03Geometrie I
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Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer veränderten Aufgabenkultur (03) Zum Themengebiet Geometrie (Jahrgangsstufe 7) Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird. Gehfaule Ameisen Quelle: Arbeitsblätter von Johannes Glötzner zur "Geometrie der gehfaulen Ameisen" (auf Vorschlag von R. Bendrien, HeLP), die von den Lehrern der Albert-SchweitzerSchule aufbereitet wurden. Dies sind drei Arbeitsblätter, die zur Einführung geometrischer Grundbegriffe wie Parallelen, Senkrechten, Kreise, ... dienen können. Eignung: • GA/PA • Eigenschaften erkennen, formulieren und begründen 2 3 4 5 Tangram In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art: Stelle die Teile des Tangram-Spiels nach der Vorlage aus Karton her. a. Aus welchen Formen besteht das Spiel? b. Lege die abgebildeten Tangramfiguren nach. Erfinde selbst weitere Figuren. Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe: Zunächst könnten die Schüler vorgegebene Figuren nachlegen oder selbst weitere Figuren erfinden und deren Umrisse dem Nachbarn geben, damit dieser sie auslegt. Eine Möglichkeit wäre auch, die Schüler möglichst viele verschiedene konvexe Polygone legen zu lassen (es gibt insgesamt 13, die Idee und die untere Abbildung stammt aus: Wittmann, E.: Vom Tangram zum Satz von Pythagoras. In: mathematik lehren 83, S. 19) Anschließend sollen die Schüler überlegen, aus welchen anderen Grundformen die vorliegenden Figuren noch hätten gelegt werden können, welche Symmetrien die gelegten Figuren haben, welche Winkel vorkommen, ... und Flächeninhalte verschiedener Teilfiguren bestimmen (vgl. hierzu auch den Artikel von E.Köhler in MidSch 36 (1998) 9, S. 462 f.). Eignung: • Auch für schwächere Lerngruppen • PA • Wdhg. Winkel (es muss "passen") • Wdhg. Grundformen • Wdhg. Symmetrie • Wdhg./Vorbereitung Flächeninhalte 6 Abbildung zu den 13 konvexen Polygonen des Tangram (aus: Wittmann in ml 83): 7 Hier noch ein AB, das von Frau B. Brazel (Friedrich-Wöhler-Schule) zu diesem Themengebiet entworfen wurde: 8 Dreiecke In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art: Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Bestimme durch Messen die übrigen Größen. Kontrolliere die Winkelgrößen mit Hilfe des Winkelsummensatzes. a. a=5 cm, b=4 cm, γ=67° b. c=9 cm, a=6 cm, γ=53° c. a=4,5 cm, β=57°, γ=43° d. a=7 cm, b=5 cm, c=4 cm Aus welchen der vier Kongruenzsätze folgt, dass alle Lösungsdreiecke mit den gegebenen Größen kongruent zueinander sind? Miss auch die Höhen im Dreieck. Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe: Die Schüler sollen z.B. mit einer geringeren Anzahl gegebener Angaben möglichst viele verschiedene Dreiecke konstruieren (unterbestimmte Aufgabe), z.B.: "In einem Dreieck ist eine Seite 6 cm lang. Was muss noch gegeben sein, damit die gezeichneten Dreiecke identisch sind?" (Alternative: unten wiedergegebene Tabelle) Oder (überbestimmt): Die Schüler sollen auf möglichst viele (mindestens drei) verschiedene Arten ein vorgegebenes Dreieck zeichnen. Mögliche Anschlussfrage: In welchen Fällen ist es gar nicht möglich, ein Dreieck zu konstruieren (und warum)? Die Schüler erfahren durch Ausprobieren und Überlegen, wie viele und welche Angaben notwendig sind, um eine Figur eindeutig zu bestimmen bzw. ob dies überhaupt möglich ist. Herr M. Arendt (Gesamtschule Am Obersberg) hat folgende Tabelle zum Einstieg in dieses Themengebiet verwendet (die Schüler fügten weitere Zeilen hinzu und erarbeiteten Kriterien für Konstruierbarkeit): alpha a b 6 cm 4 cm 5cm ja ja 6 cm 3 cm 2 cm nein - ... ... ... ... ... ... beta ... gamma konstruierbar? alle Dreiecke kongruent? c ... Eignung: • Wdhg. Grundkonstruktionen • Einstieg in die Behandlung der Kongruenzsätze • Begründen/Beweisen 9 Vierecke In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art: Ergänze zu einem Parallelogramm ABCD. Wann entsteht eine Raute? (aus: Mathematik heute 7) Anregungen zur Öffnung der Aufgabe: "Hier sind einige Teilfiguren. Ergänze sie jeweils zu einem Viereck! Welche Möglichkeiten gibt es?" Hieran lassen sich in bezug auf Vierecke direkt Symmetriebetrachtungen anschließen. In GA oder PA sollen anschließend Ordnungsstrukturen oder Analogien entdeckt werden. Die Schüler können auf diese Weise selbständig Ähnlichkeiten entdecken und gelangen so zu charakterisierenden Eigenschaften und Definitionen. Zumindest ansatzweise kann eine Klassifikation im Sinne des "Hauses der Vierecke" erfolgen. In diesem Zusammenhang können auch Abbildungsmöglichkeiten wie Spiegelung, Drehung und Verschiebung wiederholt werden. Als Vorbereitung auf das Themengebiet "Maßstäbliche Vergrößerung bzw. Verkleinerung" können hier auch schon ähnliche Drei-/Vierecke betrachtet werden (evtl. Ähnlichkeit präformal über gleiche Seitenverhältnisse und gleiche Winkelgröße). Gerade für leistungsschwächere Lerngruppen erscheint es uns in diesem Zusammenhang sinnvoll, die einzelnen Grundformen von den Schülern zeichnen, ausschneiden und anschließend klassifizieren zu lassen. Dadurch haben die Schüler konkrete Figuren vorliegen (Anschaulichkeit!) und können damit hantieren. Eine Alternative hierzu ist die Verwendung der MEXBOX (siehe Abbildung unten, bei der MUED e.V., 48301 Appelhülsen bestellbar) oder eines Geobrettes (siehe Abbildung und Herstellungsanleitung unten). Besonders hinweisen möchten wir an dieser Stelle auf den hervorragend hierzu passenden Artikel von E. Köhler in MidSch 36 (1998) 10, S. 521-530, in dem auf eine Art Geobrett Bezug genommen wird. Eignung: • Wdhg. Symmetrie, Winkel • Einstieg in die Klassifikation der Vierecke (Haus der Vierecke) • Begründung 10 Ein Geobrett können die Schüler auf folgende Weise relativ einfach und schnell selbst herstellen (auch ohne Nägel): Man schneidet aus einem Stück dicken Kartons ein Rechteck der Größe 16 cm x 9 cm aus. Dann sticht man mit Hilfe eines Nagels 10 Löcher und kennzeichnet sie wie folgt: Version1: Version2: Von der Rückseite werden nun “Briefklammern“ durch diese Löcher gesteckt, in dem der eine “Klammerarm“ umgeknickt wird. Mit Hilfe unterschiedlich langen Gummis kann man jetzt Vierecke und Dreiecke um den anderen Klammerarm spannen. Zur Vergrößerung der Anzahl der Möglichkeiten, vor allem vor Veranschaulichung von Drehung, Spiegelung und Verschiebung kann die Anzahl der Löcher vergrößert werden. 11 Figuren legen Welche Drei- und Vierecke lassen sich mit zwei gegebenen rechtwinkligen Dreiecken legen? Schneide die vorgegebenen Dreiecke aus und lege sie so aneinander, dass eine neue Figur entsteht. Benenne jeweils Ihre Eigenschaften. Mögliche Verallgemeinerung: Welche Drei- und Vierecke lassen sich aus zwei gegebenen Dreiecken legen? Lösungen: Eignung: • Eigenschaften erkennen und anwenden • Verbalisierung von Eigenschaften • Durcharbeitungsphase oder Lernkontrolle 12 Flächeninhalt Trapez Quelle: Winter, H.: Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht, in: mathematik lehren 2 (1984), S. 12. Die Schüler sollen den Flächeninhalt eines Trapez auf möglichst viele (mind. drei) verschiedene Arten bestimmen. Oder einfach nur (z.B. in GA): "Berechne den Flächeninhalt!" Anschließend werden die verschiedenen Vorgehensweisen im Plenum vorgestellt und verglichen. Dies kann auf viele verschiedene Arten geschehen (vielleicht finden Sie oder Ihre Schüler noch weitere), z.B.: Diese Aufgabe lässt sich wie folgt fortführen: Die Schüler haben die Aufgabe, eine Formelsammlung für sich selbst zu erstellen, in der die Flächeninhaltsformeln für verschiedene Grundformen stehen und auch erläutert werden. Eignung: • GA/PA • Begründungen • Wdhg. Grundkonstruktionen, Symmetrie • Vorbereitung Terme 13 Verpackungen Quelle: Bruder, R.: Kräutergarten und Konfektverpackung, in: mathematik lehren 81 (1997), S. 14-16. In diesem Artikel wird geschildert, wie im Unterricht anhand der Untersuchung realer Körper (Verpackungen) die mathematischen Themengebiete Volumen/Oberfläche/... behandelt werden. Ausführliche Erläuterungen hierzu finden sich im genannten Artikel von R. Bruder in mathematik lehren 81. Als Alternative könnten an dieser Stelle auch die "Klickies" (siehe Abbildung, über die MUED e.V., 48301 Appelhülsen beziehbar, ebenfalls auch Arbeitsblätter dazu) eingesetzt werden, dort wird z.B. vorgeschlagen: "Entwerfe eine Kartonverpackung für 1 kg Reis oder 500g (kleine) Nudeln" (Vorgabe: sehr auffällig, kein Würfel oder Quader) Klickies (3D Geoshapes) Ein vielseitiges Konstruktionskonzept für Körper und Netze aus Dreiecken, Quadraten, Fünf- und Sechsecken. Es fördert Kreativität, räumliches Denken sowie die Feinmotorik. Klickies bestehen aus hochschlagfestem, umweltfreundlichen Polycarbonat. Die Farben sind lebensmittelecht. Die einzigartige Konstruktionstechnik liefert stabile und trotzdem flexible Verbindungen zwischen den verschiedenen Formen. Die Kantenlänge ist einheitlich 6,8 cm. Damit erhalten die konstruierten Körper eine anschauliche und gut handhabbare Größe. Klickies lassen sich vielfältig einsetzen, z.B. um: § den Zusammenhang von Körpern und zugehörigem Netz zu be-greifen; § Eigenschaften geometrischer Körper zu untersuchen; § Parkettierung zu be-handeln; § den Anteilsbegriff in der Bruchrechnung zu veranschaulichen; § den Satz des Pythagoras zu veranschaulichen und zu be-greifen; § besondere Linien in Körpern zu zeigen – z.B. beim Pythagoras und bei Winkelfunktionen; § geometrische Extremwertprobleme in der Analysis zu veranschaulichen; § analytische Geometrie im R3 zu betreiben. Eignung: • Einstieg in die Behandlung von Körpern • GA/PA • Modellierung • Wdhg. Symmetrie, Grundformen, Flächeninhalte 14 Füll-Graphen In Anlehnung an die Modellversuchs-Materialien zum Themengebiet Zuordnungen (Vorschlag "Wasserhöhe in Gefäßen") könnten Füll-Graphen hier wieder aufgegriffen und wiederholt werden: Befüllen von Körpern gehören/passen dazu? (in verschiedenen Lagen!): Welche "Füll"-Graphen "Gegeben sind folgende Gefäße. Finde jeweils den zugehörigen Graphen, der die Wasserhöhe beim Befüllen des Gefäßes angibt." (bei Vorgabe einer Auswahl möglicher Graphen) Oder: "Gegeben sind folgende Gefäße. Zeichne jeweils den zugehörigen Graphen, der die Wasserhöhe beim Befüllen des Gefäßes angibt." Im folgenden Beispiele hierzu: Auch hier sind natürlich wieder Umkehraufgaben denkbar: Gegeben ist ein Graph, wie könnte ein zugehöriges Gefäß aussehen? Im Rahmen der Diskussion über den Verlauf verschiedener Füll-Graphen sollte auch auf Begründungen wert gelegt werden, z.B.: Warum/wann tritt ein "Knick" auf?, ... Eignung: • Wdhg. Zuordnungen • PA • Begründen 15
