Versuch 96 CV-Methode

Gruppe J:
Klaus Reitberger
[email protected]
Cornelia Spee
[email protected]
Tag der Versuchdurchführung: 19.5.2008
Versuch 96
C-V-Methode
1. Einleitung
Ein p-n-Übergang weist auf Grund von Rekombination der freien Ladungsträgern an der
Grenzschicht eine Raumladungszone und infolgedessen eine Kapazität auf. Diese variiert mit
der von außen angelegten Spannung.
Ziel dieses Versuchs war es nun mittels einer C-V-Messung (Capacitance-Voltage) das
Dotierungsprofil eines p-n-Übergangs zu bestimmen. Des Weiteren lernte man den Lock-InVerstärker und den Wavetek kennen.
Im ersten Teil des Versuches wurde das Signal des Wavetek am Oszilloskop beobachtet.
Im zweiten Teil ermittelten wir den Frequenzgang des Lock-In-Verstärkers.
Die untere Grenzfrequenz beträgt hierbei 1,8 Hz ± 0,1 Hz und die obere Grenzfrequenz
14000 Hz ± 1000 Hz. Des Weiteren ergab sich aus dem Vergleich mit dem Oszilloskop, dass
der angezeigte Wert des Lock-In-Verstärkers dem Effektivwert der Spannung entspricht.
Im dritten Teil wurden für zwei verschiedene Frequenzen die Substratdotierung und die
Diffusionsspannung ermittelt. Es zeigte sich, dass die bei den unterschiedlichen Frequenzen
ermittelten Werte innerhalb des Fehlers, wie erwartet, übereinstimmen. Der Mittelwert der
Diffusionsspannung ergab sich zu 0,9 V ± 0,2 V. Für den Mittelwert der Substratdotierung
erhielten wir einen Wert von 5,6 1017 1/cm3 ± 0,4 1017 1/cm3. Dies stimmt
größenordnungsmäßig gut mit den typischen Werten überein.
2. Theorie
P-Typ-Halbleiter entstehen durch das Dotieren mit Akzeptoratomen (z. Bsp.: dreiwertige
Elemente bei vierwertigen Halbleitern wie Silizium). Das Akzeptorniveau liegt knapp über
dem Valenzband. Bei Zimmertemperatur sind die Akzeptoratome daher fast vollständig
ionisiert. Man findet frei bewegliche positive Ladungen und ortfeste negative Ladungen.
Beim n-Leiter wird mit Donatoratomen dotiert (z. Bsp.: fünfwertige Elemente für Silizium).
Das Donatorniveau befindet sich knapp unterhalb des Valenzbandes. In einem n-Leiter sind
daher die positiven Ladungen ortsfest, die negativen frei beweglich.
Werden nun ein n-Leiter und ein p-Leiter in Kontakt gebracht so, diffundieren die Elektronen
in den p-Leiter und die Löcher in den n-Leiter. Die Donator- und Akzeptorionen bleiben
unkompensiert zurück und bilden eine Raumladungszone. Dadurch baut sich ein elektrisches
Feld auf. Ist dieses groß genug, so kommt der Diffusionsprozess zum Erliegen.
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Das elektrische Feld lässt sich aus der Poisson-Gleichung ermitteln. Aus diesem erhält man
durch Integration (E = - grad U) die Potentialschwelle entlang des p-n-Übergangs. Da kein
Nettostrom fließt, muss diese gleich der Diffusionsspannung sein.
Des Weiteren erhält man aus der Bedingung, dass der p-n-Übergang insgesamt neutral sein
muss folgende Beziehung:
NA*xp = ND*xn
NA und ND geben die Konzentrationen der Donator- und Akzeptorionen an, xp und xn die
Ausdehnung der Raumladungszone im n- bzw. p-Leiter.
Mit Hilfe dieses Zusammenhangs, sowie dem Gleichsetzen von Diffusionsspannung und
elektrostatischer Potentialschwelle lässt sich so die Breiter der Raumladungszone bestimmen.
Daraus lässt sich mit Hilfe der Formel für die Kapazität eines Plattenkondensators
(C = ε*ε0*A/d, A … Fläche der Platten, d … Abstand der Platten) die Kapazität des p-nÜbergangs bestimmen.
Legt man an eine Diode eine Spannung UR in Sperrrichtung (Minuspol an p-Leiter und
Pluspol an n-Leiter), so vergrößert sich die Raumladungszone, da die Löcher zum Minuspol
und die Elektronen zum Pluspol strömen.
Für einen abrupten p-n-Übergang ergibt sich nach den hier angeführten Überlegungen die
Kapazität zu:
C = A/2*(ε*ε0*2*e*NA*ND/[(UD-UR)*(NA+ND)])1/2
Besteht nun ein sehr großer Unterschied in der Dotierung (niedrig dotiertes Substrat wird
hoch gegendotiert), so ergibt sich durch Näherung folgende Formel für die Kapazität:
C = A/2*(2*ε*ε0*e*NSubstrat/(UD-UR))1/2
Für einen beliebigen p-n-Übergang (N ~ xn) gilt: C ~ (UD-UR)-1/(n+2)
Man erkennt hier, dass sich so über Messung der Kapazität in Abhängigkeit von der
angelegten Gegenspannung der Exponent n, die Diffusionsspannung und für einen abrupten
p-n-Übergang die Substratdotierung feststellen lassen.
Kapazitäten lassen sich z. Bsp. im Falle eines Plattenkondensators durch die Bestimmung der
Zeitkonstante bei Lade- oder Entladevorgängen bestimmen. Dies ist in unserem Fall nicht
möglich, da die Kapazität des p-n-Übergangs mit der von außen angelegten Spannung
variiert. Des Weiteren lässt sich die Kapazität in diesem Fall auch nicht über |RC| = U/I
ermitteln, da der fließende Strom dafür zu klein ist. Daher wird der Strom indirekt über die
Spannung, die an einem in die Schaltung eingebauten Widerstand abfällt, ermittelt (Aufbau
der Schaltung: siehe Kapitel 3).
Der Lock-In-Verstärker (LIA) ist ein Messinstrument der Korrelationsmesstechnik. Er
ermöglicht es nicht nur die Amplitude eines Wechselspannungssignals zu messen, sondern
auch dessen Phase. Er findet seine Anwendung unter anderem als Vektorvoltmeter und als
Fourieranalysator. Der Lock-In-Verstärker multipliziert das Messsignal S1(t) mit einem
normierten Referenzsignal S2(t-τ), dessen Phase verstellbar ist, und mittelt das so entstandene
Signal über die Zeit. Man erhält daher als Ergebnis der Messung die
Kreuzkorrelationsfunktion:
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Sind Messsignal und Referenzsignal von der Form S(t) = s*sin(ωt+ψ), so erhält man für die
Kreuzkorrelationsfunktion bei gleichen Frequenzen 1/2*s1*s2*cos(ψ1-ψ2), bei
unterschiedlichen Frequenzen 0.
Statistische Prozesse (Rauschen) tragen zum Kreuzkorrelationssignal nichts bei. Daher wird
der Lock-In-Verstärker hauptsächlich dazu verwendet kleine, periodische, verrauschte Signale
zu messen.
In der Praxis wird für die Integration ein Tiefpass mit einstellbarer Zeitkonstante verwendet.
3. Versuchsaufbau
Für den ersten Teil des Versuchs wurde der Wavetek (WT) mit dem Oszilloskop verbunden,
sodass wir dessen Signal beobachten konnten. Dieses Gerät stellte uns die benötigte Gleichund Wechselspannung, sowie das Referenzsignal für den Lock-In-Verstärker zur Verfügung.
Es konnten sowohl die Frequenz, als auch die Amplitude der Wechselspannung variiert
werden. Des Weiteren konnte die Amplitude der Gleichspannung verändert werden und es
gab 3 Abschwächknöpfe (10 dB, 20 dB, 40 dB). Diese bewirkten sowohl ein Abschwächung
der Gleichspannung UR, als auch der Wechselspannung U0~. Auch die Form des Signals
(Dreiecks-, Rechtecks- und Sinussignal) war veränderbar. Wir wählten im gesamten Versuch
das sinusförmige Signal, da dieses nur einen Fourierkoeffizienten (bei der eingestellten
Frequenz) ungleich 0 aufweist, und somit der Lock-In-Verstärker ein Signal proportional zur
Amplitude ausgibt (siehe Kapitel 2: Theorie).
Im zweiten Teil des Versuchs (Frequenzgang) wurde folgende Schaltung verwendet:
Es wäre hier auch ausreichend gewesen nur den Wavetek mit dem Lock-In-Verstärker zu
verbinden. Da dies jedoch nichts an der Form der Kurve ändert, wurden die Werte, die durch
die oben gezeigt Schaltung ermittelt wurden, zur Auswertung herangezogen.
Folgende Schaltung wurde für den dritten Teil des Versuchs verwendet:
Als Diode wurde ein Leistungstransistor verwendet, bei dem die Anschlüsse für Emitter und
Basis verwendet wurden. Die Diode ist hier in Sperrrichtung zu schalten.
Beim Aufbau der Schaltungen war generell darauf zu achten, dass diese nur einmal zu erden
sind!
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4. Versuchsdurchführung
Ziel des ersten Teils des Versuchs war es den Wavetek kennen zu lernen. Es wurde das Signal
am Oszilloskopbildschirm beobachtet, während man Frequenz und DC-Offset verändert.
Hierbei ist darauf zu achten, dass am Oszilloskop die Einstellung DC verwendet wird. Eine
Frequenzänderung beim Wavetek bewirkt auch eine sichtbare Änderung der Frequenz am
Oszilloskopbildschirm und eine Änderung der Gleichspannung verschiebt die Kurve nach
oben bzw. nach unten. Des Weiteren konnte bei Verwendung der Dämpfung das Rauschen
beobachtet werden. Folgendes Bild zeigt das Wechselspannungssignal (sinusförmig) mit
überlagerter Gleichspannung und das Referenzsignal :
Im zweiten Teil wurden Gleich- und Wechselspannungsamplitude fix gewählt und die
Frequenz wurde variiert. Das entsprechende Spannungssignal U wurde am LIA abgelesen.
Um Verfälschungen durch Änderungen der Phase zwischen dem Mess- und Referenzsignal zu
vermeiden und somit einen der Amplitude proportionalen Spannungswert zu erhalten wurde
für jede Einzelmessung zunächst ein Phasenverschiebung von ± 90° eingestellt (der LIA zeigt
0 V an) und dann die Phase um 90° gedreht.
Des Weiteren war darauf zu achten, dass die beiden roten Warnlampen nicht leuchten. Eine
Warnlampe wies darauf hin, dass die Integration noch nicht abgeschlossen ist und somit mit
dem Ablesen des Wertes noch zu warten ist (kann bei längerem Leuchten auf eine ungünstige
Wahl der Zeitkonstante hinweisen). Die andere zeigte an, dass der eingestellte Wertebereich
zu klein ist.
Schwankungen des Spannungswertes weisen darauf hin, dass die Zeitkonstante zu klein
gewählt wurde.
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Die Spannung wurde in Abhängigkeit von der Frequenz in einem Diagramm dargestellt:
Die Frequenzachse wurde logarithmisch skaliert. Sehr niedrige Frequenzen (annähernd
Gleichspannung, kein periodisches Signal) werden vom LIA auf Grund seines
Funktionsprinzips nicht detektiert. Auch für sehr hohe Frequenzen erhält man keine
zuverlässigen Werte. Es ist daher für den dritten Teil des Versuchs nur sinnvoll im Bereich
des Plateaus zu messen. Die Grenzfrequenzen entsprechen jenen Frequenzen, bei denen die
Kurve um 10 % ihres Plateauwertes abgefallen ist. Die untere Grenzfrequenz entspricht daher
1,8 Hz ± 0,1 Hz und die obere Grenzfrequenz 14000 Hz ± 1000 Hz.
Des Weiteren ist es von Bedeutung zu wissen, welchen Wert (Effektivwert,
galvanometrischen Mittelwert, Amplitude, Scheitel-Scheitelwert) uns der Lock-In-Verstärker
angibt. Dazu wurde der Lock-In-Verstärker und der Wavetek verbunden und das Signal bei
1 kHZ am LIA mit dem Signal des Oszilloskops und einem Voltmeter verglichen. Die
Spannung am LIA betrug 39 mV ± 1 mV. Am Oszilloskop konnte ein Scheitel-Scheitelwert
von 110 mV ± 2 mV abgelesen werden. Dies entspricht einem Effektivwert (Ueff = U/(2)1/2)
von 39 mV ± 1 mV. Der am Voltmeter abgelesen Wert betrug 38,5 mV ± 0,1 mV. Daraus
zeigt sich, dass der am LIA ablesbare Wert dem Effektivwert der Spannung entspricht.
Im dritten Teil wurde für 20 Hz ± 2 Hz und 4000 Hz ± 200 Hz eine CV-Messung
durchgeführt. Aus dem Diagramm lassen sich dann die Substratdotierung und die
Diffusionsspannung bestimmen.
Es wurde die im Abschnitt 3 dargestellte Schaltung verwendet. Beim Ablesen am Log-InVerstärker wurde wie in Teil 2 vorgegangen. U0~ wurde ebenfalls mit dem Lock-InVerstärker (2. Eingang) gemessen. Der Widerstand wurde mit Hilfe des Multimeters
gemessen. Wir wählten einen Widerstand mit R = 10,76 kΩ ± 0,1 kΩ.
Zur Messung von UR wurde abwechselnd zur angegebenen Schaltung ein Voltmeter an den
Wavetek angeschlossen und an diesem die Gleichspannung abgelesen.
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Die Kapazität lässt sich aus folgendem Zusammenhang (Ohmsches Gesetz, Strom durch
Widerstand entspricht Gesamtstrom;) berechnen:
U~/U0~ = R/(R2+(1/ω*C)2)1/2
Damit ergibt sich für die Kapazität:
C = 1/(ω*R*((U0~/U~)2-1)1/2)
bzw. mit der Näherung 1/(ω*C) >> R:
C ≈ U~/(ω*U0~*R)
Wie bereits im Abschnitt 2 dargestellt gilt für N ~ xn: C ~ (UD-UR)-1/(n+2)
Bei der Auswertung wurde daher folgendermaßen vorgegangen. Es wurde mit Hilfe der oben
angeführten Formeln die Kapazität berechnet, wobei für 20 Hz die genäherte Form und für
4000 Hz die exakte Form verwendet wurde. Diese wurde in Abhängigkeit von - UR in einem
Diagramm dargestellt. Mit Hilfe von Origin wurde die Funktion y = a*(x + b)-1/(n+2) gefittet.
Der Fitparameter b entspricht somit der Diffusionsspannung und der Fitparameter a ist gemäß
Abschnitt 2 (Theorie) für einen abrupten p-n-Übergang A/2*(ε*ε0*2*e*NSubstrat)1/2 (wobei bei
Angabe von UR in mV noch ein Faktor von 103/2 zu ergänzen ist).
Für die Diagramme wurden nur jene Werte, bei denen die Diode in Sperrrichtung geschaltet
war, verwendet. Es wurde beim Fitten als Randbedingung n ≥ 0 verwendet, woraufhin Origin
bei der Messung für 20 Hz für n 6,5*10-15 ausgab und vorschlug diesen Parameter fix zu
wählen. Auf Grund der sehr kleinen Werte für n wurde daher n gleich 0 gewählt. Dies
entspricht einem abrupten p-n-Übergang.
Für 20 Hz ergab sich folgendes Diagramm:
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Die Diffusionsspannung entspricht daher 1,0 V ± 0,3 V. Typische Werte für UD sind im
Bereich von 0,5 V (abhängig von der Dotierung). Dies stimmt größenordnungsmäßig mit dem
von uns ermittelten Wert überein. Die Substratdotierung lässt sich aus a berechnen.
NSubstrat = (2*a/A)2*1/(2*ε*ε0*e*103)
A = 1 mm2
e = 1,602177*10-19 C
ε = 11,9 (Silizium)
ε0 = 8,8541878*10-12 F/m
Somit erhält man eine Substratdotierung von 5,9*1017 1/cm3 ± 1,4*1017 1/cm3.
Dies passt sehr gut mit den typischen Werten von 1014 bis 1020 1/cm3 zusammen.
Auch für 4000 Volt wurde ein C-V-Diagramm erstellt. Es wurde beim Fit n ebenfalls 0
gesetzt.
Man erhält eine Diffusionsspannung von 0,8 V ± 0,3 V. Dies stimmt innerhalb des Fehlers
mit dem bei 20 Hz ermittelten Wert überein.
Die Substratdotierung ergibt sich zu 5,2 1017 1/cm3 ± 1,4 1017 1/cm3. Auch dieser Wert
stimmt innerhalb des Fehlers mit dem Wert für 20 Hz überein. Größenordnungsmäßig passen
diese Werte ebenfalls sehr gut zu den typischen Werten.
Wie erwartet hängen die Diffusionsspannung und die Substratdotierung nicht von der für die
Messung gewählten Frequenz ab
.
Um diese noch genauer angeben zu können, wurden die Mittelwerte gebildet.
Für die Diffusionsspannung ergibt sich somit ein Wert von 0,9 V ± 0,2 V. Der Mittelwert der
Substratdotierung entspricht 5,6 1017 1/cm3 ± 0,4 1017 1/cm3.
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5. Fehlerbetrachtungen
Für die Frequenzen, die Spannungswerte und den Widerstand wurde für den Fehler ein Drittel
der letzten ablesbaren Stelle verwendet. Wenn Schwankungen auftraten, wurde der Fehler
entsprechend größer gewählt.
Beim Ablesen des Spannungswertes am Oszilloskop wurde der Fehler mit Hilfe der Cursor
abgeschätzt.
Bei der Verwendung der genäherten Formel für die Ermittlung von C ergibt sich der Fehler
aus:
∆C = C*((∆U~/U~)2+(∆R/R)2+(∆ω/ω)2+(∆U0~/U0~)2)1/2
Auch bei Verwendung der exakten Formel ergibt sich der Fehler für die Kapazität gemäß
Fehlerfortpflanzung.
Der Fehler für die Fitparameter a und b (=UD)wurde von Origin ermittelt.
Für die Substratdotierung erhält man den Fehler erneut aus der Fehlerfortpflanzung. Für die
Elementarladung und die Dielektrizitätkonstante im Vakuum wurde kein Fehler
angenommen, da diese sehr genau angegeben wurden. Für die Fläche sowie die
Dielektrizitätskonstante von Silizium wurden ebenfalls keine Fehler angenommen, da diese
für uns nicht abschätzbar sind.
∆NSubstrat = 2*∆a/a*NSubstrat
Der Fehler für die Mittelwerte ergibt sich aus der Standardabweichung.
6. Zusammenfassung
In diesem Versuch wurde die Kapazität in Abhängigkeit von der angelegten Spannung
ermittelt und über den Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen das Dotierungsprofil
und die Diffusionsspannung bestimmt. Des Weiteren lernte man den Lock-In-Verstärker
kennen.
Im ersten Teil des Versuchs wurde das Signal des Wavetek am Oszilloskopbildschirm
beobachtet.
Im zweiten Teil wurde der Frequenzgang des Lock-In-Verstärkers ermittelt. Es zeigte sich,
dass dieser in einem Bereich von 1,8 Hz ± 0,1 Hz bis 14000 Hz ± 1000 Hz zuverlässig misst.
Im dritten Teil des Versuchs wurde schließlich das Dotierungsprofil bestimmt. Es wurde
jeweils eine Messung für 20 Hz ± 2 Hz und für 4000 Hz ± 200 Hz durchgeführt. Die im
Versuch verwendete Diode wies einen abrupten p-n-Übergang auf.
Die von uns ermittelten Werte für die Diffusionsspannung und die Dotierungsdichte stimmen
für die unterschiedlichen Frequenzen innerhalb des Fehlers überein. Der Mittelwert der
Diffusionsspannung ergab sich zu 0,9 V ± 0,2 V. Der Mittelwert der Substratdotierung beträgt
5,6 1017 1/cm3 ± 0,4 1017 1/cm3.
Die Diffusionsspannungen und die Substratdotierung stimmen größenordnungsmäßig gut mit
den typischen Werten von 0,5 V und 1014 bis 1020 1/cm3 überein.
Obwohl die verwendete Schaltung relativ einfach ist, zeigte sich, dass dennoch einige
Überlegung notwendig ist um diese korrekt aufzubauen. Besonders lehrreich war es zu
erfahren, dass sämtliche Massen an einem Punkt der Schaltung zusammengeführt werden
müssen.
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7. Literatur
Skriptum Versuch 96 Bestimmung des Dotierungsprofils von p-n-Übergängen mit der
C-V-Methode (e-Campus)
W. Demtröder: Experimentalphysik 3 (Springer-Lehrbuch, 3. Auflage, 2005)
E. Hochmair: Elektronik, Skriptum WS 2007/08
http://sus.ti.uni-mannheim.de/Lehre/DSTVorlesung05/SSt05_10_Diode_und_Transistor.pdf
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