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Sommersemester 2004
30. Juli 2004
Zweite Klausur zur Theoretischen Physik III
(Quantenmechanik)
Bitte lesen Sie zunächst die Hinweise und Bemerkungen auf Seite 3!
2 + 4 + 4 Punkte
1. Feinstruktur und Zirkularbahnen:
(n, ` = n − 1)
Die Radialfunktion für eine Zirkularbahn
im Wassersto- oder wassersto-
ähnlichen Atom lautet
Rn,n−1 (r) =
1
1
p
%n e−%/2 ,
r n aB (2n − 1)!
1
(aB =
~c
).
Zαmc2
(1)
geschrieben werden? Bestätigen
normiert ist.
1.2 Berechnen Sie den Erwartungswert
des Bohr-Radius'
2r
,
naB
ψn,`=n−1,m (x)
1.1 Wie muss die gesamte Wellenfunktion
Sie, dass diese auf
%=
mit
aB .
1/r3
n,n−1,m
in diesen Zuständen als Funktion
1.3 Die Spin-Bahnkopplung in solchen Atomen wird durch den Operator
(~c)2 1 dU (r)
`·s,
2(mc2 )2 r dr
H1 =
beschrieben. Die beiden Zustände mit
U (r) = −
Zα ~c ,
r
j+ = ` + 1/2
und mit
(2)
j− = ` − 1/2 haben dieselbe
` · s in diesen beiden
Radialfunktion (1). Geben Sie den Erwartungswert des Operators
n an.
∆E ≡ E(j+ )−E( j− ) in erster Ordnung Störungstheorie
R∞
n −x
dx x e
= n! .
0
Zuständen als Funktion der Hauptquantenzahl
Berechnen Sie die Energiedierenz
mit (2) als Störung. Hinweis:
3 + 3 + 4 Punkte
2. Endliche Ausdehung des Atomkerns:
U1 (r), das ein Kern am Ort des Elektrons erzeugt, unterscheidet sich
vom Coulomb-Potential U0 (r) = −Ze/r nur im Intervall 0 ≤ r ≤ R, wo R aB ist.
(1)
(0)
Ziel der Aufgabe ist es, die Verschiebung δ(2s) = E2s − E2s des 2s-Zustands (gegenüber
dem Punktkern) abzuschätzen und zu zeigen, dass die Verschiebung δ(2p) des 2p-Zustands
Das wahre Potential
demgegenüber viel kleiner ist.
2.1 Zeigen Sie zunächst:
Z
R
dr
[ar2 + br3 + cr4 ][U1 − U0 ] =
Z
0
wo
∆
R
r 2 dr
0
b
c
a 2
r + r3 + r4 ∆ U1 − U0 ,
6
12
20
den Laplace-Operator bezeichnet (s. Hinweis).
2.2 Für beide Potentiale und für ihre Dierenz gilt die Poisson-Gleichung
∆ U1 − U0 = −4πZe %1 − %0 ,
dabei werde für
%1
die homogene Verteilung gewählt, während
%0
die Punktladung im
Ursprung ist,
%1 =
3
Θ(R − r) ,
4πR3
%0 = δ(x) ,
U0 (r) = −
Ze
.
r
R.
r ≤ R approximieren wir (rR2s (r))2 und (rR2p (r))2 durch Reihen a(2s) r2 +b(2s) r3 +
c(2s) r4 bzw. a(2p) r2 + b(2p) r3 + c(2p) r4 . Berechnen Sie folgende Koezienten: a(2s) , a(2p) ,
b(2p) und c(2p) . Geben Sie damit δ(2s) in erster Ordnung an und erläutern, warum δ(2p)
Berechnen Sie das Integral in 2.1 als Funktion von
2.3 Für
wesentlich kleiner ist. Hinweise:
1 d 2 df r
.
r 2 dr
dr
1
r −r/(2aB )
R2s (r) = √ 3/2 1 −
e
,
2aB
2 aB
∆f (r) =
1
1
R2p (r) = √ 5/2 re−r/(2aB ) .
2 6 aB
4 + 6 Punkte
Pψ = |ψ ψ| der Projektor auf
iα
den Einheitsstrahl {e ψ}. Überzeugen Sie sich, dass Pψ nicht von α abhängt. Zeigen Sie,
dass Erwartungswerte von Observablen durch
O ψ = Sp (Pψ O) gegeben sind.
Hinweis: Verwenden Sie die A-Darstellung (im Sinne der Darstellungstheorie).
3.2 Wir bilden den Zustand Ψ = λψ + µφ, wo ψ und φ wie in 3.1 reine Zustände sind
2
2
und die Koezienten λ, µ ∈ C normiert sind: |λ| + |µ| = 1. Von welcher Art ist der Zu
stand Ψ? Zeigen Sie: Wenn für alle Observablen O des Systems ψ|O|φ = 0 gilt, dann ist
2
der Zustand Ψ nicht mehr unterscheidbar von einem gemischten Zustand mit w1 = |λ| ,
w2 = |µ|2 . Geben Sie den entsprechenden Statistischen Operator an.
3. Reine und gemischte Zustände:
3.1 Es sei
ψ
ein (reiner) quantenmechanischer Zustand,
3 + 2 + 5 Punkte
4. Zwei Oszillatoren in der Ebene:
Zwei unabhängige Oszillatoren mit derselben Kreisfrequenz werden durch Erzeugungs- und
a†i bzw. ai beschrieben, die folgende Kommutationsregeln erfüllen:
† †
aj , ak = 0 ,
aj , ak = 0 .
(3)
Vernichtungsoperatoren
aj , a†k = δjk ,
Der Hamiltonoperator und seine normierten Eigenfunktionen sind


2
X
H = ~ω 
a†j aj + 1 ,
n1 † n2
1
|n1 , n2 = √
a†1
a2 |0, 0 .
n1 !n2 !
j=1
(4)
Auÿerdem seien die folgenden Operatoren deniert
Nj := a†j aj ,
N :=
2
X
N12 := a†1 a2 ,
Nj ,
N21 := a†2 a1 .
(5)
j=1
4.1 Geben Sie die Matrixdarstellung der Operatoren (5) in der Basis
|n1 n2
an. Zeigen Sie, dass alle vier Operatoren mit
H,
H -Darstellung, d.h. in der
Gl. (4) vertauschen. Geben
Sie dafür eine Erklärung, indem Sie deren Wirkung auf Eigenzustände von
x1 -
4.2 Wenn es sich hier um Oszillatoren in der
bzw.
x2 -Richtung
H
betrachten!
in der Ebene handelt,
dann gilt bekanntlich
1
xj = b √ a†j + aj ,
2
pj =
~ i
√ a†j − aj ,
b 2
j = 1, 2 .
~`3 = x1 p2 − x2 p1 und drücken ihn durch
die Njk aus. Ist `3 hermitesch? Kommutiert `3 mit H ?
4.3 Wie wirkt `3 auf die Basiszustände |n1 = 1 n2 = 0 und |n1 = 0 n2 = 1 des von diesen
aufgespannten Unterraums H2 ?
Wie wirkt `3 auf die Zustände |20 , |11 und |02 , die den Unterraum H3 aufspannen?
Geben Sie die Matrixdarstellung von `3 in H2 an, bestimmen Sie die Eigenwerte dieser
2 × 2-Matrix und geben die zugehörigen Eigenvektoren an.
Stellen Sie die Matrix `3 im dreidimensionalen Raum H3 auf, bestimmen hier aber nur
Bilden Sie den Operator
`3
aus der Denition
deren Eigenwerte.
a† |n
Hinweis: Erst einmal nachprüfen was
ergibt (Normierung in (4) beachten!).
bzw.
a|n
beim eindimensionalen Oszillator
4 + 6 Punkte
5. Polarisierte Teilchen:
5.1 Ein Strahl von Protonen hat den Impuls
p
und wird durch den Statistischen Operator
W = |p p| 0, 35P+ + 0, 65P− mit
P+ = 1 , 1 1 , 1 , P− = 1 , − 1 1 , − 1 2 2
beschrieben, wo
2 2
P±
2
2
2
2
die Projektoren auf die angegebenen Spinzustände mit einer be-
3-Richtung
bedeuten. Dieser Zustand hat seinen Polarisationsvektor
P = s /| s |max = 2 s parallel zur 3-Achse, d.h. es ist P = P ê3 . (Warum verschwinden seine 1- und seine 2-Komponente?). Berechnen Sie P und damit die Polarisation in
stimmten Wahl der
2
Prozent.
5.2 Es sei die folgende Dichtematrix im Raum der Spinzustände von Protonen gegeben
%=
cos2 θ/2
sin θ/2 cos θ/2
sin θ/2 cos θ/2
.
sin2 θ/2
Beschreibt sie einen reinen oder einen gemischten Zustand? Berechnen Sie den Erwartungswert der Observablen
O = s3 cos α + s1 sin α ,
Wenn Sie
wo
s3 =
1
2
1 0
1 0
, s1 =
0 −1
2 1
1
.
0
α geeignet wählen, können Sie entscheiden, um welchen Zustand es sich handelt.
2 + 4 + 4 Punkte
6. Ein Drehimpulsoperator für Spin-Bahn-Zustände:
` eines Elektrons mit seinem
Spin s zum Drehimpuls
j = ` + s gekoppelt vor, so sind die Eigenzustände |(`s)jm von j 2 und j3 bekanntlich
2
2
zwar Eigenzustände von ` und von s , aber nicht von `3 oder s3 .
6.1 Schreibt man |(`s)jm als Linearkombination aus Produktzuständen |`m` |sms , wie
hängen m` und ms mit m zusammen?
Stellt man sich den Bahndrehimpuls
6.2 Es sei folgender Operator deniert
K := σ · ` + 1l2 = 2s · ` + 1l2 .
(6)
Seine Eigenwerte werden traditionell mit
(−κ)
bezeichnet,
Geben Sie diese Eigenwerte an.
6.2 Berechnen Sie das Quadrat
Formel, die es ermöglicht,
6.3 Wenn
von
zu
`
κ
κ
2
K2
durch
und berechnen dessen Eigenwerte. Daraus folgt eine
j
auszudrücken.
positiv oder negativ gegeben ist, wie kann man daraus die Werte von
berechnen? Welche Werte von
3d5/2
K|(`s)jm = (−κ)|(`s)jm .
und
κ
gehören zu den Zuständen
3d3/2 ?
(σ · a)(σ · b) = a · b + iσ · (a × b).
Hinweis: Es ist
2p3/2
und
2p1/2 ,
Vorsicht bei der Berechnung von
j
und
welche
` × `!
Bemerkungen und Hinweise
•
Die sechs gestellten Aufgaben werden Ihnen zur Auswahl gestellt, d.h. Sie sollen etwa
vier (oder mehr) davon vollständig lösen.
•
Lesen Sie daher zunächst alle Aufgaben
in Ruhe
durch und wählen Sie diejenigen
aus, die Sie meinen sofort bearbeiten zu können.
•
Vermeiden Sie es, alle oder fast alle Aufgaben anzurechnen, d.h. nur in Teilen
zu skizzieren, in der vagen Honung, auf diese Weise Punkte sammeln zu können.
Lösen Sie statt dessen weniger Aufgaben, diese aber vollständig und überzeugend
ausformuliert.
•
Bitte antworten Sie mit klar strukturierten Sätzen so, dass der Korrektor ihren Gedankengang und Lösungsweg verstehen und beurteilen kann. Arbeiten Sie also zunächst ins Unreine und schreiben die Lösung erst danach auf.
•
Jede vollständig gelöste und ausformulierte Aufgabe werden wir mit 2 Extrapunkten
honorieren!
•
Als Hilfsmittel sind nur Ihre Mitschrift der Vorlesung und, wenn Sie dies wünschen,
eine mathematische Formelsammlung zulässig.
• Bitte fangen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt an, das Sie mit
Ihrem Namen und dem Ihres Übungsassistenten versehen.
•
Viel Glück!
3