B303 Elektrischer Widerstand

Grundpraktikum
Versuchsreihe:
Materialwissenschaft
Elektrischer Widerstand
B303
Stand: 29.07.2014
Ziel des Versuchs:
Nachweis der Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes und
Verständnis der zugrundeliegenden Theorien
− eines Metalls (spezifische Leitfähigkeit und Temperaturkoeffizienten)
− eines undotierten Halbleiters (Bandlückenenergie)
Inhalt
1 Einleitung
2 Theoretische Grundlagen
2.1
2.2
Metalle
Halbleiter
3 Versuchsdurchführung
3.1 Geräte und Proben
3.2 Ablauf
3.2.1 Metallische Leitfähigkeit (Kupfer)
3.2.2 Halbleiter (Germanium)
4 Versuchsauswertung
4.1
4.2
Kupfer
Germanium
5 Anhang
6 Literatur
Stand 02.09.2014
B303: Elektrischer Widerstand
1 Einleitung
Die elektrische Leitfähigkeit ist ein umfangreiches Forschungsgebiet, das die Erscheinungen
und die Theorie der Leitung unter der Wirkung von Temperatur, Druck, stofflicher
Zusammensetzung, Kristallstruktur und Magnetfeld sowie die Halbleiter, Supraleiter,
Photoleiter, die Elektrolyse und die Elektrizitätsleitung in Gasen einschließt. Unter der
spezifischen Leitfähigkeit oder kurz Leitfähigkeit σ eines Stoffes versteht man den reziproken
−1
Wert des spezifischen elektrischen Widerstandes ρ: σ = ρ −1 . Ihre Einheit ist ( Ω ⋅ m) . Aus
dem spezifischen Widerstand lässt sich der elektrische Widerstand R für homogene Leiter mit
konstantem Leiterquerschnitt A und der Länge l berechnen:
R=ρ
l
A
(1)
Für alle Leitungsarten gilt, das die Stromstärke I durch die Formel
I = Ae∑ N i n i ν i
(2)
i
gegeben ist; dabei bedeuten A die Leiterquerschnittsfläche, N i die Anzahl der i-ten zum
Ladungstransport beitragenden Ladungsträger pro m3, die den mittleren
Geschwindigkeitsbetrag νi und n i Elementarladungen e haben. Ist die in einem Volumen
enthaltene Trägerzahl konstant und ist ν i proportional zur elektrischen Feldstärke, d.h., haben
die Ladungsträger konstante Beweglichkeit, so gilt das Ohmsche Gesetz (U: Spannung, I:
Strom):
U = RI
(3)
Praktisch bedeutet die Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes, dass der Wert des Widerstandes
unabhängig von Prüfstrom und Prüfspannung ist. Zwischen Leitern und Isolatoren gibt es
Übergänge über 27 Zehnerpotenzen des spezifischen Widerstandes, beispielsweise von
Bernstein bis zu Silber.
Die elektrische Leitfähigkeit wird beeinflusst durch
− die Bandstruktur: Sie ist verantwortlich für die Anzahl der Landungsträger, die zur
elektrischen Leitung beitragen.
− Stoßprozesse der Elektronen an
• Störstellen, Defekten, Verunreinigungen
• Phononen: Diese kann man sich als quantisierte Gitterschwingungen in Analogie zu
den Photonen vorstellen.
− die Ausbildung von Cooper-Paaren unterhalb der Sprungtemperatur bei Supraleitern
1
B303: Elektrischer Widerstand
2 Theoretische Grundlagen
2.1 Metalle
Im einfachsten Modell lässt sich das Verhalten der Metalle durch das Bild des freien
Elektronengases erklären (siehe z.B. [1]). Als interessantes einführendes Experiment zur
Leitfähigkeit von Metallen sei der Tolmann-Versuch geschildert: Bewegt man ein Metallstück
so lange mit konstanter Geschwindigkeit, bis die Ladungsträger infolge der Reibung mit den
Metallionen deren Geschwindigkeit angenommen haben und bremst es dann plötzlich ab,
dann bewegen sich die Ladungsträger wegen ihrer Trägheit noch etwas weiter, bis sie durch
die Reibung und ihr eigenes elektrisches Feld abgebremst werden. Diese vorübergehende
Relativbewegung der Elektronen kann man mit einem ballistischen Galvanometer
nachweisen. Daraus kann die spezifische Ladung e/m bestimmt werden. Ferner zeigt dieser
Versuch, dass die Ladungsträger eine Masse besitzen.
Die elektrische Leitfähigkeit wird nicht nur durch die Anzahl der verfügbaren Ladungsträger,
sondern auch durch die Häufigkeit von Streuprozessen, die diese erfahren, bestimmt.
Streuprozesse können sowohl an Gitterfehlern aller Art als auch an Phononen (siehe [1])
stattfinden. Bis auf Leerstellen, die nur einen kleinen Beitrag liefern, ist die Konzentration
von Gitterfehlern nahezu temperaturunabhängig. Allerdings ist die Konzentration der
Phononen temperaturabhängig. Folglich steigt der elektrische Widerstand in Metallen mit der
Temperatur an. Zusätzlich erhöhen Verunreinigungen den Widerstand von Metallen. Eine
Erhöhung des Widerstandes kann somit auch dann auftreten, wenn man ein Grundmetall mit
einem anderen Metall legiert, das selbst einen geringeren spezifischen Widerstand hat. Auch
durch Kaltverformung (Ziehen, Walzen, Hämmern) entsteht ein Zusatzwiderstand durch die
eingebrachten Gitterfehler. Nach der Mathiessenschen Regel sind die Streuprozesse an allen
Gitterfehlern unabhängig voneinander und die Relaxaktionszeiten nach einer Störung können
einfach summiert werden:
1
τ gesamt
=∑
i
1
τi
(4)
Damit ergibt sich der spezifische Widerstand im Modell freier Elektronen als
ρ=
m
n ⋅ e ⋅ τ gesamt
2
(5)
(m: Masse des Elektrons)
Für die Praxis bedeutet dies, dass sich der spezifische Widerstand ρgesamt aus einem
temperaturunabhängigen Teil ρGitterfehler und einem temperaturabhängigen Teil ρPhonon
zusammensetzt:
ρgesamt = ρGitterfehler + ρPhonon (T)
(6)
Für die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes aufgrund von Streuprozessen
an Phononen gilt für tiefe Temperaturen, d.h. bei Temperaturen, die kleiner als die sogenannte
DEBYE-Temperatur θ sind:
ρ Phonon ∝ T 3 , T << θ Debye
2
(7)
B303: Elektrischer Widerstand
Bei hohen Temperaturen gilt entsprechend:
ρ Phonon ∝ T , T > θ Debye
(8)
Zahlenbeispiele für θ : Au: 162 K, Al: 428 K, C: 2200 K
Zur Beschreibung der linearen Temperaturabhängigkeit von ρ , d.h. für T > θ, wird der
sogenannte Temperaturkoeffizient α definiert:
ρ = ρ RT (1 + α (T − TRT ))
ρ
ρ0
T
α
:=
:=
:=
:=
RT
:=
(9)
spezifischer Widerstand
spezifischer Widerstand bei T = 0 K
Temperatur
Temperaturkoeffizient des spezifischen elektrischen
Widerstandes
Raumtemperatur
Bei Annäherung an den absoluten Nullpunkt kann der spezifische Widerstand, wie man bisher
bei 21 Metallen festgestellt hat, bei einer bestimmten Temperatur fast unstetig auf einen
unmessbar kleinen Bruchteil abfallen.
Das Modell der freien Elektronen ist allerdings nicht in der Lage, das Entstehen einer
Bandstruktur zu erklären. Innerhalb der Bandstruktur liegt die Fermi-Energie bei Metallen im
nicht vollständig besetzten Valenzband. In diesem Fall gibt es für die Elektronen in der Nähe
der Fermi-Energie unbesetzte Zustände, die alle zum Ladungstransport beitragen können,
womit auch das freie Elektronengas als Näherung verständlich wird. Allerdings wird die
genaue Bandstruktur wichtig, wenn man die Leitfähigkeit von Halbleitern genau verstehen
will.
3
B303: Elektrischer Widerstand
2.2 Halbleiter
Ein Halbleiter ist aufgrund seiner großen Bandlücke ( E g ≈ 1eV ) (siehe Abbildung 1 und
Anhang) und der Lage der Fermi-Energie in der Bandlücke ein relativ schlechter Leiter. Sein
spezifischer elektrischer Widerstand bewegt sich im Bereich ρ ≈ 10 −5 bis 10 7 Ωm und besitzt
einen negativen Temperaturkoeffizienten.
Abbildung 1: Modell der Bandstruktur eines Halbleiters: Valenzband (obere
Bandkantenenergie E v ,), Leitungsband (untere Bandkantenergie E c ) und
Bandlücke Eg
Mit ρ ist auch die spezifische Leitfähigkeit σ eine Funktion der Temperatur, da mit Hilfe der
thermischen Energie des Kristallgitters Valenzen aufgebrochen werden. Mit steigender
Temperatur kann eine zunehmende Anzahl von Elektron-Loch-Paaren erzeugt werden, so
dass die Konzentration der Elektronen n im Leitungsband und die der Löcher p im
Valenzband zunehmen und sich die spezifische Leitfähigkeit vergrößert:
 2 πm e k B T 
n = 2



h2
3/ 2
 2 πm e k B T 
p = 2



h2
 Ec − EF 

exp −
k BT 

(10)
 Ev − EF 

exp
 k BT 
(11)
3/ 2
Dabei ist die Fermi-Energie die höchste Energie, die beim Auffüllen der Bänder mit den
vorhandenen Elektronen auftritt. Sowohl die Elektronen als auch die Löcher, deren
Beweglichkeiten µ − bzw. µ + i.a. verschieden sind, tragen zur Leitfähigkeit des Halbleiters
bei (e: Elementarladung, j: Stromdichte, E: elektrisches Feld):
j
= σ = e ( nµ − + pµ + )
E
4
(12)
B303: Elektrischer Widerstand
Betrachtet wird in diesem Versuch die intrinsische Leitfähigkeit eines reinen (d.h. nicht
dotierten) Halbleiters; daher gilt für n und p:
n = p = ni
(13)
n i wird Eigenleitungskonzentration genannt. Diese ist eine Funktion der Temperatur und der
zur Erzeugung von Elektron-Loch-Paaren notwendigen Energie E g , der Breite der verbotenen
Zone zwischen Valenz- und Leitungsband. Aus der letzten Formel ergibt sich das sogenannte
Massenwirkungsgesetz, das in der folgenden Form auch für dotierte Halbleiter gilt:
n 2i = n p
(14)
Mit den oben dargestellten Ausdrücken für n und p und dem Zusammenhang E g = E c − E v
ergibt sich für die Eigenleitungskonzentration:
 Eg 

n i = N eff exp −
 2k B T
(15)
mit
N eff
 2 πm e k B T 
= 2



h2
3/ 2
Die Formel 15 kann so interpretiert werden, als ob das Leitungsband durch ein einziges
Energieniveau E c mit der Zustandsdichte N eff ersetzt wurde (Abbildung 2).
Abbildung 2: Leitungsband als ein Energieniveau mit der Zustandsdichte N eff
5
(16)
B303: Elektrischer Widerstand
Für die spezifische Leitfähigkeit erhält man schließlich:
Eg 


σ = e(µ − + µ + ) N eff exp −
 2k B T
Man findet also den folgenden Zusammenhang zwischen spezifischer Leitfähigkeit und
Temperatur:
1
ln σ ∝
T
(17)
(18)
Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 3 graphisch wiedergegeben.
Abbildung 3: Zusammenhang zwischen spezifischer Leitfähigkeit und
Temperatur bei einem (realen = verunreinigten, aber nicht dotierten)
intrinsischen Halbleiter (Arrhenius-Auftragung)
Dies bedeutet: Trägt man den Logarithmus der spezifischen Leitfähigkeit gegen die reziproke
Temperatur auf, so erhält man eine Gerade, deren Steigung von der Bandlückenenergie Eg
abhängig ist.
6
B303: Elektrischer Widerstand
3 Versuchsdurchführung
3.1 Geräte und Proben
Für die Messung der Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit von Metallen (hier: Kupfer)
und Halbleitern (hier: Germanium) stehen zur Verfügung:
−
−
−
−
−
−
−
Platine (Phywe) mit Germaniumprobe (Maße: 1mm × 20mm × 10mm )
Platine (Phywe) mit meanderförmiger Kupferprobe (Maße: 35µm × 96 cm × 0.5mm ),
2 Labornetzgeräte
2 LCD-Digital-Handmultimeter
Thermoelement
Widerstand 180Ω im Gehäuse
Messleitungen
3.2 Ablauf
Wie aus den Schaltplänen ersichtlich ist, ist die Messtechnik für beide Proben fast gleich.
Trotzdem sei hier noch einmal eine detaillierte Anweisung aufgeschrieben. Die Platinen sind
gemäß den Abbildungen 5 und 6 mit den Labornetzgeräten und Messinstrumenten zu
verschalten. Da die Zeigerinstrumente an den Netzgeräten zu ungenau arbeiten, sollen die
Digital-Multimeter benutzt werden. Um die Übersicht zu erleichtern, sollte sich ein geeignetes
Farbsystem für die Verschaltung überlegt werden. Die Anordnung besteht aus den folgenden
Komponenten.
− Leitfähigkeits-Messkreis
− Leitfähigkeits-Messkreis Strom/Spannung
− Heizstromkreis
7
B303: Elektrischer Widerstand
Vor dem Einschalten der Labornetzgeräte ist der jeweilige
Aufbau vom Betreuer überprüfen zu lassen.
Abbildung 5: Platine zur Leitfähigkeitsmessung von Kupfer
Abbildung 6: Verschaltung der Germanium-Probe
8
B303: Elektrischer Widerstand
3.2.1 Metallische Leitfähigkeit (Kupfer)
Um die Übergangs- und Kontaktwiderstände zu minimieren, sollte die Spannungsmessung für
die Leitfähigkeit möglichst dicht an der Probe erfolgen. Ansonsten sind diese Widerstände
entsprechend zu berücksichtigen.
Zunächst wird am Netzgerät des Heizkreises 5A als Wert für die Strombegrenzung eingestellt.
Die Heizspannung wird während des Versuchs von 0V (entsprechend Raumtemperatur) in
mehreren Schritten bis zum Maximum von 6V hochgeregelt, da sich die Erwärmung sonst zu
schnell vollziehen würde.
Wichtig: Während des gesamten Versuchs dürfen Heizspannung und -strom 6 Volt und
5 Ampere keinesfalls überschreiten!
Zur eigentlichen Messung werden Strom und Spannung des Leitfähigkeitskreises für
Raumtemperatur abgelesen. Dazu wird der Strom des Netzgerätes zur Leitfähigkeitsmessung
auf 0.25 A eingestellt. Die Temperatur ist durch vorsichtige Erhöhung der Heizspannung
beginnend bei Raumtemperatur bis 110°C zu erhöhen; bei dem vorgegebenen Messstrom von
0.25 A sollen während der gesamten Aufheizung ca. 10 bis 15 Messwerttripel (T, ILeit , ULeit)
aufgenommen werden. Die Temperaturregelung erfordert hierbei einiges Fingerspitzengefühl,
und deshalb ist es wichtiger, dass die Werte von Temperatur und der zugehörigen Spannung
zeitlich korrelieren, als dass die Messungen bei 'runden' Temperaturwerten aufgenommen
werden. Es empfiehlt sich, dass ein Praktikumspartner die Heizung reguliert und die
Messgeräte abliest und der andere Protokoll führt. Für jede Platine ist eine Aufheizkurve und
eine Abkühlkurve aufzunehmen, so dass eine Mittelung und eine Fehlerabschätzung möglich
ist.
3.2.2 Halbleiter (Germanium)
Zur eigentlichen Messung werden wieder Strom und Spannung des Leitfähigkeitskreises bei
Raumtemperatur abgelesen. Dazu wird der Strom des Netzgerätes zur Leitfähigkeitsmessung
auf 0.30 mA eingestellt. Die Einstellungen für die Strombegrenzung des Heizkreises werden
wie in Teil 3.2.1. eingestellt. Die Heizspannung wird während des Versuchs von 0V
(entsprechend Raumtemperatur) in mehreren Schritten bis zum Maximum von 6V
hochgeregelt, da sich die Erwärmung sonst zu schnell vollziehen würde.
Wichtig: Während des gesamten Versuchs dürfen die Heizspannung und -strom 6 Volt
und 5 Ampere keinesfalls überschreiten!
Die maximale Stromstärke in der Probe beträgt 30mA, die maximale Temperatur 110°C. Es
sollen während der gesamten Aufheizung ca. 10 bis 15 Messwerttrippel (T, ILeit , ULeit)
aufgenommen werden. Dabei kann wie in Teil 3.2.1. vorgegangen werden, d.h. für einen
konstanten Strom werden die Spannungswerte aufgenommen. Danach wird wie in 3.2.1. die
Abkühlkurve aufgenommen.
9
B303: Elektrischer Widerstand
4 Versuchsauswertung
4.1 Kupfer
Aus den aufgenommenen Strom- und Spannungswerten sind die Widerstände der
Messanordnung und die spezifischen Widerstände der Kupferleiterbahn bei den jeweiligen
Temperaturwerten zu berechnen. Die Widerstandswerte sind hierbei gegebenenfalls mit Hilfe
der gemessenen Zuleitungswiderstände zu korrigieren..
Die Werte für Temperatur, Strom, Spannung, Widerstand, spezifischen Widerstand und
gemittelter spezifischer Widerstand sind in eine Tabelle einzutragen. Anschließend ist der
gemittelte spezifische Widerstand des Kupfers als Funktion der Temperatur in einem
Diagramm darzustellen. Für die gemittelten Messpunkte einer Temperaturstufe sind Balken
der Messwertabweichung einzuzeichnen, wobei sich die Messwertabweichungen auf den
Fehler der Messgeräte beziehen. 1
Aus dem Diagramm sind die Werte für die spezifische Leitfähigkeit von Kupfer bei
Raumtemperatur und für den Temperaturkoeffizienten α zu bestimmen. Die Messwerte sind
zusätzlich durch jeweils eine Gerade mit maximaler und minimaler Steigung zu verbinden.
Diese sollen noch innerhalb der Messwertabweichung liegen, die eine aber die größt- und die
andere die kleinstmögliche Steigung annehmen. Die Steigungen dieser Geraden, die damit
verbundenen Werte für den Temperaturkoeffizienten und die Abweichungen vom Ergebnis
der Auswertung des "mittleren" Temperaturkoeffizienten sind zu bestimmen.
4.2 Germanium
Erstellen Sie eine Tabelle, welche die Spalten Temperatur T , reziproke Temperatur T −1 ,
Spannung U Leit , Strom I Leit , spezifische Leitfähigkeit σ = I Leit l / ( U Leit A ) und die gemittelte
spezifische Leitfähigkeit enthält.
Die Werte für die gemittelte Leitfähigkeit und für die reziproke Temperatur sind in
halblogarithmischer Darstellung gegeneinander aufzutragen. Für alle gemittelten Messpunkte
sind die Messwertabweichungen einzutragen. Aus der Graphik ist die Bandlückenenergie von
Germanium zu ermitteln. Beim Einzeichnen einer Geraden ist zu beachten, dass nach
Möglichkeit dieselbe Anzahl von Messpunkten ober- und unterhalb der Geraden liegen sollte.
Sollte bei niedrigen Temperaturen eine Abweichung vom erwarteten linearen Zusammenhang
beobachtet werden, so sind die entsprechenden Messpunkte beim Einzeichnen der Gerade
weniger oder gar nicht zu gewichten, da diese Abweichung physikalischer Natur sein kann
und nicht von Messfehlern herrühren muss.
Man beachte: Aus der Graphik erhält man eine Steigung, die um einen Faktor korrigiert
werden muss, der sich aus dem Zusammenhang zwischen dem natürlichen ( log e bzw. ln ) und
dem 10er-Logarithmus ( log10 ) ergibt:
log 10 x = log 10 e log e x = 0,4343 ln x
(19)
Der Wert, den man für die Steigung aus der Graphik gewinnt, muss also durch den
Korrekturfaktor 0,4343 dividiert werden, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.
Betrachtung der Messwertabweichung: Da während des Ablesens der Messwerte die
Temperatur weiter steigt, sind die Messwerte mit Fehlern behaftet. Diese Fehler sind zu
berechnen und in Form von Balken der Messwertabweichung in die Graphik einzuzeichnen.
1
Zur Berechnung siehe [ ]
10
B303: Elektrischer Widerstand
Danach werden zwei weitere Geraden so durch die Messpunkte gelegt, dass diese noch
innerhalb der Messwertabweichungen liegen, die eine aber die größt- und die andere die
kleinstmögliche Steigung annimmt. Die Steigungen dieser Geraden, die damit verbundenen
Werte für die Bandlückenenergie und die Abweichungen vom Ergebnis der Auswertung der
"mittleren" Bandlückenenergie sind zu bestimmen. Die größere der beiden Differenzen kann
als absolute Messwertabweichung des Ergebnisses für die Bandlückenenergiebestimmung
angenommen werden. Aus ihm ist die relative Messwertabweichung zu bestimmen.
Das Endergebnis ist mit einem Literaturwert zu vergleichen und zu werten.
5 Anhang
Halbleiter Lücke E g / eV
Diamant
Ge
Si
αSn
InSb
InAs
InP
GaAs
GaSb
GaP
Te
i
i
i
d
d
d
d
d
d
i
d
5,4
0.78
1.16
≈0
0.18
0.35
1.35
1.43
0.87
2.26
0.33
cm2
µ /
Vs
1800
3600
1350
cm2
µ /
Vs
1200
1800
480
800
30000
4500
8000
5000
450
450
100
300
1000
−
+
Tabelle 1: Verschiedene Halbleiter: direkte (d) oder indirekte (i) Bandlücke,
Bandlückenenergie und Beweglichkeiten ( µ − : Elektronen, µ + : Löcher)
bei 300K
6 Literatur
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
Ch. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik, 9.Auflage, München, Wien, 1991
Ibach / H. Lüth: Festkörperphysik, Einführung in die Grundlagen, 3.Auflage, Berlin,
1990
W.Schatt: Einführung in die Werkstoffwissenschaft, 7. überarb. Auflage, Leipzig, 1991
H. Hellwege: Einführung in die Festkörperphysik, 3.Auflage, Berlin, 1988
Leybold Didactic GmbH, Gebrauchsanweisung 667552, 8/93
11