Einführungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen - RoRo

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Von Test zu Test
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Arbeitsblatt
1. Ein FDP-Kandidat behauptet, dass 10% oder mehr Wahlberechtigten seines Stimmkreises
FDP wählen würden. Zur Überprüfung befragt die Partei 200 Wahlberechtigte
des Stimmkreises. Wenn mehr als 14 der Befragten FDP wählen würden, dann
wird dem Kandidaten respektvoll zugestimmt. Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit dafür, dass die Aussage des Kandidaten irrtümlich abgelehnt wird.
2. Ein Knallkörperproduzent garantiert 98% Funktionstüchtigkeit seiner Produkte.
Der Käufer untersucht 20 Knallkörper. Wenn 19 oder mehr in Ordnung sind,
dann wird die Lieferung akzeptiert. Berechnen Sie die die Fehlerwahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung der Knallkörper bei diesem Test.
3. Ein Hersteller behauptet, dass höchstens 2% seiner gelieferten Bauteile defekt
sind. Dafür wird ein Stichprobe mit 100 Bauteilen durchgeführt. Wenn 4 Bauteile
oder weniger defekt sind, dann wird dem Hersteller geglaubt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass tatsächlich 10% der Bauteile defekt sind
und die Lieferung trotzdem akzeptiert wird?
4. (Abitur 2006)
Das Kopiergerät wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftragte Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 4 % beträgt. Um diese
Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5 % (Fehler 1. Art
α ≤ 5%) zu testen, werden 200 Kopien angefertigt. Ermitteln Sie die zugehörige
Entscheidungsregel.
5. (Abitur 2007)
Die Vorsitzende des Fördervereins möchte der Schule einen neuen Schulgarten
aus den Mitteln des Vereins finanzieren. Sie geht dabei von einer Zustimmungsquote
von 60 % unter den Schülern aus. Der Kassenwart spricht sich gegen die Finanzierung aus, da er mit einer Zustimmungsquote von höchstens 40 % rechnet.
Er schlägt eine Befragung von 50 zufällig ausgewählten Schülern vor. Seine Behauptung soll mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich verworfen werden.
Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel mit einem möglichst großen
Ablehnungsbereich. Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit für den
Fehler 2. Art unter der Annahme, dass die Vorsitzende mit ihrer Behauptung
bezüglich der Zustimmungsquote Recht hat.
6. (Abitur 1998)
Die Kaufhausleitung will die verlängerten Öffnungszeiten nur beibehalten, wenn
diese von wenigstens 40 % der Kunden gewünscht werden. Dazu werden 200
zufällig ausgewählte Kunden befragt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, irrtümlich
von den verlängerten Öffnungszeiten abzugehen, soll höchstens 5 % betragen.
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a) Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
b) Wie groß ist bei der Entscheidungsregel aus Teilaufgabe a die Wahrscheinlichkeit dafür, die verlängerten Öffnungszeiten beizubehalten, obwohl diese
nur von 30 % der Kunden gewünscht werden?
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Aufgaben mit Lösungen
1. Ein FDP-Kandidat behauptet, dass 10% oder mehr Wahlberechtigten seines Stimmkreises
FDP wählen würden. Zur Überprüfung befragt die Partei 200 Wahlberechtigte
des Stimmkreises. Wenn mehr als 14 der Befragten FDP wählen würden, dann
wird dem Kandidaten respektvoll zugestimmt. Berechnen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit dafür, dass die Aussage des Kandidaten irrtümlich abgelehnt wird.
Lösung
Nullhypothese: Ho : p0 ≥ 0, 1 (Aussage über die Gesamtheit)
Stichprobe: n = 200;
A = {15, ..., 200}(Annahmebereich) ;
Ā = {0..14} (Ablehnungsbereich)
Fehler:
Voraussetung
Ho gilt
p = 0, 1
Stichprobe
SP X
SP
Fehler
kein
200
1. Art: α = P0,1
(X ≤ 14)
Ho gilt nicht
p =?
SP X
SP
2. Art: β = P?200 (X > 14)
kein
Fehlerwahrscheinlichkeit:
200
α = P0,1
(X ≤ 14) ≈ 0, 0929
2. Ein Knallkörperproduzent garantiert 98% Funktionstüchtigkeit seiner Produkte.
Der Käufer untersucht 20 Knallkörper. Wenn 19 oder mehr in Ordnung sind,
dann wird die Lieferung akzeptiert. Berechnen Sie die die Fehlerwahrscheinlichkeit für die irrtümliche Ablehnung der Knallkörper bei diesem Test.
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Lösung
Nullhypothese: Ho : p0 ≥ 0, 98 (Aussage über die Gesamtheit)
Stichprobe: n = 20;
A = {19, 20}(Annahmebereich) ;
Ā = {0..18} (Ablehnungsbereich)
Fehler:
Voraussetung
Ho gilt
p = 0, 98
Stichprobe
SP X
SP
Fehler
kein
20
1. Art: α = P0,98
(X ≤ 18)
Ho gilt nicht
p =?
SP X
SP
2. Art: β = P?20 (X > 18)
kein
Fehlerwahrscheinlichkeit:
20
α = P0,98
(X ≤ 18) ≈ 0, 0599
3. Ein Hersteller behauptet, dass höchstens 2% seiner gelieferten Bauteile defekt
sind. Dafür wird ein Stichprobe mit 100 Bauteilen durchgeführt. Wenn 4 Bauteile
oder weniger defekt sind, dann wird dem Hersteller geglaubt. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit für den Fall, dass tatsächlich 10% der Bauteile defekt sind
und die Lieferung trotzdem akzeptiert wird?
Lösung
Nullhypothese: Ho : p0 ≤ 0, 02 (Aussage über die Gesamtheit)
Stichprobe: n = 100;
A = {0..4}(Annahmebereich) ;
Ā = {5..100} (Ablehnungsbereich)
Fehler:
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Voraussetung
Ho gilt
p = 0, 02
Stichprobe
SP X
SP
Fehler
kein
100
1. Art: α = P0,02
(X > 4)
Ho gilt nicht
p = 0, 1
SP X
SP
100
2. Art: β = P0,1
(X ≤ 4)
kein
Fehlerwahrscheinlichkeit:
100
β = P0,1
(X ≤ 4) ≈ 0, 02371
4. (Abitur 2006)
Das Kopiergerät wurde repariert. Die mit der Reparatur beauftragte Firma behauptet, dass die Ausschussquote jetzt nur noch höchstens 4 % beträgt. Um diese
Behauptung (Nullhypothese) auf dem Signifikanzniveau von 5 % (Fehler 1. Art
α ≤ 5%) zu testen, werden 200 Kopien angefertigt. Ermitteln Sie die zugehörige
Entscheidungsregel.
Lösung
Ho : p ≤ 0, 04;
A = {0..k};
Ā = {k + 1, ..200} (Entscheidungsregel)
Voraussetung
Ho X
p = 0, 04
Stichprobe
SP X
SP
Fehler
kein
200
(X > k) < 0, 05
1. Art: α = P0,04
Ho
p =?
SP X
SP
2. Art: β =?
kein
200
P0,04
(X > k) < 0, 05
200
(X ≤ k) < 0, 05
1 − P0,04
200
P0,04
(X ≤ k) > 0, 95 im Tafelwerk nachschauen
k = 13 ⇒ A = {0..13};
Ā = {14..200}
Nochmal zur Bestimmung der Entscheidungsregel:
200
P0,04
(X ≤ 12) ≈ 0, 9401 < 0, 95;
200
P0,04
(X ≤ 13) ≈ 0, 9688 > 0, 95X
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5. (Abitur 2007)
Die Vorsitzende des Fördervereins möchte der Schule einen neuen Schulgarten
aus den Mitteln des Vereins finanzieren. Sie geht dabei von einer Zustimmungsquote
von 60 % unter den Schülern aus. Der Kassenwart spricht sich gegen die Finanzierung aus, da er mit einer Zustimmungsquote von höchstens 40 % rechnet.
Er schlägt eine Befragung von 50 zufällig ausgewählten Schülern vor. Seine Behauptung soll mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich verworfen werden.
Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel mit einem möglichst großen
Ablehnungsbereich. Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit für den
Fehler 2. Art unter der Annahme, dass die Vorsitzende mit ihrer Behauptung
bezüglich der Zustimmungsquote Recht hat.
Lösung
Ho : p ≤ 0, 4;
A = {0..k};
Ā = {k + 1..50}
Voraussetung
Ho X
p = 0, 4
Stichprobe
SP X
SP
Fehler
kein
50
1. Art: α = P0,4
(X > k) < 0, 05
Ho
p =?
SP X
SP
2. Art: β =?
kein
50
P0,4
(X > k) < 0, 05
50
(X ≤ k) < 0, 05
1 − P0,4
50
P0,4
(X ≤ k) > 0, 95
50
P0,4
(X ≤ 26) > 0, 95
k = 26 ⇒ A = {0..26};
Ā = {27..50}
Fehler 2. Art bei Alternativwahrscheinlichkeit 60%:
50
P0,6
(X ≤ 26) ≈ 0, 1562 = 15, 6%
6. (Abitur 1998)
Die Kaufhausleitung will die verlängerten Öffnungszeiten nur beibehalten, wenn
diese von wenigstens 40 % der Kunden gewünscht werden. Dazu werden 200
zufällig ausgewählte Kunden befragt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, irrtümlich
von den verlängerten Öffnungszeiten abzugehen, soll höchstens 5 % betragen.
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a) Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
b) Wie groß ist bei der Entscheidungsregel aus Teilaufgabe a die Wahrscheinlichkeit dafür, die verlängerten Öffnungszeiten beizubehalten, obwohl diese
nur von 30 % der Kunden gewünscht werden?
Lösung
a) Ermitteln Sie die zugehörige Entscheidungsregel
Ho : p ≥ 0, 4;
Ā = {0..k};
A = {k + 1..200}
Voraussetung
Ho X
p = 0, 4
Stichprobe
SP X
SP
Fehler
kein
200
1. Art: α = P0,4
(X ≤ k) < 0, 05
Ho
p =?
SP X
SP
2. Art: β =?
kein
200
P0,4
(X ≤ k) < 0, 05
200
(X ≤ 68) = 0, 0475.
⇒ k = 68, denn P0,4
⇒
Ā = {0..68};
A = {69..200}
b) Fehler 2. Art mit Alternativwahrscheinlichkeit 0,3
Voraussetung
Ho gilt
p = 0, 4
Stichprobe
SP X
SP
Fehler
kein
200
1. Art: α = P0,4
(X ≤ 68)
Ho gilt nicht
p = 0, 3
SP X
SP
200
2. Art: β = P0,3
(X > 68)
kein
200
200
P0,3
(X > 68) = 1 − P0,3
(X ≤ 68) = 1 − 0, 9040 ≈ 0, 096
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4.1
Abituraufgaben mit Lösungen
Probeabitur 2014
Laut Statistik liegt der Anteil der Raucherinnen unter den 40 bis 44-jährigen Frauen
bei 30%. Ein Skeptiker nimmt an, dass der Anteil unter den 40 bis 44-jährigen Frauen
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größer als 30% ist. Er testet die Nullhypothese Ho : p ≤ 0, 3; dabei gibt p die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass eine 40 bis 44-jäjrige Frau raucht. Im Rahmen des Tests stellt er
jeder der zehn ausgewählten Frauen die Frage R̈auchen Sie?ünd erhält dabei folgende
Antworten: Ja - Nein - Ja - Nein - Ja - Ja - Nein - Nein - Nein - Ja. Untersuchen Sie, ob
das Ergebnis der Befragung die Annahme des Skeptikerst auf einem Signifikanzniveau
von 5% stützt.
Lösung
Nullhypothese: H0 : p ≤ 0, 3
Signifikanzniveau: α ≤ 0, 05
Annahmebereich (von Ho ): A = {0..k}; Ā = {k + 1..10}
10
Fehler α: Ho wird irrtümlich verworfen. P0,3
(X > k)
10
Ansatz: P0,3
(X > k) ≤ 0, 05
10
1 − P0,3
(X ≤ k) ≤ 0, 05
10
P0,3
(X ≤ k) ≥ 0, 95 ⇒ k = 5
Jetzt können Annahme- und Ablehnungsbereich angegeben werden:
A = {0..5}; Ā = {6..10}
Da es bei der Befragung 5 Ja gegeben hat, würde die Nullhypothese angenommen.
Damit würde die Behauptung des Skeptikers nicht gestützt werden.
4.2
Abitur 1985, leicht abgewandelt
Bei einem Volksfest behauptet der Festwirt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen schlecht
eingeschenkten Masskrug zu bekommen höchstens 10% beträgt. Die Behörde will kontrollieren, ob sich der Wirt an diese Aussage hält, und lässt an einem Tag die Füllmenge
von 50 zufällig ausgewählten Krügen überprüfen (Stichprobe mit Zurücklegen).
a) Der Wirt will höchstens 3% Risiko eingehen, irrtümlich zur Rechenschaft gezogen
zu werden. Welche Entscheidungsregel schlägt er der Behörde bei deren Stichprobe
vor?
b) Die Behörde will aber schon bei sieben bemängelten Krügen einschreiten. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit wird der Wirt zu Unrecht belangt?
Lösung
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a) Ho : p ≤ 0, 1
Signifikanzniveau: α < 0, 03
50
Ansatz:P0,1
(X > k) < 0, 03
50
P0,1
(X ≤ k) > 0, 97
Im Tafelwerk nachschauen:
k = 9 ⇒ A = {0..9};
Ā = {10..50}
50
b) α = P0,1
(X > 6) = 1 − P( 0, 1)50 (X ≤ 6) ≈ 1 − 0, 77023 = 0, 22977
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