Prozessor

85
Prozessor
a)
Aus welchen logischen Grundeinheiten besteht ein Prozessor?
• Rechenwerk/ALU
• Registerblock
• Steuerwerk/Leitwerk
• Befehlsregister
• Befehlszähler
• Flags
• Bus-Treiber-Logik
• Cache
• Einheit zur Adress-Übersetzung/Virtueller Speicher
b) Welche Schritte führt ein Prozessor aus, wenn er den nächsten Befehl aus dem
Speicher lädt?
• Den Wert des Befehlszählers als Adresse auf den Adress-Bus legen
• Vom Datenbus das adressierte Datum einlesen
• Den eingelesenen Wert im Befehls-Register ablegen.
c)
Wo können die Operanden eines Befehls generell abgelegt sein?
• Direkt im Befehlswort (Direktoperand/immediate operand)
• In den Registern
• Im Speicher
86
1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’
Bussystem
a)
In welche drei Busse lässt sich ein Bussystem oft aufgliedern?
• Adressbus
• Datenbus
• Steuerungsbus
b) Was ist die Funktion dieser drei Busse?
• Adressbus: Dient zur adressierung einer Speicheradresse oder eines
Geräts
• Datenbus: Auf dem Datenbus werden die Daten übertragen; sowohl im
Fall Lesen als auch im Fall Schreiben
• Steuerungsbus: Teilt mit, ob gelesen oder geschrieben werden soll bzw.
wann gültige Daten auf dem Bus liegen
c)
Welche dieser Busse sind unidirektional, welche bidirektional?
• Unidirektional: Adress- und Steuerbus; wird vom Prozessor gesteuert
(ausser DMA)
• Bidirektional: Datenbus (lesen und schreiben)
87
Rechner-Architekturen
a)
Was ist der Haupt-Unterschied zwischen einer Harvard- und einer von NeumannArchitektur?
• Von Neumann: Daten und Befehle liegen im selben Speicher
• Harvard-Architektur: Daten und Befehle liegen in unterschiedlichen Speichern.
b) Wie kann man die Aussage verstehen, dass heutige Rechnersysteme oft sowohl
eine Harvard- als auch eine von Neumann-Architektur haben?
Bei heutigen Rechner-Systemen werden häufig für Befehle und Daten verschiedene L1-Caches verwendet. Ab dem L2-Cache wird dann oft nicht mehr zwischen
Befehlen und Daten unterschieden, d.h. es gibt dann nur noch einen L2-Cache in
dem dann sowohl Befehle als auch Daten abgespeichert sind.
88
1 Aufgaben ‘‘Wie funktioniert ein Computer’’
2.1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel
89
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf
Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f (X ).
Programm
Eingabe X
Ausgabe Y
Prozessor
Die Art und Weise, wie diese Transformationen durchgeführt werden, ist durch die
Programme festgelegt, die von einem Prozessor ausgeführt werden. Beispiele:
• Dokument drucken:
• X: Dokument bzw. Datensatz in einer Applikation
• Y: Befehle/Daten, die an den Drucker geschickt werden müssen, damit
dieser das (durch X repräsentierte) Dokument druckt
• Programm: Applikation, aus der heraus das Dokument gedruckt wird
(z.B. Textverarbeitungsprogramm) sowie der Druckertreiber
• Rastern von Grafiken: X = Repräsentation eines Objekts (z.B. Linie);
Y = Farbintensitätswerte von Pixeln
Linie von (x1, y1) nach (x2, y2),
Dicke: d, Farbe: RGB = (0, 0, 0),
Hintergrund: weiß
X
Y
255
255
255
190
190
190
0
0
0
• Berechnungen: Y aus X berechnen; z.B. X = zwei Vektoren, Y = Skalarprodukt
10
1
2
3 · 20
= 1·10 + 2·20 + 3·30 = 140
30
X
Y
X und Y sind Daten, die als Zahlen oder als Zeichen interpretiert werden können. Sie
werden in Computersystemen durch sog. Bits repräsentiert.
90
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel
.
Daten werden in Computersystemen durch
Bits dargestellt bzw. als Bits verarbeitet. Der
Begriff Bit steht für binary digit und meint Binärziffer, d.h. Ziffern, die nur Werte 0 und
1 annehmen können. Bei der Verarbeitung von Daten durch elektrische Schaltungen
entspricht ‘‘0’’ oft dem sog. Low-Pegel, z.B. -0,3 ... +1,3 Volt, und ‘‘1’’ dem sog.
High-Pegel, z.B. +2,3 ... +5,3 Volt.
5V
High
Low
0V
Darüber hinaus findet man auch andere Zuordnungen/Spannungsbereiche. Bei der
seriellen Schnittstelle RS-232 beispielsweise entsprechen Spannungen zwischen +3 V
... +15 V dem Low-Pegel, während Spannungen zwischen -15 V ... -3 V High-Pegel
darstellen.
Mit einem einzelnen Bit können nur zwei Zustände, High und Low, dargestellt werden.
Um mehr als zwei Zustände gleichzeitig abzubilden, werden mehrere Bits zu einem
Datenwort zusammengefasst. Mit einem Datenwort der Breite n Bits lassen sich 2n
verschiedene Low-/High-Kombinationen darstellen.
Nachfolgende Abbildung zeigt ein Datenwort der Breite n = 32 Bit sowie die entsprechende Darstellung in Hexadezimal-Schreibweise.
32 Bit breites Datenwort:
0010 1100 1010 0011 0000 1000 1011 1111
Prefix
Hexadezimale Darstellung:
0x 2 6 A 3 0 8 B F
Die hexadezimale Darstellung wird häufig verwendet, da hier immer vier Bits (sog. Nibble)
zu einer einzelnen Ziffer zusammengefasst werden:
0: 0000
1: 0001
2: 0010
3: 0011
4: 0010
5: 0101
6: 0110
7: 0111
8: 1000
9: 1001
A: 1010
B: 1011
C: 1010
D: 1101
E: 1110
F: 1111
2.1 Bits, Byte, Datenworte und Logikpegel
91
So lassen sich auch längere binäre Datenworte ohne großen Platzbedarf darstellen.
Gleichzeitig kann durch die feste 4-zu-1-Abbildung der Wert der einzelnen Bits direkt
extrahiert werden.
Zur Kennzeichnung einer hexadezimalen Codierung wird das Prefix ‘‘0x’’ verwendet,
d.h. hexadezimal codierten Zahlen wird ‘‘0x’’ vorangestellt.
Seltener findet man oktale Codierungen. Hier wird das Prefix ‘‘0’’ verwendet. Bei oktaler
Codierung werden immer 3 Bits zu einer Ziffer zusammengefasst.
24 Bit breites Datenwort:
001
110
000
111
101
110
011
100
Prefix
Oktale Darstellung:
0: 000
1: 001
0 1 6 0 7 5 6 3 4
2: 010
3: 011
4: 010
5: 101
6: 110
7: 111
In Computersystemen werden häufig Worte der Breite 8, 16, 32 oder 64 Bit verwendet.
Datenworte mit der Wortbreite 8 Bit werden Byte genannt. Ein Byte wird dabei oft
als elementare Datenwortgröße angesehen. Alle anderen Datenworte sind dann ein
ganzzahliges Vielfaches eines Bytes.
Nachfolgende Abschnitte zeigen, wie in Computersystemen mit solchen binären Datenworten Zahlen und Zeichen dargestellt werden. Die darauf folgenden Kapitel zeigen, wie
diese Datenworte/Zahlen/Zeichen von Prozessoren verarbeitet werden.
92
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.2 Zeichen
Zeichen sind Symbole (z.B. ‘a’, ‘b’, ‘c’, ...), mit deren Hilfe Dinge beschrieben werden
können. Zur Darstellung von Texten werden Zeichen zu Zeichenketten (Worte) kombiniert und Zeichenketten in Anordnungen (Sätze) gruppiert. Die ‘‘Beschreibung’’ findet
dadurch statt, dass unser Gehirn beim Lesen lernen die Bedeutung der verschiedenen
Zeichenketten (Symbol-Kombinationen) sowie die Bedeutung verschiedener Anordnungen gelernt hat. In Computersystemen werden Zeichen durch Bits repräsentiert.
Nachfolgende Tabelle zeigt die Codierung von Zeichen gemäß ASCII-Standard.
71¥
u
Zeichen
0x0…
0x1…
0x2…
0x3…
0x4…
0x5…
0x6…
0x7…
…0
NUL
DLE
SP
0
@
P
`
p
…1
SOH
DC1
!
1
A
Q
a
q
…2
STX
DC2
"
2
B
R
b
r
…3
ETX
DC3
#
3
C
S
c
s
…4
EOT
DC4
$
4
D
T
d
t
…5
ENQ
NAK
%
5
E
U
e
u
…6
ACK
SYN
&
6
F
V
f
v
…7
BEL
ETB
'
7
G
W
g
w
…8
BS
CAN
(
8
H
X
h
x
…9
HT
EM
)
9
I
Y
i
y
…A
NL
SUB
*
:
J
Z
j
z
…B
VT
ESC
+
;
K
[
k
{
…C
NP
FS
,
<
L
\
l
|
…D
CR
GS
-
=
M
]
m
}
…E
SO
RS
.
>
N
^
n
~
…F
SI
US
/
?
O
_
o
DEL
2.2 Zeichen
93
‘‘ASCII’’ (oft auch US-ASCII) steht für American Standards Code for Information Interchange und ist ein weit verbreiteter Standard zur Codierung von 128 ausgewählten
Zeichen durch 7 Bit breite Datenworte.
Druckbare Zeichen, d.h. Zeichen, die auch am Bildschirm/Drucker ausgegeben werden
können, befinden sich ab Bitkombination 0x20, d.h. Zeichen 33 - 128.
Die unteren 32 Zeichen, d.h. Bitkombinationen 0x00, 0x01, ... , 0x1F definieren sog.
Steuerzeichen. Steuerzeichen wurden früher dafür verwendet um Fernschreiber anzusteuern.
0x00 (NUL): Null
0x10 (DLE): Data link escape
0x01 (SOH): Start of header
0x11 (DC1): Device control 1
0x02 (STX): Start of text
0x12 (DC 2): Device control 2
0x03 (ETX): End of text
0x13 (DC 3): Device control 3
0x04 (EOT): End of transmission
0x14 (DC 4): Device control 4
0x05 (ENQ): Enquiry
0x15 (NAK): Negative acknowledge
0x06 (ACK): Acknowledge
0x16 (SYN): Synchronous idle
0x07 (BEL): Bell
0x17 (ETB): End of transmission block
0x08 (BS): Backspace
0x18 (CAN): Cancel
0x09 (HT): Horizontal tab
0x19 (EM): End of medium
0x0A (LF): Line feed; new line
0x1A (SUB): Substitute
-
0x0B (VT): Vertical tab
0x1B (ESC): Escape
0x0C (FF): Form feed; new page
0x1C (FS): File separator
0x0D (CR): Carriage return
2.
B. Protokolle
pos
Sytune
Point
0x1D (GS): Group separator
of
0x0E (SO): Shift out
0x1E (RS): Record separator
0x0F (SI): Shift in
0x1F (US): Unit separator
-
Sales
Die meisten Steuerzeichen werden heute nur noch selten verwendet. Häufig verwendet
wird beispielsweise 0x00 wird, um das Ende von Zeichenketten anzuzeigen, 0x0A um
einen Zeilenumbruch zu markieren, 0x09 für Tabulatoren.
94
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Der ASCII-Code definiert ausschließlich die Codierung der in Amerika häufig verwendeten Zeichen. Codierungen für international verwendete Zeichen wie bspw. deutsche
Umlaute ‘‘ä’’, ‘‘ö’’
und ‘‘ü’’ sowie ‘‘ß’’ etc. werden nicht definiert. Dazu muss der ASCII.
Zeichensatz erweitert werden. Beispiele hierzu sind der Standard ISO 8859-1 (Latin-1)
oder Zeichentabellen, wie sie unter MS-DOS eingesetzt wurden (z.B. Codepage 850 für
Westeuropa).
Heute wird häufig der Unicode-Zeichensatz verwendet. Dieser hat zum Ziel, jedem auf
der Welt verwendeten Schriftzeichen eine eindeutige Zahl zuzuweisen.
Zur Codierung dieser Zahlen werden häufig UTF-8 und UTF-16 eingesetzt. Diese
Verfahren codieren den Unicode-Zeichensatz in variable Wortbreiten. So können zur
Codierung häufig vorkommender Zeichen geringere Wortbreiten verwendet werden als
zur Codierung seltener vorkommender Zeichen. Diese Form der Komprimierung sorgt
dafür, das Text aus Sprachen, die auf dem lateinischen Alphabet basieren, effizient
abgespeichert bzw. über das Internet übertrag werden können.
Nachfolgende Abbildung zeigt die Codierung gemäß UTF-8.
Anzahl
Einser
=
Codierung
Unicode-Zeichen
0xxxxxxx
0x00 - 0x7F (entspricht ASCII)
110xxx 10xxxxxx
0x080 - 0x7FF
1110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx
0x0800 - 0xFFFF
11110xxx 10xxxxxx 10xxxxxx 10xxxxxx
0x010000 - 0x10FFFF
In
Anzahl
Byte Im Gegensatz dazu wird in UTF-32 jedes Unicode-Zeichen mit 32 Bit codiert. Vorteil:
Einfach zu codieren; Nachteil: Hoher Speicherbedarf für Texte.
2.3 Zahlen
95
2.3 Zahlen
Zahlen dienen zur Darstellung von Größen/Beträgen. Sie werden durch Ziffern dargestellt.
Zahl:
engl
.
digit
von
1 0 2 4
Ziffer Ziffer Ziffer Ziffer
Finger
,
der
late digitms
Ziffern sind Zeichen, die jedem Element einer Symbol-Menge (z.B. {‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’,
‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’, ‘9’} ) ein Vielfaches eines Grundbetrags als Wert zuordnen. Beispiel: ‘0’ ist
‘‘nichts’’ bzw. keinmal der Grundbetrag, ‘1’ ist der Grundbetrag, ‘2’ ist zweimal so viel
wie der Grundbetrag; ‘3’ ist dreimal so viel wie der Grundbetrag, etc.
0 :=
5 :=
1 :=
6 :=
2 :=
7 :=
3 :=
8 :=
4 :=
9 :=
Die Menge der in einem Zahlensystem vorgesehenen Symbole wird Basis b genannt.
Beispiel: Im Zahlensystem zur Basis b = 2 gibt es nur zwei Symbole: ‘0’ und ‘1’.
Mit einer Ziffer können nur b verschiedene Dinge/Werte dargestellt werden. Um mehr
als b verschiedene Werte abzubilden werden mehrere Ziffern aneinandergereiht. Dabei
erhöht sich mit jeder weiteren Ziffer die Anzahl unterschiedlicher Symbol-Kombinationen
um den Faktor b. Durch Aneinanderreihung von n Ziffern zu einer n Stellen langen Zahl
lassen sich b
· ... · b} = b n verschiedene Symbolkombinationen und damit b n verschie| · b {z
n mal
dene Werte/Beträge darstellen.
Nachfolgende Abbildung zeigt die Symbole zur Darstellung von Beträgen mit zwei Ziffern
aus der Symbolmenge ‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’, ‘4’, ‘5’, ‘6’, ‘7’, ‘8’, ‘9’.
96
.ua
neues
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
mengmhhs
Symbol
00
01
02
03
04
05
06
07
08
10
11
12
13
14
15
20
21
22
23
24
25
30
31
32
33
34
35
40
41
42
43
44
45
50
51
52
53
54
55
60
61
62
63
64
65
70
71
72
73
74
75
=
80
81
82
83
84
90
91
92
93
94
09
16
17
18
19
26
27
28
29
36
37
38
39
46
47
48
49
56
57
58
59
66
67
68
69
76
77
78
79
85
86
87
88
89
95
96
97
98
99
,
wenn
höchst
wetrgezifter
erreicht
zhewswgtwa
• Ausgehend vom kleinsten Wert wird der nächst höhere Wert stets dadurch
repräsentiert, dass bei der rechtesten Ziffer das dem nächst höheren ZiffernWert entsprechende Symbol ausgewählt wird. 0
:O 2
Abhängigkeit
vom
Wert
.
.
.
01,0
.
• Ist bei einer Ziffer bereits das werthöchste Symbol ausgewählt, wird bei dieser
Ziffer das wertniedrigste Symbol ausgewählt. Gleichzeitig wird die links angrenzende Ziffer durch das dem nächst höheren Ziffern-Wert entsprechende
Symbol ersetzt. 0 :O . ...
.
. :O
.
Durch dieses Vorgehen haben die einzelnen Ziffern-Positionen unterschiedliche Wertigkeiten. Numeriert man die Ziffern-Positionen i von rechts nach links durch, beginnend
mit i = 0, dann hat jede Ziffernposition den Wert b i . Beispiel mit b = 10:
Zahl:
StellenWertigkeit:
103
=1000
1 0 2 4
102
=100
101
=10
dann
vorausgehende
.
nightly
,
start bei Null
und
• Der kleinste Wert wird dadurch repräsentiert, dass alle Ziffern das Symbol des
:O
000
niedrigsten Werts darstellen.
'
-
100
=1
Der Wert der Zahl ergibt sich zu 1 · 1000 + 0 · 100 + 2 · 10 + 4 · 1 = 1024.
2.3 Zahlen
97
Im Gegensatz zu Ziffern-Positionen links von i = 0 stellen Ziffern-Positionen rechts
von i = 0, d.h. i < 0, nicht ein Vielfaches des Grundelements dar, sondern einen
Bruchteil des Grundelements. Nachfolgende Abbildung zeigt am Beispiel b = 10, wie
die Stellenwertigkeit von links nach rechts auf b i , d.h. b 1 , b 2 , b 3 , ... reduziert wird.
Aufteilen des Grundelements in b = 10
gleich große Teile
Grundelement
b0 = 1
b-1 = 0,1
b-2 = 0,01
b-3 = 0,001
i
Sind Stellen i < 0 vorhanden, so wird der Übergang (i = 0) ! (i < 0) durch das
Komma-Symbol gekennzeichnet.
Zahl:
StellenWertigkeit:
103 102
= 1000 = 100
1 0 2 4 , 2 5
101
= 10
100
=1
Komma 10-1
= 0,1
10-2
= 0,01
Da es unendlich viele Zahlen gibt, verfügen Zahlen (theoretisch) über unendlich viele
Stellen vor bzw. nach dem Komma. Für in der Praxis auftretende Zahlen werden in der
Regel jedoch nur wenige Stellen vor und wenige Stellen nach dem Komma benötigt.
Die restlichen (unendliche vielen) führenden bzw. nachlaufenden Nullen werden nicht
dargestellt.
98
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.4 Codierung von Festkommazahlen
Festkommazahlen sind Zahlen, bei denen das Komma an einer zuvor vereinbarten, d.h.
festen Position steht. Nachfolgende Abbildung zeigt eine solche Festkommazahl:
n-1
Y Y … Y
Annahme unendlich vieler führender Stellen, die nicht dargestellt/abgespeichert werden
0
X X X X X X X X
n Stellen zur Aufnahme von n Ziffern;
X = 0…b-1; führende Nullen werden
bei Darstellungen oft weggelassen
, 0 0 … 0
Komma
Annahme unendlich vieler nachnach der
folgender Nullen, die nicht darEiner-Stelle gestellt/abgespeichert werden
X steht für die Ziffern 0, 1, ... , b-1, wobei b die Basis des verwendeten Zahlensystems
darstellt (z.B. b = 2 für Binärzahlen, b = 10 für Dezimalzahlen, ...).
n ist die Wortbreite, d.h. es stehen n Bits zum Abspeichern der Zahl zur Verfügung.
Y steht für die unendlich vielen Stellen, die nicht mit abgespeichert werden.
.am#hitehtnrabha-ngig
Festkommazahlen funktionieren nach dem zuvor beschriebenen Prinzip ‘‘Vielfaches eines Grundelements’’. Aus diesem Grund sind die Abstände zwischen zwei benachbarten
Zahlen stets gleich groß (Äquidistanz).
stand gleichgroß
÷÷
-
TF
0
Vorzeichenlose Festkommazahlen
auch
Vorzeichenlose Festkommazahlen haben kein Vorzeichen, d.h. sie sind stets positiv. Der
Wert v (v = value) einer vorzeichenlosen Festkommazahl ergibt sich zu:
:p
Wortbnitl
v = (an
1
· bn
1
Koeffizienten
frames
+ · · · + a1 · b 1 + a0 · b 0 ) · b r
-7-7
Position des
r
=
radix
• n ist die Stellenzahl, d.h. die maximale Menge an Ziffern, die zur Darstellung
bzw. Abspeicherung der Zahl vorgesehen ist. In Prozessoren wird häufig eine
Stellenzahl von n = 8, 16, 32 oder 64 (Binär-) Stellen verwendet.
In der Mathematik gibt es keine begrenzte Stellenzahl; dort gilt n ! 1.
• b ist die Basis des Zahlensystems, z.B. 10 für das Dezimalsystem (Ziffern
0 ... 9) oder 2 für Binärzahlen (Ziffern 0 und 1). Ziffern an der Stelle i haben die
Wertigkeit b i . In Prozessoren wird aufgrund der Darstellung von Werten durch
kommen
2.4 Codierung von Festkommazahlen
99
Logik-Pegel ‘‘Low’’ und ‘‘High’’ als Basis b = 2 verwendet.
• Die Koffizienten ai sind die Ziffern an den Stellen i. Die Werte der Ziffern liegen
im Bereich 0...(b 1) und geben an, wie oft die Wertigkeit der jeweiligen Stelle
zum Wert der Zahl beiträgt.
• Der Wert von r (r = radix) legt die Position des Kommas fest:
• r = 0: Dieser Fall ist der Normalfall: Durch Multiplikation mit b r = b 0 = 1
bleibt v = an 1 · b n 1 + · · · + a1 · b 1 + a0 · b 0 . Das Komma steht hinter
der Einer-Stelle und wird weggelassen. Es werden ganze Zahlen mit
den Werten 0, 1, ... , b n 1 dargestellt.
• r > 0: Durch Multiplikation mit b r können größere Zahlen dargestellt
werden, jedoch auf Kosten geringerer Genauigkeit. Die Ziffern der Zahl
werden um r Stellen nach links geschoben, die frei werdenden Positionen werden mit Nullen aufgefüllt. Das Komma wird weggelassen.
Darstellungsbeispiel einer Festkommazahl für n = 8 und r = 3:
xxxxxxxx000. Die Zeichen ‘‘x’’ stehen dabei jeweils für eine der Ziffern
an 1 ... a0 .
• r < 0: Da r < 0, entspricht die Multiplikation mit b r einer Division
durch b |r | , d.h. das (nach der Einer-Stelle implizit stehende) Komma
wird um r Stellen nach links geschoben. Die Genauigkeit erhöht sich
auf Kosten der größtmöglich darstellbaren Zahl. Darstellungsbeispiel
für n = 8 und r = 3: xxxxx,xxx.
=
zuvor
:
Zitter wird
nach
links
Im folgenden werden nur noch Dezimalzahlen (b = 10) und Binärzahlen (b = 2) betrachtet. geschoben
Wie
Skalarpodnkt
:
1
1000
100
10
1
.
2
:
=
1.1000+2.100+3.10+1.4=1234
100
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Nachfolgender Zahlenring zeigt die Zuordnung von Binär- zu Dezimalzahlen für diese
Codierung:
io
:
1111
1110
13
1100
1011
0
14
12
1
0010
2
0011
3
11
4
10
6
8
1001
0100
5
9
1010
fIi
"
"
Dgarsklhmgsngel
0000
0001
15
1101
v
Richtung
steigender
Werte
0101
7
0110
1000
0111
Die Darstellung zeigt, dass die Richtung steigender Werte bei beiden Codierungen (Binär
und Dezimal) identisch ist. Als Folge können bei dieser Darstellung für die gewählte
Binärcodierung dieselben Rechenregeln angewendet werden, wie bei Dezimalzahlen.
Beispiel:
• 210 + 110 = 310
• 00102 + 00012 = 00112
}
Unit Regel
(
wie
von
S
.
96
wird nächst größerer Wet dargestellt
X
2.4 Codierung von Festkommazahlen
101
Aufgaben
Die folgenden Aufgaben betrachten Binärzahlen, d.h. b = 2.
a)
Welches ist die kleinste darstellbare vorzeichenlose Festkommazahl?
0
b) Wieviele unterschiedliche vorzeichenlose Festkommazahlen können mit n Bit dargestellt werden?
2n
c)
Geben Sie für r = 0 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl in
Abhängigkeit von n an.
2n
1
(
Eins
als
weniger
2
"
)
d) Geben Sie für n = 8 und r = 2 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an.
#
(2n 1) · 2r = 2n+r 2r = 28+2
(Binär: 1111 1111 00)
e)
\
4 = 1020
hiBihurdankUwug_
Betrachten Sie den Zahlenring. Wie kann man einen Überlauf von vorzeichenlosen
Zahlen feststellen?
Das Carry-Out-Bit, d.h. das Bit an der Stelle MSB + 1 ist gesetzt.
f)
Sind alle Abstände vorzeichenloser Binärzahlen zum nächst kleineren und nächst
größeren Nachbarn äquidistant? Skizzieren Sie für r = 2 und n = 3 die entsprechenden Werte auf dem Zahlenstrahl.
Ja, die Abstände sind äquidistant.
0
0,25
0,5
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75
102
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Im Folgenden gilt n = 8 und r = 0.
g) Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Dezimal
h)
Binär vorzeichenlos
0
0000 0000
75
0100 1011
127
0111 1111
128
1000 0000
255
1111 1111
256
-
Wandeln Sie folgende hexadezimale Zahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Hexadezimal
Binär vorzeichenlos
5
4
1
6
3
5
2
0x52416352
0101 0010 0100 0001 0110 0011 0101 0010
0x7A8F23DE
0111 1010 1000 1111 0010 0011 1101 1110
7
i)
2
A
8
Berechnen Sie 24 + 17 = 3 im Binärsystem.
24 = 16 + 8 ) 0001 10002
17 = 16 + 1 ) 0001 00012
+
0001 1000
0001 0001
0010 1001
F
2
3
D
E
2.4 Codierung von Festkommazahlen
Im Folgenden gilt n = 6 und r =
j)
alles
3
Vielfaches
ein
Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Dezimal
k)
103
Binär vorzeichenlos
0
000 000
0,125
000 001
1,75
001 110
3,375
011 011
5
101 000
Berechnen Sie 2,25 + 4,375 im Binärsystem.
2,2510 = 010 0102
4,37510 = 100 0112
+
010 010
100 011
110 101
(= 6,62510 )
}
selber
wie
Recheusduma
zuvor
bei
r
=
0
von
fg
104
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Aufgaben Tutorium
Im Folgenden gilt n = 8, r = 0.
T
a)
Wandeln Sie folgende Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Dezimal
T
Binär vorzeichenlos
0
0000 0000
5
0000 0101
67
0100 0011
126
0111 1110
253
1111 1101
b) Berechnen Sie 17 + 23 im Binärsystem.
17 = 16 + 1 ) 0001 0001
23 = 16 + 7 ) 0001 0111
+
0001 0001
0001 0111
0010 1000
2.4 Codierung von Festkommazahlen
T
c)
Geben Sie für n = 6 und r = 3 den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an.
(2n 1) · 2r = 2n+r
Binär: 1 1111 1000
2r = 26+3
Im Folgenden gilt n = 8 und r =
T
8 = 504
3
d) Wandeln Sie die angegebenen Dezimalzahlen in vorzeichenlose Binärzahlen um.
Dezimal
T
105
e)
Binär vorzeichenlos
0
00000 000
0,375
00000 011
7,25
00111 010
10
01010 000
12,5
01100 100
17,625
10001 101
Berechnen Sie 1,75 + 3,125 im Binärsystem.
1,7510 = 001 1102
3,12510 = 011 0012
+
001 110
011 001
100 111
106
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Vorzeichenbehaftete Festkommazahlen
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, binäre vorzeichenbehaftete Festkommazahlen darzustellen:
• Vorzeichen und Betrag
• Einer-Komplement
• Zweier-Komplement
Vorzeichen und Betrag
Bei dieser Darstellung werden Vorzeichen und Betrag der Zahl separat abgespeichert:
• Das Vorzeichen wird repräsentiert durch das höherwertigste Bit: Hat das Bit
den Wert 0, ist die Zahl positiv, hat das Bit den Wert 1, ist die Zahl negativ.
• Der Betrag der Zahl wird durch die restlichen Bits dargestellt.
Ob eine Zahl positiv oder negativ ist, kann direkt am MSB abgelesen werden. Zur
Negation einer Zahl muss nur das höherwertigste Bit geändert werden.
Ein Problem bei dieser Darstellung ist die doppelte Null:
• 00 ... 0002 ) +0
• 10 ... 0002 )
0
Nachfolgende Abbildung zeigt für n = 4 die Zuodnung von Binär- zu Dezimalzahlen.
• Für positive Zahlen ist die Richtung steigender Werte für Binär- und Dezimalzahlen die selbe.
vgl
.
nächste
Seite
• Für negative Zahlen ist die Richtung jedoch unterschiedlich; Beispiel:
Aussenbahn
• 10102 + 00012 = 10112 : Bewegung im Uhrzeigersinn
•
210 + 110 =
mnenbahn
110 : Bewegung gegen den Uhrzeigersinn
• Ergebnis falsch:
110 6= 10112
vgl
.
nächste
Seite
:
2.4 Codierung von Festkommazahlen
107
:D
=
1111
0000
1110
-7
1101
0001
0
-6
1
-5
1100
-4
negativ
16
s
gemäß
säum
÷:
Aufgaben
a)
|
1011
-3
4. -1
-0
7
3
4
-2+1
0011
0100
5
6
1001
1000
2
positiv
-2
1010
0010
0101
0110
0111
2+1
Welche Auswirkungen hat es, dass für negative Zahlen die Richtung steigender
Werte nicht übereinstimmt?
Da beide Bewegungsrichtungen nicht übereinstimmen, können Zahlen in der
Codierung ‘‘Vorzeichen und Betrag’’ nicht in der gleichen Weise addiert werden,
wie im Dezimalsystem.
bzlw
.
subhakiet
b) Ist der Wertebereich symmetrisch? Begründung!
Ja, da sowohl für positive als auch für negative Zahlen der Betrag mit denselben
Bits codiert wird, muss der Wertebereich symmetrisch sein.
108
c)
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
-
4 Bit
=
K¥1
=
23-1
=
Geben Sie den Wertebereich für r = 0 in Abhängigkeit von n an.
(2n
1
1), ... ,
0, +0, ... , 2n
1
1
d) Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär in die Darstellung
‘‘Vorzeichen und Betrag’’.
Dezimal
e)
Binär
-10
1000 1010
0
0000 0000
20
0001 0000
Codieren Sie für n = 6 und r =
‘‘Vorzeichen und Betrag’’.
Dezimal
2 die folgenden Zahlen in die binäre Darstellung
Binär
-2,25
1010 01
0
0000 00
5,5
0101 10
7
2.4 Codierung von Festkommazahlen
109
Aufgaben Tutorium
T
a)
Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär in die Darstellung
‘‘Vorzeichen und Betrag’’.
Dezimal
T
Binär
-17
1001 0001
-5
1000 0101
17
0001 0001
b) Codieren Sie für n = 6 und r = 2 die angegebenen Zahlen in die binären
Darstellung ‘‘Vorzeichen und Betrag’’.
Dezimal
Binär
-3,75
1011 11
-0,5
1000 10
7,25
0111 01
110
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Einer-Komplement
:%
Bei dieser Darstellung werden zur Negierung einer Zahl alle Bits invertiert. Um eine
eindeutige Unterscheidung zwischen positiven und negativen Zahlen zu gewährleisten,
ist der Betrag der Zahlen auf 2n 1 1 beschränkt. Dadurch kann das Vorzeichen der
Zahl wieder direkt am MSB abgelesen werden (0 ) positiv; 1 ) negativ).
Der Vorteil dieser Darstellung im Vergleich der Darstellung ‘‘Vorzeichen und Betrag’’
liegt darin, dass die Codierung der negativen Zahlen in derselben Richtung erfolgt wie
die Codierung der positiven Zahlen, so dass positive und negative Zahlen auf die gleiche
Art und Weise addiert (bzw. subtrahiert) werden können.
Yhnhny
:)
,
1111
0000
1110
0001
-0
1101
0
-1
1
-2
1100
-3
.
0010
2
3
negativ
positiv
-4
1011
4
-5
1010
0011
0100
5
-6
-7
7
1001
"
1--3
6
0101
0110
1000
0111
msn.sn
μ
:)
÷
0.0+1.1
2.4 Codierung von Festkommazahlen
0
111
vorzeichen los
0
:D
'E±
Eu
.
.
.
2
"
-1
Aufgaben
.it?iti?::::I
:#:
a)
hihwyativ )
'
Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für r = 0 in
Abhängigkeit von n an.
(2n
1
1), ... ,
0, +0, ... , 2n
1
1
~
b) Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung allgemein in
Abhängigkeit von r und n an.
(2n+r
c)
1
b r ), ... ,
0, +0, ... , 2n+r
1
br
Geben Sie den Wertebereich der Einer-Komplement-Darstellung für r =
n = 8 an.
2 und
31,75, ... , 31,75
d) Ist der Wertebereich asymmetrisch?
.it#I1).E
Nein. Der Wertebereich ist symmetrisch.
e)
Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement.
Dezimal
-
-10
1111 0101
0
0000 0000
20
0001 0100
( zu-13.5
-27
für
'
-
Binär
.
.
.
+4mm
.
zr
)
-
0
112
f)
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Codieren Sie für n = 6 und r =
2 die folgenden Zahlen im Einer-Komplement.
Dezimal
-2,25
Binär
0010,01
1101 10
iüsuertier
÷
0
0000 00
5,5
0101 10
g) Zeigen Sie an einem Beispiel, wie sich bei dieser Codierung zur Addition von Binärzahlen derselbe Algorithmus verwendet lässt wie zur Addition von Dezimalzahlen
– sowohl bei positiven als auch bei negativen Werten.
• Positiver Bereich: 210 + 310 = 510 , 00102 + 00112 = 01012
• Negativer Bereich:
h)
610 + 210 =
ÜÖ
wer
.
Wann gibt es bei Verwendung der Einer-Komplement-Codierung Probleme bei der
Addition?
Die doppelte Null macht Probleme:
i)
410 , 10012 + 00102 = 10112
210 + 310 = 110 6, 11012 + 00112 = 00002
4
°
Wie könnte man das Problem lösen?
Andere Codierung wählen, so dass die doppelte Null verschwindet:
• 11112 ,
110
• 11102 ,
210
• ...
• 10002 ,
810
) Nach dem invertieren noch 00 ... 012 addieren. Das ist dann das sog. ZweierKomplement.
2.4 Codierung von Festkommazahlen
113
Aufgaben
T
a)
Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im Einer-Komplement.
Dezimal
T
Binär
-17
1110 1110
-5
1111 1010
17
0001 0001
b) Codieren Sie für n = 6 und r =
Komplement.
Dezimal
2 die folgenden Zahlen binär im Einer-
Binär
-3,75
1100 00
-0,5
1111 01
7,25
0111 01
114
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Zweier-Komplement
Beim Zweier-Komplement wird zunächst das Einer-Komplement gebildet und dann
noch binär der Wert 1 addiert. Auf diese Weise wird die doppelte Null vermieden. Der
Wertebereich wird asymmetrisch, was jedoch kein Problem darstellt. Berechnungen
können in dieser Codierung mit demselben Algorithmus durchgeführt werden wie im
Dezimalsystem. Aus diesem Grund werden vorzeichenbehaftete Festkomma-Zahlen in
der Regel im Zweier-Komplement codiert.
auch
ogling
passt
1111
1110
-2
-3
1100
1011
-4
-6
1010
:
0
1
1
2
3
negativ
0011
-7
positiv
4
0100
5
-8
7
1001
6
0101
0110
1000
Aussenring wie
vorher beim
1W
hompnmeut
-
0010
⇐
^
-5
0000
0001
-1
1101
2+3=1
0111
winning
Hälfte
Stelle
linke
und
Uhrzeigersinn
verschoben
im
2.4 Codierung von Festkommazahlen
115
Aufgaben
a)
Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im ZweierKomplement.
Dezimal
Binär
-10
1111 0110
0
0000 0000
20
0001 0100
b) Codieren Sie für n = 6 und r =
2 die folgenden Zahlen im Zweier-Komplement.
Dezimal
c)
Binär
-2,25
1101 11
0
0000 00
5,5
0101 10
0010,01
: 101,10
-41101,11
Wie lässt sich im Zweier-Komplement ein Überlauf feststellen?
Es tritt ein Überlauf auf, wenn man
• zwei positive Zahlen addiert und eine negative Zahl als Ergebnis erhält,
oder wenn man
• zwei negative Zahlen addiert und eine positive Zahl als Ergebnis bekommt.
0
116
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
d) Berechnen Sie 37 - 53 im Zweier-Komplement.
37 53 = 37 + ( 53)
37 = 32 + 4 + 1 ) 0010 0101
53 = 32 + 16 + 4 + 1 ) 0011 0101
531er = 1100 1010
532er = 1100 1011
+
0010 0101
1100 1011
1111 0000
Wert:
Einer Komplement: 0000 1111
Zweier Komplement: 0001 0000
) 16
für
na
8
,
rz
0
2.4 Codierung von Festkommazahlen
117
Aufgaben Tutorium
T
a)
Codieren Sie für n = 8 und r = 0 die folgenden Zahlen binär im ZweierKomplement.
Dezimal
T
Binär
-17
1110 1111
-5
1111 1011
17
0001 0001
b) Codieren Sie für n = 6 und r =
Komplement.
2 die folgenden Zahlen binär im Zweier-
Dezimal
T
c)
-3,75
1100 01
-0,5
1111 10
7,25
0111 01
Berechnen Sie 17 - 23 im Zweier-Komplement.
17 = 1 + 1 ) 0001 0001
23 = 16 + 7 ) 0001 0111
231er = 1110 1000
232er = 1110 1001
+
Binär
0001 0001
1110 1001
1111 1010
Wert:
Einer Komplement: 0000 0101
Zweier Komplement: 0000 0110
) 6
118
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754
Durch die fest definierte Kommastelle sind bei Festkommazahlen die Abstände zwischen
den einzelnen Zahlenwerten äquidistant. Aus diesem Grund (und aufgrund der endlichen
Anzahl an Stellen n) können mit Festkommazahlen nicht gleichzeitig sehr große Zahlen
und sehr kleine Zahlen dargestellt werden.
Bei Gleitkommazahlen ist diese Einschränkung aufgehoben. Die Abstände zwischen den
einzelnen Zahlenwerten sind um den Wert 0 herum sehr klein. Für große Zahlen werden
die Abstände sehr groß, wie in nachstehender Grafik skizziert.
0
Erreicht wird diese Eigenschaft dadurch, dass die Position des Kommas nicht im Voraus
festgelegt ist, sondern in der Zahl durch Angabe eines Exponenten e definiert wird.
Der Exponent legt fest, um wieviel die Kommastelle nach links oder rechts verschoben
werden muss.
zahl
Ehitkomma
Das Komma gleitet
Gleitkommazahlen werden wie folgt codiert:
s
e
f
Bei 32 Bit breiten Gleitkommazahlen (einfache Genauigkeit) gilt die Aufteilung
• s = 1 Bit
• e = 8 Bit
• f = 23 Bit,
bei 64 Bit breiten Gleitkommazahlen (doppelte Genauigkeit) gilt die Aufteilung
• s = 1 Bit
• e = 11 Bit
• f = 52 Bit.
Als Wert ergibt sich für
• für normalisierte Gleitkommazahlen (Normal-Fall) v = ( 1)s · 1,f · 2e
K,
• für de-normalisierte Gleitkommazahlen (Spezial-Fall) v = ( 1)s · 0,f · 21
K.
:
2.5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754
Die Konstante K hat
119
• bei einfacher Genauigkeit (32 Bit) den Wert K = 127,
• bei doppelter Genauigkeit (64 Bit) den Wert K = 1023.
Eine Gleitkommazahl gilt als normalisiert, wenn beim Exponenten e weder alle Bits
gesetzt noch alle Bits gelöscht sind, d.h.
• 0 < e < 255 bei 32 Bit
• 0 < e < 2047 bei 64 Bit.
Eine denormalisierte Gleitkommazahl liegt vor, wenn e = 0 und gleichzeitig f > 0.
Spezialfälle:
• 0:
• e=0
• f =0
• ±1:
• s: +1 ) 0;
1)1
• e: alle Bits gesetzt ) 255 bei 32 Bit, 2047 bei 64 Bit
• f: alle Bits 0
• NaN (Not a Number)
• e: alle Bits gesetzt ) 255 bei 32 Bit, 2047 bei 64 Bit
• f: > 0
Aufgaben
FTI
Format von Gleitkommazahlen
a)
Welchen Wert hat eine Zahl, die in 64 Bit Gleitkomma-Notation mit
0xC028000000000000 codiert wird?
:#
1 10000000010 1001 0000 ...000
s = 1 e-K = 1026 - 1023 = 3 f = 10010...
Wert: -1,100100.. ·23 = -1100,1 = -12,5
or
120
=÷
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
0100
.
<
b) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 64 Bit Gleitkomma-Notation mit
0x0004000000000000 codiert wird?
e
=
0
und
De-normalisiert, da e = 0
v = 0,25 ·2 1022
c)
S
k
=
1-1023=-1022
cin
-
Welchen Wert hat eine Zahl, die in 32 Bit Gleitkomma-Notation mit 0x7F80000
codiert wird?
+1
Bei normalisierten Gleitkommazahlen wird eine ‘‘1,’’ direkt vor den Bruchteil f
hinzugefügt. Bei denormalisierten Gleitkommazahlen ist es eine ‘‘0,’’.
Codierung: e = 0; f > 0;
Wert: v = ( 1)s · 21 K · 0.f
Welchen Nutzen haben denormalisierte Gleitkommazahlen?
Mit denormalisierten Gleitkommazahlen können – um den Wert 0 herum – betragsmäßig viel kleinere Zahlen dargestellt werden als bei normalisierten Gleitkommazahlen.
f)
Geben Sie ein Beispiel an, wie es zu einem Ergebnis kommen kann, das ‘‘keine
Zahl’’ ist.
Wurzel einer negativen Zahl. (Auch möglich: Division 0/0)
:-O
011111111/1000
ehat alle Bits gesetzt
d) Was ist eine denormalisierte Gleitkommazahl, wie wird sie codiert und wie berechnet sich ihr Wert?
e)
fist
2.5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754
121
Rechnen mit Gleitkommazahlen
a)
Codieren Sie 3,625 und 13,5 als 32 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie
das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein.
3.625:
11.101 = 1.1101 · 21
s=0
e K =1
e = K + 1 = 127 + 1 = 128
f = 11010...0
13.5:
1101.1 = 1.1011 · 23
s=0
e K =3
e = K + 3 = 127 + 3 = 130
f = 10110...0
3,625:
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
…
0
13,5:
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
…
0
122
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
b) Berechnen Sie 3,625 + 13,5 im Binärsystem bei Verwendung einer 32 Bit Gleitkommacodierung.
Exponent 3.625: 10000000
Exponent 13.5: 10000010
Exponent von 3.625 dem von 13.5 anpassen (Exponenten müssen gleich sein,
bevor die Mantissen addiert werden können).
13.5:
Exponent
Bruchteil/Mantisse
1000 0010
1011000...0
3.625:
Exponent
Bruchteil/Mantisse
1000 0000
1000 0001
1000 0010
1101000...0
11101000...0 (führende 1,)
011101000...0
Mantissen addieren:
+
1.101100000...0
0.011101000...0
10.001001000...0
Normalisieren:
Mantisse normalisieren: 10.001001000...0 ! 1.0001001000...0
Exponent normalisieren: 1000 0010 ! 1000 0011
Bitmuster des Ergebnisses:
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
…
0
2.5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754
c)
Bestimmen Sie aus dem Ergebnis-Bitmuster das Ergebnis der Addition 3,625 +
13,5
( 1)0 · 1,0001001 · 2131
T
123
127
= 10001,001 · 20 = 17,12510
d) Codieren Sie 1,75 und 5,125 als 64 Bit breite Gleitkommazahlen und tragen Sie
das Bitmuster in die angegebene Tabelle ein.
1,75:
1.11 = 1.11 · 20
s=0
e K =0
e = K = 1023
f = 110...0
5,125:
101.001 = 1.01001 · 22
s=0
e K =2
e = K + 2 = 1023 + 2 = 1025
f = 010010...0
1,75
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
…
0
5,125
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
…
0
124
T
e)
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
Berechnen Sie 1,75 + 5,125 im Binärsystem bei Verwendung einer 64 Bit Gleitkommacodierung.
Exponent 1,75: 01111111111
Exponent 5,125: 10000000001
Exponent von 5,125 dem von 1,75 anpassen (Exponenten müssen gleich sein,
bevor die Mantissen addiert werden können).
1,75:
Exponent
Bruchteil/Mantisse
01111111111
1,110...0
5,125:
Exponent
Bruchteil/Mantisse
10000000001
10000000000
01111111111
1,010010....0
10,10010....0
101,0010....0
Mantissen addieren:
+
001,110
101,001
110,111
Renormalisieren:
Mantisse: 110,111 ! 1,10111
Exponent: 01111111111 ! 10000000001
Bitmuster des Ergebnisses:
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
…
0
2.5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754
T
f)
125
Bestimmen Sie aus dem Ergebnis-Bitmuster das Ergebnis der Addition 1,75 +
5,125
( 1)0 · 1,10111 · 21025
1023
= 110,111 = 6,87510
126
2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
3.1 Schaltungselemente
127
3 Arithmetische Schaltungen
3.1 Schaltungselemente
Logikgatter
Treiber; gibt am Ausgang denselben Logikpegel aus, der auch am
Eingang anliegt
Inverter; gibt am Ausgang den Logikpegel des Eingangs invertiert aus
UND-Verknüpfung; gibt am Ausgang 1 aus, wenn beide Eingänge auf
1 liegen, anderenfalls 0; die Anzahl der Eingänge kann auch > 2 sein
NICHT-UND-Verknüpfung; gibt am Ausgang 0 aus, wenn beide Eingänge auf 1 liegen, anderenfalls 1; die Anzahl der Eingänge kann auch
> 2 sein
ODER-Verknüpfung; gibt am Ausgang 1 aus, wenn mindestens ein
Eingang auf 1 liegt, anderenfalls 0; die Anzahl der Eingänge kann auch
> 2 sein
NICHT-ODER-Verknüpfung; gibt am Ausgang 1 aus, wenn kein Eingang auf 1 liegt, anderenfalls 0; die Anzahl der Eingänge kann auch
> 2 sein
Exklusiv-ODER-Verknüpfung/Antivalenz; gibt am Ausgang 1 aus, wenn
beide Eingänge unterschiedliche Pegel aufweisen, anderenfalls 0
Exklusiv-NICHT-ODER-Verknüpfung/Äquivalenz; gibt am Ausgang 1
aus, wenn beide Eingänge identische Pegel aufweisen, anderenfalls 0
Multiplexer
Multiplexer wählen einen von mehreren Eingängen aus und leiten den dort anliegenden
Logikpegel an den Ausgang weiter. Nachfolgende Abbildung zeigt einen 1 Bit 2-auf-1Multiplexer, einen 1 Bit 4-auf-1-Multiplexer, einen n Bit 4-auf-1-Multiplexer sowie die
zugehörigen Wertetabellen. Der Steuereingang s legt fest, welcher der Eingänge a, b, ...
an den Ausgang durchgereicht wird.
Annahme
:
Durchlauf züt pauschal
1
Galler
laut
zeit
t
0
128
3 Arithmetische Schaltungen
s
s
a)
a
0
b
1
y
s
y
0
1
a
b
a
0
b
1
c
2
d
3
s
a
y
b
c
d
n
yn
2
0
1
n
2
n
3
n
y
s
y
00
01
10
11
a
b
c
d
Tragen Sie in nachfolgende Abbildung ein, wie sich ein 4 Bit 4-auf-1 Multiplexer
aus vier 1 Bit 4-auf-1 Multiplexer aufbauen lässt.
2
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3
0
1
2
3