Kapitel 3. Folgen

Kapitel 3. Folgen
3.1. Körper der reellen Zahlen
Wir kennen schon den Körper Q der rationalen Zahlen:
a
Q = { : a, b ∈ Z,
b
b 6= 0}.
Die natürliche Ordnung ≤ auf Q ist eine totale Ordnung.
Überdies gilt folgendes für alle x, y, z ∈ Q:
x≤y
x ≤ y, 0 ≤ z
⇒x+z ≤y+z
⇒ xz ≤ yz
Man sagt, dass (Q, ≤) ein geordneter Körper ist.
1
Für die Zwecke der Analysis ist Q nicht geeignet.
Bekanntlich bezeichnet x =
√
2 eine positive Zahl mit x2 = 2.
Allerdings kann x nicht rational sein!
Satz. (ca. 500 v. Chr., Hippasus von Metapontum, Schüler von Pythagoras)
Es gibt keine rationale Zahl x mit x2 = 2.
Es scheint, dass Q “lückenhaft” ist.
Durch Übergang von Q nach R kann dieser Mangel behoben werden.
2
Wir charakterisieren den Körper R axiomatisch.
(I) Angeordneter Körper:
(R, ≤) ist ein angeordneter Körper, der
(Q, ≤) als Teilkörper enthält.
Dies bedeutet:
• Q⊆R
• Die arithmetischen Operationen +, −, ·, / von R, eingeschränkt auf Q, ergeben
die arithmetischen Operationen von Q.
• Die Ordnung von R, eingeschränkt auf Q, ergibt die Ordnung von Q.
3
(II) Archimedisches Axiom:
Für alle x ∈ R existiert n ∈ N mit x ≤ n.
Um das entscheidende “Vollständigkeitsaxiom” zu formulieren, benötigen wir einige
Begriffe.
Seien a, b ∈ R mit a ≤ b.
Das abgeschlossene Intervall [a, b] ist definiert durch
[a, b] := {x ∈ R : a ≤ x, x ≤ b}.
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Eine Intervallschachtelung ist eine unendliche Folge von nichtleeren
abgeschlossenen Intervallen In = [an , bn ] mit
I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ . . .
sodass die “Länge von In gegen Null konvergiert”.
Das bedeutet an , bn ∈ R mit
an ≤ bn , an ≤ an+1 , bn+1 ≤ bn
und für jedes r ∈ N existiert ein n ∈ N mit
bn − an ≤
5
1
.
r
für alle n ∈ N
(III) Axiom von Cantor und Dedekind (19. Jh.):
Zu jeder Intervallschachtelung (In ) gibt es genau eine reelle Zahl
x ∈ R, die in allen Intervallen In liegt.
Mit Hilfe dieses Axioms kann man z.B. zeigen, dass es für alle a ∈ R, a ≥ 0 ein
√
2
eindeutiges x ∈ R mit x = a gibt. Schreibweise x = a.
Man kann damit auch zeigen, dass jede reelle Zahl “beliebig gut” durch rationale
Zahlen approximiert werden kann. Später mehr dazu.
Man kann zeigen, dass (R, ≤) durch die Axiome (I), (II), (III) im wesentlichen
eindeutig charakterisiert ist.
Man kann (R, ≤) auch explizit konstruieren und damit seine Existenz beweisen. Wir
wollen das hier allerdings unterlassen.
Man veranschaulicht R durch die “reelle Zahlengerade”.
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Definition. Der Absolutbetrag von x ∈ R ist definiert als

 x
falls x ≥ 0
|x| :=
 −x sonst.
Lemma. Für x, y ∈ R gilt
(1) |x| ≥ 0. Es gilt |x| = 0 ⇔ x = 0.
(2) |xy| = |x| · |y|, | xy | =
|x|
|y|
falls y 6= 0
(3) (Dreiecksungleichung) |x + y| ≤ |x| + |y|
(4) | |x| − |y| | ≤ |x − y|
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3.2. Körper der komplexen Zahlen
Der Körper R hat noch einen Mangel.
Nicht jede Polynomgleichung hat eine Lösung in R, z.B.
x2 = −1
6 ∃x ∈ R
Grund: ∀x ∈ R
x2 ≥ 0
(gilt in jedem geordneten Körper)
Wir erweitern deshalb R zu einem Körper C, der diesen Mangel nicht mehr hat.
Allerdings müssen wir dabei auf eine Anordnung verzichten.
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Axiomatische Charakterisierung
• C ist ein Körper, der R als Teilkörper enthält
• C enthält eine “imaginäre Einheit” i ∈ C mit der Eigenschaft i2 = −1
• Jedes Element z ∈ C läßt sich schreiben als
z =x+i·y
mit eindeutig bestimmten x, y ∈ R.
x = Re(z) heißt Realteil von z,
y = Im(z) heißt Imaginärteil von z.
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Aus den Axiomen folgen die Rechenregeln:
(x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
(x1 + iy1 ) · (x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
für x1 , x2 , y1 , y2 ∈ R.
”Gausssche Zahlenebene”: Veranschaulichung der komplexen Zahl z = x + iy als
Punkt der Ebene mit den kartesischen Koordinaten (x, y).
Die Addition komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition.
Geometrische Interpretation der Multiplikation später.
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Definition. Sei z = x + iy ∈ C, x, y ∈ R.
Der (Absolut)betrag von z ist definiert als
p
|z| := x2 + y 2
Die zu z konjugiert komplexe Zahl ist definiert als
z := x − iy.
Proposition. Die komplexe Konjugation C → C, z 7→ z hat folgende Eigenschaften:
(1) |z| = |z|.
(2) z1 + z2 = z1 + z2 , z1 · z2 = z1 · z2
für z1 , z2 ∈ C.
(3) Es gilt z = z für z ∈ R.
(4) |z|2 = z · z.
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Formel für Inverse
Sei z ∈ C \ {0}. Dann |z|2 = z · z, also
z·
Also z −1 =
z
= 1.
2
|z|
z
|z|2 .
Ausführlich:
(x + iy)−1 =
Beispiel. |1 + i| =
√
2,
(1 + i)−1 =
x
y
−
i
.
2
2
2
2
x +y
x +y
1
2
− i 12 =
12
1−i
2 .
Lemma. Seien z, z1 , z2 ∈ C. Dann gilt:
(1) |z| ≥ 0.
(2) |z| = 0 ⇔ z = 0.
(3) |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |,
| zz12 | =
|z1 |
|z2 |
falls z2 6= 0
(4) (Dreiecksungleichung) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
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Bemerkung. Man kann C aus R konstruieren, indem man setzt C := R2 und die
Ringoperationen so definiert
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) :=(x1 + x2 , y1 + y2 )
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) :=(x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )
Man kann dann nachrechnen, dass so tatsächlich ein Körper definiert wird.
Satz. (Existenz der Quadratwurzel) Für alle z ∈ C existiert w ∈ C mit w2 = z
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3.3. Begriff des Grenzwerts
Definition. Unter einer Folge komplexer Zahlen versteht man eine Abbildung
N0 → C, n 7→ an von der Menge der natürlichen Zahlen N0 in die Menge der
komplexen Zahlen C.
Verschiedene Schreibweisen sind in Gebrauch:
(an )n∈N0 ,
(an ),
oder a0 , a1 , a2 , . . .
Man nennt an das Folgenglied zum Index n oder ntes Folgenglied.
Manchmal beginnt die Folge mit dem Index 1 statt 0.
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Betrachte die Zahlenfolge
a1 = 1,
a2 =
1
,
2
a3 =
1
1
, . . . , an = , . . . .
3
n
Keines der Folgenglieder an ist Null, aber mit wachsendem Index n kommen die
Folgenglieder an immer näher an die Null heran.
Man sagt: die Zahlen an konvergieren (oder streben) mit wachsendem n gegen 0 und
schreibt
lim an = 0
n→∞
an → 0
oder
Wir müssen diesem einen präzisen Sinn geben!
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(n → ∞).
Folgendes stellen wir fest:
In jedes noch so kleine Intervall um 0 fallen alle Folgenglieder an mit Ausnahme
endlich vieler hinein.
Tatsächlich gilt für jede Toleranz > 0, dass
|an | < ,
sobald n > 1 .
Somit existiert für jede Toleranz > 0 eine Schwelle n (nämlich n = d1/e), so
dass für jeden Index n ≥ n gilt, dass |an | < .
Dieser Sachverhalt lässt sich mittels Quantoren folgendermassen knapp
aufschreiben:
∀ > 0 ∃n ∀n ≥ n |an | < .
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Definition. Eine Folge reeller (oder komplexer) Zahlen an konvergiert gegen die
Zahl a, falls
∀ > 0 ∃n
∀n ≥ n
|an − a| < .
Die Zahl a heisst Grenzwert der Folge, und man schreibt
a = lim an .
n→∞
Folgen, die einen Grenzwert haben, heissen konvergent, andernfalls divergent.
Bemerkung. Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt, falls er existiert.
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Beispiel.
1. an = (−1)n ist divergent.
2. limn→∞ (−1)n /n = 0
(Oszillation)
3. Konstante Folgen sind konvergent.
Beispiel. (Geometrische Folge)
Sei q ∈ C, |q| < 1. Dann gilt
lim q n = 0.
n→∞
Der Beweis beruht auf der sogenannten
Bernoullischen Ungleichung. Für h ∈ R, h > −1 und n ∈ N gilt:
(1 + h)n ≥ 1 + nh.
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Eine gegen Null konvergente Folge nennt man auch eine Nullfolge.
Definition. Eine Folge (an ) heißt beschränkt, falls es eine Schranke M gibt, so dass
|an | ≤ M für alle n gilt. Andernfalls heißt die Folge unbeschränkt.
Bemerkung. Konvergente Folgen sind beschränkt.
Analog wie oben zeigt man, dass die geometrische Folge (q n ) für |q| > 1
unbeschränkt ist.
Insbesondere ist die geometrische Folge dann nicht konvergent.
Beispiel. Es gilt
lim
n→∞
√
n
n = 1.
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3.4. Rechenregeln für Grenzwerte
Der folgende Satz besagt, dass man den Prozess der Grenzwertbildung mit den
arithmetischen Grundoperationen vertauschen darf.
Satz. Seien (an ) und (bn ) konvergente Folgen mit den Grenzwerten a bzw. b. Dann
gilt:
1. (an + bn ) ist konvergent mit Grenzwert a + b.
2. (an · bn ) ist konvergent mit Grenzwert a · b.
3. (an /bn ) ist konvergent mit Grenzwert a/b, falls b 6= 0.
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Grenzwerte sind kompatibel mit der Ordnung der reellen Zahlen, wie der folgende
Satz zeigt.
Satz. Seien (an ) und (bn ) konvergente, reelle Zahlenfolgen mit den Grenzwerten a
bzw. b.
Gilt an ≤ bn für alle bis auf endlich viele n, dann folgt a ≤ b.
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Nützlich sind ferner folgende, leicht zu beweisende Aussagen.
Satz.
1. Gilt limn→∞ an = a, so folgt
lim |an | = |a|,
n→∞
lim an = a
n→∞
2. Gilt limn→∞ an = 0 und ist (bn ) beschränkt, so folgt limn→∞ an bn = 0.
3. (Eingabelung) Gilt an ≤ xn ≤ bn für alle hinreichend großen n und
lim an = lim bn = x,
n→∞
n→∞
so folgt
lim xn = x.
n→∞
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Definition. Eine Folge reeller Zahlen an heisst uneigentlich konvergent gegen ∞,
wenn
∀M
∃nM
∀n ≥ nM
an > M.
In Worten:
Für jede Schranke M gibt es eine Schwelle nM , so dass an > M für alle Indizes
n ≥ nM gilt.
Man schreibt dann limn→∞ an = ∞.
24
Beispiel.
1. limn→∞ n = ∞.
2. Die Folge ((−1)n n) ist nicht uneigentlich konvergent.
Die Rechenregeln von vorher lassen sich bei geeigneter Festlegung des Rechnens
mit dem Symbol ∞ auf uneigentlich konvergente Folgen erweitern. Wir gehen
darauf nicht im Detail ein.
Beispiel. Ist limn→∞ an = ∞ und (bn ) eine beschränkte Folge, so gilt
limn→∞ (an + bn ) = ∞.
Wenn nicht ausdrücklich darauf hingewiesen wird, verstehen wir unter Konvergenz
immer eigentliche Konvergenz.
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3.5. Existenzsätze
Bei den bisher behandelten Beispielen war der Grenzwert eine uns bereits bekannte
Zahl. Die Fruchtbarkeit des Grenzwertbegriffes der Analysis beruht aber wesentlich
darauf, dass wir durch Grenzwerte bekannter Größen neue Größen erfassen können.
Dazu benötigen wir die einige fundamentale Existenzsätze.
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Beispiel. Die Folge an = (−1)n +
1
n
ist divergent.
Die Folgenglieder an “häufen” sich aber in der Nähe von −1 und 1.
Definition. Eine Zahl a heisst Häufungspunkt einer Folge (an ), wenn jede noch so
kleine Umgebung von a unendlich viele Folgenglieder an enthält.
Dabei sagen wir, dass “unendlich viele Glieder einer Folge (an ) eine Eigenschaft E
besitzen”, wenn es zu jedem N ein n > N gibt, so dass an die Eigenschaft E hat.
Beispiel. −1 und 1 sind die einzigen Häufungspunkte der Folge an = (−1)n + 1/n.
Satz. Gilt limn→∞ = a, so ist a der einzige Häufungspunkt der Folge (an ).
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Zurück zum Axiom für die “Vollständigkeit” der reellen Zahlen.
Eine Intervallschachtelung ist eine Folge nichtleerer, abgeschlossener Intervalle
In = [an , bn ] mit
I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ . . . ,
so dass limn→∞ (bn − an ) = 0.
Wir postulieren das folgende Axiom von Cantor und Dedekind, welches anschaulich
gesprochen ausdrückt, dass die reelle Zahlengerade keine “Löcher” hat.
Axiom von Cantor und Dedekind. Zu jeder Intervallschachtelung (In ) gibt es
genau eine reelle Zahl a, die in allen Intervallen In liegt.
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Aus dem Axiom von Cantor und Dedekind folgern wir ein fundamentales Prinzip.
Häufungsstellenprinzip von Bolzano und Weierstrass Jede beschränkte Folge
reeller Zahlen besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
Definition. Eine Folge reeller Zahlen an heisst monoton wachsend falls an ≤ an+1
für alle n gilt.
Satz. Jede monoton wachsende und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert.
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Die Eulersche Zahl
Als Anwendung für die Erzeugung einer nicht vornherein charakterisierbaren Zahl
betrachten wir die Summe
1
1
1
Sn = 1 + + + . . . + .
1! 2!
n!
Die Folge (Sn ) ist offensichtlich monoton wachsend.
Ausserdem ist sie beschränkt, denn
1
1
1
1
Sn ≤ 1 + 1 + + 2 + . . . + n−1 = 1 + 2 − n−1 < 3.
2 2
2
2
Gemäss dem vorigen Satz existiert der Grenzwert
e := lim Sn .
n→∞
30
Diese Zahl
e := lim
n→∞
1+
1
1
1
+ + ... +
1! 2!
n!
≈ 2.71828 . . .
heisst Eulersche Zahl und ist neben π die wichtigste Zahl in der Mathematik.
Wir geben eine andere Charakterisierung der Eulerschen Zahl.
Satz. Es gilt
1 n
e = lim (1 + ) .
n→∞
n
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Konvergenzkriterium von Cauchy
Das folgende Cauchy-Kriterium garantiert die Konvergenz einer Folge unter
Bedingungen, die sich überprüfen lassen, ohne dass man den Grenzwert kennt.
Dieses Kriterium ist ein grundlegendes Werkzeug der Analysis.
Definition. Eine Folge (an ) heisst Cauchyfolge, wenn
∀ > 0 ∃n
∀m, n ≥ n
|am − an | < .
Anschaulich besagt dies, dass sich die Werte der Zahlenfolge nur noch in einem
kleinen Spielraum bewegen können, der beliebig klein wird, wenn der Index
genügend gross gewählt ist.
Satz. (Cauchy-Kriterium) Eine Folge (an ) ist genau dann konvergent, wenn sie eine
Cauchyfolge ist.
32
3.6. Landausche Symbole
Zum Vergleich der Grössenordnung des Wachstums von Folgen verwendet man die
folgende Notation.
Definition. (Gross Oh) Seien f, g : N → C. Man schreibt
f (n) = O(g(n))
(n → ∞)
falls N ∈ N und C ∈ R>0 existieren, so dass
∀n ≥ N
|f (n)| ≤ C |g(n)|.
Bedeutung. f (n) wächst höchstens so schnell wie g(n).
Diese nützliche Schreibweise wird in der theoretischen Informatik häufig verwendet
(asymptotischer Vergleich von Rechenzeit, Speicherplatz etc. in Abhängigkeit der
Eingabegrösse n). Indem man den Wert der Konstanten C ignoriert, vereinfachen
sich Rechnungen oft erheblich.
33
Beispiel. 12 n(n + 1) = O(n2 ) “höchstens quadratisches Wachstum”
Beispiel. Sei f (n) = 3n3 − 2n + 7. Es gilt
f (n) = O(n4 )
f (n) = O(n3 )
aber nicht f (n) = O(n2 )
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Häufig verwendet man auch folgende Schreibweise
f (n) = g(n) + O(h(n))
(n → ∞)
Dies drückt folgendes aus: es gibt eine Funktion k : N → C mit
f (n) = g(n) + k(n) für n ∈ N
und
k(n) = O(h(n))
Beispiel. 12 n(n + 1) = 12 n2 + O(n)
35
(n → ∞)
Definition. (klein Oh) Seien f, g : N → C. Man schreibt
f (n) = o(g(n))
falls limn→∞
f (n)
g(n)
(n → ∞)
= 0.
Bedeutung. f (n) wächst langsamer als g(n).
Beispiel.
• n = o(n2 )
•
1
2 n(n
+ 1) = 12 n2 + 12 n = 12 n2 + o(n2 ) mit einer ähnlichen Interpretation wie
oben
√
• n + 3 n = n + o(n)
• n log n = o(n2 )
(vgl. später)
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Die Schreibweise f (n) = O(g(n)) ist eine obere Abschätzung des Wachstums
von f . Eine untere Abschätzung wird wie folgt geschrieben.
Definition. (Gross Omega) Seien f, g : N → C. Man schreibt
f (n) = Ω(g(n))
(n → ∞)
falls N ∈ N und c ∈ R>0 existieren, so dass
∀n ≥ N
|f (n)| ≥ c |g(n)|.
Bedeutung. f (n) wächst mindestens so schnell wie g(n).
Bemerkung. f (n) = Ω(g(n)) ist äquivalent zu g(n) = O(f (n))
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Definition. (Theta) Seien f, g : N → C. Man schreibt
f (n) = Θ(g(n))
falls f (n) = O(g(n)) und g(n) = O(f (n))
(n → ∞)
(n → ∞)
Bedeutung. f (n) wächst genau so schnell wie g(n).
Beispiel. 12 n4 − 3n3 + 5n2 − 7n − 1 = Θ(n4 )
Es werden später mehr Beispiele folgen (mit Logarithmusfunktion etc.)
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