Vollständige Induktion oder Schluss von n auf n+1

Das Beweisverfahren
„Vollständige Induktion oder Schluss von n auf n+1“
Die Eigenschaft der natürlichen Zahlen H(n) gilt für alle n wird gezeigt mit dem
Beweis der vollständigen Induktion in drei Schritten.
H(n) :
Schritt 1: Induktionsanfang (IA)
S1:
Die Eigenschaft H(n) gilt für n = 0 oder 1, oder …
H(0) :
H(0) ist wahr
Schritt 2:
S2: Induktionsschritt (IS)
Schritt 2.1 : Induktionsvoraussetzung: (IV)
Die Eigenschaft gilt für eine beliebige, aber fest
gewählte natürliche Zahl k (k ≥ 0,1,…) s.o.
H(k): H(k) ist wahr.
Schritt2.2 : Induktionsbehauptung: (IB)
Die Eigenschaft H(n) gilt auch für den Nachfolger
n = k+1.
H(k+1): H(k+1) ist wahr.
Schritt 2.3: Beweis der Induktionsbehauptung
Durch Vergleich der (IB) mit der (IV) bekommt man einen Tipp wie man
vorgehen kann.
Beweisschritte:
Schritt 3:
S3 : Induktionsschluss:
Wir haben gezeigt, dass die Eigenschaft H(n) für die natürliche Zahl n = 0 bzw.
1 bzw. 2… wahr ist und dass die Eigenschaft H(n) für die natürliche Zahl k+1
wahr ist ,wenn sie für die natürliche Zahl k wahr ist.
Also ist die Eigenschaft für n= 2, wahr, weil sie für n = 1 wahr ist. Wenn sie für
n = 2 wahr ist, so ist sie auch für n = 3 wahr usw. Die Eigenschaft gilt für alle
natürlichen Zahlen.