Geometrische Optik

Geometrische Optik
Geometrische Optik
Bei der Beschreibung des optischen Systems des Mikroskops bedient man sich der Gaußschen
Abbildungstheorie. Begriffe wie Strahlengang im Mikroskop, Vergrößerung oder auch das
Verständnis der Köhlerschen Beleuchtung lassen sich durch diese geometrisch-strahlenoptische
Betrachtungsweise gut erklären. Die konkrete Bildentstehung durch Interferenz im Mikroskop wird
jedoch nur durch die Heranziehung wellenoptischer Betrachtungsmodelle nachvollziehbar. In den
Bereich der Wellenoptik gehören beispielsweise auch so fundamentale Begriffe wie Kohärenz oder
Polarisation. Die wellenoptischen Grundlagen der mikroskopischen Abbildung werden in einem
eigenen Kapitel behandelt.
Lichtbrechung
An der Grenze zweier transparenter Medien erfährt die Richtung eines Lichtstrahls eine Änderung.
Diese Erscheinung wird als Lichtbrechung bezeichnet. Lediglich bei einem senkrechten Einfall des
Lichtstrahls auf die Grenzfläche der beiden Medien erfolgt keine Richtungsänderung. Die hierbei
wichtigen Zusammenhänge werden durch das Brechungsgesetz beschrieben
Brechungsgesetz (n = Brechzahl)
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Licht, welches von einem Medium mit kleiner Brechzahl in ein Medium mit höherer Brechzahl
übertritt, wird zum Lot hin gebrochen. Umgekehrt wird der Lichtstrahl beim Passieren der Grenze
zu einem Medium mit kleinerer Brechzahl vom Lot weggebrochen. Das Vakuum hat eine Brechzahl
von 1.
Einige Brechungsindices
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Vakuum
: 1.0
Luft
: 1.0003
Wasser
: ca. 1.33
Glas
: ca. 1.5-1.6
: ca. 1.515
Immersionsöl
Die Sammellinse
Ein Lichtstrahl wird beim Übergang von Luft in Glas zum Lot hin gebrochen. Diesen Sachverhalt
nutzt man bei der Konstruktion von Sammellinsen, welche zur Vergrößerung von Objekten
eingesetzt werden können.
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Definition Sammellinse
Strahlen, die parallel zur optischen Achse verlaufen, werden so gebrochen, dass sie den
Brennpunkt F passieren
Strahlen, die untereinander parallel verlaufen, werden so gebrochen, dass sie die
Brennebene in einem gemeinsamen Punkt passieren
Die Strahlengänge sind umkehrbar
f = Brennweite der Linse
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Abbildung durch Sammellinsen
Das durch eine Sammellinse entworfene Bild eines Objekts lässt sich zeichnerisch konstruieren.
Hierzu benötigt man den Verlauf von drei bestimmten Lichtstrahlen:
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Parallelstrahl: ein zur optischen Achse der Linse parallel verlaufender Strahl durchläuft
den Brennpunkt im Bildraum.
Zentralstrahl: ein durch die Mitte der Linse verlaufender Strahl behält seine Richtung auch
im Bildraum bei.
Brennstrahl: ein durch den Brennpunkt im Objektraum verlaufender Strahl wird so
gebrochen, dass er im Bildraum parallel zur optischen Achse verläuft.
Das Abbildungsergebnis durch eine Sammellinse ist abhängig vom Abstand des Objekts von der
Linse. In der nachfolgenden Abbildung befindet sich ein Objekt in einer Entfernung von mehr als
einer Brennweite (f), aber weniger als zwei Brennweiten (2f) von der Linse entfernt. Das
entstehende Bild ist vergrößert und seitenverkehrt. Diese Verhältnisse (Objekt zwischen f und 2f
entfernt) treffen wir bei den Objektiven der Mikroskope an. Diese entwerfen also ein vergrößertes,
seitenverkehrtes und reelles Bild eines Präparates. Das entstandene Bild ließe sich auf einer
Leinwand auffangen, deshalb wird es als reell bezeichnet.
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Das Bild des Pfeiles im obigen Beispiel befindet sich mehr als 2f ´ von der Linse entfernt.
Strahlenverläufe sind jedoch umkehrbar. Deshalb kann man aus dem Beispiel auch ableiten, dass
ein Objekt, welches sich in einer Entfernung von mehr als zwei Brennweiten von einem Objektiv
befindet, ebenfalls seitenverkehrt und reell, aber verkleinert wiedergegeben wird. Gedanklich muss
man hierzu lediglich die Bezeichnungen "Bild" und "Objekt" in obiger Abbildung vertauschen. Diese
Verhältnisse trifft man bei gewöhnlichen Objektiven aus der Fotografie an.
Maßstabszahl des Objektivs
Ein Objektiv erzeugt eine reelle Abbildung des beobachteten Objekts. Deshalb lässt sich eine
Strecke im Präparat auch einer Strecke in deren Bild direkt zuordnen und ausmessen. Wie bei
einer Landkarte spricht man deshalb im Zusammenhang mit der Objektiv-Abbildung nicht von
Vergrößerung, sondern von einem Abbildungsmaßstab bzw. einer Maßstabszahl. Das Objektiv 40X
besitzt somit den Abbildungsmaßstab von 40:1, bzw. die Maßstabszahl 40.
Es wurde gezeigt, welche Bildergebnisse eine Linse bei Objektentfernungen von mehr als einer
Brennweite entwirft. Ein Objekt kann sich jedoch auch in einer Distanz von weniger als einer
Brennweite von der Linse befinden. Diese Verhältnisse liegen bei der Lupenvergrößerung vor.
Wenn eine Sammellinse als Lupe eingesetzt wird, erfolgt die Konstruktion des Bildes ebenfalls
durch Brenn-, Parallel-, und Zentralstrahl. Wie aus der Abbildung hervorgeht, lassen sich die
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Strahlen jedoch im Bildraum nicht zum Überschneiden bringen. Verlängert man die Strahlen
dagegen rückwärtig in den Objektraum hinein, so lassen sie sich dort zur Überschneidung bringen.
Das für das Auge entstehende Bild lässt sich allerdings nicht auf einer Leinwand, wie bei einem
Objektiv, auffangen. Es wird als virtuell bezeichnet. Aus der Konstruktion geht hervor, dass dieses
virtuelle Bild vergrößert und nicht seitenverkehrt ist.
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Lupenvergrößerung
Brennstrahl, Parallelstrahl und Zentralstrahl müssen in den Objektraum verlängert werden,
um das virtuelle Bild zu konstruieren.
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Berechnung der Lupenvergrößerung
Eine Lupe erzeugt kein reelles Bild, folglich lassen sich in dem virtuellen Bild keine Strecken
ausmessen und in Beziehung zu den korrespondierenden Strecken im Präparat setzen. Deshalb
kann man bezüglich einer Lupe nicht von einer Maßstabszahl sprechen. Der Berechnung der
Vergrößerung durch eine Lupe liegen die folgenden Überlegungen und Konventionen zugrunde.
Soll ein Objekt mit möglichst starker Vergrößerung betrachtet werden, so könnte die Überlegung
dahin gehen, diesen Gegenstand direkt vor das Auge zu halten. Die Akkomodationsfähigkeit der
Augenlinse ist jedoch beschränkt. Deshalb ist für das entspannte Betrachten eines Objekts ein
gewisser Mindestabstand zum Auge einzuhalten. Diese Distanz beträgt etwa 25 cm und wird auch
als konventionelle Sehweite bezeichnet.
Ob das menschliche Auge Details bei der Einhaltung der konventionellen Sehweite aufzulösen
vermag ist abhängig vom sogenannten Sehwinkel. Ist dieser Winkel größer als etwa 3
Winkelminuten, so wird das entsprechende Detail von einem normalsichtigen Auge aufgelöst.
Die Funktionsweise einer Lupe besteht nicht darin, wie bei einem Objektiv der Fall, ein
vergrößertes reelles Bild zu entwerfen, sondern den Sehwinkel für das Auge zu vergrößern.
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Nachfolgend soll die Berechnung der Lupenvergrößerung abgeleitet werden.
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Die Brennweite f ´(die Brennweite auf der dem Auge zugewandten Seite) bestimmt somit nach
Formel (5) die Vergrößerung durch eine Lupe. Eine Lupe mit der Brennweite von 25 mm hat somit
eine 10-fache Vergrößerung.
Das optische System des Zusammengesetzten Mikroskops
Das Lichtmikroskop wird auch als Zusammengesetztes Mikroskop bezeichnet. Diese Bezeichnung
basiert auf der Tatsache, dass die mikroskopische Vergrößerung in zwei Stufen erfolgt. Der erste
Vergrößerungsschritt erfolgt durch das Objektiv. Wie erwähnt, entwirft dieses Objektiv ein reelles
Bild, das sogenannte Zwischenbild. Dieses Bild wird durch das Okular betrachtet und in einem
zweiten Schritt nachvergrößert. Das Okular wirkt jedoch nicht wie ein Objektiv, sondern wie eine
Lupe. Zur Verdeutlichung diese Sachverhaltes wird das Mikroskop oftmals mit einem Diaprojektor
verglichen, dessen Bild mit einer Lupe betrachtet wird. Analog zum Objektiv des Mikroskops
entwirft das Objektiv eines Projektors ein reelles, vergrößertes und seitenverkehrtes Bild. Dieses
Bild wird auf einer Leinwand aufgefangen. Im Mikroskop würde die Zwischenbildebene der
Leinwand entsprechen. Allerdings wird im Mikroskop das Bild nicht auf einer Leinwand
aufgefangen, sondern durch eine Lupe, dem Okular beobachtet.
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Zusammengesetztes
Mikroskop
Das Schema verdeutlicht die
zweistufige Vergrößerung - vom
Objektiv wird ein reelles Bild in
die Zwischenbildebene projiziert.
Dieses Zwischenbild wird durch
das als Lupe wirksame Okular
betrachtet. Die Darstellung ist in
einigen Details nicht ganz korrekt,
insbesondere befindet sich in der
Realität die Zwischenbildebene in
der Brennebene des Okulars.
Dadurch kann das
mikroskopische Endbild, welches
im Unendlichen entsteht, mit
entspanntem Auge betrachtet
werden.
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Berechnung der mikroskopischen Vergrößerung
Die Gesamtvergrößerung eines Mikroskops ergibt sich aus dem Produkt der Maßstabszahl des
Objektivs und der Vergrößerung durch das Okular.
VMikroskop = MObjektiv * VOkular
Beispiel:
Für eine Kombination aus dem Objektiv 40X und einem Okular 10X ergibt mit 40 * 10 eine
Gesamtvergrößerung von 400X.
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Abbildungsfehler von Linsensystemen
Die Abbildung durch Linsen erfolgt nicht so störungsfrei wie geschildert; mehrere Faktoren
bedingen, dass die durch Linsen erzeugten Bilder immer mehr oder weniger fehlerbehaftet sind.
Nachfolgend werden zwei dieser Fehler näher beschrieben. Hierbei handelt es sich um die
chromatische Längsaberration sowie die sogenannte Bildfeldwölbung.
Chromatische Längsaberration
Bisher wurde nur von "der Brechzahl" gesprochen. Diese Zahl ist jedoch nicht nur spezifisch für ein
bestimmtes Medium, sondern auch für eine bestimmte Lichtfarbe. Kurzwelliges Licht wird stärker
gebrochen als längerwelliges Licht. Deshalb schneiden kurzwellige Lichtstrahlen die optische
Achse einer Linse näher an dieser, als längerwelliges Licht. Dieser Abbildungsfehler wird
Chromatische Längsaberration genannt. Die Abhängigkeit der Brechzahl von der Wellenlänge wird
auch als Dispersion bezeichnet.
Die chromatische Längsaberration ist selbst bei den einfachsten Objektiven teilweise behoben.
Hierzu wird eine Sammellinse mit einer Zerstreuungslinse kombiniert. Beide Linsen bestehen aus
unterschiedlichen Glassorten und werden so gewählt, dass sich bei deren Anordnung wiederum die
Wirkung einer Sammellinse ergibt. Die Brennpunkte für blaues und rotes Licht werden dadurch zur
Deckung gebracht. Derartig korrigierte Objektive werden als Achromate bezeichnet. Es sind
preiswerte Objektive, die überwiegend in der Ausbildung und für Routineaufgaben eingesetzt
werden.
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Achromate erzeugen trotz ihrer Korrektion Bilder, deren Strukturen immer noch leichte Farbsäume
aufweisen. Durch einen noch wesentlich komplizierten Aufbau der Objektive als bei den
Achromaten lassen sich jedoch derartige Farbsäume weitgehend unterdrücken. Bei derartig
korrigierten Objektiven, den Apochromaten, stimmen die Brennpunkte für Rot, Blau und Grün
überein.
Bildfeldwölbung
Unter der Bildfeldwölbung versteht man den Effekt, dass eine ebene Fläche durch ein lediglich
achromatisch korrigiertes Objektiv schalenförmig gewölbt abgebildet wird. Dadurch ist es
unmöglich, gleichzeitig Bildmitte und Bildrand scharf einzustellen und zu betrachten. Ähnlich wie
die chromatische Längsaberration lässt sich auch dieser Bildfehler mit entsprechendem Aufwand
korrigieren. Derartig korrigierte Objektive sind die Planachromate. Objektive, bei denen
gleichzeitig die Bildfeldwölbung und die chromatische Längsaberration weitgehend behoben sind,
werden als Planapochromate bezeichnet.
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Ergänzende Themen:
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© 2000 Christian Linkenheld
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