Übungsblatt 3

Grundzüge der Statistik B / Statistik II
SS 2010
Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
Übungsblatt 3
Aufgabe 1 :
Betrachten Sie das Beispiel des Werfens mit zwei fairen Würfeln. Im Rahmen eines LaplaceModells wird die Zufallsvariable X als die Summe der beiden Augenzahlen deniert.
1. Geben Sie den Wertebereich und die Verteilung von X an. Berechnen Sie die relevanten
Werte der Verteilungsfunktion.
2. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion von X graphisch
dar.
3. Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariable X .
4. Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsvariable X .
5. Berechnen Sie die zentralen Schwankungsintervalle der Zufallsvariable X für κ = 1, 2, 3.
Aufgabe 2 :
Betrachten Sie abermals den Wurf mit zwei fairen Würfeln. Die Ausprägungen ergeben sich als
das Minimum der Augenzahlen der beiden Würfel. In einer Versuchsreihe wurden die folgenden
Häugkeiten beobachtet.
Ausprägungen
Häugkeiten
1
2
3
4
5
6
316 247 222 129 64 22
1. Bestimmen Sie die empirische Verteilungsfunktion und stellen Sie diese graphisch dar.
2. Berechnen Sie das arithmetische Mittel, die empirische Varianz und die empirische Standardabweichung für die gegebenen Daten.
Modellieren Sie nun den Vorgang: Die Zufallsvariable Y bezeichne das Minimum der beiden
erzielten Augenzahlen: Y = min{AZ1 , AZ2 }.
3. Bestimmen Sie die Verteilung der Zufallsvariablen Y
4. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von Y .
5. Betrachten Sie nun die Zufallsvariable Z = 7 − Y . Bestimmen Sie die Verteilung von Z .
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Grundzüge der Statistik B / Statistik II
SS 2010
Prof. Dr. Alois Kneip / Oualid Bada
6. Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz sowie die Standardabweichung der Zufallsvariablen Z .
Aufgabe 3 :
Einer Urne mit 3 roten und 5 weiÿen Kugeln werden nacheinander 4 Kugeln entnommen. Es
soll die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass darunter 0,1,2,3,4 rote Kugeln sind.
1. Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten im Modell mit Zurücklegen.
2. Berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten im Modell ohne Zurücklegen.
3. Vergleichen Sie die berechneten Werte.
4. Angenommen im ersten Zug wird eine rote Kugel gezogen. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Zug eine rote bzw. weiÿe Kugel zu ziehen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für beide Modelle.
Aufgabe 4 :
Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsvariablen X :
x
−1
1
2
P [X = x]
0, 3
0, 2
0, 5
1. Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion von X .
2. Berechnen Sie den Erwartungswert E(X).
3. Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung von X .
4. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y = 3 + 2 · X und zeichnen Sie die
Verteilungsfunktion von Y .
5. Berechnen Sie Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von Y und zwar einmal
direkt über die Verteilung von Y und zusätzlich mit Hilfe der Transformationsregeln für
Erwartungswert und Varianz.
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