Lösungshinweise

Gunter Ochs
Sommersemester 2013
Mathematik 1 für Informatik
Übungsblatt 9
Lösungshinweise (ohne Garantie auf Felherfreiheit)
1. Gegeben sei der ungerichtete Graph
V = {1, 2, 3, 4, 5}
und
G
(a) Stellen Sie
G = (V, E)
mit
E = {13, 14, 15, 23, 25, 34, 35, 45}.
geometrisch dar.
siehe linkes Bild unten
(b) Ist
G
planar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Die gegebene Darstellung ist kreuzungsfrei, also ist der Graph planar.
(c) Geben Sie eine Adjazenzmatrix und eine Adjazenzliste für

Matrix



0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
Knoten


,

Liste
G
an.
Kanten nach
1
3, 4, 5
2
3, 5
3
1, 2, 4, 5
4
1, 3, 5
5
1, 2, 3, 4
(d) Bestimmen Sie die Ordungen der Knoten von
G.
Die Knoten 3 und 5 haben Ordnung 4, Knoten 1 und 4 haben Ordnung 3 und Knoten 2
hat Ordnung 2.
(e) Ist
G
G
einfach/multipel/schlicht?
ist schlicht und somit auch einfach und nicht multipel, da er keine Schlingen hat und
je zwei Knoten durch maximal eine Kante verbunden sind.
(f ) Ist
G
zusammenhängend?
ja, siehe graphische Darstellung
(h) Ist
G nfach
zusammenhängend für ein
n ≥ 2?
Nach dem Entfernen einer (beliebigen) Kante bleibt der Restgraph zusammenhängend.
Durch das Entfernen von zwei Kanten lässt sich Knoten 2 von den übrigen Knoten isolieren.
Also muss man mindestens zwei Kanten entfernen, um den Zusammenhang zu zerstören.
Folglich ist
G
zweifach zusammenhängend.
2. Sei
G̃ = (V, E)
V
der gerichtete Graph mit
und
E
aus Aufgabe 1, wobei die Kanten jetzt als
gerichtete Kanten interpretiert werden.
(a) Stellen Sie
G̃
geometrisch dar.
siehe rechts Bild auf der letzten Seite
(b) Ist
G̃
zusammenhängend/stark zusammenhängend?
zusammenhängend, aber nicht stark zusammenhängend, da es z. B. keinen Weg von Knoten 5 nach Knoten 1 gibt
(c) Geben Sie eine Adjazenzmatrix und eine Adjazenzliste für

Matrix



0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
Knoten


,

Liste
G̃
an.
Kanten nach
1
3, 4, 5
2
3, 5
3
4, 5
4
5
5
(d) Geben Sie eine Adjazenzmatrix und eine Adjazenzliste für den Graphen
G̃
steht, wenn man in

Matrix



0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
G̃∗
an, der ent-
die Richtung aller Kanten umkehrt.
0
0
0
0
0
Knoten

Kanten nach
1

,

2
Liste
3
1, 2
4
1, 3
5
1, 2, 3, 4
3. Welche der drei ungerichteten Graphen
G1 = (V1 , E1 )
mit
V1 = {1, 2, 3, 4, 5}
und
E1 = {14, 15, 23, 34, 45},
G2 = (V2 , E2 )
mit
V2 = {a, b, c, d, e}
und
E2 = {ac, ad, bd, be, ce}
G3 = (V3 , E3 )
mit
V3 = {v, w, x, y, z}
und
und
E3 = {vw, wx, xy, xz, yz}
sind zueinander isomorph und welche nicht? Begründen Sie Ihre Antwort.
Einen Überblick kann man sich mit einer geometrischen Darstellung verschaen:
Man sieht, dass
G2
zu den anderen Graphen nicht isomorph ist, da in
haben, während es in
G1
und
G3
G2
alle Konoten Grad 2
Knoten mit den Graden 1 und 3 gibt.
G1 und G3 sind zueinander isomorph. Einen Isomorphismus erhält man z. B. durch die bijektive
Abbildung f : V1 → V3 mit f (1) = y , f (2) = v , f (3) = w , f (4) = x und f (5) = z .
4. Gegeben sei der rechts skizzierte ungerichtete Graph
G = (V, E).
V und E in Mengenschreibweise an.
V = {1, 2, 3, 4, 5} und E = {12, 13, 23, 34, 35, 45}.
(a) Gegen Sie
(b) Geben Sie eine Adjazenzmatrix und eine Adjazenzliste für



0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0

1
2,3



2
1,3
3
1,2,4,5
4
3,5
5
3,4
und
an.
Nachbarn
Knoten

G
(c) Finden Sie einen geschlossenen Weg in
G,
der jede Kante genau einmal durchläuft.
Alle Knoten haben geraden Grad, daher gibt es einen EulerKreis, z. B. 1,2,3,4,5,3,1
(d) Ordnen Sie den Kanten von
G
Richtungen zu, sodass der resultierende gerichtete Graph
stark zusammenhängend ist.
Der Graph wird genau dann stark zusammenhängend, wenn die Richtungen der Kanten
so gewählt werden, dass die beiden Dreiecke 1-2-3 und 3-4-5 jeweils (in irgendeiner
Richtung) als Rundweg durchlaufen werden können.
Z. B. mit den Richtungen des Weges aus (c) wird
E = {12, 23, 31, 34, 45, 53}, wo die Elemente aus E
jetzt als gerichtete Kanten interpretiert
werden.
6. Gegeben sei folgende Karte mit 6 Bundesländern.
(a) Geben Sie einen (ungerichteten) Graphen mit den Ländern als Knoten an, in dem aneinander grenzende Länder jeweils durch Kanten
verbunden sind.
G = (V, E),
E = {R-H,
wobei
V = {R, H, T, S, BW, BY }
und
R-BW, H-T, H-BY, H-BW, T-BY, T-S, S-BY, BW-BY}
(siehe links unten)
(b) Finden Sie einen Rundweg, bei dem jedes Land genau einmal durchquert wird.
HamiltonKreis, z. B. RHTSBYBWR
(c) Finden Sie einen Weg, bei dem jede Landesgrenze genau einmal überschritten wird.
EulerZug, z. B. TSBYTHBYBWHRBW
T und BW haben ungeraden Grad und müssen damit Start- und Endpunkt sien.
(d) Ist der Weg aus (c) als Rundweg wählbar?
Nein, da zwei Knoten mit ungeradem Grad.
5. Prüfen Sie bei den folgenden Graphen jeweils, ob es einen (oenen oder geschlossenen) Euler
Zug und ob es einen HamiltonKreis gibt und geben Sie diese gegebenenfalls an.
HamiltonKreise gibt es in allen vier Graphen. Diese sind (Ausnahme rechter Graph) nicht
eindeutig. Man ndet sie durch probieren bzw. scharfes Hinsehen. In der Graphik oben ist
jeweils ein möglicher HamiltonKreis rot markiert:
a,c,d,b,h,f,e,g,a im linken Graphen,
a,b,d,e,c,a im 2. Graphen,
a,b,c,d,e,f,l,k,j,i,h,n,o,p,q,r,x,w,v,u,t,s,m,g,a im 3. Graphem sowie
a,e,b,f,c,g,k,j,i,h,d,a im rechten Graphen.
Der linke Graph hat nur Knoten mit ungeradem Grad 3, daher gibt es keinen EulerZug.
Die übrigen drei Graphen haben jeweils genau 2 Knoten mit ungeradem Grad. Im 2. Graphen
sind dies d und e (Grad 5 bzw. 3), im 3. Graphen a und x (jeweils Grad 3) und im 4. Graphen
h und k (ebenfalls Grad 3). Alle anderen Knoten haben geraden Grad.
Daher gibt es in den Graphen 2 bis 4 jeweils einen (oenen) EulerZug mit den Knoten mit
ungeradem Grad als Start- und Endpunkt. Dieser kann z. B. mit dem Algorithmus von Fleury
(oder durch scharfes Hinsehen) bestimmt werden und ist nicht eindeutig. Möglilche Lösungen
sind (siehe Bild unten)
e,d,e,c,d,c,a,c,b,a,b,d im 2. Graphen,
a,b,c,d,e,f,l,e,k,d,j,c,i,b,h,a,g,h,i,j,k,l,r,k,q,j,p,i,o,h,n,g,m,n,o,p,q,r,x,q,w,p,v,o,u,n,t,m,s,t,u,v,w,x
im 3. Graphen sowie
h,i,j,k,f,i,d,h,e,j,g,f,e,d,a,e,b,f,c,g,k im rechten Graphen.