Statistik - Hochschule Esslingen

Dr. I. Fahrner
Fakultät Grundlagen
Hochschule Esslingen
SoSe 2017
12.05.2017
Übungsblatt 8
Statistik
Stichworte: Normalverteilung, Quantil, Zufallsstreubereich, Summe von Zufallsvariablen, Zentraler Grenzwertsatz;
Skript: Kapitel 4.4
72. Die Zufallsvariable X, die das Gewicht (in kg) von Schülern einer bestimmten Altersgruppe
beschreibt, sei N (73; 64)-normalverteilt. Berechnen Sie einen zweiseitigen 95%-Zufallsstreubereich
für X, d.h. das Intervall [q α2 ; q1− α2 ] = [µ − z1− α2 · σ; µ + z1− α2 · σ], in dem das Gewicht X
eines zufällig ausgewählten Schülers mit Wahrscheinlichkeit 0.95 liegt.
73. Eine Maschine schneidet Drahtstücke zu. Die Zufallsvariable X, die die Länge (in mm) eines
zufällig ausgewählten Drahtstücks beschreibt, sei normalverteilt mit µ = 501 und σ 2 = 7.
(a) Berechnen Sie einen zweiseitigen 95%-Zufallsstreubereich für X.
(b) Berechnen Sie einen zweiseitigen 99%-Zufallsstreubereich für X.
(c) Berechnen Sie die beiden einseitigen 99%-Zufallsstreubereiche für X.
(d) Es werden zufällig n = 50 Drahtstücke aus der Produktion dieser Maschine entnommen.
Die Zufallsvariable X̄ beschreibe die mittlere Drahtlänge dieser Stichprobe. Berechnen
Sie einen zweiseitigen 99%-Zufallsstreubereich für X̄.
74. Eine Maschine füllt Wasser in 0.7-l-Flaschen ab. Die Füllmenge (in ml) kann als normalverteilt
angesehen werden mit Erwartungswert µ = 701.25 und Standardabweichung σ = 0.9. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
(a) Die Füllmenge unterschreitet den Sollwert von 0,7 l.
(b) Die Füllmenge übersteigt 705 ml.
(c) Die Füllmenge weicht um mehr als 2 ml vom Sollwert ab.
(d) Berechnen Sie je einen zweiseitigen Zufallsstreubereich, der
i. mit Wahrscheinlichkeit 98%
ii. mit Wahrscheinlichkeit 99%
die (zufällige) Füllmenge einer Flasche enthält. (Skizze!)
(e) Welche Füllmenge wird von nur 1% aller Flaschen unterschritten?
75. Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei durch
eine N (1000; 10)-verteilte Zufallsvariable X beschrieben. Bestimmen Sie
(a) einen zweiseitigen 95-%-Zufallsstreubereich für X
(b) die beiden einseitigen 95-%-Zufallsstreubereiche für X.
76. Bei einer Studie wurde die Lesekompetenz von Schülern auf einer Punktskala gemessen (hoher
Punktwert = hohe Lesekompetenz). Für eine bestimmte Schülergruppe ergab sich, dass die
Lesekompetenz durch eine N (550; 3600)-Normalverteilung beschrieben werden kann. Welche
Punktwerte hatten die 5% der Schüler, die am schlechtesten lesen konnten?
77. Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei N (1000; 10)verteilt. Ein Karton enthält 100 Packungen Zucker. Berechnen Sie einen zweiseitigen 95-%Zufallsstreubereich für das mittlere Packungsgewicht der 100 Packungen eines zufällig ausgewählten Kartons.
78. Die Füllmenge von Kaffeepackungen (in g) sei N (500; 5)-verteilt. Es wird eine Stichprobe
von n = 20 Packungen zufällig herausgegriffen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der
folgenden Ereignisse:
(a) Das Gesamtgewicht G der Stichprobe liegt bei höchstens 9.990 kg.
(b) Das Durchschnittsgewicht D der Stichprobe liegt bei höchstens 499 g.
79. In einem Montageprozess werden Wellen in Lager eingebaut. Das Maß einer Welle (in mm)
wird durch eine Zufallsvariable X2 ∼ N (20; 0.000049) beschrieben, das Maß eines Lagers
(in mm) durch eine Zufallsvariable X1 ∼ N (20.012; 0.000036). Falls das Aufmaß des Lagers
gegenüber der Welle größer als 0.03mm oder kleiner als 0.004mm ist, gibt es Montageprobleme.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein solches Montageproblem auftritt, wenn man
eine Welle und ein Lager zufällig auswählt.
80. Eine Studentin (siehe Aufgabe 63) benutzt die Straßenbahn an 220 Arbeitstagen im Jahr
jeweils hin und zurück (= 440 Fahrten).
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtwartezeit von Studentin bei allen
diesen Fahrten zusammen 77 Stunden übersteigt?
(b) Warum wird bei dieser Aufgabe keine Stetigkeitskorrektur benötigt?
81. Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass
die Augensumme zwischen (einschließlich) 340 und 360 liegt?
82. Bei einem Produktionsprozess liegt der Ausschussanteil bei p = 2%. Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang n = 500 entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Stichprobe mehr als 15 Ausschussstücke enthalten sind? Rechnen Sie
(a) exakt
(b) näherungsweise mit der Normalverteilung.
Vergleichen Sie den Aufwand.
83. In einem chemischen Prozess werden über eine Dosiervorrichtung nacheinander zwei Stoffe
zugeführt. Die beiden Stoffmengen sind unabhängig normalverteilt mit µ1 = 100g und σ1 =
2g sowie µ2 = 75g und σ2 = 1g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zugeführte
Stoffmenge beider Stoffe zusammen weniger als 170g beträgt?
84. Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g) sei N (1000; 10)verteilt. Es werden Kartons mit je 100 Packungen zusammengestellt.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig herausgegriffenen Karton das
durchschnittliche Packungsgewicht 999.5g unterschreitet?
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gesamte Zuckermenge eines Kartons mehr
als 100.025 kg beträgt?
(c) Welche zusätzliche Voraussetzung liegt Ihren Berechnungen zugrunde?
85. Zur Überwachung der Produktion von Spritzgussteilen wird eine Stichprobe von 300 Einheiten
der laufenden Fertigung entnommen. Die Ausschussrate liegt bei 5%. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Stichprobe mehr als 20 fehlerhafte Einheiten enthält?
86. Bei der Herstellung von Fensterscheiben ist im Mittel mit 10 Bläschen pro m2 zu rechnen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich auf einer 2m x 2m großen Scheibe mehr als 30
Bläschen befinden?