwirkung)
r
r
m 1v1 + m 2 v 2 = 0
m1
v
=− 2
m2
v1
Masse mi ist Eigenschaft des Körpers und kann durch Vergleichsmessung
mit Referenzmasse bestimmt werden. Masse ist unsere 3. Basisgröße.
Referenzmasse, d. h. Basis(Maß)einheit für träge Masse m
1 Kilogramm = 1 (kg) liegt als Urkilogramm bei Paris
(Masse 1 kg entspricht ungefähr der Masse von 1 (dm)3 = 1 Liter Wasser
bei 4°C, 1 bar Druck)
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Dynamik
Kraft:
Das 2. Newtonsche Prinzip beschreibt empirischen Zusammenhang
zwischen Kraft und zeitlicher Änderung des Impulses p=mv:
r
F
=
r
∆ (p)
∆t
und definiert Einheit der Kraft (1 Newton) auf der Basis der
3 Basiseinheiten m, s, kg:
 kg ⋅ m 
1[N] = 1[Newton] = 1 2 
 s 
Kraft ist abgeleitete Größe, ihre Einheit entsprechend abgeleitet.
Zusammenhang mit Basisgrößen und – Einheiten über Naturgesetz.
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b) Fundamentale Krä
Kräfte
Dynamik
Es gibt in der Natur 3 fundamentale Krä
Kräfte:
● Schwerkraft (Gravitation)
wirkt auf Masse oder Energie: Führt zur Bildung (Massenakkretion) und
Bewegung von Planeten, Sternen, Galaxien..., und macht uns schwer.
● ElektromagnetischElektromagnetisch-Schwache Kraft (oder kurz: Elektroschwache Kraft)
wirkt auf elektrische und schwache Ladung: Elektromagnetische Kraft führt zur
Bildung von Atomen, Molekülen, Festkörper ...; schwache Kraft führt zur
Umwandlung Neutron ⇄ Proton, Fusion pp zu d auf Sonne, Kernzerfälle.
Unser Alltag wird von elektromagnetischen Kräften beherrscht: Muskelkräfte,
Reibungskräfte, thermodynamische Kräfte sind auf molekularer Ebene
elektromagnetische Kräfte.
● Starke Kraft
wirkt zwischen den Elementarteilchen Quarks und Gluonen:
Bindet Quarks zu den Kernbausteinen Proton (p), Neutron (n) und
bindet p und n zu Kernen, ist Ursache von Kernkräften.
Alle Krä
Kräfte kö
können auf diese 3 elementaren Krä
Kräfte zurü
zurückgefü
ckgeführt werden.
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Dynamik Schwerkraft
c) Schwerkraft
Trä
Trägheit und Gewichtskraft
Beobachtungen:
Gegenstände auf der Erdoberfläche werden beschleunigt (Erdbeschleunigung,
siehe Experiment mit evakuiertem Fallrohr)
Damit Gegenstand nicht fällt, ist eine (Halte-) Gegen-Kraft notwendig
Versuche zur Beschleunigung im Erdfeld:
1.Fallender
1.Fallender Gegenstand
Beschleunigte Bewegung mit Erdbeschleunigung g, d.h. nach Newtons
Newtons Gesetz
#2 wirkt auf den Kö
Diese Kraft heiß
Körper die Kaft:
Kaft: FG = m g.
heißt Gewicht!
Gewicht!
Man sollte als Physiker eigentlich nicht sagen: „das Gewicht von X ist Y kg“
oder gleichbedeutend „Objekt X wiegt Y kg“ .
Die Masse ist Y kg, das Gewicht auf der Erde ist dann 9.81 mal Y Newton)
Als verkürzte Sprechweise für
„das Gewicht von X ist (wie das einer Masse von) Y kg“ akzeptiert
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Dynamik
Schwerkraft
2. Versuch: Fallender Gegenstand (Masse mG) zieht , d.h. beschleunigt
zweite Masse (Schlittenmasse mS)
Gesamtmasse = mGesamt =mG + mS wird beschleunigt durch Kraft FG = mG g
Gewicht = beschleunigende Kraft:
F = mG ⋅ g = mGesamt⋅ a = (ms + mG) ⋅ a
Die Beschleunigung wird also durch die
zusätzliche (Schlitten-) Masse verringert!
Der Versuch veranschaulicht die begriffliche
Unterscheidung zwischen träger und schwerer Masse.
träge Masse = Ursache des Beharrungsvermögens
schwere Masse = Quelle der Gravitationskraft
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Empirisch sind beide gleich.
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Dynamik
Schwerkraft
Newtons Gravitationsgesetz:
Zwischen 2 Körpern wirkt eine Kraft, die von den Massen der Körper abhängt:
M1 ⋅ M 2
F = GN
r2
Richtung der Kraft (anziehend) siehe Skizze
mit GN = 6,67
10-11
 Nm 2 
 2 
 kg 
Einschränkung: Dieses einfache Gesetz gilt nur, wenn Abstand r größer als Summe der Radien
der beiden Körper. Für Punktmasse M2 innerhalb Körpers M1 nimmt F mit r ab.
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Dynamik
Schwerkraft
Spezialfall: Schwerkraft auf der Erdoberfläche:
Masse der Erde M1 = MErde (= 6 ⋅ 1024 kg) und Radius r (= 6400 km) ergibt:
24
M1 ⋅M 2
−11 6 ⋅10 ⋅ M 2
F = GN
= 6,67⋅10
2
2
r
6400000
≈ 9,81 m/s² M2
Erdbeschleunigung g =9.81 m/s²
m/s
Wiederholung: Gewicht = Kraft, die Erde auf Körper ausübt.
Allgemeine Aussagen (empirisch):
1. Erdbeschleunigung g hängt nicht von M2 ab
Versuch mit evakuiertem Fallrohr zeigte, Feder und Stein fallen gleich schnell
2. Postulat: Schwere und träge
tr ge Masse sind identisch! (Einstein→
(Einstein allgemeine
Relativitätstheorie).
Relativit tstheorie). Damit wird begriffliche Trennung (siehe Versuch S.7)
zwischen träger
tr ger und schwerer Masse aufgehoben.
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Dynamik
Federkraft
d) Federkräfte
Federkr fte
Äußere Kräfte bewirken eine elastische Verformung von Festkörpern wie Stahl
(siehe deformierbare Medien). Gegenkraft kommt letztlich durch elektromagnetische Kräfte zwischen Atomen zustande.
Für "kleine" Kräfte F und kleine Verformungen x
(besser „Δx“) gilt ein linearer Zusammenhang:
r
r
F = −D x
D ist die "Federkonstante“, F die Kraft, ´mit der
die Feder zieht´. Einheit von D : [N/m]
Federn können als Kraftmesser eingesetzt werden.
"Newtonmeter", "Dynamometer„ siehe Versuch
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Dynamik
e) Reibung:
Reibung
Mußte in unseren Versuchen unterdrückt werden;
im Alltag lebensnotwendig (Gehen, Bremsen ..)
Reibung ist durch elektrische Kräfte zwischen
Atomelektronen an den Grenzflächen bedingt
Einfachste Formen: a) Haft-, Gleit-, Rollreibung
b) innere Reibung bei Flüssigkeiten (Stokes)
Erfahrung: Um einen Körper in Bewegung zu setzen, ist eine
„Haftreibungs-Kraft“ FRH notwendig, die proportional zur
Normalkraft FN ist und der Art der Oberfläche abhängt.
= mg
r
r
FRH = µ H FN
µΗ : Haftreibungs-Koeffizient (0.05-0.8)
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Dynamik
Reibung
Die Haftreibung hängt nur von der Normalkraft ab,
nicht von der Größe der Auflagefläche.
Rutscht der Körper, dann nimmt die Reibungskraft ab: Gleitreibung
F
Versuch: (Ziehen mit
Newtonmeter)
r
r
r
FRG = µG FN ≤ µ H FN
t
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Dynamik
Reibung
Rollreibung durch Verformung von Rad und Untergrund:
Stokes Reibung (Viskose Reibung, laminare Strömung)
Beispiel: fester Körper, der sich langsam durch Fluid bewegt, mit Relativgeschwindigkeit v. Dann ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit:
FR ~ v
Beispiel:
Kugel mit Radius r in Fluid mit Viskosität η
FR = 6 πηrv
[Versuch zur Stokes-Reibung]
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Dynamik
Newton Reibung
Bei schneller Bewegung!
(Wirbelbildung).
Der Körper verdrängt und beschleunigt Fluidteile
Reibung
FR ~ v 2
ANHANG für Interessierte:
FR = 0.5C WρAv 2
Mit ρ = Dichte des Fluids, A = Querschnitt des Körpers senkrecht zur
Bewegungsrichtung, v = Geschwindigkeit und Widerstandskoeffizient CW
(formabhängig) Kugel CW = 1, Auto CW = 0.2 – 0.5
Bei konstanter Kraft wird die maximale Geschwindigkeit durch die Reibung bestimmt:
FR (v) = Fext
Beispiel:
Auto mit CW = 0.5; A = 2m²
ρLuft = 1.3 kg/m³
Maximale Leistung WMax = 100 kW, Fext = WMax /v
 2WMax 
1
WMax
m
 km 
2
 = 53  = 192 
FR = C WρAv = Fext =
→ v max = 
2
v
s
 h 
 C WρA 
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