Übungsaufgabe Jg. 13 - Ebenen Skalarprodukt

Mathematik LK Jg.13.2 Arbeitsblatt
Datum :
Übungsaufgaben mit Schwerpunkt : Ebenen - Anwendungen Skalarprodukt - Abstände
1.
Gegeben ist das Dreieck ABC durch A(-1 | -2) , B (3 | 1) und C (1 | 4). Berechne | hc| .
2.
Durch die Punkte A(5|6|1), B(-3|10|5), C(1|4|7) und D (9|0|3) ist ein Viereck ABCD gegeben.
a)
Bestätige, dass die 4 Punkte in einer Ebene liegen. Um welche Art Viereck handelt es sich?
b)
Ermittle Gleichungen für diese Ebene in Parameterform, Koordinatenform und Normalenform
Sollte in b.) keine Lösung möglich sein, verwende die Koordinatengleichung x + y + z = 12
c)
Welchen Abstand hat diese Ebene vom Nullpunkt ?
d)
Welche Entfernung hat der Diagonalenschnittpunkt im Viereck ABCD vom Nullpunkt?
e)
Welchen Winkel schließt die XY-Ebene mit der Ebene, in der das Viereck ABCD liegt, ein ?
(vgl. hierzu Buch S.156)
3.
Gegeben sind die Punkte P ( 1 | 3 | 0) , Aa ( 5 | 5 | -4a ) und Ba ( 2 | 1 | a ) , a 
a)
Zeige, dass für jedes a   durch P , Aa und Ba eine Ebene festgelegt wird.
Ermittle eine Gleichung E(a) in Koordinatenform.
b)
Zeige: E0 und E1 verlaufen im 45° Winkel zueinander.
c)
Ermittle die Gleichung der Schnittgeraden t der Ebenen E0 und E1
und zeig, dass t in allen Ebenen E(a) liegt (Man nennt dies: Trägergerade)
d)
Zeige, dass es zu jeder Ebene E(a1) mit a1  0 eine zweite Ebene E(a2) gibt,
die zu E E(a1) senkrecht ist (Hinweis: mit Hilfe des Skalarproduktes)
4.
Skizziere (ohne Rechnung) mit Hilfe der bish. Kenntnisse eine Möglichkeit,
den Abstand der
 4
 
g1 : x =   1 + r
 
 3
beiden parallelen Geraden
 3
  1
 
 
 2  und g2 : x =  0 + s
 
 
 8
 1
g1 und g2 zu berechnen, die gegeben sind durch:
 3
 
  6 (Lösung wäre: d  4,041 LE)
 
  3
Mathematik LK Jg.13.2 Arbeitsblatt
Datum :
Lösungen des Arbeitsblattes
1.
Ansatz : Schnittpunkt der Gerade durch AB mit der Gerade durch hc
 5
 8
  4

 
 
 
mögl. Parametergl. von E mit Hilfe der Dreipunkteform : E : x =  6 + r   4 + s  6 
 
 
 
 1
 4
  2
2.
D liegt auf E. Lösung evident (offensichtlich) mit r = 0 und s = - 1
a)
Es handelt sich um ein Parallelogramm, da gegenüberliegende Seiten und Winkel
gleich sind (Nachweis mit Hilfe des Skalarproduktes sowie den Beträgen der Vektoren)
b)
Parameterform siehe oben. allgem. Form ermitteln durch Eliminieren der Parameter r
 1

 
allgemeine Form x1 + x2 + x3 = 12 , Normalenform (NF) :  1  x - 12 =0 ,
 
 1
c.) eine Mögl.: geometrisches Verfahren für das Berechnen des Abstands E vom Nullpunkt.
- Schritt a) Hilfsgerade g durch Nullpunkt und senkrecht zu E (einfach)
- Schritt b) Schnittpunkt von g und E ermitteln (Lösung : XF (4|4|4) ), |OXF |= 4 8 =4 3
d)
Der Diagonalenschnittpunkt S hat die Koordinaten des Punktes zum Ortsvektor
  2
 5
 3
 
AC
 
 
OA +
, also   1 +  6 =  5  ; Abstand von O beträgt also 38 (LE)
2
 
 
 4
 3
 1
 
e)
Vergleich der Normalenvektoren : n1 =
 1
 0
 1 und n2 =  0 (Normalenvektor der XY-Ebene)
 
 
 1
 1
anschließend Berechnung  (n1 ,n2 ) ! Dieser Winkel beträgt  54,7 °
3.
a)
E(a) : 3a x1 +4a x2 + 5x3 = 15a oder (0 x1 + 0 x2 + 5 x3 - 0) + a (3 x1 + 4 x2 +0 x3 - 15) = 0
b)
klar mit Berechnung mit Hilfe des Skalarproduktes =>  (n0 ,n1 ) = 45°
 4
 0 
  
 
Ermitteln von t : x =  3,75 +    3 (durch Gleichsetzen von E0 und E1 )


 
 0
 0 
c)
d)
Es muss gelten für zwei Ebenen (Skalarprodukt): 9a1a2 + 16 a1a2 + 25 = 0
 25 a1a2 = - 25 also a1a2 = -1  a1 = -1/a2
Lösungen : Buch S. 247 Nr. 4
 2
1
 3 
 
 
  
a) E x =  2  + r   1  + s    3 
 1 
0
 1
 
 
 
3
14  1,603
b) E: x1 + 2x2 + 3x3 = 6
d=
7
c) P(6|0|0) Q (0|3|0) d) B(-6|6|0)
e) Die Behauptung ist:



| AP |
| BP |
| OP |

| AQ |
=

| BQ |
=

| OQ |
Sie ergibt sich aus:
20
5
=
180
45
=
6
2
3