Semestralklausur - TU Darmstadt/Mathematik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. J. Lehn
B. Niese
A. Rößler
B. Walther
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
SS 2004
9. Juli 2004
Einführung in die Statistik
Semestralklausur
Bitte in Druckschrift deutlich lesbar ausfüllen.
Name:
Vorname:
Matr.-Nr.:
Fachrichtung:
Klausurleistung
Aufgabe
1
2
3
4
5
6
Gesamt
mögl. Punkte
15
20
16
13
18
18
100
err. Punkte
Gesamtleistung
Hausaufgabenpunkte
Punkte aus der
Semestralklausur
Gesamtpunktzahl
Leistungsnachweis
Hinweis: Es wird nicht nur das Endergebnis, sondern vor allem der Rechenweg bewertet. Die Angabe von Zwischenergebnissen und kurzen Begründungen für den Lösungsweg
ist daher erforderlich. Täuschungsversuche jeglicher Art“ führen zu einer Bewertung der
”
Klausur mit 0 Punkten. Bitte nicht mit Bleistift schreiben.
Aufgabe 1 (15 Punkte)
Eine Fußballmannschaft nimmt an der Europameisterschaft teil. In einem Spiel kann sie
dabei gewinnen, verlieren oder unentschieden spielen. Falls der Mannschaftskapitän in guter
Form ist, verlässt sie mit 60% das Feld als Sieger und mit 30% als Verlierer. Falls dies nicht
der Fall ist, reduziert sich die Gewinnwahrscheinlichkeit der Mannschaft auf 40%, während
die Wahrscheinlichkeit für eine Niederlage auf 40% ansteigt. Wir nehmen an, dass der
Kapitän in 70% der Spiele in guter Form ist.
a) Zeichnen Sie ein Baumdiagramm mit allen relevanten Ereignissen für ein solches Spiel.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Mannschaft das Spiel gewinnt.
c) Berechnen Sie die (bedingte) Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Kapitän nicht in Form
ist, wenn die Mannschaft das Spiel gewinnt.
d) Die Vorrunde besteht aus drei Spielen. Für einen Sieg gibt es 3 Punkte, während
man im Falle eines Unentschiedens einen Punkt gutgeschrieben bekommt. Bei einer
Niederlage erhält die Mannschaft keinen Punkt. Die Zufallsvariable G beschreibe die
Gesamtpunktzahl nach den drei Vorrundenspielen. Gehen Sie davon aus, dass der
Ausgang eines Spiels jeweils nicht vom Ausgang der anderen abhängt. Bestimmen Sie
P (G ≤ 3) und E(G).
Hinweis: Berechnen Sie den Erwartungswert E(G) als Summe von Erwartungswerten
geeigneter Zufallsvariablen.
Aufgabe 2 (20 Punkte)
Es sei (X1 , X2 ) eine zweidimensionale, diskret verteilte Zufallsvariable mit der Verteilungstabelle:
P (X1 = x1 , X2 = x2 ) x2 = −1 x2 = 0 x2 = 1
x1 = −1
1
8
1
8
1
8
x1 = 0
1
8
0
1
8
x1 = 1
1
8
1
8
1
8
a) Bestimmen Sie die Randverteilungen von X1 und X2 .
b) Sind die Zufallsvariablen X1 und X2 unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Wir betrachten die zweidimensionale Zufallsvariable (Y, Z) mit Y = min(X1 , X2 ) und
Z = max(X1 , X2 ).
c) Geben Sie die Verteilungstabelle von (Y, Z) an.
d) Sei F (y, z) die Verteilungsfunktion von (Y, Z). Bestimmen Sie den Wert F (0, 1).
e) Bestimmen Sie E(Y ), E(Z), V ar(Y ) und V ar(Z).
f) Geben Sie die Kovarianz Cov(Y, Z) und den Korrelationskoeffizienten ρY,Z an.
g) Sind die Zufallsvariablen Y und Z unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 3 (16 Punkte)
Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte fX der Form



c(x + 1) für x ∈ [−1, 0],




 c( x + 1) für x ∈ (0, 2],
2
fX (x) =


c(6 − 2x) für x ∈ (2, 3],





0
sonst,
mit einer Konstanten c ∈ R.
a) Bestimmen Sie c und skizzieren Sie anschließend fX (x).
b) Wie lautet die zugehörige Verteilungsfunktion FX (x)?
c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FY der Zufallsvariablen Y = 2X + 1 und deren
Dichte fY .
Aufgabe 4 (13 Punkte)
Ein Hersteller von Schrauben verpackt diese in Kartons. Er wirbt mit der Aussage, dass sich
ca. 100 Schrauben in einem Karton befinden. Um Zeit und Kosten bei der Verpackung in
die Kartons zu sparen, werden die Schrauben nicht abgezählt, sondern abgewogen. Daher
füllt der Hersteller solange Schrauben in jeden Karton, bis mind. 500.4 Gramm erreicht
sind. Aus der Produktion der Schrauben ist bekannt, dass das Gewicht einer Schraube
den Erwartungswert von 5 Gramm bei einer Varianz von 0.0025 besitzt. Es kann davon
ausgegangen werden, dass das Gewicht der Schrauben unabhängig und identisch verteilt
ist.
a) Modellieren Sie den dargestellten Sachverhalt durch Einführung geeigneter Zufallsvariablen und berechnen Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 100
Schrauben weniger als 500.4 Gramm wiegen.
b) Berechnen Sie näherungsweise das Gewicht, welches von 100 Schrauben mit einer
Wahrscheinlichkeit von 95% nicht überschritten wird.
c) Auf einer Heimwerkermesse wirbt der Hersteller mit einem Glücksspiel an seinem
Stand: Aus einer Menge von 400 Kartons darf jeder Besucher seines Standes einen
Karton auswählen. Befinden sich in diesem Karton weniger als 100 Schrauben, so
bekommt der Besucher ein Werbegeschenk. Nach dem Auszählen der Schrauben in
dem ausgewählten Karton wird dieser stets wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Karton weniger als 100 Schrauben enthält, sei 20%. Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 200 Besuchern an seinem Stand die
bereitgehaltenen 50 Werbegeschenke nicht ausreichen?
Aufgabe 5 (18 Punkte)
Die Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch verteilt wie X. Für ein
θ > 0 sei die Dichte der Zufallsvariablen X gegeben durch
2
(
2x
exp − xθ
für x > 0
fθ (x) = θ
0
für x ≤ 0
a) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer Tn für τ (θ) = θ.
b) Berechnen Sie den mittleren quadratischen Fehler des Schätzers Tn .
c) Ist die Schätzerfolge T1 , T2 , . . . konsistent?
d) Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer für τ (θ) = θ2 an.
Aufgabe 6 (18 Punkte)
Zwei Diätpläne zur Gewichtsabnahme sollen hinsichtlich ihres Erfolgs miteinander verglichen werden. Dazu stellten je 13 Personen für zwei Jahre ihre Ernährung gemäß Diätplan 1
bzw. 2 um. Man geht davon aus, dass die dabei beobachteten Gewichtsabnahmen als Realisierung von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen X1 , . . . , X13 (für Diätplan 1)
und Y1 , . . . , Y13 (für Diätplan 2) angesehen werden können. Ferner nimmt man an, dass
Xi ∼ N (µ1 , 4) und Yi ∼ N (µ2 , 9) für i = 1, . . . , 13 gilt. Die Messungen ergaben
x̄ = 12.64,
ȳ = 13.17 .
a) Berechnen Sie mit einem geeigneten Konfidenzschätzverfahren zum Niveau 1−α = 0.99
ein konkretes Schätzintervall für den Parameter µ1 .
b) Wie viele Personen müsste man für Diätplan 1 gewinnen, damit die Länge des konkreten Schätzintervalls für µ1 zum Niveau 1 − α = 0.99 höchstens 1 beträgt?
c) Überprüfen Sie anhand eines geeigneten Testverfahrens zum Niveau α = 0.05 die Nullhypothese, dass die mittlere Gewichtsabnahme bei beiden Diätplänen übereinstimmt.
d) Bestimmen Sie für das in c) verwendete Testverfahren die Wahrscheinlichkeit für einen
Fehler 2. Art, falls µ2 − µ1 = 1.5 gilt.