Anwendungsbeispiele

Beispiele zur Verwendung von Matrizen und Gleichungssystemen
Alle diese Beispiele sind entnommen dem sehr interessanten Textbook:
Gareth Williams: Linear Algebra with Applications, 4th edition, Jones and Bartlett Mathematics, 2001.
Die Beispiele sind sehr umfangreich, die Wahl der Daten (Zahlen) ist akademisch, d.h. so,
dass man es auch von Hand\ rechnen konnte. Diese Beispiele dienen der Erlauterung was
"
man mit Hilfe von Matrizen und Gleichungssystemen berechnen kann.
Verkehrsströme.
Frage: Wie muss der Verkehr umgeleitet werden, wenn Bauarbeiten anstehen und der Verkehrsuss moglichst wenig gestort werden soll. Dies lasst sich am einfachsten an Einbahnstraen erlautern, deshalb das folgende Beispiel.
Betrachten wir den folgenden typischen Stadtplan einer (US-amerikanischen) Altstadt (Downtown) wie Jacksonville, Florida. Alle Straen sind Einbahnstraen und die Pfeile geben
die Richtung der Einbahnstraen an. Der Verkehrsuss wurde durch eine Verkehrszahlung
bestimmt und ist in Autos pro Stunde angegeben. Wir mochten ein mathematisches Modell
zur Untersuchung des Verkehrsusses angeben.
400 Fph
200 Fph
Hogan Street
800 Fph
Duval Street
F
x5
x4
Monroe Street
E
200 Fph
A
Laura Street
400 Fph
x1
100 Fph
B
x6
x3
1000 Fph
x2
Adams Street
D
C
100 Fph
x7
800 Fph
600 Fph
Downtown Jacksonville, Florida
Fph = Fahrzeuge pro Stunde.
Dabei gehen wir davon aus, dass der gesamte Verkehr, der in eine Kreuzung einfahrt, diese
auch wieder verlasst.
Dieses Erhaltungsgesetz (vergleichbar mit dem Kirchhoschen Erhaltungssatz in elektrischen
1
2
Netzwerken) ergibt das folgende System linearer Gleichungen.
A : x1
+ x5
B : x1 − x2
+ x6
C:
x2
− x7
D:
− x3
+ x7
E:
− x3 + x4
+ x6
F :
x4 + x5
=
=
=
=
=
=
600
100
500
200
800
600
Wir benutzen den Gau-Jordan-Algorithmus zur Bestimmung des Verkehrsaufkommens.









1 0
0 0 1
1 −1 0 0 0
0 1
0 0 0
0 0 −1 0 0
0 0 −1 1 0
0 0
0 1 1

0 0 600
1 0 100 


0 −1 500 

0 1 200 

1 0 800 
0 0 600





≈ ... ≈ 



1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0

1
1
1
1
−1
0
1
0 1
0 0
0 0
0 1
1 −1
0 0

−1 600
−1 500 


−1 −200 

−1 600 

1
0 
0
0
Damit erhalten wir die Losung











x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7


 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
600
500
−200
600
0
0
0












 + t








−1
0
0
−1
1
1
0











 + s



















Dass die Losung nicht eindeutig ist, ist zu erwarten, da man an den Kreuzungen verschiedene
Moglichkeiten der Weiterfahrt hat.
Wir wollen dieses Modell nun benutzen, um Informationen zu erhalten. Nehmen wir an,
dass auf dem Straenabschnitt der Adams Street zwischen Laura und Hogan Bauarbeiten
stattnden sollen, die es erforderlich machen, dass so wenig wie moglich Verkehr diesen
Abschnitt befahrt. Der Verkehrsuss entlang dieses Straenabschnitts kann uber des Straennetz kontrolliert werden. Wie gro ist der minimale Verkehrsuss entlang Adams, so dass
kein Verkehrsstau entsteht? Was bedeutet das fur den Verkehrsuss entlang der anderen Straenabschnitte?
Den Verkehr auf der Adams Street zu minimieren bedeutet x7 zu minimieren. Nun besagt
die dritte Gleichung, dass mindestens 200 Fahrzeuge Adams befahren mussen, da ansonsten
x3 negativ wird (d.h. Verkehr in der Einbahnstrae entgegen der Richtung der Einbahnstrae
= Chaos! Geht also nicht.) Was bedeutet x7 = 200 fur den ubrigen Verkehrsuss? In diesem
3
Fall haben wir die Losung











x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7


 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
600
500
−200
600
0
0
0












 + t








−1
0
0
−1
1
1
0












 + 200 








1
1
1
1
−1
0
1












 = t








−1
0
0
−1
1
1
0


 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
800
700
0
800
−200
0
200











Da x7 = 200 genau gilt, wenn x3 = 0 ist, konnen wir daraus schlieen, dass der minimale Verkehrsstrom im Bereich x7 durch eine Sperrung des Abschnitts DE erreicht werden kann.
4
Archäologie.
Aufgabe: Grabstatten sollen anhand der dort gefunden Gegenstande zeitlich geordnet werden
und die gefunden Gegenstande einem Zeitraum zugeordnet werden.
Annahme: Grabstatten, die ahnliche Gegenstande enthalten, liegen zeitlich naher zusammen
als solche, die nur wenig gemeinsam haben.
Mathematisches Modell: Wir nummerieren die Grabstatten von 1 bis n und die Gegenstande
von 1 bis m und bilden eine Matrix A, deren Elemente entweder den Wert 1 oder den Wert
0 haben:
aij :=
1, wenn in der Grabstatte i der Gegenstand j gefunden wurde,
0, wenn in der Grabstatte i der Gegenstand j nicht gefunden wurde.
Informationen zu unserem Ausgangsproblem erhalten wir zunachst durch die Matrix G =
AAT . Es gilt namlich:
Das Element gij der Matrix G = AAT ist gleich der Anzahl der Gegenstande, die sowohl
in der Grabstatte i als auch in der Grabstatte j gefunden wurden.
Warum? Dazu sehen wir uns an, wie man gij berechnet:

gij = ~ai~aTj =
ai1 ai2 . . . aim

aj1


 aj2 
 ..  = ai1 aj1 + ai2 aj2 + . . . + aim ajn .
 . 
ajn
Da aij entweder 1 oder 0 ist, kann eine 1 in der Summe nur entstehen, wenn aik = ajk = 1 ist,
das bedeutet aber, dass in der i-te und in der j -te Grabstatte der k-te Gegenstand gefunden
wurde.
In analoger Weise gibt die Matrix P = AT A an, in wie vielen Grabstatten, sowohl der
Gegenstand i als auch der Gegenstand j gefunden wurde.
Die Matrix G hilft folglich dabei die zeitliche Abfolge der Grabstatten zu bestimmen, wogegen
die Matrix P hilft die Gegenstande zeitlich zu ordnen.
Es wird aus der Beschreibung der Matrizen G und P auch sofort klar, dass es sich um
symmetrische Matrizen handeln muss. Dies unterstreicht noch einmal die Kompatibilitat
des mathematischen Modells mit der archaologischen Anwendung. Wir wollen nun an einem
konkreten Beispiel einer Matrix A verfolgen welche Informationen man uber die zeitliche
Abfolge von Grabstatten gewinnen kann. Wir betrachten 3 Gegenstande und 4 Grabstatten.
Die Matrix A habe folgende Gestalt:



A=

1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0



,

5
d.h. der Gegenstand 1 wurde in den Grabstatten 1 und 2, aber nicht in den Grabstatten 3
und 4 gefunden, usw. usf. Wir berechnen die Matrix G :



G = AA = 

T
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0




 1 1 0 0




=
 0 0 1 1


1 0 1 0
2
1
1
0
1
1
0
0
1
0
2
1
0
0
1
1





Wie man leicht sieht ist die Matrix tatsachlich symmetrisch. Wir interessieren uns nur fur
die Elemente oberhalb der Hauptdiagonale:
g12 = 1 In den Grabstatten 1 und 2 wurde ein gleicher Gegenstand gefunden,
g13 = 1 In den Grabstatten 1 und 3 wurde ein gleicher Gegenstand gefunden,
g14 = 0 In den Grabstatten 1 und 4 wurden keine gleichen Gegenstande gefunden,
g23 = 0 In den Grabstatten 2 und 3 wurden keine gleichen Gegenstande gefunden,
g24 = 0 In den Grabstatten 2 und 4 wurden keine gleichen Gegenstande gefunden,
g34 = 1 In den Grabstatten 3 und 4 wurde ein gleicher Gegenstand gefunden.
Da in den Grabstatten 1 und 2 ein gleicher Gegenstand gefunden wurde, wird angenommen,
dass sie zu etwa der gleichen Zeit entstanden sind. Hieraus wollen wir ein Diagramm erstellen,
wir beginnen mit der zeitlichen Nahe von Grabstatte 1 und 2 :
1 − 2.
Wir wollen nun die Grabstatte 3 hinzufugen, es ist g13 = 1, aber g23 = 0, d.h. die Grabstatte
3 ist zeitlich nah zur Grabstatte 1 aber nicht zur Grabstatte 2 :
3 − 1 − 2.
Schlielich fugen wir noch die Grabstatte 4 an. Es ist g14 = 0, g24 = 0 aber g34 = 1 :
4 − 3 − 1 − 2.
Die Mathematik sagt uns aber nichts uber die zeitliche Abfolge, also ob
4→3→1→2
oder 4 ← 3 ← 1 ← 2
die richtige zeitliche Abfolge ist. Dies kann man aber aus einer Datierung der gefundenen
Gegenstande ableiten, also insbesondere, ob die Grabstatte 4 alter ist als die Grabstatte 2
oder umgekehrt.
6
Volkswirtschaftslehre, Ökonomie.
Leontief-Input-Output Modell (Leontief-Einsatz-Aussto-Modell). Dieses Modell von Leon
tief wird zur Analyse der inneren Abhangigkeiten von Okonomien
benutzt. Wassily Leontief
erhielt fur seine Arbeit auf diesem Gebiet 1973 den Nobel-Preis. Es gibt mittlerweile sehr
viele Anwendungen, die von der Analyse okonomischer Strukturen von Stadten und Betrieben bis zu volkswirtschaftlichen Analysen von Staaten und Landern.
Betrachten wir n voneinander abhangige Industriezweige. Die Erzeugnisse/Produkte jedes
einzelnen dieser Industriezweige wird von anderen Industriezweigen zur Erzeugung ihrer Produkte benotigt und ggf. auch vom selben Industriezweig. Der Einfachheit halber (leider, aber
wir bekommen auch keinen Nobel-Preis dafur) nehmen wir an, dass jeder Industriezweig nur
ein Produkt herstellt. Nun bezeichne aij die Menge des Produkts i um das Produkt j herzustellen. Als Maeinheit verwenden wir eine Geldeinheit, also z.B. Dollar, Euro, Pfund, Yen,
... Die Angabe a34 = 0, 45 bedeutet nun, dass die Menge des Produkts 3, die 0, 45 Dollar
oder Euro oder ... Wert ist, notwendig ist um eine Menge des Produkts 4 im Wert von einem
Dollar oder Euro oder ... zu erzeugen:
der Wert der Menge des Produkts i, die notwendig ist,
um eine Menge des Produkts j im Wert von einem Dollar (oder Euro oder ...) herzustellen.
aij =
Die daraus gebildete Matrix A = (aij ) ist die Input-Output-Matrix (Einsatz-Aussto-Matrix),
die die Abhangigkeiten der Industriezweige voneinander beschreibt.
Ein Teil der Produktion der Industriezweige geht nicht an andere Industriezweige, sondern
in die nichtproduzierenden Bereiche wie z.B. den privaten Verbrauch und den oentlichen
Dienst. Dann sei
der Bedarf des nichtproduzierenden Bereichs am Produkt des Industriezweigs i,
der notwendige Aussto des Produkts des Industriezweigs i, um den gesamten Bedarf
aller n Industriezweige und des nichtproduzierenden Bereichs zu erfullen.
di =
xi =
D.h. mit d.= der bzw. d.=des, Ind.=Industrie, B.=Bereichs gilt
xi
Aussto d. Ind. i
=
ai1 x1
+
Bedarf d. Ind. 1
ai2 x2
+ ... +
Bedarf d. Ind. 2
ain xn
Bedarf d. Ind . n
+
di
Bedarf d. nichtprod. B.
Schreibt man nun ~x = (xi ) und d~ = (di ) als Spaltenvektoren auf, so entsteht das folgende
inhomogene Gleichungssystem
~
~x = A~x + d~ ⇐⇒ (I − A)~x = d,
wobei I die Einheitsmatrix bezeichnet. Wir dieses Modell auf eine Volkswirtschaft angewandt,
so beschreibt ~x den Gesamtaussto eines jeden Industriezweigs der Volkswirtschaft, A~x beschreibt die Anteile der verschiedenen Industriezweige zur Erfullung der Anforderungen der
Bedurfnisse aller Industriezweige und d~ = ~x − A~x ist die Dierenz der Gesamtproduktion
und der weiterverarbeiteten Produkte A~x, also ist d~ das Bruttosozialprodukt. Es gibt verschiedene Fragestellungen, die mit diesem Modell untersucht werden konnen:
Z.B. konnte man den Einuss des nichtproduzierenden Bereichs untersuchen, in diesem Fall
wurde man verschiedene Werte fur d~ wahlen und die Losung ~x des Systems suchen. Ebenso kann man die Gleichung auch benutzen, um zu ermitteln welcher Produktionsaussto ~x
7
benotigt wird um ein vorgegebenes Bruttosozialprodukt d~ zu erreichen.
Andererseits kann man im Wissen um die Beschranktheit der Produktionskapazitaten, den
Vektor ~x als bekannt voraussetzen und nun das Gleichungssystem fur d~ losen, um zu bestimmen welches maximale Bruttosozialprodukt uberhaupt erreicht werden kann.
Ein Mini-Beispiel dazu. Wir betrachten eine Volkswirtschaft, die 3 Industriezweige hat und
deren Input-Output-Matrix wie folgt lautet:

A=
1
5
1
2
1
5
1
2
3
10
0
0

0 .
1
5
Man bestimme die Ausstoniveaus (output), die fur die Erreichung der folgenden vorgegebenen Bruttosozialprodukte


9
d~1 =  12  ,
16


6
d~2 =  9  ,
8


12
d~1 =  18 
32
erforderlich sind. Alle Angaben seien in Millionen Dollar.
Losung: Wir mussen die die Produktionsraten ~x, die zum Bruttosozialprodukt d~ gehoren aus
der Gleichung
~x − A~x = d~ ⇐⇒ (I − A)~x = d~
bestimmen. Wir losen die Gleichung nach ~x auf und erhalten
~
~x = (I − A)−1 d.
Interpretation der Losung:
a) es gibt keine Losung, dann kann die Volkswirtschaft das vorgegebene Bruttosozialprodukt
nicht erwirtschaften,
b) die Losung ist nicht eindeutig, dann gibt es verschiedene Moglichkeiten wie das vorgegebene Bruttosozialprodukt erwirtschaftet werden kann.
In unserem Fall ist (I − A) invertierbar und es gilt

(I − A)−1 = 
5
3
5
3
2
3
8
3
0
0
5
8
5
8
5
4

.
Eine elegante Variante fur alle\ d~ die dazugehorigen ~x auszurechnen ist, d~1 , d~2 , d~3 als Spal"
tenvektoren einer Matrix D zusammenzufassen und das Matrizenprodukt X = (I − A)−1 D
auszurechnen, dessen Spalten gerade die zugehorigen ~x1 , ~x2 , ~x3 sind:
5 
9
8
5 

12
8
0 0 54
16
(I − A)−1
d~1

5
3
5
3
2
3
8
3
 

6 12
33 21 52
9 18  =  57 39 88 
8 32
20 10 40
d~2
d~3
~x1
~x2
~x3
8


33
Es ist also eine Ausstoniveau (output level) von  57  erforderlich um das Bruttosozial20




9
21
produkt  12  zu erreichen, es ist ein Ausstoniveau (output level) von  39  erforder16
10
 
6

lich um das Bruttosozialprodukt 9  zu erreichen und es ist ein Ausstoniveau (output
8




52
12
level) von  88  erforderlich um das Bruttosozialprodukt  18  zu erreichen,
40
32
9
Gruppenbeziehungen in der Soziologie, Kriminologie, ....
Wir wollen die Vorgehensweise an einem kleinen Beispiel erlautern. Es sei eine Gruppe von
5 Personen gegeben. Ein Soziologe/Therapeut, ... ist nun daran interessiert herauszunden,
welche der 5 Personen den groten Einuss auf die Gruppe hat. Dazu gibt er an jedes Gruppenmitglied den folgenden Fragebogen aus:
Ihr Name
Name der Person, deren Meinung Ihnen am wichtigsten ist:
,
.
Die Bogen werden eingesammelt und die Ergebnisse tabelliert. Die Personen seien mit M1 , M2 ,
. . . , M5 bezeichnet bzw. anonymisiert.
Gruppenmitglied Meinung am wichtigsten von
M1
M2
M3
M4
M5
M4
M1
M2
M2
M4
Der Soziologe geht also davon aus, dass die Person deren Meinung fur ein Gruppenmitglied
am wichtigsten ist, dieses Gruppenmitglied am meisten beeinusst. Dieser Einuss ist im
folgenden Diagramm (Graphen) dargestellt:
M2
M1
M5
M3
M4
Die Gruppenmitglieder sind die Knoten des Graphen, der direkte Einuss wird als Kante
dargestellt, wobei die Richtung des Einuss die Richtung der Kante ist.
Dann berechnet man die Abstandsmatrix (Distanzmatrix) D = (di j) wie folgt:

urzesten Wegs vom Knoten Mi zum Knoten Mj ,
 Anzahl der Bogen des k
dij =
0 f
ur i = j,

∞ falls es keinen Weg von Mi nach Mj gibt.
Man beachte, dass es sich um einen sogenannten gerichteten Graphen (die Verbindung ist
gerichtet, M2 ist mit M3 verbunden, aber M3 ist nicht mit M2 verbunden) handelt und
deshalb der Abstand von Mi zu Mj nicht gleich dem Abstand von Mj zu Mi sein muss! Die
10
Abstands- bzw. Distanzmatrix in unserem Beispiel lautet:
Zeilensumme




D=



0 1 2 2 3
2 0 1 1 2 


∞ ∞ 0 ∞ ∞ 

1 2 3 0 1 
∞ ∞ ∞ ∞ 0
8
6
4∞
7
4∞
In dem angegebenen Graphen entsprechen Kanten dem direkten Einuss, Wege, die aus 2
Kanten oder 3 Kanten bestehen entsprechen einem indirekten Einuss. Das bedeutet, umso
kleiner der Abstand von Mi zu Mj ist, umso groer ist der Einuss von Mi auf Mj . Die
Zeilensumme gibt den Gesamtabstand von Mi zu allen anderen Knoten an. Das heit:
Umso kleiner die Zeilensumme der Zeile i ist, umso groer ist der Einuss der Person
Mi auf die Gruppe.
Die kleinste Zeilensumme ist 6 fur die 2. Zeile, also hat M2 den groten Einuss auf die
Gruppe, gefolgt von M4 und dann von M1 .