Aufgaben - am Institut für Theoretische Informatik, Algorithmik II

Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. Peter Sanders
Dr. Christian Schulz, Dr. Simon Gog
Michael Axtmann
3. Übungsblatt zu Algorithmen II im WS 2016/2017
http://algo2.iti.kit.edu/AlgorithmenII WS16.php
{christian.schulz,michael.axtmann,sanders,simon.gog}@kit.edu
Aufgabe 1
(Analyse: Äquivalenzrelation)
Gegeben sei ein gerichteter Graph G = (V, E) und folgende Relation
∗
v ←→ w
gdw.
es gibt Pfade hv, . . . , wi und hw, . . . , vi in G
für v, w ∈ V .
∗
Zeigen Sie, dass ←→ eine Äquivalenzrelation ist.
Aufgabe 2
(Analyse+Entwurf: Artikulationspunkte (*))
Sei G = (V, E) ein zusammenhängender, ungerichteter Graph. Ein Knoten v des Graphen G wird als
Gelenkpunkt bezeichnet, wenn dessen Entfernen die Zahl der Zusammenhangskomponenten erhöht.
a) Zeigen Sie, dass es in jedem Graphen G ohne Gelenkpunkte und mit |V | ≥ 3 immer mindestens
ein Knotenpaar (i, j), i, j ∈ V, i 6= j gibt, so dass zwei Pfade P1 = hi, . . . , ji und P2 = hi, . . . , ji
existieren, die bis auf die Endpunkte knotendisjunkt sind, d.h.: P1 ∩ P2 = {i, j}.
b) Beweisen Sie in jedem Graphen G mit Gelenkpunkten die Existenz eines Knotens v, für den gilt:
Man kann einen Knoten w entfernen, so dass es von v aus keine Pfade mehr zu mindestens der
Hälfte der verbleibenden Knoten gibt.
c) Zeigen Sie, dass in einem zusammenhängenden Graphen G = (V, E) stets ein Knoten v existiert,
so dass G nach Entfernen von v weiterhin zusammenhängend ist.
d) Vervollständigen Sie den angegebenen allgemeinen DFS-Algorithmus, so dass er in O(|V | + |E|)
alle Gelenkpunkte eines ungerichteten Graphen berechnet. Geben Sie an, was die Funktionen
init, root(s), traverseTreeEdge(v,w), traverseNonTreeEdge(v,w) und backTrack(u,v)
machen.
Überlegen Sie sich zunächst, wie Sie mit Hilfe der DFS-Nummerierung Gelenkpunkte erkennen
können.
Depth-first search of graph G = (V, E)
unmark all nodes
init
for all s ∈ V do
if s is not marked then
mark s
root(s)
DFS(s,s)
end if
end for
procedure DFS(u,v : NodeID)
for all (v, w) ∈ E do
if w is marked then
traverseNonTreeEdge(v,w)
else
traverseTreeEdge(v,w)
mark w
DFS(v,w)
end if
end for
backtrack(u,v)
end procedure
Hinweis: Diese Aufgabe war Teil der Nachklausur Algorithmen II im letzten Semester!
(Rechnen: SCC mit Tiefensuche)
Aufgabe 3
Gegeben sei folgender Graph G = (V, E):
a
f
h
b
g
d
c
e
Führen Sie den Algorithmus zur Bestimmung aller starken Zusammenhangskomponenten aus der
Vorlesung auf dem Graph G aus. Geben Sie nach jedem Schritt den Zustand von oReps, oNodes und
component an.
Aufgabe 4
(Kleinaufgaben: Eigenschaften von Flüssen)
a) Nach Vorlesung ist eine gültige Distanzfunktion d(·) für Dinics Algorithmus gegeben durch:
• d(t) = 0
• d(u) ≤ d(v) + 1
∀ (u, v) ∈ Gf
Zeigen Sie, falls d(s) ≥ n, existiert kein augmentierender Pfad.
b) In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Laufzeit von Dinics Algorithmus für Graphen mit
√
Kantengewichten gleich 1 (unit edgeweights) in O((n + m) m) liegt. Vergleichen Sie diese Laufzeit zum Ford Fulkerson Algorithmus. Für welche Graphen mit unit edgeweights ist welcher der
beiden Algorithmen schneller?
c) Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph, in dem maximale Flüsse berechnet werden sollen. Sei
e = (i, j) ∈ E ebenso wie e0 = (j, i) ∈ E, d. h. G besitzt ein Paar entgegengesetzter Kanten.
Außerdem sei c(e) ≥ c(e0 ). Widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel:
Entfernt man e0 aus E und reduziert c(e) := c(e) − c(e0 ), ändert sich der maximale Fluss nicht,
d. h. man kann entgegengesetzte Kanten a-priori (für beliebige s und t) gegeneinander aufrechnen.
Aufgabe 5
(Rechnen: Segmentierung mit Flüßen (*)s)
Wir betrachten einen einfachen Fall für Bildbearbeitung. Die Vorder-/Hintergrundsegmentierung. Das
Ziel dieses Prozesses ist es, ein Bild in Vorder und Hintergrund zu zerlegen. Die Transformation dafür
weißt jedem Pixel pi,j des Bildes einen Knoten vi,j im Graphen zu. Für jedes Paar von benachbarten
Pixeln pi,j und pk,l (|i − k| + |j − l| = 1) fügen wir eine ungerichtete Kante (vi,j , vk,l ) ein. Zusätzlich
fügen wir je einen Knoten s für Vordergrund (Quelle) und einen Knoten t für Hintergrund (Senke)
ein. Von Knoten s existiert eine gerichtete Kante zu jedem Knoten pi,j und von jedem Knoten pi,j
existiert eine gerichtete Kante zu Knoten p. Wir definieren darüber hinaus folgende Kantengewichte:

u=s
 pv (v)
p (u)
v=t
c(e = (u, v)) =
 h
f (u, v) sonst
Wobei mit pv (x) die Wahrscheinlichkeit gegeben ist, dass x Vordergrundknoten ist, mit ph (x) die
Wahrscheinlichkeit für einen Hintergrundknoten und mit f (x, y) eine Penaltyfunktion für das Trennen
der beiden Knoten x und y. Für ein Graustufenbild B definieren wir
pv (x, y) = B[x, y]2 , ph (x, y) = (4 − B[x, y])2 sowie f ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (4 − |B[x1 , y1 ] − B[x2 , y2 ]|)2 .
Hinweis: Diese Modellierung ist nur ein Beispiel und keine allgemeingültige Modellierung. Sie soll nur
verdeutlichen wie Flow Alglorithmen für andere Probleme eingesetzt werden können.
a) Geben Sie den Flussgraphen für das unten angegebene Graustufenbild an.
b) Führen Sie einen augmenting Path Algorithmus auf dem entstandenen Graphen aus.
c) Wie würde die Segmentierung in Vorder- und Hintergrund im Bild als Ergebnis aussehen?
4
4
0
Aufgabe 6
4
2
0
1
0
0
(Analyse: Königs Theorem)
Das Theorem von König besagt, dass in jedem bipartiten Graphen G = (V, E) die Größe eines Matchings größter Wertigkeit (maximum-cardinality matching) gleich der Größe einer minimalen Knotenüberdeckung (minimal vertex cover ) ist.
Vertex Cover :
Ein Vertex Cover ist definiert als eine Teilmenge der Knoten S ⊆ V , so dass für alle Kanten
e = (u, v) ∈ E gilt u ∈ S ∨ v ∈ S. Ein minimales Vertex Cover besitzt unter allen korrekten die
kleinste Teilmenge an Knoten S.
Matching:
Ein Matching ist definiert als eine Teilmenge von Kanten S ⊆ E, so dass jeder Knoten v ∈ V Endpunkt von höchstens einer Kante in S ist. Eine maximales Matching besitzt unter allen korrekten die
größte Teilmenge an Kanten S.
Bipartiter Graph:
Ein bipartiter Graph enthält ausschließlich Kanten zwischen disjunkten Teilmengen der Knotenmenge:
e ∈ E ↔ (u, v) ∈ S × T, V = S ∪ T, S ∩ T = ∅.
Beweisen Sie das Theorem von König.
Aufgabe 7
(Analyse+Entwurf+Rechnen: Grenzüberwachung)
Eine (eindimensionale) Grenzlinie soll durch ein Sensornetz überwacht werden. Zu diesem Zweck wurde eine große Anzahl an Sensorknoten unregelmäßig an der Grenze ausgebracht. Jeder Knoten kann
einen Bereich der Grenze für eine gewisse Zeit proportional zu seiner Batteriekapazität überwachen.
Die Grenze gilt als vollständig gesichert, wenn jeder Abschnitt der Grenzlinie von mindestens einem
Sensorknoten abgedeckt ist. Aufgrund der großen Menge an Knoten sind ihre Überwachungsbereiche
stark überlappend. Daher müssen nicht immer alle Knoten aktiv sein, um eine vollständige Sicherung
der Grenze zu gewährleisten. So kann Energie gespart werden und die maximale Dauer der Grenzsicherung erhöht werden.
Durch die unregelmäßige Anbringung der Knoten und durch große Fertigungstoleranzen in der Batteriekapazität und dem Überwachungsbereich (man hat unbedingt beim billigsten Hersteller einkaufen
müssen. . . ) ist zunächst nicht klar, wie lange die Grenze maximal vollständig gesichert werden kann.
Glücklicherweise wurden die Positionen der Knoten und ihre jeweiligen Kapazitäten und Detektionsbereiche protokolliert und können verwendet werden, um diese Frage zu beantworten.
a) In der Vorlesung haben Sie Flussprobleme mit beschränkten Kantenkapazitäten c(e) kennengelernt. Ebenso können Flussprobleme mit beschränkten Knotenkapazitäten c(v) sinnvoll sein.
In diesem Fall darf für einen gültigen Fluss die Summe der in den Knoten ankommenden bzw.
ausgehenden Flüsse die Kapazität des Knotens nicht überschreiten. Außerdem muss wie bisher
für jeden Knoten (außer der Quelle und Senke) die Summe der ankommenden Flüsse gleich der
Summe der ausgehenden Flüsse sein.
Erklären Sie, wie maximale Flüsse mit Knotenkapazitäten berechnet werden können. Begründen
Sie kurz, warum Ihr Ansatz einen zulässigen und optimalen Fluss berechnet.
b) Konstruieren Sie ein Flussnetzwerk, das das oben beschriebene Problem der Bestimmung einer
maximalen Dauer für die vollständige Grenzüberwachung lösen kann.
Hinweis: Jeder Knoten entspricht einem Sensorknoten. Batteriekapazität kann als äquivalent
zur Flussmenge betrachtet werden.
c) Erstellen Sie ein Flussnetz, das dem folgenden Sensornetz entspricht. Wie lange kann dieses Netz
die Grenze im Bereich [0, 13] überwachen? Welche Sensorknoten müssen wann aktiv sein?
Format der Angaben: xnodeID = {[begin range, end range], capacity}
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
= {[0, 5], 4}
= {[0, 7], 3}
= {[4, 9], 2}
= {[3, 8], 5}
= {[8, 13], 5}
= {[7, 11], 3}
= {[11, 15], 2}
Hinweis: Bevor Sie langwierig einen maximalen Fluss berechnen, versuchen Sie ihn durch scharfes Hinschauen zu bestimmen.
Aufgabe 8
(Implementierung: Ford Fulkerson)
Implementieren Sie den Algorithmus von Ford Fulkerson in C++ mit dem KaHIP Framework. Laden Sie
sich den KaHIP Fork1 herunter und wechseln Sie in den Branch FordFulkerson. Beachten Sie, dass die
Lösung dieser Aufgabe bereits als neuer Commit im Branch FordFulkerson veröffentlicht wurde. Die
leeren Methodenrümpfe sind im Branch FordFulkerson unter sha=1dddb72 eingecheckt, die Lösung
ist im Branch FordFulkerson unter sha=3a113eb bereitgestellt. Das KaHIP Framework stellt bereits
einen Flussgraph (lib/data structure/flow graph.h) bereit. Diese Datenstruktur implementiert
die Basisfunktionen von Residualgraphen. Erweitern Sie die Funktionalität des Residualgraphen um
die Funktionen
FlowType getEdgeResFlow ( NodeID s o u r c e , EdgeID e ) ;
bool i s S a t u r a t e d ( NodeID s o u r c e , EdgeID e ) ;
void i n c r e a s e E d g e F l o w ( NodeID s o u r c e , EdgeID e , FlowType f l o w ) ;
EdgeID g e t f i r s t f l o w e d g e ( NodeID node ) ;
EdgeID g e t n e x t f l o w e d g e ( NodeID node , EdgeID e ) ;
Implementieren Sie die Methode
Die Funktion FlowType r e s g r a p h d f s ( graph& G,
s t d : : v e c t o r <NodeID>& nodes , s t d : : v e c t o r <EdgeID>& edges ,
const NodeID s , const NodeID t ) ;
in der Datei res graph dfs.hpp. Diese Methode soll einen augmentierenden Pfad von s nach t mittels
Tiefensuche suchen. Findet die DFS Suche einen augmentierenden Pfad, so gibt die Methode den
maximalen Fluss des gefundenen Pfades zurück. In diesem Fall werden im Vector nodes die Knoten
auf dem Pfad und im Vector edges die dazugehörenden Kanten gespeichert. Die Methode gibt eine
Kapazität von 0 zurück, falls kein augmentierender Pfad im Residualgraph gefunden wurde.
Nutzen Sie die DFS Suche um den Ford Fulkerson Algorithmus in der Datei app/ford fulkerson/
ford fulkerson.cpp zu implementieren. Compilieren Sie Ihre Implementierung danach mithilfe des
Skripts compile.sh und führen Sie den Algorithmus auf der Kommandozeile aus:
> ./optimized/maxflow ./examples/flow graphs/af shell9.graph.hierarchy.5.h.inp
Im Verzeichnis ./examples/flow graphs/ finden Sie einige Flussgraphen. Testen Sie Ihren Algorithmus zu Beginn mit kleinen Eingabeinstanzen!
Ausgabe: 22.11.2016
Abgabe: keine Abgabe, keine Korrektur
1
https://github.com/MichaelAxtmann/KaHIP