Blatt 5 - Hochschule Esslingen

Dr. I. Fahrner
Fakultät Grundlagen
Hochschule Esslingen
SoSe 2017
12.04.2017
Übungsblatt 5
Statistik
Stichworte: Zufallsvariable, Dichte, Verteilungsfunktion, Hypergeometrische Verteilung, Binomialverteilung; Skript:
Kapitel 4.4.
45. Bei einem Glücksspiel wird ein Würfel geworfen. Ihr Einsatz beträgt 4 EUR.
• Wird eine 1 oder 2 geworfen, erhalten Sie 1 EUR ausgezahlt.
• Bei einer 3 oder 4 erhalten Sie 2 EUR.
• Bei einer 5 beträgt die Auszahlung 4 EUR.
• Bei einer 6 beläuft sie sich auf 8 EUR, d. h., beim Werfen einer 6 beträgt Ihr Gewinn 4
EUR.
(a) Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn bzw. Verlust. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an.
(b) Berechnen Sie E(X) und Var(X). Ist das Spiel fair, d.h. ist E(X) = 0?
46. Bei einem Glücksspiel werden zwei Würfel gleichzeitig geworfen. Ihr Einsatz beträgt 4 EUR.
• Bei einem Pasch (= zweimal die gleiche Augenzahl) erhalten Sie 8 EUR ausbezahlt.
• Wenn nur eine Sechs dabei ist, erhalten Sie 6 EUR.
(a) Die Zufallsvariable X beschreibe Ihren Gewinn (bzw. Verlust). Berechnen Sie die
diskrete Dichte von X.
(b) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Ist das Spiel fair?
(c) Sie spielen hundert Mal. Welchen Gewinn oder Verlust erwarten Sie dabei?
(d) Bei welchem Einsatz wäre das Spiel fair, d. h. ist E(X) = 0?
47. Ein Unternehmer steht vor der Wahl zwischen zwei Investitionsalternativen. Alternative A ist
mit Investitionskosten von 100.000 GE, Alternative B mit Kosten von 90.000 GE verbunden.
Der Unternehmer schätzt die Wahrscheinlichkeit, dass sich sein Geschäft im nächsten Jahr
normal entwickelt, auf 70% ein; die Wahrscheinlichkeit für eine gute Geschäftsentwicklung
auf 10% und die für eine schlechte Geschäftsentwicklung auf 20%. Die folgende Tabelle gibt
den Zusatzumsatz bei den beiden Alternativen in Abhängigkeit von der Geschäftsentwicklung
im nächsten Jahr an.
Geschäftsentwicklung
gut
normal
schlecht
Zusatzumsatz
Alternative A Alternative B
170.000
195.000
140.000
145.000
120.000
45.000
(a) Die Zufallsvariable X beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz - Investitionskosten), der bei Strategie A erzielt wird. Geben Sie die diskrete Dichte von X an,
und berechnen Sie den Erwartungswert µ sowie die Standardabweichung σ von X.
(b) Die Zufallsvariable Y beschreibe den zusätzlichen Gewinn (= Zusatzumsatz - Investitionskosten), der bei Strategie B erzielt wird. Geben Sie die diskrete Dichte von Y an,
und berechnen Sie den Erwartungswert µ und die Standardabweichung σ von Y .
(c) Vergleichen Sie die beiden Alternativen. Wie sind µ und σ zu interpretieren? Welche
Alternative ist vorzuziehen?
48. Die Ausschussquote bei der Produktion eines Massengutes liege bei 10%. Aus der laufenden
Produktion werden 4 Stück zufällig entnommen. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der dabei gefundenen Defektstücke. Berechnen Sie (unter der Annahme, dass die vier
Ereignisse ”Stück i ist defekt”, i = 1, . . . 4, unabhängig sind) (a) die diskrete Dichte von X,
(b) den Erwartungswert µ und (c) die Varianz σ 2 von X.
49. Drei Münzen werden geworfen. Die Zufallsvariable X beschreibt, wie oft ”Kopf” auftritt.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Welche Verteilung hat X?
Geben Sie die diskrete Dichte von X an und stellen Sie sie in einem Histogramm dar.
Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion von X.
Geben Sie Erwartungswert und Varianz von X an.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Münze Kopf zeigt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Münzen Kopf zeigen?
50. Bei der Produktion eines Gutes soll eine Ausschussquote von maximal 0,15% sichergestellt
werden. Bei einer Stichprobe aus der laufenden Produktion vom Umfang 1.000 Stück wurden
3 Ausschussstücke gefunden. Der Vorstand beschwert sich, dass der Ausschussanteil in der
Stichprobe mit 0,3% doppelt so hoch ist, wie die Zielquote erlaubt. Der Produktionsleiter
entgegnet, dass selbst bei Einhaltung der 0,15-Prozent-Quote gar nicht so selten ist, dass drei
oder mehr Ausschussstücke in einer Stichprobe vom Umfang 1000 zu finden sind.
Überprüfen Sie die Behauptung des Produktionsleiters, indem Sie die entsprechende Wahrscheinlichkeit berechnen.
51. über eine Datenleitung werden binäre Nachrichten, also aus Nullen und Einsen bestehende Ziffernfolgen, übermittelt. Die Datenleitung ist allerdings gestört, und zwar erhält der Empfänger
mit Wahrscheinlichkeit 9,7% nicht die gesendete Ziffer, sondern die falsche. Das Auftreten
von Störungen bei mehreren gesendeten Ziffern sei voneinander unabhängig.
Um in dieser Situation die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass der Empfänger die richtige
Nachricht erhält, sendet der Sender jedes Zeichen fünfmal direkt hintereinander, also 00000
statt 0 und 11111 statt 1. Der Empfänger entscheidet bei jeder Fünfergruppe nach der
Mehrheit der empfangenen Zeichen, welche Bedeutung die Fünfergruppe haben soll. Bei drei
oder mehr Einsen (z. B. bei 10110) entscheidet er also, dass eine (verfünffachte) 1 gesendet
wurde, bei drei oder mehr Nullen (z. B. bei 00010) interpretiert er die Fünfergruppe als 0.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit interpretiert der Empfänger eine Fünfergruppe falsch?
52. (a) Berechnen Sie P (X = 2) für eine B(100; 0, 025)-verteilte Zufallsvariable X.
(b) Berechnen Sie P (X ≤ 3) für eine B(100; 0, 025)-verteilte Zufallsvariable X.
(c) Berechnen Sie F (3), wobei F die Verteilungsfunktion einer B(100; 0, 025)-verteilten Zufallsvariablen X bezeichne.
(d) Berechnen Sie P (48 ≤ Y < 50) für eine B(100; 0, 47)-verteilte Zufallsvariable Y .
(e) Berechnen Sie P (Z < 98) für eine B(100; 0, 94)-verteilte Zufallsvariable Z.
(f) Sei G die Verteilungsfunktion einer B(100; 0, 94)-verteilten Zufallsvariable Z. Berechnen
Sie G(98).