Probeklausur

Timo Kötzing
SS 2014
Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen II“
http://www.theinf.uni-jena.de/Lehre/SS+2014/Diskrete+Strukturen+II-p-174.html
”
Probeklausur
Diese Klausur ist für etwa 120 Minuten geplant. Insgesamt sind 100 Punkte erreichbar, Bonuspunkte aus den Übungsaufgaben zählen extra. Ihr solltet bei jeder
Aufgabe etwa so viele Minuten brauchen, wie sie Punkte gibt, nur die letzte Aufgabe
(die schwerste, benötigt für die 1,0) wird länger brauchen.
Aufgabe 1 (10 Punkte) Bestimme die Menge aller x ∈ R, für welche die folgende
Gleichung gilt.
(2x + 1/4)log(2x+1/4) = 16.
Aufgabe 2 (10 Punkte) Ordne die folgenden Terme mit <O (wobei wir jeweils die
Terme als Funktionen
in Abhängigkeit von n betrachten). n, 2n , log(n), 25 log(n) , nn ,
√
10
3
n log(n), log( n), n , log(n)5 .
Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei ein Graph H wie folgt gegeben.
g
c
d
e
a
f
b
h
i
k
Definiere die folgdenden Konzepte.
(a)
(b)
(c)
(d)
Chromatische Zahl;
k-zusammenhängend;
Artikulation;
Brücke.
Beantworte die folgenden Fragen mit Begründung.
(d) Was ist die chromatische Zahl von H (χ(H))?
(e) Für welche k ist H k-zusammenhängend?
(f ) Was sind die Artikulationen, und was die Brücken von H?
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Diskrete Strukturen II
Timo Kötzing
Aufgabe 4 (20 Punkte) Diese Aufgabe wird ausschließlich nach Qualität des Beweises bewertet (Beweisaufgabe). Sei G ein Graph. Zeige, dass die Menge aller Knoten
ungeraden Grades in G eine gerade Kardinalität hat.
Aufgabe 5 (20 Punkte) Gegeben ist eine Funktion in der Programmiersprache Java, welche selbst keine Funktionen aufruft. Diese Funktion ist also eine Liste von
Instruktionen, zum Beispiel Zuweisungen, Verzweigungen oder Schleifen. Wir definieren den Lebensbereich einer Variablen, die in diesem Programm benutzt wird, als
die Menge der Instruktionen zwischen der ersten und der letzten Benutzung der Variablen. Intuitiv werden die Variablen nur innerhalb ihres Lebensbereiches gebraucht.
Ein Register“ ist eine interne Speichereinheit der CPU; alle Variablen müssen
”
zur Benutzung im Rechner erst in ein solches Register geladen werden. Dabei versucht man nun, die Anzahl der benötigten Register zu minimieren, wobei Variablen
mit disjunkten Lebensbereichen im selben Register untergebracht werden können. Formal besteht also das Problem der Registerallokation“ nun darin, eine Zuweisung
”
von Variablen zu möglicht wenig Registern zu finden, so dass je zwei Variablen, die
dem selben Register zugeordnet sind, disjunkte Lebensbereiche haben. Modelliere dieses
Problem als Graphenproblem.
Aufgabe 6 (20 Punkte) Sei k ≥ 2. Zeige, dass in es in jedem k-zusammenhängenden Graphen einen Kreis mit mindestens k Knoten gibt, ohne einen Satz zu verwenden.
Aufgabe 7 (10 Punkte) Zeige mit dem Satz von Tutte, dass jeder kubische Graph
ohne Brücken einen 1-Faktor hat.
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