4. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2017

4. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2017
Aufgabe 11: Ortsoperator, Spektraldarstellung
Wir betrachten einen diskreten Ortsraum, in dem eine räumliche Koordinate mit 3 möglichen
Werten x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3 gegeben sei (z.B. die Koordinaten von 3 Spalten einer Blende).
Zu den Koordinaten (Spalten) gehören Basisvektoren |xi i. Der Ortsoperator Q̂ ist durch
Q̂ |xi i = xi |xi i ,
definiert, hat also Eigenvektoren mit Namen |xi i und Eigenwerte xi . Der Vektor |ψi sei
1
(4|x1 i − 3i|x3 i) ,
N
wobei N eine Normierungskonstante ist.
|ψi =
a) Geben Sie die Spektraldarstellung des Ortsoperators Q̂ an.
b) Berechnen Sie den Erwartungswert hQ̂i = hψ|Q̂|ψi
i) direkt über Q̂ |xi i = xi |xi i, sowie
ii) über seine Spektraldarstellung.
c) Berechnen Sie hQ̂2 i über die Spektraldarstellung.
Aufgabe 12 Hüpfoperator auf einer periodischen Kette
Wir betrachten ein einzelnes Teilchen auf einem Ring mit L Gitterplätzen. Eine Orthonormalbasis des Vektorraums ist durch die Menge {|ni | n = 0, 1, 2, . . . , L − 1} gegeben, wobei
|ni dafür steht, dass sich das Teilchen am Gitterplatz n befindet. Die Periodizität kann man
durch
|n + Li ≡ |ni ,
(1)
ausdrücken. Das sogenannte Tight-Binding Modell ist durch den Hamiltonoperator
L−1 h
X
i
Ĥ =
|nihn| − t |n + 1ihn| + |n − 1ihn| ,
n=0
mit , t > 0 beschrieben.
Die Translationsoperatoren T̂m sind durch
T̂m |ni = |n + mi ,
definiert. Sie transportieren ein Teilchen von einem Platz n nach n + m.
• Schreiben Sie T̂m in bra-ket Notation.
• Zeigen Sie, dass
Ĥ = a11 + b T̂1 + T̂−1 ,
und bestimmen Sie a und b.
• Betrachten Sie die Zustände
L−1
1 X ikn
e |ni .
|ki = √
L n=0
Bestimmen Sie die erlaubten Werten von k, d.h. so dass die Periodizität (1) gilt und
dass die |ki unterschiedliche Vektoren beschreiben.
• Zeigen Sie, dass |ki Eigenvektoren der T̂m sind. Bestimmen Sie die dazugehörigen
Eigenwerte.
• Es folgt dann, dass |ki Eigenwerte von Ĥ sind. Bestimmen Sie die Eigenwerte von Ĥ.
• Bestimmen Sie den Grundzustand (Zustand mit der kleinsten Energie) und seine Energie. Dazu benötigen Sie hier nur einen geeigneten Eigenwert von Ĥ. Warum?
• Wenn sich das Teilchen im Grundzustand befindet, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dieses auf dem Platz n = 0 zu finden.