P1-53,54,55: Vierpole und Leitungen

Physikalisches Anfängerpraktikum (P1) - Auswertung
P1-53,54,55: Vierpole und Leitungen
Benedikt Zimmermann, Matthias Ernst (Gruppe Mo-24)
1 Durchführung
1.1 Messungen des Übertragungsverhaltens des einfachen Vierpols
1.1.1 Messung am Hochpass
An einen Hochpass (Reihenschaltung aus Widerstand und Kondensator bei Messung am Widerstand) wurde sinusförmige Wechselspannung der Amplitude Ue =8Vss (alle Spannungen verstehen sich als Spitze-zu-Spitze-Spannungen) und der Frequenz f=1,7kHz angelegt. Dabei wurde
zur Messung der Tastkopf mit Spannungsteilerverhältnis
1
1
10 verwendet, es wird also nur 10 der
tatsächlich anliegenden Spannung gemessen. Die Kapazität des Kondensators betrug C=1nF. Es
wurden verschiedene Widerstände verwendet, diese sind in Tabelle 1 in der ersten Zeile festgehalten. Gemessen wurden oszilloskopisch die folgenden Ausgangsspannungen und Phasenverschiebungen zwischen dem Eingangs- und dem Ausgangssignal:
R in kΩ
Ua in mV
∆t
in
µs
1
10
100
1000
8
76
560
780
-150
-130
-75
- 10
Tabelle 1: Messung am einfachen Vierpol: Hochpass
1.1.2 Messung am Tiefpass
Es wurden dieselben Messungen wie in 1.1.1 durchgeführt, jedoch wurde die Schaltung nun als
Tiefpass, also am Kondensator, oszilloskopisch vermessen.
R in kΩ
Ua in mV
∆t
in
µs
1
10
100
1000
800
800
570
8
0
10
70
130
Tabelle 2: Mesung am einfachen Vierpol: Tiefpass
1
1.2 Messungen unter Verwendung des Vierpols als Dierenzier- bzw.
Integrierglied
1.2.1 Hochpass als Dierenzierglied
An einen Hochpass, bestehend aus einem 1nF-Kondensator und verschiedenen Widerständen (s.
Tabelle 3) wurde dreieckförmige Wechselspannung der Amplitude Ue =8Vss und der Frequenz
f=1,7kHz angelegt. Die Ausgangsspannung am jeweiligen Widerstand wurde oszilloskopisch gemessen.
R in kΩ
1
Ua in mV
Qualität von Ua
10
100
1000
5
50
460
800
schön (Rechteck)
schön
minder schön (Sägezahn)
schlecht
Tabelle 3: Messung am Vierpol als Dierenzierglied
Die Signalformen wurden photographisch festgehalten und sind in Abb. 1 dargestellt.
(a) R=1kΩ
(b) R=10kΩ
(c) R=100kΩ
(d) R=1000kΩ
Abbildung 1: Signalverlauf bei Einsatz des Hochpasses als Dierenzierglied
1.2.2 Tiefpass als Integrierglied
Dieselben Bauteile wie in Abschnitt 1.2.1 wurden nun als Tiefpass eingesetzt. Dabei wurde nun
die Ausgangsspannung bei Anlegen von Rechteckspannung derselben Amplitude und Frequenz
wie dort vermessen.
2
R in kΩ
1
Ua in mV
Qualität von Ua
10
100
1000
800
800
720
130
schlecht
kaum besser
minder schön (Sägezahn)
schön (Dreieck)
Tabelle 4: Messung am Vierpol als Integrierglied
Auch hier wurden die Signalformen photographisch festgehalten, sie sind in Abb. 2 dargestellt.
(a) R=1kΩ
(b) R=10kΩ
(c) R=100kΩ
(d) R=1000kΩ
Abbildung 2: Signalverlauf bei Einsatz des Tiefpasses als Integrierglied
1.2.3 Weitere Messungen mit dem Dierenzier- und Integrierglied
Testweise wurde sinusförmige Wechselspannung an das Dierenzierglied angelegt. Wenig überraschend wurde diese in phasenverschobene, aber immer noch sinusförmige Wechselspannung
transformiert. In weiteren Messungen wurde an das Dierenzierglied Rechteckspannung und an
das Integrierglied Dreieckspannung derselben Frequenz und Amplitude wie oben angelegt. Dabei wurde qualitativ das Verhalten beobachstet, dass die Recheckspannung mit dem geeigneten
Widerstand zu einzelnen Peaks, die Dreiecksspannung zu annähernd parabelförmigen Bereichen
um die Extrema transformiert wurden.
Auch diese Verläufe wurden photographiert, Abb. 3 zeigt sie.
3
(a) Dierentiation von Rechteckspannung, R=1kΩ (b) Integration von Dreieckspannung, R=1000kΩ
Abbildung 3: Signalverlauf bei den weiteren Messungen
1.3 Messungen am π-Glied und einer sechgliedrigen Drosselkette
1.3.1 Messung des charakteristischen Widerstands der Drosselkette
An die sechsgliedrige Drosselkette wurde Rechteckspannung der Frequenz f=10kHz und der Amplitude Ue =6Vss angelegt. Unter Beobachtung der Ausgangsspannung am Oszilloskop wurde
ein regelbarer Abschlusswiderstand am Ende der Kette justiert, um das optisch schönste, also
glatteste Rechtecksignal zu erhalten. Dieses wurde bei Z0
= 185Ω
beobachtet.
1.3.2 Messung der Grenzfrequenz der Drosselkette
An die Drosselkette wurde sinusförmige Wechselspannung der Amplitude Ue =6Vss angelegt,
wobei der Abschlusswiderstand auf dem vorher bestimmten Wert von Z0 belassen wurde. Dieser
Wert wurde auch später im Gegensatz zur Versuchsvorschrift beibehalten, da eine Kompensation
der Reexion mit dem gegebenen Widerstand nicht möglich war.
Zunächst wurde die Frequenz im Bereich zwischen 1kHz und 1MHz variiert und geprüft, inwiefern die vom Generator erzeugte Spannung frequenzabhängig ist. Die Abhängigkeit war sehr
klein, bei 500kHz war kaum eine Änderung zu sehen, bei 1000kHz betrug sie ca. 0 4Vss .
Dann wurde die Spannung ausgehend von kleinen Werten so lange gesteigert, bis der Bereich
des stärksten Abfalls der Ausgangsspannung gefunden wurde (diese schwankte beim Erhöhen
der Spannung immer wieder, brach dann jedoch erheblich ein). Das Verhältnis
Ua
Ue
=
1
10 wurde
bei 720kHz erreicht.
1.3.3 Angegeben Daten der Drosselkette
µ
Für die Drosselkette waren C/2=1nF und L=96 H angegeben.
1.3.4 Messung der Phasenverschiebung der Drosselkette
An ein einzelnes
π -Glied
und an die gesamte Drosselkette wurde jeweils sinusförmige Wech-
selspannung verschiedener Frequenzen (siehe Tabelle 5) mit der Amplitude Ue =6Vss angelegt.
Auch hier wurde im Gegensatz zur Vorschrift der Abschlusswiderstand bei der oben ermittelten Einstellung belassen. Für beide Anordnungen wurde die Zeitdierenz zweier am Oszilloskop
aufeinanderfolgenden Maxima abgelesen.
4
f in kHz
∆t
∆t
in
in
10
µs (π -Glied)
µs (Drosselkette)
100
300
500
0
0,4
0,45
2,5
2,6
2,6
Tabelle 5: Messungen am
π -Glied
600
650
690
0,46
0,46
0,44
0,44
0,8
1,35
0,1
0,52
und der Drosselkette
Anschlieÿend wurde jeweils an der Drosselkette mittels Variation der Frequenz der Wechselspannung eine bestimmte Phasenverschiebung eingestellt und anschlieÿend am einzelnen
π -Glied
die Phasenverschiebung bei dieser Frequenz gemessen.
π
Phasenverschiebung der Drosselkette
2π
3π
4π
5π
f in kHz
185
360
520
630
698
∆t
0,5
0,48
0,46
0,44
0,42
in
µs (π -Glied)
Tabelle 6: Messungen am
π -Glied
und der Drosselkette
1.3.5 Beobachtung der Signalform der Drosselkette bei Reexion am Ende
Die Drosselkette wurde am Ende kurzgeschlossen, der Anfang jedoch mit einem 220Ω-Widerstand
verbunden, rechteckörmige Wechselspannung der Frequenz f=20kHz und der Amplitude Ue =6Vss
angelegt. Am Kettenanfang wurde mithilfe des Oszilloskops ein stufenförmig abfallender Verlauf
beobachtet (s. Abb. 4).
Abbildung 4: Signalverlauf bei Einsatz des Hochpasses als Dierenzierglied
1.4 Messungen am Koaxialkabel
1.4.1 Messung des charakteristischen Widerstands
Es wurde wie in Abschnitt 1.3.1 vorgegangen, jedoch wurde die Frequenz der Spannung zu
f=1,1MHz gewählt und anstelle der Drosselkette ein Koaxialkabel verwendet. Der gemessene
Widerstand betrug Z0
= 50Ω.
5
1.4.2 Direkte Messung der Verzögerungszeit τ 0
An das Kabel wurde rechteckförmige Wechselspannung derselben Frequenz und Amplitude wie
vorher angelegt. Am Oszilloskop wurde die Zeitdierenz zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung gemessen, diese betrug
τ 0 = 0, 055µs.
1.4.3 Messung der Verzögerungszeit bei Kurzschluss des Kabels
Wie in Abschnitt 1.3.5 wurde nun das Kabel kurzgeschlossen und am Kettenanfang die Zeitdifferenz der Maxima des Eingangs- und des Ausgangssignals unter Verwendung von Wechselspannung der Frequenz f=1,1MHz gemessen. Sie betrug 0,12
µ s.
1.4.4 Geometrische Daten des Kabels
Die geometrischen Daten des Kabels sind l=10m, Cl =10,0m, ri =0,5m und ra =1,75mm.
2 Auswertung
2.1 Auswertung des Übertragungsverhaltens des einfachen Vierpols
2.1.1 Hochpass
Aus den gemessenen Werte für die Ausgangsspannung kann das Abschwächungsverhältnis
Ua
Ue be-
rechnet werden. Die Zeitdierenz zwischen den aufeinanderfolgenden Maxima wird nach
∆ϕ =
360◦
· f ∆t
in die Phasenverschiebung in Winkelgrad umgerechnet. Beides ist in Tabelle 7 darge-
stellt.
R in kΩ
Ua
Ue
∆ϕ
◦
in
1
10
100
1000
0,010
0,095
0,700
0,975
91,8
79,6
45,9
6,1
Tabelle 7: Abschwächungsverhältnis und Phasenverschiebung am Hochpass
Der theoretische Verlauf des Abschwächungsverhältnisses ergibt sich nach
|Ua |
1
=r
2 ,
|Ue |
1 + ff0
(1)
für die Phasenverschiebung gilt
ϕ = arctan
f0
.
f
In Abb. 5 ist das berechnete Abschwächungsverhältnis durchgezogen über
(2)
log
f
f0
dargestellt,
mit Kreuzen wurden die gemessenen Werte eingezeichnet. Es ist deutlich erkennbar, dass bei
niedrigen Frequenzen das eingehende Signal sehr stark abgeschwächt wird, bei hohen so gut wie
nicht mehr. Die gemessenen Werte liegen sehr an der berechneten Kurve, jedoch leicht darunter.
Dies lässt sich durch die Verluste in der Schaltung erklären.
6
Weiterhin ist in Abb. 5 der Verlauf der berechneten Phasenverschiebung gestrichelt dargestellt,
die gemessenen Werte wurden mit Sternen markiert. Diese weichen leicht davon ab, insgesamt
stimmt der Verlauf aber mit dem theoretisch erwarteten überein.
ϕ[◦ ]
Ua
Ue
1
90
75
60
45
0.8
0.6
0.4
30
15
0.2
0
-2.5
-2.0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
log( ff0 )
Abbildung 5: Übertragungsverhalten und Phasenverschiebung des Hochpasses
Abschwächungsverhältnis: berechneter Verlauf durchgezogen, Messwerte als Kreuze
Phasenverschiebung: berechneter Verlauf gestrichelt, Messwerte als Sterne
2.1.2 Tiefpass
Das Abschwächungsverhältnis und die Phasenverschiebung für den Tiefpass ist in Tabelle 8
dargestellt.
R in kΩ
Ua
Ue
∆ϕ
◦
in
1
10
100
1000
1,000
1,000
0,713
0,100
0
-6,12
-42,84
-79,56
Tabelle 8: Abschwächungsverhältnis und Phasenverschiebung am Tiefpass
Der theoretische Verlauf des Abschwächungsverhältnisses ist für den Tiefpass
|Ua |
1
=r
2 ,
|Ue |
1 + ff0
(3)
für die Phasenverschiebung gilt nun
ϕ = arctan
7
f
.
f0
(4)
In Abb. 6 ist wieder das berechnete Abschwächungsverhältnis durchgezogen über
log
f
f0
dar-
gestellt und die gemessenen Werte mit Kreuzen eingezeichnet. Hier ergibt sich ein zum Hochpass
komplementäres Bild: tiefe Frequenzen passieren nahezu ungehindert, hohe werden jedoch erheblich gedämpft und deren Phase verschoben. Der berechneten Verlauf der Phasenverschiebung ist
wieder gestrichelt dargestellt, die gemessenen Werte ebenfalls mit Sternen markiert. Auch hier
weichen die Messwerte der Abschwächung nur wenig, die der Phasenverschiebung etwas stärker
vom berechneten Verlauf ab. Auch hier ist aber eine gute Übereinstimmung festzustellen.
−ϕ[◦ ]
Ua
Ue
1
90
0.8
0.6
0.4
75
60
45
30
0.2
15
0
-2.5
-2.0
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
log( ff0 )
Abbildung 6: Übertragungsverhalten und Phasenverschiebung des Tiefpasses
Abschwächungsverhältnis: berechneter Verlauf durchgezogen, Messwerte als Kreuze
Phasenverschiebung: berechneter Verlauf gestrichelt, Messwerte als Sterne
2.2 Vierpol als Dierenzier- bzw. Integrierglied
2.2.1 Hochpass als Dierenzierglied
Beim Hochpass wird in entsprechenden Frequenzbereichen das Eingangssignal dierenziert. Dies
bedeutet im Fall von Dreieckspannung, dass die auf- und absteigenden Flanken steiler werden.
Im Extremfall führt das zunächst zu einem konstanten Wert der Ausgangsspannung während
der aufsteigenden Flanke des Dreiecks und einen konstanten, aber niedrigeren Wert bei der
absteigenden Flanke. An den Stellen, an denen die Flanke wechselt, ist die Dreiecksspannung
nicht dierenzierbar. Daher ist an diesen Stellen ein Sprung in der Rechteckspannung zu erwarten.
Dieses Verhalten wird tatsächlich auch beobachtet, je kleiner der Widerstand, desto besser
entspricht die Ausgangsspannung einer Rechteckspannung (wobei die Amplitude dabei deutlich
abnimmt). Dies entspricht der Erwartung, für
f f0
gute Dierenziereigenschaften zu beob-
achten, da für kleine Widerstände die Grenzfrequenz gemäÿ
f0 =
1
2πRC berechnet werden kann
und somit für kleine Widerstände die Grenzfrequenz groÿ wird. Allerdings wird in diesem Frequenzbereich das Signal deutlich abgeschwächt, wie in Abb. 5 zu erkennen ist.
8
2.2.2 Tiefpass als Integrierglied
Der Tiefpass wirkt bei entsprechenden Frequenzen als Integrierglied, also gerade entgegengesetzt
wie der Hochpass. Die steilen Sprünge der Rechteckspannung werden aufgeweicht, sodass im
Extremfall die Rechteckspannung zu Dreieckspannung transformiert wird.
Mit steigendem Widerstand konnte dieses Verhalten beobachtet werden, auch hier wurde die
Amplitude dabei jedoch erheblich kleiner. Dies entspricht wiederum der Erwartung, bei
f f0
gute Integriereigenschaften zu nden, da die Grenzfrequenz für groÿe Widerstände klein wird,
der Tiefpass im Bereich groÿer Frequenzen das Signal jedoch erheblich abschwächt.
2.2.3 Weitere Messungen mit dem Dierenzier- und Integrierglied
Testweise wurde sinusförmige Wechselspannung an das Dierenzierglied angelegt. Wenig überraschend wurde diese in phasenverschobene, aber immer noch sinusförmige Wechselspannung
transformiert.
Des Weiteren wurde an das Integrierglied Dreiecksspannung angelegt. Das erwartete Verhalten,
parableförmige Flanken zu beobachten, wurde bestätigt.
Schlieÿlich wurde an das Dierenzierglied noch Rechteckspannung angelegt. Wie erwartet,
wurde diese zu einzelnen Spannungspulsen (Peaks) transformiert.
2.3 Messungen am π-Glied und einer sechgliedrigen Drosselkette
2.3.1 Bestimmung des charakteristischen Widerstands der Drosselkette
Der theoretische Wert des charakteristischen Widerstands der Drosselkette ist für kleine Frequenzen (f
f0 ,
wie in der Messung verwendet):
(0)
Z0
r
≈
L
C
Mit den angegebenen Daten der Drosselkette berechnet er sich zu
Wert beträgt Z0
= 185Ω.
(5)
(0)
Z0 = 219Ω.
Der gemessene
Die Einstellung war jedoch nicht sonderlich genau, da einerseits die
beobachtete Rechteckspannung trotz aller Bemühungen immer Verzerrungen aufwies. Auÿerdem
war die Skala des Widerstands sehr grob, sodass ein groÿer Ablesefehler in Kauf genommen
werden musste.
2.3.2 Bestimmung der Grenzfrequenz der Drosselkette
Der theoretische Wert für die Grenzfrequenz ist
1
f0 = √
.
π LC
(6)
Mit den angegebenen Daten der Drosselkette ergibt dies f0 =726kHz, experimentell wurde die
Grenzfrequenz zu 720kHz bestimmt. Auch dies war mit einer gewissen Unsicherheit behaftet, da
die Ausgangsspannung schon bei kleineren Frequenzen schwankte und die Ablesegenauigkeit am
Oszilloskop nicht besonders hoch war. Dennoch stimmt die gemessene Grenzfrequenz sehr gut
mit der berechneten überein.
9
2.3.3 Berechnung der Kapazität der Kondensatoren und der Induktivität der Spulen
Unter Verwendung der genäherten Formel für den charakteristischen Widerstand kann die Kapazität des Kondensatorpaares gemäÿ
C=
1
πZ0 f0 und die Induktivität der Spule zu
L=
Z0
πf0 be-
rechnet werden. Dies ergibt mit den gemessenen Gröÿen den Wert C=2,39nF, also C/2=1,19nF
µ
und L=81,8 H. Beide Werte stimmen im Rahmen des groÿen Fehlers des charakteristischen
µ
Widerstandes gut mit den angegebenen Werten C/2=1nF und L=96 H überein.
2.3.4 Bestimmung der Phasenverschiebung der Drosselkette
Die Phasenverschiebung der Drosselkette lässt sich nach der Formel
∆ϕ = 2n arcsin
f
f0
(7)
berechnen. Die berechneten Werte sind mit den Messwerten, die gemäÿ
∆φ = 2πf ∆t
in von der
Zeitdierenz aufeinanderfolgender Maxima in die Phasenverschiebung umgerechnet wurden, in
Tabelle 9 aufgeführt. Dabei mussten für die Drosselkette Phasenverschiebungen, die gröÿer als
2π
waren, noch korrigiert werden, da dies am Oszilloskop nicht ersichtlich war. Auÿerdem ist in
der Tabelle das Verhältnis der gemessenen Phasenverschiebung der Drosselkette zur gemessenen
Phasenverschiebung des einzelnen
π -Gliedes
f in kHz
10
∆φ/π π -Glied,
∆φ/π π -Glied,
∆φ/π
∆φ/π
dargestellt.
100
300
500
600
650
690
berechnet
0,01
0,09
0,27
0,48
0,62
0,71
0,8
gemessen
0
0,08
0,27
0,46
0,55
0,57
0,61
Drosselkette, berechnet
0,05
0,53
1,63
2,9
3,71
4,23
4,79
Drosselkette, gemessen
0,05
0,52
1,56
2,8
3,62
4,13
4,72
-
6,5
5,78
6,09
6,56
7,22
7,77
∆φDK /∆φπ
Tabelle 9: Messungen am
π -Glied
und der Drosselkette
Es ist deutlich zu sehen, dass die gemessenen Phasenverschiebungen für kleine Frequenzen
recht gut mit den berechneten übereinstimmen. Bei gröÿeren Frequenzen treten Abweichungen
auf, insbesondere beim einzelnen
π -Glied.
Das Verhältnis sollte idealerweise immer 6 sein, da
eine sechsgliedrige Drosselkette eingesetzt wird. Tatsächlich weicht es davon jedoch ab, da auch
die einzelnen Phasenverschiebungen schon Abweichungen zeigen.
Aus den Phasenverschiebungen am
gen vonganzzahligen Vielfache von
π
π -Glied bei denselben Frequenzen, die Phasenverschiebunan der Kette bewirken, kann nach der Gleichung
f0 =
f
sin kπ
2n
(8)
jeweils die Grenzfrequenz bestimmt werden. Die Werte sind in Tab. 10 festgehalten. Hier konnte
kein vernünftiger Zusammenhang zwischen der Phasenverschiebung der Drosselkette (DK) und
dem einzelnen
π -Glied festgestellt werden. Jedoch liegen alle Grenzfrequenzen nahe an der gemes-
senen sowie an der theoretisch berechneten. Der Mittelwert aus den in der Tabelle aufgeführten
Grenzfrequenzen ist 724kHz, dieser stimmt exzellent mit dem theoretisch berechneten überein.
10
π
Phasenverschiebung der DK
2π
3π
4π
5π
f in kHz
185
360
520
630
698
∆ϕ/π am π -Glied
∆ϕDK /∆ϕπ
0,09
0,17
0,24
0,28
0,29
10,81
11,57
12,54
14,43
17,06
f0
714,8
720,0
735,4
727,5
722,6
der Drosselkette
Tabelle 10: Messungen am
π -Glied
und der Drosselkette
2.3.5 Signalform der Drosselkette bei Reexion am Ende
Zu erwarten ist die Überlagerung der einlaufenden Rechteckspannung mit der reektierten, wobei
aufgrund der Reexion am Kettenende und dem damit verbundenen Phasensprung destruktive
Interferenz stattndet.
Beobachet wird jedoch ein stufenweise abfallender Verlauf der eektiven Spannung. Dies kann
durch Reexionen an jedem einzelnen
π -Glied
erklärt werden.
2.4 Koaxialkabel
2.4.1 Charakteristischer Widerstand des Kabels
Der gemessene Widerstand des Kabels wurde zu 50Ω bestimmt. Koaxialkabel mit diesem Widerstand werden in der Praxis häug eingesetzt.
2.5 Verzögerungszeit des Kabels, direkte Messung
Die gemessene Verzögerungszeit beträgt
τ10 = 0, 0055 µms .
2.6 Verzögerungszeit des Kabels bei Kurzschluss
Die gemessene Verzögerungszeit beträgt nun
τ20 = 0, 006 µms .
Diese stimmt also im Rahmen der
Ablesegenauigkeit recht gut mit der vorher gemessenen überein.
2.7 Relative Dielektrizitätskonstante des Kabels
Die relative Dielektrizitätskonstante des Kabels wird auf drei Arten berechnet:
1. Ausschlieÿlich aus geometrischen Daten gemäÿ
Cl
r (Cl , ri , ra ) =
ln
2π0 l
Dies ergibt
ra
ri
,
(9)
r (Cl , ri , ra ) = 2, 08.
2. Aus der Verzögerungszeit nach
r (τ 0 ) =
damit ist
r (τ10 ) = 2, 72
bzw.
r (τ20 ) = 3, 24.
11
c2 τ 02
,
µr
(10)
3. Aus dem charakteristischen Widerstand und geometrischen Daten mit der Formel
(0)
r (Z0 , ri , ra )
Hier erhält man
c2 µ20 µr 2
=
ln
4π 2 Z02
ra
ri
.
(11)
(0)
r (Z0 , ri , ra ) = 2, 26.
Alles in allem liegen die relativen Diektrizitätskonstanten in derselben Gröÿenordnung, weichen
aber doch stark voneinander ab. Insbesondere hat der Fehler in der Verzögerungszeit deutliche
Auswirkungen.
12