3 Geometrie I

Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(03) Zum Themengebiet Geometrie
(Jahrgangsstufe 7)
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
Gehfaule Ameisen
Quelle: Arbeitsblätter von Johannes Glötzner zur "Geometrie der gehfaulen Ameisen"
(auf Vorschlag von R. Bendrien, HeLP), die von den Lehrern der Albert-SchweitzerSchule aufbereitet wurden.
Dies sind drei Arbeitsblätter, die zur Einführung geometrischer Grundbegriffe wie
Parallelen, Senkrechten, Kreise, ... dienen können.
Eignung:
 GA/PA
 Eigenschaften erkennen, formulieren und begründen
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Tangram
In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:
Stelle die Teile des Tangram-Spiels nach der Vorlage aus Karton her.
a. Aus welchen Formen besteht das Spiel?
b. Lege die abgebildeten Tangramfiguren nach. Erfinde selbst weitere Figuren.
Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe:
Zunächst könnten die Schüler vorgegebene Figuren nachlegen oder selbst weitere
Figuren erfinden und deren Umrisse dem Nachbarn geben, damit dieser sie auslegt.
Eine Möglichkeit wäre auch, die Schüler möglichst viele verschiedene konvexe
Polygone legen zu lassen (es gibt insgesamt 13, die Idee und die untere Abbildung
stammt aus: Wittmann, E.: Vom Tangram zum Satz von Pythagoras. In: mathematik
lehren 83, S. 19)
Anschließend sollen die Schüler überlegen, aus welchen anderen Grundformen die
vorliegenden Figuren noch hätten gelegt werden können, welche Symmetrien die
gelegten Figuren haben, welche Winkel vorkommen, ... und Flächeninhalte
verschiedener Teilfiguren bestimmen (vgl. hierzu auch den Artikel von E.Köhler in
MidSch 36 (1998) 9, S. 462 f.).
Eignung:
 Auch für schwächere Lerngruppen
 PA
 Wdhg. Winkel (es muss "passen")
 Wdhg. Grundformen
 Wdhg. Symmetrie
 Wdhg./Vorbereitung Flächeninhalte
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Abbildung zu den 13 konvexen Polygonen des Tangram (aus: Wittmann in ml 83):
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Hier noch ein AB, das von Frau B. Brazel (Friedrich-Wöhler-Schule) zu diesem
Themengebiet entworfen wurde:
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Dreiecke
In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:
Konstruiere ein Dreieck ABC aus den gegebenen Größen. Bestimme durch Messen die übrigen Größen.
Kontrolliere die Winkelgrößen mit Hilfe des Winkelsummensatzes.
a. a=5 cm, b=4 cm, =67°
b. c=9 cm, a=6 cm, =53°
c. a=4,5 cm, =57°, =43°
d. a=7 cm, b=5 cm, c=4 cm
Aus welchen der vier Kongruenzsätze folgt, dass alle Lösungsdreiecke mit den gegebenen Größen
kongruent zueinander sind? Miss auch die Höhen im Dreieck.
Anregungen zur Öffnung dieser Aufgabe:
Die Schüler sollen z.B. mit einer geringeren Anzahl gegebener Angaben möglichst
viele verschiedene Dreiecke konstruieren (unterbestimmte Aufgabe), z.B.: "In einem
Dreieck ist eine Seite 6 cm lang. Was muss noch gegeben sein, damit die
gezeichneten Dreiecke identisch sind?" (Alternative: unten wiedergegebene Tabelle)
Oder (überbestimmt): Die Schüler sollen auf möglichst viele (mindestens drei)
verschiedene Arten ein vorgegebenes Dreieck zeichnen.
Mögliche Anschlussfrage: In welchen Fällen ist es gar nicht möglich, ein Dreieck zu
konstruieren (und warum)?
Die Schüler erfahren durch Ausprobieren und Überlegen, wie viele und welche
Angaben notwendig sind, um eine Figur eindeutig zu bestimmen bzw. ob dies
überhaupt möglich ist.
Herr M. Arendt (Gesamtschule Am Obersberg) hat folgende Tabelle zum Einstieg in
dieses Themengebiet verwendet (die Schüler fügten weitere Zeilen hinzu und
erarbeiteten Kriterien für Konstruierbarkeit):
alpha
a
b
6 cm
4 cm
5cm
ja
ja
6 cm
3 cm
2 cm
nein
-
...
...
...
...
...
...
beta
...
gamma konstruierbar?
alle Dreiecke
kongruent?
c
...
Eignung:
 Wdhg. Grundkonstruktionen
 Einstieg in die Behandlung der Kongruenzsätze
 Begründen/Beweisen
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Vierecke
In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art:
Ergänze zu einem Parallelogramm ABCD. Wann entsteht eine Raute?
(aus: Mathematik heute 7)
Anregungen zur Öffnung der Aufgabe:
"Hier sind einige Teilfiguren. Ergänze sie jeweils zu einem Viereck! Welche
Möglichkeiten gibt es?"
Hieran lassen sich in bezug auf Vierecke direkt Symmetriebetrachtungen
anschließen.
In GA oder PA sollen anschließend Ordnungsstrukturen oder Analogien entdeckt
werden.
Die Schüler können auf diese Weise selbständig Ähnlichkeiten entdecken und gelangen
so zu charakterisierenden Eigenschaften und Definitionen. Zumindest ansatzweise
kann eine Klassifikation im Sinne des "Hauses der Vierecke" erfolgen.
In diesem Zusammenhang können auch Abbildungsmöglichkeiten wie Spiegelung,
Drehung und Verschiebung wiederholt werden.
Als Vorbereitung auf das Themengebiet "Maßstäbliche Vergrößerung bzw.
Verkleinerung" können hier auch schon ähnliche Drei-/Vierecke betrachtet werden (evtl.
Ähnlichkeit präformal über gleiche Seitenverhältnisse und gleiche Winkelgröße).
Gerade für leistungsschwächere Lerngruppen erscheint es uns in diesem
Zusammenhang sinnvoll, die einzelnen Grundformen von den Schülern zeichnen,
ausschneiden und anschließend klassifizieren zu lassen. Dadurch haben die Schüler
konkrete Figuren vorliegen (Anschaulichkeit!) und können damit hantieren. Eine
Alternative hierzu ist die Verwendung der MEXBOX (siehe Abbildung unten, bei der
MUED e.V., 48301 Appelhülsen bestellbar) oder eines Geobrettes (siehe Abbildung und
Herstellungsanleitung unten).
Besonders hinweisen möchten wir an dieser Stelle auf den hervorragend hierzu
passenden Artikel von E. Köhler in MidSch 36 (1998) 10, S. 521-530, in dem auf eine
Art Geobrett Bezug genommen wird.
Eignung:
 Wdhg. Symmetrie, Winkel
 Einstieg in die Klassifikation der Vierecke (Haus der Vierecke)
 Begründung
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Ein Geobrett können die Schüler auf folgende Weise relativ einfach und schnell selbst
herstellen (auch ohne Nägel): Man schneidet aus einem Stück dicken Kartons ein
Rechteck der Größe 16 cm x 9 cm aus. Dann sticht man mit Hilfe eines Nagels 10
Löcher und kennzeichnet sie wie folgt:
Version1:
Version2:
Von der Rückseite werden nun “Briefklammern“ durch diese Löcher gesteckt, in dem der eine “Klammerarm“ umgeknickt wird.
Mit Hilfe unterschiedlich langen Gummis kann man jetzt Vierecke und Dreiecke um den
anderen Klammerarm spannen.
Zur Vergrößerung der Anzahl der Möglichkeiten, vor allem vor Veranschaulichung von
Drehung, Spiegelung und Verschiebung kann die Anzahl der Löcher vergrößert werden.
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Figuren legen
Welche Drei- und Vierecke lassen sich mit zwei gegebenen rechtwinkligen
Dreiecken legen?
Schneide die vorgegebenen Dreiecke aus und lege sie so aneinander, dass eine
neue Figur entsteht. Benenne jeweils Ihre Eigenschaften.
Mögliche Verallgemeinerung: Welche Drei- und Vierecke lassen sich aus zwei
gegebenen Dreiecken legen?
Lösungen:
Eignung:
 Eigenschaften erkennen und anwenden
 Verbalisierung von Eigenschaften
 Durcharbeitungsphase oder Lernkontrolle
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Flächeninhalt Trapez
Quelle: Winter, H.: Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht, in:
mathematik lehren 2 (1984), S. 12.
Die Schüler sollen den Flächeninhalt eines Trapez auf möglichst viele (mind. drei)
verschiedene Arten bestimmen.
Oder einfach nur (z.B. in GA): "Berechne den Flächeninhalt!"
Anschließend werden die verschiedenen Vorgehensweisen im Plenum vorgestellt und
verglichen.
Dies kann auf viele verschiedene Arten geschehen (vielleicht finden Sie oder Ihre
Schüler noch weitere), z.B.:
Diese Aufgabe lässt sich wie folgt fortführen: Die Schüler haben die Aufgabe, eine
Formelsammlung für sich selbst zu erstellen, in der die Flächeninhaltsformeln für
verschiedene Grundformen stehen und auch erläutert werden.
Eignung:
 GA/PA
 Begründungen
 Wdhg. Grundkonstruktionen, Symmetrie
 Vorbereitung Terme
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Verpackungen
Quelle: Bruder, R.: Kräutergarten und Konfektverpackung, in: mathematik lehren 81
(1997), S. 14-16.
In diesem Artikel wird geschildert, wie im Unterricht anhand der Untersuchung realer
Körper (Verpackungen) die mathematischen Themengebiete Volumen/Oberfläche/...
behandelt werden.
Ausführliche Erläuterungen hierzu finden sich im genannten Artikel von R. Bruder in
mathematik lehren 81.
Als Alternative könnten an dieser Stelle auch die "Klickies" (siehe Abbildung, über die
MUED e.V., 48301 Appelhülsen beziehbar, ebenfalls auch Arbeitsblätter dazu)
eingesetzt werden, dort wird z.B. vorgeschlagen:
"Entwerfe eine Kartonverpackung für 1 kg Reis oder 500g (kleine) Nudeln" (Vorgabe:
sehr auffällig, kein Würfel oder Quader)
Klickies (3D Geoshapes)
Ein vielseitiges Konstruktionskonzept für Körper und Netze aus Dreiecken,
Quadraten, Fünf- und Sechsecken. Es fördert Kreativität, räumliches Denken
sowie die Feinmotorik.
Klickies bestehen aus hochschlagfestem, umweltfreundlichen Polycarbonat. Die
Farben sind lebensmittelecht.
Die einzigartige Konstruktionstechnik liefert stabile und trotzdem flexible
Verbindungen zwischen den verschiedenen Formen. Die Kantenlänge ist
einheitlich 6,8 cm. Damit erhalten die konstruierten Körper eine anschauliche
und gut handhabbare Größe.
Klickies lassen sich vielfältig
einsetzen, z.B. um:

den Zusammenhang
von
Körpern und
zugehörigem Netz zu be-greifen;
 Eigenschaften geometrischer Körper zu untersuchen;
 Parkettierung zu be-handeln;
 den Anteilsbegriff in der Bruchrechnung zu
veranschaulichen;

den Satz des Pythagoras zu veranschaulichen
und
zu be-greifen;
 besondere Linien in Körpern zu zeigen – z.B. beim
Pythagoras und bei Winkelfunktionen;
 geometrische Extremwertprobleme in der Analysis zu
veranschaulichen;
 analytische Geometrie im R3 zu betreiben.
Eignung:
 Einstieg in die Behandlung von Körpern
 GA/PA
 Modellierung
 Wdhg. Symmetrie, Grundformen, Flächeninhalte
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Füll-Graphen
In Anlehnung an die Modellversuchs-Materialien zum Themengebiet Zuordnungen
(Vorschlag "Wasserhöhe in Gefäßen") könnten Füll-Graphen hier wieder aufgegriffen
und wiederholt werden:
Befüllen von Körpern
gehören/passen dazu?
(in
verschiedenen
Lagen!):
Welche
"Füll"-Graphen
"Gegeben sind folgende Gefäße. Finde jeweils den zugehörigen Graphen, der die
Wasserhöhe beim Befüllen des Gefäßes angibt." (bei Vorgabe einer Auswahl
möglicher Graphen)
Oder: "Gegeben sind folgende Gefäße. Zeichne jeweils den zugehörigen Graphen,
der die Wasserhöhe beim Befüllen des Gefäßes angibt."
Im folgenden Beispiele hierzu:
Auch hier sind natürlich wieder Umkehraufgaben denkbar: Gegeben ist ein Graph, wie
könnte ein zugehöriges Gefäß aussehen?
Im Rahmen der Diskussion über den Verlauf verschiedener Füll-Graphen sollte auch
auf Begründungen wert gelegt werden, z.B.: Warum/wann tritt ein "Knick" auf?, ...
Eignung:
 Wdhg. Zuordnungen
 PA
 Begründen
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