M 7 Innere Reibung von Flüssigkeiten 1. Aufgabenstellung 1.1 Bestimmen Sie die dynamische Viskosität von (wasserfreiem) Glyzerin bei Zimmertemperatur nach der Kugelfallmethode. 1.2 Überprüfen Sie, ob für die verwendeten Kugeln die Bedingung Re < 1 erfüllt 1.3 1.4 ist. Führen Sie eine Größtfehlerberechnung zu diesen Messungen durch. Ermitteln Sie die dynamische Viskosität gegebener Glyzerin-WasserMischungen mit Hilfe der Schwingtiegelmethode. Nutzen Sie die Ergebnisse aus Aufgabe 1.1 und 1.3, um den Zusammenhang zwischen dem Mischungsverhältnis c von Glyzerin und Wasser und der dynamischen Viskosität η näherungsweise grafisch darzustellen. 1.6 Messen Sie die dynamische Viskosität einer gegebenen Flüssigkeit in Abhängigkeit von der Temperatur mit einem HÖPPLER-Viskosimeter. Stellen Sie die erhaltene Temperaturabhängigkeit grafisch dar und berechnen Sie aus der Darstellung die Konstanten A und B in dem Exponentialansatz. Tragen Sie in diese Darstellung ebenfalls die Fehlerbalken ein (Fehlerrechnung). 2. Theoretische Grundlagen Stichworte: Ideale und reale Flüssigkeiten, BERNOULLI-Gleichung, Strömungsarten, Newton’sches Reibungsgesetz, dynamische Viskosität, Gesetz von HAGEN und POISEUILLE, Stokes’sches Reibungsgesetz, Auftrieb, Reynolds’sche Zahl, Schwingtiegelmethode, Torsionsschwingung, logarithmisches Dekrement, freie gedämpfte Schwingung Literatur: D. Geschke W. Walcher W. Demtröder Physikalisches Praktikum Mechanik Kap. 6, Teubner Verlag 2001 Praktikum der Physik Kap. 2.6., Teubner Verlag 1989 Experimentalphysik I Mechanik und Wärme, Kap. 8, 2 Springer-Verlag 1994 Physik Kap. 3.3, Springer-Verlag 1993 Schmelze, Erstarrung, Grenzflächen Kap. 3.4, Viskosität Springer-Verlag 1999 Gerthsen, Kneser, Vogel P. Sahm A. Knappwost Ein einfaches Verfahren zur Messung der Visko sität bei hohen Temperaturen Zeitschrift für Metallkunde 39 (1948) 314 2.1 Newton’scher Reibungsansatz Flüssigkeiten, in denen die innere Reibung vernachlässigt werden kann, bezeichnet man als ideale Flüssigkeiten. In solchen Flüssigkeiten gilt daher der Energieerhaltungssatz, der hier die Form der BERNOULLI-Gleichung (1) annimmt. Für verschiedene Zustände i (i = 1, 2,...) einer stationären Strömung lautet sie: ρ poi + ρ gh i + ν i2= const. 2 wobei p 0i (1) der statische Druck ρ ghi der Schweredruck (bei Strömung durch ein schräges Rohr) ρ 2 νi 2 der Staudruck im Zustand i sind und ρ die Flüssigkeitsdichte, ν die Geschwindigkeit, g die Fallbeschleunigung und h die Höhe über dem Bezugsniveau darstellen. A E1 F x dx En A 3 infinitesimale Zwischenschicht der Dicke dx Abb. 1 : Skizze zur Erläuterung des Newton’schen Reibungsansatzes In realen Flüssigkeiten treten dagegen nicht zu vernachlässigende zwischenmolekulare Wechselwirkungen auf. Diese verursachen die innere Reibung, die mikroskopisch mit Hilfe der dynamischen Viskosität η charakterisiert werden kann. Die- ser Sachverhalt wird durch den Newton’schen Reibungsansatz beschrieben, der an Hand des folgenden Modells erklärt werden soll (Abb. 1): Eine Flüssigkeit befinde sich zwischen zwei gleich großen parallelen Platten (Fläche jeweils A), deren Abstand x sei. Wenn nun die untere Platte festgehalten und die r obere durch die Tangentialkraft F mit einer Geschwindigkeit ν bewegt wird, so haftet infolge der Adhäsionskräfte zwischen der Platte und der Flüssigkeit eine infinitesimal dünne Flüssigkeitsschicht an der Platte und wird mitbewegt. Durch die vorhandene innere Reibung werden die nachfolgenden Schichten ebenfalls bewegt. Da die untere Platte in Ruhe bleibt und an dieser ebenfalls eine dünne Flüssigkeitsschicht haftet, muss ein vertikaler Geschwindigkeitsabfall vorliegen. Bei genügend langsamer Bewegung der oberen Platte kann man sich die Flüssigkeit in viele infinitesimal dünne Schichten Ei der Dicke dx zerlegt denken, die aufeinander abgleiten, ohne sich zu vermischen. Die Geschwindigkeiten der einzelnen Schichten können jedoch beliebig verschieden sein. Eine solche Strömung wird als Schicht- oder Laminarströmung bezeichnet. Betrachtet man nun zwei aneinander vorbei gleitende Schichten der Dicke dx , so wirkt an deren Grenzfläche eine der Bewegungsrichtung entgegen gerichtete Reibungskraft r dν FR = η A dx wobei (2) dν die auf die Dicke dx bezogene Geschwindigkeitsänderung dv und der dx Proportionalitätsfaktor r η die dynamische Viskosität darstellt. Eine gleich große Tan- gentialkraft F muss an der oberen Platte angreifen, um diese zu bewegen. Die dynamische Viskosität (auch kurz Viskosität oder Zähigkeit genannt) ist für die Flüssigkeit charakteristisch aber temperaturabhängig. Für die Maßeinheit der Viskosität ergibt sich aus Gl. (2) [η ] = Pa s. Die Temperaturabhängigkeit der Viskosität lässt sich durch einen Ansatz der Form 4 ⎧ B ⎫ η (T) = A exp ⎨ ⎬ ⎩ T ⎭ (3) beschreiben, wobei A und B Materialkonstanten sind und die Temperatur T stets in Kelvin einzusetzen ist. 2.2 Messung der Viskosität mit der Kugelfallmethode nach STOKES Die dynamische Viskosität einer Flüssigkeit kann man z. B. ermitteln, indem man die Sinkgeschwindigkeit einer in dieser Flüssigkeit fallender Kugel (Radius VK und Dichte rK , Volumen ρ K ) bestimmt. Auf die Kugel wirken drei Kräfte: 4π 3 rK g , 3 die Gewichtskraft FG = mK g = ρKVK g = ρK die Auftriebskraft FA = −mFl g = − ρFlVK g = − ρFl und die Reibungskraft Für die Reibungskraft 4π 3 rK g 3 (4a) (4b) FR . . FR lässt sich durch Verallgemeinerung des Newton’schen Reibungsansatzes für die laminare Strömung um eine Kugel das sogenannte Stokes’sche Reibungsgesetz (4c) herleiten: FR = −6πην rK . (4c) Interessierte Studenten finden die Herleitung in Lehrbüchern der theoretischen Mechanik, z. B. Schmutzer (s. Literaturverzeichnis). Das Gesetz von STOKES ist eine Näherung für kleine Fallgeschwindigkeiten und gilt mit ausreichender Genauigkeit, solange die Reynolds’sche Zahl Re Re = ρ Fl ν rK η (4d) kleiner als eins ist, und nur für unendlich ausgedehnte Flüssigkeiten. Im Gleichgewicht verschwindet die resultierende Kraft, d. h. die Kugel sinkt mit konstanter Geschwindigkeit und aus den Gln.(4a) – (4c) folgt 5 6πη rK ν = Setzt man die aus Fallstrecke 4π 3 rK g ( ρ K − ρ Fl ) . 3 und Fallzeit (5) bestimmte l ν = = const. in Gl.(5) ein und stellt nach der Viskosität η t Geschwindigkeit um, erhält man: 2 t η = g rK2 ( ρK − ρFl ) . 9 l (6) In der praktischen Ausführung lässt man eine Kugel mit dem Radius rK in ein senk- recht stehendes, ca. 1 m langes (h), die Versuchsflüssigkeit enthaltendes Rohr mit dem Radius R fallen (Abb. 2) M1 2r K h ℓ v 2R M2 Abb. 2 : Kugelfallmethode nach STOKES Nachdem die Kugel eine gewisse Strecke in der Flüssigkeit zurückgelegt hat, ist das Kräftegleichgewicht entsprechend Gl.(5) erreicht, und sie durchläuft die durch die Ringmarken M1, M2 gekennzeichnete Messstrecke l mit konstanter Geschwindig- keit ν . Die Fallzeit ist bei gleichen Messbedingungen ein Maß für die Viskosität. Da die Kugel nicht in einem unendlich ausgedehnten Medium fällt, vergrößert sich infolge der Nähe der Gefäßwände die Reibungskraft. Im Allgemeinen ist h » rK , und deshalb ist eine Korrektur wegen der endlichen Höhe nicht erforderlich. Der Einfluss des Rohrradius kann durch einen experimentell bestimmten Korrekturfaktor der 6 Form (1 + 2,4 rK ) berücksichtigt werden. Mit Gl.(6) folgt somit für die Berechnung R der Viskosität 2 ( ρK − ρ Fl ) g rK2 t 1 η= ⋅ ⋅ . rK ⎞ g l ⎛ ⎜1 + 2,4 ⎟ R ⎠ ⎝ 2.3 (7) Bestimmung der dynamischen Viskosität mit der Schwingtiegelmethode Ein mit der zu untersuchenden Flüssigkeit gefüllter zylindrischer Probenbehälter wird an einem Torsionsdraht aufgehängt und in eine freie gedämpfte Drehschwingung versetzt. Idealerweise, d.h. insbesondere bei Vermeidung störender Pendelbewegungen, folgt die resultierende Bewegung der Bewegungsgleichung && L Φ+ & D Φ= 0 . J Φ+ (8) Dabei ist J das Trägheitsmoment der gesamten Drehpendelanordnung, D das vom Draht bewirkte und von dessen elastischem Verhalten abhängige Richtmoment. Die Flüssigkeitsteilchen, die unmittelbar mit der Wand des Probenbehälters in Kontakt stehen, folgen der Drehbewegung aufgrund der kohäsiven Kräfte. Die innere Reibung der Flüssigkeiten dämpft die Bewegung jedoch innerhalb einer gewissen Grenzschicht, so dass in der Flüssigkeit ein Geschwindigkeitsgradient in radiale Richtung entsteht. Der die Dämpfung der Drehschwingung charakterisierende Parameter L ist daher eine Funktion der Luftreibung und der durch Gl. (2) beschriebenen dissipativen Kräfte in der Flüssigkeit, deren Maß die gesuchte dynamische Viskosität ist. Aus den charakteristischen Größen der gedämpften Schwingung, Schwingungsdauer T und logarithmisches Dekrement Λ , kann die dynamische Viskosität nach einer halbempirischen Gleichung bestimmt werden: 3 2 1 2 Λ T = K ( ρη ) . (9) Das logarithmische Dekrement ist zuvor um die Dämpfung der Drehschwingung des leeren Probengefäßes in Luft zu korrigieren. Die Gerätekonstante K muss aus der Messung mit einer Flüssigkeit bekannter Viskosität bestimmt werden. Bei dieser Referenzmessung und allen folgenden Messungen ist die Füllhöhe des Probenbehälters - und damit die durch das Fluid angeströmte Fläche (vgl. Gl. (2)) gleich zu halten. 7 Die Schwingtiegelmethode eignet sich, um Flüssigkeiten mit geringer dynamischer Viskosität (einige mPa·s) zu untersuchen. Aufgrund des einfachen Versuchsaufbaus kann dieser auch in Hochvakuum- und Hochtemperaturumgebungen installiert werden. Sofern ein geeigneter Probencontainer zur Verfügung steht, können damit reaktive Flüssigkeiten untersucht werden. Die Methode wird daher derzeit weltweit zur Viskositätsbestimmung an flüssigen Metalllegierungen eingesetzt. 2.4 HÖPPLER - Viskosimeter Für Routinemessungen der Viskosität wird das HÖPPLER-Viskosimeter (Abb. 3) verwendet. Darin fällt eine Kugel in einem Rohr, dessen Innendurchmesser nur wenig größer als der Kugeldurchmesser ist. Wäre dieses Rohr senkrecht aufgestellt, so würde die Kugel in der Regel in unkontrollierter Weise die Rohrwand berühren. Ihre Bewegung wird reproduzierbar, wenn man wie beim HÖPPLER-Viskosimeter das Rohr um einige Grad neigt. Das führt dazu, dass die Kugel an der Rohrwand gleiten kann. Die Viskosität wird hier nach der empirischen Formel η = K ( ρK − ρFl ) t (10) berechnet, wobei K eine Konstante des Viskosimeters ist und t die Fallzeit der Kugel zwischen zwei gegebenen Marken am Viskosimeter. In der Kugelkonstanten K sind also die übrigen in Gl.(7) auftretenden Größen und die erforderlichen Korrekturfaktoren zusammengefasst. Abb. 3 : HÖPPLER - Viskosimeter 3. Versuchsdurchführung 8 3.1 Kugelfallmethode nach STOKES Messen Sie die Fallzeiten von Kugeln verschiedener Radien in Glyzerin. Bestimmen Sie die benötigten Abmessungen. Ermitteln Sie die aktuelle Zimmertemperatur und die zugehörige Dichte der Versuchsflüssigkeit. 3.2 Schwingtiegelmethode Zur Ermittlung der dynamischen Viskosität nach der Schwingtiegelmethode sind zunächst die Schwingungsdauer und das logarithmische Dekrement der freien gedämpften Drehschwingung zu bestimmen. Dazu wird eine an das Computermesssystem CASSY® angeschlossene Gabellichtschranke genutzt, die durch einen rotationssymmetrisch geformten Auslöser unterbrochen wird. Auslöser und Lichtschranke sind so zueinander auszurichten, dass die Lichtschranke in der Ruhelage des Pendels (Nulldurchgang des Drehwinkels) nicht unterbrochen wird. Gleichzeitig sollten zum Auslösen der Lichtschranke nicht zu große Auslenkungen erforderlich sein, um ausreichend viele Messwerte erfassen zu können. Mittels Messsoftware werden die Zeitpunkte registriert, zu denen die Lichtschranke ausgelöst wird - diese Zeitpunkte entsprechen einer festen Schwingungsphase. Die Kenntnis des genauen Auslenkwinkels ist nicht erforderlich - dieser wirkt sich lediglich auf den Amplitudenfaktor der Schwingungsfunktion ⎛ 2 π ⎞ ⎛ Λ ⎞ Φ ( t ) =Φ 0 sin ⎜ t + α ⎟ exp ⎜ − t ⎟ ⎝ T ⎠ ⎝ T ⎠ (11) aus. Abb. 4 zeigt schematisch den Versuchsaufbau und die resultierenden Messwerte. Torsionsdraht Drehwinkel φ Gabellichtschranke ® (CASSY -Experimentiersystem) Auslöser für Lichtschranke Behälter für Probenflüssigkeit a Position der Lichtschranke Zeit t t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 b Abb. 4: a) Versuchsaufbau zur Messung mit der Schwingtiegelmethode, b) er fasste Zeitmesswerte und Schwingungsfunktion 9 Die Information über den Winkel zwischen Auslöser und Lichtschranke im Ruhezustand ist in den unterschiedlichen Zeitspannen zwischen erstem und zweitem bzw. zweitem und dritten Auslösen der Lichtschranke während einer Schwingung, Informationen über die Dämpfung in der zeitlichen Entwicklung der Zeitspannen enthalten. Die gesuchten Größen Λ und T können daher mit einer Kurvenanpassung im Messprogramm (freie Anpassung, auf sinnvolle Startwerte achten) bestimmt werden. Am Arbeitsplatz stehen Ihnen verschiedene Wasser-Glyzerin-Gemische zur Verfügung, darunter reines Wasser. Die Versuchsflüssigkeiten sind nach dem Experiment in die entsprechenden Vorratsbehälter zurückzufüllen. Um eine Durchmischung der verschiedenen Flüssigkeiten zu vermeiden sind die Probenbehälter nach dem Versuch zu spülen und zu trocknen. Die Dichten der Versuchsflüssigkeiten können Sie durch Wägung und Volumenbestimmung im Probenbehälter (Kalibrierstrich verwenden, Leermasse des Probengefäßes beachten) ermitteln. Arbeiten Sie bei der Justage des Schwingtiegelviskosimeters, bei der Auslenkung des Drehpendels und beim Probenwechsel besonders achtsam - das Deformieren oder gar reißen des Torsionsdrahtes muss unbedingt vermieden werden. Die Reparatur ist zeitaufwändig underfordert das Neubestimmen der Gerätekonstante! Messen Sie zunächst das durch Luftreibung hervorgerufene logarithmische Dekrement bei leerem Probenbehälter. Führen Sie dazu fünf Versuche durch und ermitteln Sie jeweils das Dekrement. Für die weitere Auswertung verwenden Sie den Mittelwert. Führen Sie anschließend für die Versuchsflüssigkeiten die Messungen durch. Mitteln Sie auch hier das logarithmische Dekrement und die Schwingungsdauer aus fünf Versuchen. Subtrahieren Sie vor der Berechnung der dynamischen Viskosität nach Gleichung (9) das durch Luftreibung verursachte Dekrement vom dem mit Versuchsflüssigkeit gemessenen. Die Gerätekonstante K wird durch den Betreuer gegeben. Berücksichtigen Sie für die Darstellung des η − c − Zusammenhanges, dass sich die dynamische Viskosität des Glyzerin-Wasser-Gemischs durch die Zunahme des Glyzeringehaltes um mehrere Größenordnungen ändert. 3.3 HÖPPLER - Viskosimeter Justieren Sie das Gerät. Mit Hilfe eines Thermostaten kann die jeweilige Messtemperatur eingestellt werden. Durch Drehen des Fallrohres wird die Kugel in die 10 Startposition gebracht. Nach erneutem Umlegen des Fallrohres wird dann zwischen den äußeren Marken die Fallzeit gemessen. Für jede Temperatur ist die Fallzeit mindestens 10 mal zu messen. Die für das benutzte HÖPPLER - Viskosimeter charakteristischen Parameter (Kugelkonstante, temperaturabhängige Dichten) liegen am Messplatz aus. Die Anzahl der Temperaturschritte und Messungen bei jeder Temperatur werden vom betreuenden Assistenten vorgegeben. Zur Ermittlung der Materialkonstanten A und B aus Gl.(3) ist es zweckmäßig lnη über 1/T darzustellen. 4. Kontrollfragen 4.1 Was ist eine laminare und was ist eine turbulente Strömung? 4.2 Was versteht man unter der Reynolds’schen Zahl und welche praktische Bedeutung hat sie? 4.3 Begründen Sie, warum eine laminare Strömung in einem Rohr ein parabolisches Geschwindigkeitsprofil hat. 4.4 Begründen Sie, dass sich die Kugel nach ausreichend langer Zeit mit einer konstanten Geschwindigkeit in der Flüssigkeit bewegt. 4.5 Wie ändert sich die Viskosität einer Flüssigkeit mit steigender Temperatur? Welche anschauliche Bedeutung haben die Konstanten A und B in Gl.(3) und was ist bei der grafischen Darstellung bezüglich der Maßeinheiten zu beachten? 4.6 Warum eignet sich die Schwingtiegelmethode nicht zur Untersuchung hochviskoser Flüssigkeiten wie Glyzerin? 11