Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Teil 2 Aufgabe 1: Die

Prof. Dr. Timm Sigg
Mathe 3, Statistik
Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung, Teil 2
Aufgabe 1: Die Zufallsvariable X beschreibe die Augenzahl beim Werfen eines Würfels.
a)
Bestimmen Sie die diskrete Dichte von X.
b)
Zeichnen Sie die diskrete Dichte von X in einem Histogramm.
c)
Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.
d)
Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
e)
Berechnen Sie die Varianz von X.
f)
Wie groß ist die Standardabweichung von X?
Aufgabe 2: Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Ihr Einsatz beträgt 4,- EUR. Wird
eine 1 oder 2 geworfen, erhalten Sie 1,- EUR ausgezahlt; bei einer 3 oder 4 erhalten Sie 2,- EUR.
Bei einer 5 beträgt die Auszahlung 4,- EUR und bei einer 6 beläuft sie sich auf 8,- EUR. (D.h.,
beim Werfen einer 6 beträgt Ihr Gewinn 4,- EUR.). Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn
bzw. Verlust.
a)
Geben Sie die diskrete Dichte von X an.
b)
Berechnen Sie E(X) und V ar(X). Ist das Spiel fair?
Aufgabe 3: (Klausuraufgabe Sommersemester 1998; abgewandelt)
Bei einem Glücksspiel werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Ihr Einsatz beträgt 4 EUR. Bei
einem Pasch (=zweimal die gleiche Augenzahl) erhalten Sie 8 EUR ausbezahlt. Wenn nur eine 6
dabei ist, erhalten Sie 6 EUR.
a)
Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn (bzw. Verlust). Berechnen Sie die diskrete
Dichte von X.
b)
Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Ist das Spiel fair?
c)
Sie spielen hundert Mal. Welchen Gewinn oder Verlust erwarten Sie dabei?
d)
Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair?
Aufgabe 4: Ein Unternehmen erhält eine Lieferung vom Umfang N = 1000. Von diesen 1000
sind M = 35 defekt. Beim Abnehmer, der die Anzahl der Defektstücke in der Lieferung natürlich
nicht kennt, wird bei der Wareneingangskontrolle eine Stichprobe von n = 20 Stück zufällig
entnommen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie viele Defektstücke in dieser Stichprobe sind.
a)
Wie ist die Zufallsvariable X verteilt?
b)
Berechnen Sie P (X = 1) exakt.
c)
Berechnen Sie P (X = 1) näherungsweise unter Verwendung der Binomialverteilung. (Darf
man das hier?)
1
Prof. Dr. Timm Sigg
Mathe 3, Statistik
Aufgabe 5: Bei der Herstellung einer bestimmten Gewebesorte kann die Zahl der Webfehler pro
1 m2 als Poisson-verteit angesehen werden mit Erwartungswert 0,8.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 1 m2 keinen Fehler zu finden?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einem Stück von 5 m2 drei oder mehr Fehler zu
finden?
Aufgabe 6: Herr Müller geht, ohne auf die Uhr zu sehen, zu einer Haltestelle in einer Großstadt,
an der alle 20 Minuten eine Straßenbahn fährt. Die Zufallsvariable X beschreibt seine Wartezeit
bis zur nächsten Bahn in Minuten. (X soll als stetige Zufallsvariable betrachtet werden; z.B. soll
X = 2, 5 bedeuten, dass Herr Müller 2 Minuten und 30 Sekunden warten muss.)
a)
Geben Sie eine passende Dichtefunktion an, und skizzieren Sie die Dichte.
b)
Berechnen Sie die Verteilungsfunktion F von X.
c)
Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion F .
d)
Was gibt die Verteilungsfunktion an? Wie ist z.B. F (12) = 0, 6 zu interpretieren?
e)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
e1) Herr Müller muss höchstens 3 Minuten warten.
e2) Herr Müller muss 5 bis 10 Minuten warten.
e3) Herr Müller muss mehr als 15 Minuten warten.
f)
Berechnen Sie den Erwartungswert von X.
g)
Berechnen Sie Varianz und Standardabweichung von X.
Aufgabe 7: Die Zufallsvariable X beschreibt die Lebensdauer eines bestimmten Glühbirnentyps
(gemessen in Stunden). Die Verteilungsfunktion von X sei die folgende Funktion:
0
für x < 0
F (x) =
−x/1500
1−e
für x ≥ 0
a)
Berechnen Sie mit Hilfe der Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
a1) Die Glühbirne hält höchstens 1000 Stunden.
a2) Die Glühbirne hält mindestens 1500 Stunden.
a3) Die Glühbirne hält mindestens 1000 und höchstens 2000 Stunden.
b)
Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.
c)
Welche Lebensdauer erreichen 50 % aller Glühbirnen?
d)
Berechnen Sie die Dichte von X und damit Erwartungswert und Standardabweichung von X
(schwer!).
2
Prof. Dr. Timm Sigg
Mathe 3, Statistik
Aufgabe 8: Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten für eine N (200; 10)-verteilte Zufallsvariable X. (Skizze!)
a)
P (202 ≤ X ≤ 205)
b)
P (197 ≤ X ≤ 203)
c)
P (198 ≤ X ≤ 199)
Aufgabe 9: Eine Maschine füllt Zucker in Packungen ab. Die Füllmenge einer Packung (in g)
sei durch eine N(1000;10)-verteilte Zufallsvariable X beschrieben. Bestimmen Sie
a)
einen zweiseitigen 95 %-Zufallsstreubereich für X
b)
die beiden einseitigen 95 %-Zufallsstreubereiche für X
Aufgabe 10: Eine Maschine füllt Wasser in 0,7l-Flaschen ab. Der Sollwert beträgt also 0,7l. Die
Füllmenge (in ml) kann als normalverteilt angesehen werden mit Erwartungswert µ = 701, 25 und
Standardabweichung σ = 0, 9.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge den Sollwert unterschreitet?
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge 705 ml übersteigt?
c)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Füllmenge um mehr als 2ml vom Sollwert
abweicht?
d)
Berechnen Sie je einen zweiseitigen Zufallsstreubereich, der mit Wahrscheinlichkeit 98 % bzw.
99 % die (zufällige) Füllmenge enthält.
e)
Welche Füllmenge wird von nur 1 % aller Flaschen unterschritten?
Aufgabe 11: Bei der Produktion von 30.000 Bauteilen waren 300 defekt.
a)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von n = 10 Bauteilen
a1) genau ein defektes Bauteil
a2) höchstens zwei defekte Bauteile
vorkommen?
Hinweis: Approximation durch die Binomialverteilung
b)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von n = 100 Bauteilen mindestens 10 defekte Bauteile vorkommen?
Hinweis: Approximation durch die Normalverteilung
3