Tag der Geometrie 2017, TU Graz |
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Blitzlichter auf … …erstaunliche geometrische Sätze zum Experimentieren und Beweisen Thomas Müller KPH Wien/Krems Tag der Geometrie TU Graz, 20. April 2017 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 1 Blitzlichter auf … …erstaunliche geometrische Sätze zum Experimentieren und Beweisen Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Thomas Müller KPH Wien/Krems Tag der Geometrie TU Graz, 20. April 2017 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 2 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Ana KUZLE und Regina BRUDER, Heft 196, Juni 2016 Problemlösen Herausforderungen begegnen PL-Kompetenzen erwerben … an kleinen „Forschungsprojekten“ Selbstsicherheit erwerben … Schritt 1: vertraut werden mit Problem … durch Skizzieren, Zeichnen, Ausprobieren … Variation von Parametern Auswirkungen beobachten „experimentieren“ Erkenntnisse gewinnen Schritt 2: begründen, beweisen 3 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 4 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Publ. 1731, posthum* Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten * Lit.: http://mathworld.wolfram.com/VarignonsTheorem.html Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 5 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Publ. 1731, posthum Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Lit.: http://mathworld.wolfram.com/VarignonsTheorem.html Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 6 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Publ. 1731, posthum Hilfe 1: Eine Diagonale einzeichnen. Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Rückführen auf Bekanntes. 1. Strahlensatz (Umkehrung) Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 7 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten Publ. 1731, posthum ein Parallelogramm. a, b, c, d … VEKTOREN c b d a „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen.“ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II?“ mathematik lehren 196, p34f Vgl. z.B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12.78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 8 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Publ. 1731, posthum C Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. a, b, c, d … VEKTOREN c b d A a „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen.“ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II?“ mathematik lehren 196, p34f AC = 2a + 2b Vgl. z.B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12.78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 9 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Publ. 1731, posthum C Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. a, b, c, d … VEKTOREN c b d A a „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen.“ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II?“ mathematik lehren 196, p34f AC = 2a + 2b = 2d + 2c Vgl. z.B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12.78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 10 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Publ. 1731, posthum C Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. a, b, c, d … VEKTOREN c b d A „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektorrechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen.“ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II?“ mathematik lehren 196, p34f a AC = 2a + 2b = 2d + 2c a+b=d+c Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 11 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten Publ. 1731, posthum ein Parallelogramm. u=e+f Was lässt sich über Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms aussagen? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 12 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten Publ. 1731, posthum ein Parallelogramm. u=e+f 2.Avar = A4 Was lässt sich über Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms aussagen? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 13 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Ferdinand WITTENBAUER Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Seitendrittelpunkte … (1857 – 1922, TU Graz) Viertelspunkte usw? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 14 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 15 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz auch im Raum? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 16 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 17 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? JA Gilt dies auch für die Existenz des WITTENBAUER-Parallelogramms? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 18 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? JA Gilt dies auch für die Existenz des WITTENBAUER-Parallelogramms? NEIN Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 19 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 20 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 21 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 22 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) 60° γ° 60° 60° + γ ° = γ ° + 60° Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 23 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) 60° γ° 60° 60° + γ ° = γ ° + 60° Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 24 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Punkt von FERMAT TORRICELLI Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 25 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Punkt von FERMAT = X13 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 26 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Ludwig KIEPERT (1846 – 1934, DE) Pierre FERMAT (1607 – 1665) gleichschenkelig ähnliche Dreiecke Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 27 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 28 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vorbereitung … Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 29 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vorbereitung … γ° Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt 90° 90° Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. 90° + γ ° = γ ° + 90° Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 30 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm γ° 90° Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt 90° Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Quadratmittelpunkte Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 31 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm γ° 90° Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt 90° Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Quadratmittelpunkte Zentrische Streckung Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 32 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm γ° 90° Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt 90° Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Quadratmittelpunkte Zentrische Streckung Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 33 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 35 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 36 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Gleiche Länge Orthogonal Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 40 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 41 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 42 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 43 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 44 Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt p p k Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL (p + k)/2 Satz von VARIGNON k Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 45 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt h (p + k)/2 hh p k h Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 46 Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 47 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Unterlagen zum Vortrag: http://www.muel.at/person/infos.html Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 48 Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Schatzinselproblem Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Unterlagen zum Vortrag: http://www.muel.at/person/infos.html Tag der Geometrie 2017, TU Graz | [email protected] 49
