Theorie des Mikromagnetismus { Grundlagen Inhalt: I Vorspann: Zur

Universitat Regensburg
93040 Regensburg
Universitatsstr. 31
Tel 0941/943-2606, Fax -4544
Naturwiss. Fakultat II-Physik
Prof. Dr. U. Krey, Pd Dr. J. Zweck
Theorie des Mikromagnetismus { Grundlagen
Vortrag im Ausbildungsseminar 'Mikroskopie magnetischer Proben' am
14. 12. 1999
Inhalt:
I Vorspann: Zur Quantenmechanik ferro- und paramagnetischer
Systeme
II Zur Elektrodynamik ferromagnetischer Proben
Magnetische Induktion B~ und Magnetfeld H~ bei ferromagneti-
schen Systemen
'Magnetische Polarisierung' J~ und 'Magnetisierung' M~ im mksAbzw. cgs-System
das sog. Streufeld: Dipol- und Ladungsdarstellung
III Mikromagnetismus: Die Landau-Lifschitz-Theorie
0
Austauschenergie
Anisotropieenergie
Zeeman- und Streufeldenergie
Erganzung: Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung
IV Charakteristische Langen und der 'Weichheitsparameter' Q
1
I: Vorspann: Zur Quantenmechanik paramagnetischer
und ferromagnetischer Systeme
Die Phanomene sind 'durch und durch quantenmechanisch':
Spin und Pauliprinzip sind ganz wesentlich, auch die Drehimpulsquantisierung. Das klassische Bild der Ampereschen Kreisstrome ist in verschiedener Hinsicht unzureichend, u.a. wegen
des 'falschen gyromagnetischen Verhaltnisses' (s.u.). Oft hat
man es mit (fast) reinem Spinmagnetismus zu tun:
Ein Atom mit Gesamtdrehimpulsquantenzahl J 6= 0 (z.B.
'Seltene Erden' Eu2+ und Gd3+: J=S=7/2, L=0; dagegen Gd2+:
S=3, L=1, J=2) hat ein magnetisches Moment h~^ i, das proportional zum Gesamtdrehimpuls ist, namlich
h^z i = gJ (L; S ) B MJ :
(1)
Dabei sind
B = 2omehe das sog. 'Bohrsche Magneton', ein elementares 'magnetisches Moment' (s.u.);
S (S +1) der sog. Lande-Faktor;
gJ (L; S ) := 3J (J +1) 2LJ((LJ +1)+
+1)
und
MJ die zur z-Komponente des Gesamtdrehimpulses gehorige Drehimpulsquantenzahl, deniert durch hJ^z i = h MJ , mit MJ 2
f J; J + 1; :::; J 1; J g.
Die (Gesamt-)Bahndrehimpulsquantenzahl L des Atoms ist immer
ganzzahlig, wahrend die (Gesamt-)drehimpulsquantenzahl S { ebenso wie die durch Zusammensetzung von L~ und S~ entstehende Gesamtdrehimpulsquantenzahl J { auch 'halbzahlig' sein kann. (J
hat einen der aus der Quantenmechanik bekannten Werte jL S j,
jL S + 1j,..., L + S ).
Bei reinem (Gesamt-)Bahndrehimpuls ist S=0, also J=L, und gJ (L; S ) =
1 ('normales gyromagnetisches Verhaltnis').
Bei reinem (Gesamt-)Spindrehimpuls ist dagegen L = 0, der LandeFaktor ist dann 2; nur im erstgenannten Fall hat man also das
2
aus der klassischen Physik ('Amperesche Kreisstrome') erwartete
'normale gyromagnetische Verhaltnis' := hhJ^uz ii = 2moee .
Bei den ferromagnetischen '3d-Metallen' Fe, Co und Ni ist der Bahn~^ i = 0, so
drehimpuls fast vollstandig ausgeloscht (quenching), hL
da man es hier { im Gegensatz zu den meisten seltenen Erden
{ mit (fast) reinem Spin-Magnetismus zu tun hat ('Einstein-DeHaas-Versuch'). Fast reiner Spin-Magnetismus liegt auch bei den
ferromagnetischen Halbleitern EuO und EuS vor, wahrend bei den
Seltenen-Erd-Metallen der Magnetismus wie im Atom aus Spin- und
Bahndrehimpulsanteilen zusammengesetzt ist.
Reiner Bahn-Ferromagnetismus ist nach einem Theorem von Bohr
und van Leeuwen nicht moglich. Dies entspricht im ubrigen auch
den Erfahrungen aus der Quantenmechanik: Wenn im Grundzustand eines Atoms S = 0 ist (abgeschlossene Schalen), ist nach den
Hundschen Regeln gewohnlich auch L = 0, also auch J = 0, und
man hat es mit einem rein diamagnetischen System zu tun. Ausnahmen bestatigen diese Regel: Die Anregungszustande des Atoms
konnen namlich 'magnetisch' sein und 'mit ins Spiel kommen' (Van
Vleckscher Paramagnetismus).
3
II: Elektrodynamik ferromagnetischer Systeme
Im folgenden werden die Klammersymbole h:::i, welche im ersten
Kapitel quantenmechanische Erwartungswerte reprasentieren sollen, weggelassen, da man es im folgenden { falls nicht anders gesagt
{ mit klassischen Groen zu tun hat.
Zunachst ist festzustellen: Auf ein magnetisches Moment ~2 wird
~ 1!2 = ~2 H~ 1 ausdurch ein Magnetfeld H~ 1 ein Drehmoment D
geubt. Die Energie eines magnetischen Dipols ~2 in einem Magnetfeld H~ 1 ist namlich E1;2 = ~2 H~ 1. (In Ferromagnetika ist zu
beachten (s.u.), da hier H~ steht, und nicht B~ .)
Ferner gilt: Ein am Ort ~r bendliches magnetisches Moment (~r )
erzeugt bei ~r selbst ein Magnetfeld, namlich
9
8
>< ~(~r ) (~r ~r ) >=
H~ (~r) = grad (~r) := grad >: 4 j~r ~r j3 >; : (2)
o
0
0
0
0
0
(Im cgs-System fehlt der Faktor 4o im Nenner.)
Die magnetische Induktion ist B~ (~r) := o H~ (~r) + J~; dabei ist o
die sog. (absolute) Permeabilitat des Vakuums, die per Gesetz zu
V s festgelegt ist (eine gangige Einheit fur B
~ ist das
o = 4 10 7 Am
'Tesla', 1T = 1 mV s2 ; dem entsprechen im cgs-System genau B~ 0 = 104
'Gau'. Groen im cgs-System werden im folgenden durch einen
Strich gekennzeichnet!) Der Vektor J~ ist die sog. 'Magnetische Polarisation', deniert als Volumendichte des 'magnetischen Momentes', d.h. das magnetische Moment eines Volumenelements V ist
deniert durch ~ = V J~. Im cgs-System deniert man analog
B~ 0 := H~ 0 + 4M~ 0, und nennt hier die Groe M~ 0 := ~V die sog.
'Magnetisierung'. Die 'magnetische Polarisation' von Fe, Js = 2; 2
Tesla, entspricht genau der 'cgs-Magnetisierung' 4Ms0 = 22000
Gau, das sind M 0 = 22000=(4) Oersted1. (Wenn
im Vakuum
3
B~ = 1 Gau ist, gilt H~ = 1 Oersted und H~ = 104 A/m.)
0
0
0
Unglucklicherweise hat man auch im SI-System (='mksA-System') eine 'Magnetisierung' deniert,
~ o, die aber hier nicht benutzt wird; wenn im folgenden von 'Magnetisierung'
namlich die Groe M~ := J=
die Rede ist, ist stets die 'magnetische Polarisation' J~ bzw. die cgs-Magnetisierung M~ gemeint, also stets
die Volumendichte des 'magnetische Momentes'.
1
0
4
Allgemein hangen die mksA- und cgs-Groen wie folgt
zusammen:
r
p
~
~
J
4 ~
~ =
~
~
~
= 4 ; M
~
4o ; H = 4o H und B = o B . Das sieht man
o
aus den beiden Gleichungen fur die Energie E eines Dipols im Magnetfeld,
~ = ~
~ , und fu
E = ~
H
H
r die Energiedichte w des Magnetfeldes im
2
2
2
~
Vakuum, w = 2o H~ 2 = 2Bo = (H~8) = (B~8) . Man beachte, da o 'dimensionsbehaftet' ist, was die Umrechnung etwas ungewohnt macht. Analoge
Umrechnungsformeln gelten fur die elektrischen Feldgroen, wobei hier nur
e
o durch o := c2 =o zu ersetzen ist, z.B. in der Beziehung e = 4 . Aus
o
der mksA-Beziehung fur das Bohrsche Magneton, B = 2omeh , wird somit im
cgs-System die Beziehung B = 2emch .
0
p
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
p
0
Fur das von einem magnetischen Korper K erzeugte Magnetfeld
HD gilt also
8
9
><Z
>=
~
J
(
~
r
)
(
~
r
~
r
)
0
H~ D (~r) = grad D(~r) := grad >: K dV 4 j~r ~r j3 >; : (3)
o
Dies ist die sog. Dipoldarstellung des 'magnetischen Streufeldes'
H~ D . A quivalent ist die Darstellungen durch 'scheinbare magnetische Ladungen und Oberachenladungen', H (~r) = divJ~ und
H (~r) := J~ ~n :
0
0
0
H~ D (~r) =
8
><Z
grad >: K
9
~
~
I
~
n
J
(~r ) >=
divJ (~r )
2
0
0
+ dS
:
dV
4oj~r ~r j @K
4oj~r ~r j >;
0
0
0
0
0
(4)
Dies ist die sog. Ladungsdarstellung des Streufeldes
Die magnetische Induktion B~ und das Magnetfeld oH~ sind in
ferromagnetischem Material wesentlich verschieden: An Grenzachen ist die Normalkomponente von B~ stetig, aber nicht die von
H~ ; dagegen ist die Tangentialkomponente von H~ stetig, aber nicht
die von B~ . Wenn beispielsweise die Magnetisierung an der Oberache zum Vakuum eine nicht-verschwindende Normalkomponente Jn hat, ist eben oberhalb dieser Grenzache das Magnetfeld
H~ = +~n 2Jno , unterhalb der Grenzache dagegen gilt H~ = ~n 2Jno :
Dagegen hat die magnetische Induktion B~ (= oH~ + J~) in beiden
5
Fallen den Wert B~ = +~n J2n .
Fur homogen magnetisierte Ellipsoide { aber auch nur fur diese {
ist im Probeninnern auch H~ homogen, und zwar gilt
Hi =
3
X
Ni;k Jk :
k=1
0
(5)
Dabei sind die Ni;k die Komponenten des (symmetrischen) sog.
Entmagnetisierungstensors, dessen 'Spur' (=Summe der Diagonalelemente) stets =1 ist. Die Achsen des Ellipsoides sind naturlich
Hauptachsen des Tensors, so da also bei einer Kugel fur die Eigenwerte N1 = N2 = N3 = 1=3 gilt. Fur einen unendlich langen Kreissylinder mit der z-Achse als Symmetrieachse ist dagegen
N1 = N2 = 1=2 und N3 = 0. Fur eine unendlich ausgedehnte dunne
Schicht gilt dagegen N1 = N2 = 0, aber N3 = 1.
6
III. Die Landau-Lifschitz-Gleichungen
Nach L.D. Landau und J.P. Lifschitz, den Verfassern der beruhmten Lehrbuchserie, macht man mit konstanter Sattigungsmagnetisierung Js, aber variabler Magnetisierungrichtung ~ (~r), zunachst
den plausiblen Ansatz J~(~r) = Js~ (~r) und bestimmt die energetisch
gunstigen Magnetisierungsrichtungskongurationen durch Minimalisierung eines Energiefunktionals (besser: 'Freie Energie', bzw. bei
externen Magnetfeldern: 'Freie Enthalpie'), das aus vier Termen besteht (Austauschenergie, Anisotropie-Energie, Zeeman-Energie
und Streufeldenergie). Insgesamt ist das Energiefunktional :
Z
F (f~ (~r)g) = dV f A
K
3 @i 2
X
( ) + F0[~ (~r)]
i;k=1 @xk
~ D (~r)
H
~
Js [Hext + 2 ] ~ (~r)g
(6)
Im folgenden werden die vier Energieterme auf der rechten Seite dieser Gleichung beschrieben. Die Temperaturabhangigkeit wird dabei
nicht betrachtet, insbesondere werden alle thermischen Fluktuationen vernachlassigt, was bis zu <~ 0:7 TC naherungsweise erfullt ist.
(Tc ist dabei die Curietemperatur, bei der das System unmagnetisch
wird.)
Der erste Term ist quantenmechanischen Ursprungs und wird
als sog. Austauschenergie bezeichnet; er 'bestraft' Inhomogenitaten der Magnetisierungsrichtung, also Nicht-Parallelstellung
der Spins, wobei aber die Richtung der Spins nicht festgelegt
ist. Die sog. Austauschkonstante A hat die Groenordung 10 6
erg/cm und kann mit den quantenmechanischen sog. Austauschintegralen Jl;m in Beziehung gebracht werden: A Jl;l+=a,
wobei l und l + benachbarte Gitterpunkte mit Abstand a
sind. Mit den ungefahren Werten Jl;l+ 0; 1 eV und a 2
A ergibt sich obige Abschatzung fur A.
7
Die Tendenz zur Parallelstellung der Spins im ferromagnetischen Material ergibt sich dabei durch ein subtiles
Zusammenspiel von Coulombwechselwirkung und Pauliprinzip,
weil bei Parallelstellung der Spins zweier benachbarter Elektronen
1 und 2 die Ortsfunktion des Zweielektronensystems bei Vertauschung von ~r1 und ~r2 das Vorzeichen wechseln mu, wodurch sich
die Coulombabstoung der beiden Elektronen vermindert. Dadurch
ergeben sich Energieunterschiede der Groenordnung 0,1 eV pro
Atom, entsprechend einer Curietemperatur von kB Tc 1000 K .
Eine prazisere Rechnung: Wenn die magnetischen Atome die Platze eines einfach-kubischen
Gitters besetzen und wenn nur die Nachste-Nachbarwechselwirkung Jlm = JNN dominiert2,
dann ergibt eine einfache Rechnung fur den Heisenbergschen Hamiltonoperator
X ~^ ~^ 1 X ~^ ~^ 2
(7)
H^ :=
JlmS l S m = 2 Jlm(S l S m ) + const: ;
l;m
lm
~^
und mit m=^ m
~ = ~l ~ei (fur i = x; y; z) und (S~^~l S~^~l+~ei )2 (xi )2 ( @@xSi~l )2 erhalt man wegen
xi = a:
X X @ S~^~l 2
( ) :
H^ const: + JNN a2
(8)
l i=x;y;z @xi
R
Mit den Ersetzungen P ! dV3 und S~^ ! S ~ folgt schlielich das Ergebnis A = JNN S2 .
~l
K a
a
Demgegenuber ist der zweite Term, F0(~ ), viel kleiner: Es
handelt sich hier um die sog. Anisotropieenergie. Sie geht quantenmechanisch auf die Spin-Bahn-Wechselwirkung zuruck, die
bei gegebenem Kristallgitter bestimmte Vorzugsachsen fur die
Magnetisierungsrichtung festlegen, z.B.
im kubischen Material
F0(~ ) = K1 [x2 y2 + y2z2 + z2x2 ] + K2x2 y2z2 :
(9)
Im folgenden wird die Anisotropiekonstante K2 vernachlassigt;
bei positivem K1 (z.B. Fe, K1 5 106 erg/ccm) sind dann die
Wurfelkanten die Vorzugsachsen fur die Magnetisierungsrichtung, bei negativem K1 (z.B. Ni, K1 4; 7 106 erg/ccm)
Bei den ferromagnetischen Halbleitern EuO und EuS benden sich die magnetischem Atome auf einem
fcc-Gitter und man mu noch ubernachste Nachbarn mitnehmen
2
8
sind dagegen die Raumdiagonalen die Vorzugsachsen. (Die angegebenen Werte gelten bei Zimmertemperatur; sie sind stark
temperaturabhangig, sogar Vorzeichenwechsel als Funktion der
Temperatur sind real.)
Bei tetragonaler oder hexagonaler Symmetrie (Co !) liegt uniaxiale Anisotropie vor; wenn die ausgezeichnete Achse o.B.d.A.
die z-Achse ist, gilt
F0(~ ) = Ku [x2 + y2] + Ku(2) [x2 + y2]2 ;
(10)
wobei die 'uniaxiale Anisotropiekonstante zweiter Ordnung',
Ku(2) erneut meist vernachlassigt werden kann. Bei positivem
Ku handelt es sich um eine sog. leichte Achse, bei negativem
Ku dagegen um eine sog. schwere Achse. Bei dunnen magnetischen Schichten aus Permalloy ('Py'), einer sehr weichmagnetischen ungeordneten Fe/Ni-Legierung der Zusammensetzung
Ni81Fe19, liegt aus verschiedenen Grunden eine Anisotropie mit
einer uniaxialen Vorzugsachse in der Schichtebene vor, mit
einem positiven Wert Ku 5 103 erg/cm3.
Andererseits hat man in vielen Fallen bei sehr dunnen Schichten (z.B. wenige Atomlagen aus (001)-Fe) eine Vorzugsachse
senkrecht zur Schichtebene:
Ursache ist eine unaxiale Oberachenanisotropie
I
Fs(~ ) = d2S Ks (~ ~n)2 :
@V
(11)
Die Oberachenanisotropie Ks hat die Dimension erg/cm2 und
ist meist positiv, wie man quantenmechanisch mit der SpinBahn-Wechselwirkung berechnen kann. Ihre Groenordnung ist
jKsj = O(jKuj a), wo Ku der Wert einer typischen Volumenanisotropiekonstanten (z.B. Co) und a 2 A eine typische
Gitterkonstante ist. Man erhalt fur Ks also Werte um 10 1
erg/cm2.
9
Auch durch magnetostriktive Eekte { Verzerrung und Ver-
spannung z.B. beim Aufwachsen auf nicht ganz passendem Substrat ('mist') { wird die Anisotropie u.U. wesentlich beeinut, worauf wir hier aber nicht eingehen wollen.
Der dritte und vierte Term im Landauschen Energiefunktional
(6) beschreiben die Zeeman-Energie, d.h. die Wechselwirkungsenergie der magnetischen Dipole im aueren Magnetfeld H~ ext,
und die Wechselwirkungsenergie der Dipole im selbsterzeugten
sog. Streufeld H~ D . Hier tritt in Formel (6) ein Faktor 21 auf,
um Doppelzahlung zu vermeiden: Jeder Dipol ~~l ergibt einen
Zeeman-Energiebeitrag im Magnetfeld ~hm~ , das von den anderen
Dipolen ~m~ erzeugt wird. Diese Streufeldenergie ist schwierig zu
berechnen, weil sie { wie das Streufeld selbst { eine wesentlich
nichtlokale Groe ist. Man erkennt das u.a. auch daran, da
die Streufeldenergie nicht im Korper selbst lokalisiert ist: Zwar
sieht es in der Formulierung (6) so aus, denn dort kommen nur
Integrale uber K vor. Aber es gilt { wie hier nicht bewiesen
werden soll { die Identitat
Z
1Z
~
~
dV HD J = dV o H~ D2 :
(12)
2K
2
1
Man kann also einerseits sagen, da das Streufeld zwar nichtlokal ist,
die Streufeldenergie aber wegen (6) in K lokalisiert ist. Andererseits
kann man mit gleicher Berechtigung wegen (12) auch sagen, da
auch die Streufeldenergie selbst nicht in K lokalisiert ist.
Erganzung: Die Landau-Lifschitz-Gilbert-Gleichung
Zum Minimalprizip fur die Freie Enthalpie (6) gehort als Bewegungsgleichung die folgende Prazessionsgleichung (Landau-LifschitzGilbert-Gleichung), die hier ohne weitere Begrundung angegeben
wird:
dJ~
= J~ H~ e ;
(13)
dt
10
mit dem eektiven Magnetfeld H~ e :
d~
0 2A 2
+ r ~ :
(14)
H~ e := H~ ext + H~ D J1 @F
@~
J
d
t
s
s
Hier beschreibt der letzte Term die Dampfung der Prazessionsbewegung durch einen phanomenologischen Dampfungsparameter .
11
IV. Charakteristische Langen und der 'Weichheitsparameter' Q
2
Mit den angegebenen Parametern A, Ku (bzw. K1) und KD := 2Js0
(= 2(Ms0 )2 im cgs-System) kann man die folgenden zwei charakteristischen Langen bilden :
v
u
u
lu := ut
A und
Ku
v
u
u
lD := ut
A :
KD
(15)
Das Zusammenspiel dieser beiden Langenparameter macht die Berechnung der Magnetisierungskongurationen sehr schwierig. Die
erste Langenskala kommt immer dann ins Spiel, wenn Streufelder
vermieden werden konnen, die zweite, i.a. viel kurzere Langenskala
regelt den exponentiellen Abfall einer Storung, die mit Streufeldern
verbunden ist: Wenn etwa in einer dunnen Schicht die Magnetisierung im Mittel in x-Richtung zeigt, und lokal an einer Stelle x0 eine
Auslenkung 0 in y-Richtung erzwungen wird, dann geht y (x)
fur jx x0j lu asymptotisch wie y (x) ! (0)y exp( jx
x0j=lu) ! 0; wenn man die Magnetisierung dagegen in z-Richtung
auslenkt, entstehen Oberachenpole, und das asymptotische Abklingen der Magnetisierung ist jetzt durch lD bestimmt: z (x) !
(0)z exp( jx x0j=lD ) ! 0. Auerdem ist bei weichmagneti2
schem Material (0)z =(0)y 1, namlich gleich Ku=(Ku + Jso ).
In vielen Fallen { z.B. bei dem langen logarithmischen Auslauferbereich der Neelwand in dunnen Schichten, siehe den folgenden Vortrag { macht sich aber die lange Reichweite der Dipolwechselwirkung gesondert bemerkbar.
Das Verhaltnis Q := KJs2u bezeichnet man als 'Weichheitsparameter'.
20
Fur Q 1 hat man es mit weichmagnetischem Material zu tun
(z.B. Py), fur Q 1 mit hartmagnetischem Material, z.B. SmCo5,
bei Co (Q 5:6) liegt man im U bergangsbereich. Teilchen, deren
Lineardimensionen lD (bzw. lD ) sind, benden sich i.w. in
einem Einbereichszustand (bzw. Vielbereichszustand).
Zum Abschlu auf der folgenden Seite eine Tabelle:
12
Micromagnetic model parameters
Room temperature values
Py
Fe
Co
A[10 6 erg/cm]
1.3 2.1 3.0
5103 4.7105 5106 -4.5104
800 1750 1600 485
160
21
7.7
42
Ku[erg/ccm]
M0s[Oe]
rA
lu := Ku [nm]
lD :=
2
s
Q:= llDu2
Ni
0.8
A
2Ms2 [nm]
= 2(KMu )2
s
0
0
5.7
3.3
4.3
7.4
0.001 0.49
5.6
0.17
Literatur:
A. Hubert, R. Schafer, Magnetic Domains, Springer 1998;
W.F. Brown, Jr., Micromagnetics, Wiley 1963;
W. Doring, in: Handbuch der Physik (Ed. S. Flugge), Vol. 18/2
(1968)
13