ÜBER EINIGE KOMPLEXE UND P-ADISCHE LÜCKENREIHEN MIT

İstanbul Üniv. Fen Fak. Mec, Seri A, 45 (1980), 89-130
89
Ü B E R EINIGE KOMPLEXE UND P - A D I S C H E LÜCKENREIHEN M I T
WERTEN
AUS D E N MAHLERSCHEN
UNTERKLASSEN
U
m
B. M . Z E R E N
I n der vorliegenden Arbeit handelt es sich zuerst u m einige L ü c k e n r e i h e n
mit rationalen Koeffizienten. Es w i r d gezeigt, dass eine solche L ü c k e n r e i h e
für v o n N u l l verschiedene algebraische A r g u m e n t e unter gewissen B e d i n g u n 
gen ü b e r die Koeffizienten z u einer passenden £ / - K I a s s e g e h ö r t . Das
Ergebnis w i r d dann auf L ü c k e n r e i h e n m i t algebraischen Koeffizienten
verallgemeinert u n d a u f solche m i t Koeffizienten aus dem .p-adischen Gebiet
m
übertragen.
§ 1. E I N L E I T U N G
2
i m Jahre 1946 hatte Harvey Cohn [ ] gezeigt, dass eine Lückenreihe
G, . z"'
(c * 0) ,
f
ai
i i m "'-±J- ^ + oo
;-->«> ij.
mit rationalen Koeffizienten c«- für von Null verschiedene algebraische Argu
mente unter gewissen Bedingungen transzendente Werte annimmt. Die p-adische
Übertraguug dieses Satzes wurde in der Arbeit von H . Senkon [ ] gegeben.
Andererseits hatte K . Mahler (1965) i n seiner Arbeit mit dem Titel "Arithmetic
properties o f lacunary power séries with integral coefficients" die allgemeinere
(
, 0
z
Lückenreihe ^^P„{ )
r m
z
Z>
t P„( ) ~
' ' '
^ ^
U n t
* S
a n z e
rationale Zahlen
und
0 < s < i-j < s < r < s < r < s < ... ,
0
1
2
2
3
3
hm
= + °o
untersucht und eine notwendige und hinreichende Bedingung gegeben, die aus
drückt, dass diese Reihe transzendente Werte für algebraische Argumente an
nimmt. Später hatte E. Braune (1977), unter Verwendung der Mahlerschen
Ideen, i n seiner Arbeit mit dem Titel " Ü b e r arithmetische Eigenschaften von
Lückenreihen m i t algebraischen Koeffizienten und algebraischem Argument"
einige Ergebnisse erzielt. Nach einer von diesen Ergebnissen sind die Werte
90
B. M . Z E R E N
der oben erwähnten Reihe für im inneren des Konvergenzkreises liegende
rationale Argumente keine (Mahlersche) S-ZaM. Andererseits hatte LeVeque
[ ] i n 1953 bewiesen, dass die t7„,-Unterklassen (m — 1,2,...) i n der Mahlerschen
Klasseneinteilung der transzendenten Zahlen nicht leer sind. K . AIniacik hat
1978 i n seiner noch nicht veröffentlichten Dissertation f ] unter Verwendung
der LeVequeschen Ideen bewiesen, dass eine rationale Funktion einer Liouvilleschen Zahl mit algebraischen Koeffizienten unter gewissen Bedingungen zu einer
passenden (/„,-Klasse gehört. I m Jahre 1979 hat M . H . Oryan i n seiner noch
nicht veröffentlichten Dissertation [ ] m i t Hilfe der Arbeiten von LeVeque und
3
1
8
K . Almaçik gezeigt, dass eine ganze F u n k t i o n ä r e , , . z" , c ^ 0 (n = 0 , 1 , . . . ) mit
n
rationalen Koeffizienten für von Null verschiedene algebraische Argumente vom
Grade m unter gewissen Bedingungen Werte aus der Unterklasse U annimmt.
Er hat dann diese Ergebnisse auf ganze Funktionen mit algebraischen Koeffizienten verallgemeinert und auf Potenzreihen mit Koeffizienten aus dem Henselschen /»-adischen K ö r p e r übertragen.
m
I n der vorliegenden Arbeit werden ähnliche Ergebnisse für die von H . Cohn
betrachtete Lückenreihe erzielt. A u f diese Weise wird das Analogon der von
M . H . Oryan gegebenen Ergebnisse für keine Lücke enthaltende Potenzreihen
mit unendlichem Konvergenzradius, für Potenzreihen mit eventuell endlichem
Konvergenzradius, aber dafür mit Lücken gegeben. Genauer : I n Lückenreihen
CO
F(z)
. z"' , mit einem positiven Konvergenzradius: a) Die Werte F(a)
von F(z) gehören zu U , wobei z — a eine von N u l l verschiedene algebraische
Zahl von Grade m bedeutet, wenn die Bedingungen 1) die Koeffizienten
m
c»
sind von N u l l verschiedene
f
f +
rationale Zahlen, 2) l i m — '
n,
= - j - oo und
log An,
3) iirn
= + 00 mit A, = [a„ , ...,«.,-]
erfüllt werden (§2, Satz 1).
/->«>
«
b) Unter gewissen Bedingungen gehören die Werte F(a) zu U an, wobei a eine
rationale Zahl ist, wenn
Elemente ( 7* 0) eines algebraischen Zahlkörpers K
vom Grade m sind (§ 2, Satz 2). Dann werden die Ergebnisse i n a) und b) auf
eine Lückenreihe m i t Koeffizienten aus dem Henselchen /j-adischen Körper
übertragen und es wird gezeigt, dass die hiesigen Funktionswerte zu der ^-adischen
£/„ Unterklasse gehören ( § 3 , Satz 1 und 2).
&
:)
n
0
(
m
2)
r
1
)
D a b e i bedeutet [a ,
b.
nQ
..., ct ]
nj
das ldeinste gemeinsame Vielfache v o n Ö „
n
= —'-
w o c„
2
>
6
Siehe [ ] .
(a„ , b„. e Z ; 1 = 0 , 1 , . . . ) ist.
0
,... , a
n i
,
Ü B E R EINIGE K O M P L E X E U N D P-ADISCHE LÜCKENRETHEN
91
Der Beweisplan der Sätze 1 und 2 vom § 2 ist folgender :
Es ist bekannt, dass die Klassen A, S, T, U der Mahlerschen Klasseneinteilung
ma
3 }
3 )
identisch m i t den Klassen A*, S*, T*, U* der Klassifikation von Koks4)
sind und weiter U =U^
ist, wobei m irgendeine natürliche Zahl bedeutet .
m
Daher handelt es sich um die U* - Klassen i n der oben erwähnten Sätze und
m
es wird gezeigt, dass die Zahl \ ~ F(a) zu U* angehört. Nach der Definition
i s t : £, = F(a) e U* o u*(i;) = m. U m die letzte Gleichung zu verifizieren, müssen
wir folgende zwei Bedingungen betrachten.
N ä m l i c h : Gelten für die Zahl
t, und unendlich viele algebraische Zahlen T\ vom Grade m die Ungleichungen
n
0 <\Z>~T\ \
< C . H(r\ )~«*M
n
, l i m w*(n) = + °°
r
(A*)
«-•OS
und wird ausserdem für alle algebraischen Zahlen ß, deren Grade kleiner als
m sind,
K - ß i >
c
\ / / ( ß r ,
(B*)
so gilt
=
rn.
Dabei sind c und s von der H ö h e von ß unabhängige positive Konstanten.
(Beweis. Aus (A*) ergeben sich
w*(H ,
H
© = M i n K - n» i < - p ^ r '
V)°^"l
Ji„
die H ö h e von r\ < H
n
l
i
m u
f l
*i > = + ~
fl-CD
n
und
log
*^Wir
I
o
g
7
«
g „>V
_
C
_
log _ff„
log H
Die rechte Seite strebt für H —> + °° gegen 4- ° ° , d.h. f f * = + ° ° , Dann
ist m >
Aus (B*) folgt
n
n
s
#(ß) '
woraus lässt sich
s
>
4
>
9
Siehe [ ] , K a p i t e l 3.
u
Siehe [ j .
92
E. M . Z E R E N
i
o
g
/ / . ^ , ( / / , c )
log 7/
"
l
^
0
g
7
log//
_
M
J
schreiben. Die rechte Seite strebt gegen (s — 1) für / / - » oo, d.h. PF^-i < +
Daraus bekommt man [.i* > »?).
0 0
-
Der Beweisplan der Sätze 1 und 2 vom § 3 ist folgender ;
Hier handelt es sich direkt u m die Unterldasse U i n der y?-adischen Mahlerschen Klasseneinteilung. Wegen der Definition i s t : £, = F(a)e U ou(<|) — m.
Daher wollen wir folgende zwei Bedingungen zeigen: Wenn für die /?-adische
Zahl t, und die unendlich viele Polynome P„(x) mit ganzen rationalen Koeffizien
ten
in
m
0 
. //(P)-
(5)
ist, so gilt
u(0 = m .
Dabei sind c' und s von der H ö h e von P{x) unabhängige positive Konstanten
(Der Beweis wird wie oben geführt).
§ 2.
L Ü C K E N R E I H E N I M K O M P L E X E N GEBIET
Zunächst wollen wir einige Hilfssätze angeben, die bei den Beweisen der
in diesem Paragraphen gegebenen Sätzen benutzt werden.
Hilfssatz 1. Es seien a.j (J = 1, ... , k; k > 1) aus einem bestimmten algeb
raischen Zahlkörper K vom Grad g entnommen und die H ö h e n derselben mit
H(ßj) bezeichnet.
Es sei ferner n eine weitere algebraische Zahl, die von aj(j—
durch die Relation
F{v\ , a ,
t
1, ... , k)
... , a ) = 0
k
abhängt, wobei F(y, x , ... , x ) ein Polynom mit ganzen rationalen Zahlenko
effizienten i n seinen sämtlichen Argumenten bedeutet.
x
k
Es sei ausserdem der Grad von F(y , x , ..., x ) nach y mindestens 1.
A
k
D a m ı ist der Grad von r¡ < dg und es gilt für die H ö h e H(r\) von rj f o l 
gende Abschätzung :
Ü B E R EINIGE K O M P L E X E U N D P-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
93
Dabei bedeutet d den Grad von F(y ,x ,...,
x ) nach y,
den Grad desselben
nach Xj ( j — 1, . . . , k ) und H das Maximum der Absolutbeträge der Koeffizienten von F(y,x , ... , x ).
i
1
k
k
4
Beweis.
Siehe [ ] .
Hiifssatz 2. Es seien a , a zwei algebraische und zueinander konjugierte
Zahlen, h ihre Höhe und n ihr Grad. Dann gilt
:
| a, -
a
2
| > (4n)-(»- >
2
2
. {(« + 1) h}-®«-»' .
/2
(2)
2
3
Beweis.
Siehe [ ] .
Hiifssatz 3, Es seien y , 5 zwei algebraische Zahlen mit den jeweiligen
Graden n , n und den jeweiligen H ö h e n h , h . Dann gilt
l
2
|
Y
l
_
5 | >
2
2
!
Max im,
2
Satz 1.
W i r betrachten die Lückenreihe
n j
/ )
3
2
3
Siehe [ ] .
S
.
n
(
Beweis.
F(z) = y c
:
. ((« 4 . l ) hy*. ((n + 1) /7 ) '
. z"< (c„i =
; b, , a , ganz rational, b„ ^ 0 und a„, > l)
H
n
{
(4)
unter folgenden Bedingungen
ihn
lim
log An,
< + oo
"
= + oo ,
=
[„
a
0
()
5
, ... ,
(6)
und wir setzen voraus, dass der Konvergenzradius R dieser Reihe positiv ist.
Es sei zugleich et eine algebraische Zahl vom Grade m, die die Bedingung
F
0 < | a j < R erfüllt und deren Konjugierten dem Absolutbetrage nach voneinander sämtlich verschieden sind. Dann gilt : F(a) e U .
F
m
Beweis, a sei eine algebraische Zahl, die den Ungleichungen 0 < j a | < R
genügt und deren Konjugierten mit sämtlich verschiedenem Absolutbetrag sind.
Wir bezeichnen ihre H ö h e mit H(a) und wir bedienen uns der Abkürzung i ; für
F(a). Dann lassen sich
F
B. M . Z E R E N
94
* H = y ^ - . a " ' ,
(8)
¿=0
r« - > -^-.a"'
(9)
f c
schreiben. Andererseits folgt aus (6) : [ a „ . ... , ö«, J < ^4"' , wobei ^4 eine von ra
unabhängige positive Konstante ist. Multiplizieren wir die beiden Seiten von
(8) m i t An , so erhalten wir die Gleichung
0
k
P(TH , a) : = A
nk
. r\„ - A„ .
k
. a"° -
k
... -
A„ . ^
.
k
k
a" = 0,
wobei die Koeffizienten von y\„ und a " ' ( / = 0, ... Je) ganze rationale Zahlen
sind. Wenden wir den Hilfssatz 1 von §1 auf die Relation P(y\n , a) = 0 an :
Ist H die H ö h e von P{y, x), so ist nach der Cauchyschen Ungleichung
k
k
I c„i j < - ^ r ( | a | 1
woraus man
H
< M.
B"
K
mit Max f — ,a\=B
erhält. Andererseits, da [Q(a) : Q] = m ist, ist g — m.
\ P
/
Ferner sind l ~ n , d~ 1. Dann kann man eine obere Abschätzung der H ö h e
ii(T|„ ) von r\„ m i t Max ( 1 , M) = M i n der F o r m
k
/;
k
l
-ff(n»/c) < 3
2 m + M f c
4
< 3 "* •
schreiben. Aus (10) folgt m i t 3
fl
)
Ist R F = +
als p nehmen.
1X1
,
m
w
k
*•
• P>" '•
k
m
. M" •
k
[H(v)Y '
k
. 5"'' • . [H(a)]" •
m
. (M, Bf . H(a)
m
(10)
= c
0
so lässt sich eine beliebige Z a h l , die der Bedingung p > | a | g e n ü g t ,
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%
< C -
95
(11)
0
wobei c eine von a abhängige, aber von n unabhängige positive reelle Zahl ist.
Es ist sogar c > 1.
a
0
Jetzt zeigen wir die Ungleichung (A*)
i £ — TV/t I = I '*% I nach oben abschätzen.
Wegen (9), I et I 0)
und
(c, — c,(a) > 1) in der Form
c
i
l
C
(12)
schreiben. Aus (12) folgt mit Berücksichtigung von (11)
c,
c.
»
/ c
.
H
<
.iOg
wobei
log c
2
= c
3
(c >0)
(13)
3
gesetzt wurde, d.h.
, lim
I £- in I <
r
=
4 . co
(14)
N u n betrachten wir wieder r|, , die durch (8) gegeben ist. I m Falle m = 1
ist der Grad von r\„, gleich m. I m Falle m > 1 sind alle Körperkonjugierten von
r\„ i n bezug auf ß ( a ) nach einer bestimmten Stelle ab voneinander verschieden.
Dadurch ist der Grad von r\n gleich m. Die erste Behauptung ist klar. U m die
J/c
(
k
k
96
B. M . ZEREN
zweite Behauptung zu beweisen, unterscheiden, wir zwei Fälle: F ü r ein festes
Paar (1,7)
a)
von einer bestimmten Stelle an folgt aus r|
{i>
n
Ii«)
k
^ 'nü* die Ungleichung
"k
^ n(J)
b)
für jede Zahl n ist mindestens eine der beiden Ungleichungen n ^
k
(
0
und ri ''>
^ n '*
»A+J
r|^>
richtig.
»A+i
Z u a).
Aus
r,<0
= n<'>
"fr+>
+
(15)
^"fr-t !
«fr-M
a."fr +1
"A
gewinnt man
•nt'>
'"fr+l
- nW>
»fr
"k
. j ( Wy*-M _ ( O))"A-i i | . (16)
a
a
"A + l
FL
Bezeichnen wir den Grad von r\„ mit v . Dann ist v < m. Betrachten wir den
Hilfssatz 2 vom § 1, so erhalten wir unter der Voraussetzung n ^ ^ n ^
k
(17)
2m—1
»fr
«A
# ( W
1
mit
(
(4m) '"~
2)/2
= c.. Aus (11) und (17) folgert man
2
• (w -h l ) ( " ' -
, ) / 2
I TJO) _ •nü) I >
-
«fr
2m—i
"fr
(18)
•«fr
Das zweite Glied der rechten Seite von (16) lässt sich in der Form
, | ( ( 0 ) "fr+i a
( O))"fc+i |
a
<
-*«/£+1
.2|a
""fr + l
'"k + l
IM
<
a
|"fr+I
"fr-II
(19)
nach oben abschätzen. Es lässt sich (16) mit Hilfe von (18) und (19) als
c
A
«fr-K
»k+i I
2m—1
IM
"fr+i
(20)
Ü B E R EINIGE K O M P L E X E U N D P-ADISCHE
/c4
1
schreiben. D a lim -" " • = + w
LÜCKENREIHEN
97
ist, können wir jetzt behaupten, dass mit
/<•-*« n
einer passenden Zahl k
folgendes gilt :
0
2M
"k+l
-
2m—\
et \
für*>*
(21)
0
c,
(Denn (21) ist der Ungleichung
< log c
~
A
. n log c
k
äquivalent. Dividieren wir die letzte Ungleichung durch n ,
k
^
so erhalten wir
"fr
n
"k
0
k
0
2/?7 — J
Die linke Seite dieser Ungleichung strebt, wegen —... > 0, gegen
. log c
| et |
2
für k—> co, die rechte Seite derselben strebt gegen + °° für k - > ° ° . Damit
ist (21) bewiesen).
Aus (20) und (21) ergibt sich n u n die Behauptung a).
0
Zu
b).
W i r setzen voraus, dass sowohl
ri
< 0
"
=
k
als auch
( ,
ri '
»fr
)
r\
=
"k+i
(j)
»k+t
sind. Aus (15) folgt dann
( (0)"M-i ^
a
n
( U>) *+i .
a
Hieraus, durch Übergang zu den absoluten Beträgen und Bildung der n,. -ten
positiven Wurzel, ergibt sich
+1
f
| a< > | =
} C/> | ,
a
was nun der für a gegebenen Hypothese des Satzes widerspricht. Damit ist auch
die Behauptung b) bewiesen.
Nun vereinigen wir a) und b). Ist nW
°
Wenn r t ^ =
11
k"
7
'
"k*
ist, ist wegen b)
ri
»fr*
ein beliebiges Paar /, j ist n
( i i
w
v\
, so ist wegen a) r|W
"fr*
# Ti
ü )
^ rfj)
«fr*+i
. Also für
k
>
k*
»fr*-K
+ 1 und
V - MV + I
i f )
"/<
# n ^ , weil /c* offenbar von /, j unabhängig ist.
»fr
Oder anders ausgedrückt : der Grad von r \ wird für k > k* + 1 gleich m,
weil alle Körperkonjugierten von n„ voneinander verschieden sind.. Der Grad
von y \ ist also für k >; i * gleih m. Nun wollen wir zeigen, dass wir aus der
Folge {r\n }
eine unendliche Teilfolge herausgreifen können, deren Glieder
vom m. Grad und voneinander und von £, verschieden sind: Weil a und
"k
t t k
/f
/Ik
k
a
98
B. M . Z E R E N
von N u l l verschieden sind, ist T | « , ^f\n
- I n d e r Folge {\\,, } gibt es dann
wenigstens zwei Gliedern, die voneinander verschieden sind. Wenn die Folge
{T|n } endlich viele voneinander verschiedene Glieder hätte, würde sich eine
positive untere Schranke der Zahlenfolge { [ T | „ . — T|« j } geben (Wären die
verschiedenen Werte M , . . . , u ( t > 2), so würde diese untere Schranke gleich
FC+
k
/c
fc
a
1
+1
a
t
t
Min | u — u j ,
r,s=l
r
was
s
nicht möglich
ist.
Denn
man
kann die
Differenz
beliebig klein machen, weil die rechte Seite
a
das allgemeine Glied einer konvergierenden Reihe ist). Danach enthält die
Folge {r\,, } unendlich viele voneinander verschiedene Glieder.
k
Die Höhenfolge H(r\tt ) dieser letzten Folge ist nach oben unbeschränkt.
Sonst enthielte die Folge {f]n }
nur endlich viele voneinander verschiedene
Glieder, weil die Grade von r i ^ kleiner als oder gleich m sind. N u n wählen w i r
eine Teilfolge, die streng monoton gegen + <*> strebt. Alle Glieder der entsprechenden Teilfolge {v\,i } sind voneinander verschieden und höchstens eins
dieser Glieder kann gleich £, sein. M a n kann aus dieser Folge durch Weglassung
endlich vieler Glieder eine neue Folge herleiten, so dass alle Zahlen y \ „ . der
k
k
kj
k
neuen Folge von m. Grad und von ^ und voneinander verschieden sind. Hierzu
genügt kj > k* und eventuell kj > k\ falls x\ ' = i ; , zu nehmen.
k
Ferner strebt die Folge {H(r\„ .)}
k
monoton gegen + oo , und unter Mitbe-
rücksichtigung von (14) die folgende A n n ä h e r u n g g i l t :
0 < | $ - THj\ < •
Dabei sind die Grade von
r\n
kj
•
(22)
gleich m. Nennt man - ^ Ü - = s , so
k
wird
Die obige Ungleichung kann man i n der F o r m
0 < | ^ - ^ . | <
L
m»k/ >
k
schreiben.
leU
t
(23)
!
8
D a c > 0 ist und s —> ©=• , gilt s
3
U...U U,
m
k
k
.c
3
-f- «> . Es muss also
d.h.
u*(Ö < m -
^24)
ÜBER EINIGE K O M P L E X E U N D P-ADISCHE
LÜCKENREIHEN
99
a) Ist m = 1, so ist immer u*(0 > 1. Wenn wir auch (24) betrachten,
•erhalten wir
= 1 •
b) N u n wollen wir die Relation (B*) von §1 für alle algebraischen Zahlen
ß zeigen, deren Grade kleiner als m sind. Dazu fassen wir die Ungleichung
I S - P I = l < i w - ß ) + ß - W t s: h - / - ß | - h - / - S I
(25)
ins Auge: W i r wollen eine untere Schranke für den Ausdruck |Tj„, — ß | und
eine obere Schranke für j r | ~ £, j finden. Es sei die H ö h e von x\ mit H(r\ )
bezeichnet. Der Grad von r\„, war für / > k* + i gleich m. # ( ß ) und t seien
die Höhe von ß und der Grad desselben. F ü r t gilt die Ungleichung l < r < m — 1 .
Aus Hilfssatz 3 folgt
n/
n]
Hm — ß I >
1
—
m
ni
1
, C, = 2 - ' » . m ~ . (m + I ) - * ,
(26)
wobei c , wie man sieht, eine von H($) u n a b h ä n g i g e Konstante ist. Die Relat i o n (25), wegen (11), (12) und (24), kann man als
5
!
^
w>-""
A—TT—
^
.
(28)
Es sei / / ( ß ) gegeben. Betrachten wir die Doppel U n g l e i c h u n g
c"
ü
k
< i/(ß)<c ^M.
(29)
0
k
Die Zahl
, die (29) genügt, ist eindeutig bestimmt, weil die Zahlen c " i m
engeren Sinne monoton wachsen. Jetzt unterscheiden wir zwei Fälle, je nachdem
_ff(ß) zum ersten oder zum zweiten der folgenden Teilintervallen gehört :
0
1)
2)
 1 eine später zu erklärende natürliche Zahl.
I m Falle 1). Es sei abkürzend H{$) = H gesetzt. Gehen wir mit
/ = k(k > k* - j - 1) in (28) ein, so wird diese Ungleichung unter Benutzung
von 1) zu
100
B. M . 2 E R E N
$ - ß | >
^
^
(30)
Wenn die Zahl A, so gewählt wird, dass sie der Ungleichung
X
>
^
1
(31)
genügt, wird
1
< —.
2 #(ß) "'-"
2
H$Y«*
für H > H
X
T
d.h.
es
gilt.
^ _ ß | > ^ 5 / 2 _
( 3 2 >
tf(ß)2"'-'
für /f(ß) > ff, .
Im Falle 2). Gehen wir mit / = fc + l ( f c > f c * - H ) i n (28) ein. Dann
gilt unter Benutzung von 2) i n (28) :
^ ~
ß
l
tf(ßr.c '"- >"* i
-
S(
0
m
1
i/(ß) . /riß)**- )
i
(
+
3
3
>
c
c *•
0
Aus (5) folgt
- ^ - > H
(/c>/c**)
(34)
für eine hinreichend grosse Zahl k**. Dabei ist u, eine positive Zahl, deren.
Wert später erklärt werden wird. Aus (33) und (34) ergibt sich
| P
für /c > fc*** mit
dass
k***
_ ß| > _
=
< L
c
i
Max (/c* + 1, &**). N u n wählen wir die Zahl
erfüllt ist. F ü r / / > / f , gilt
(35).
\i
so^
ÜBER EINIGE KOMPLEXE
UND P-ADKCHE
LÜCKENREIHEN
101
wobei H eine passend gross gewählte positive Zahl ist, und (35) gibt uns die
folgende Ungleichung :
2
| S - ß | >
H{$)'"
+
i
— •
"'~ '>
(37)
1
k
Nun vereinigen wir 1) und 2) : Es sei c " *** = H .
Nimmt man H > H ,
so wird k > k***. F ü r genügend grosse Zahlen H und / / ( ß ) > Max ( / / „ ,
, H)
erhält man
0
0
0
2
l^-ßi
mit
>
^
(38)
«c .
6
Somit ist die Relation (B*) gezeigt worden, d.h.
u*(0, > m .
(39)
Aus (22) und (39) folgt nun u*(£) = m. M i t anderen Worten ist 5 e Í7* ,
d.h. ^ t /
.
f l l
Satz 2.
W i r betrachten die Lückenreihe
CO
F(z) = ^y .z">
(40)
lli
mit algebraischen Koeffizienten aus einem festen Zahlkörper unter folgenden
Bedingungen :
Ihn—
(-»«
lim
n
1
= + oo
(41)
.
< + oo
(/?,„ - H(y„,)).
(42)
M i t ;w bezeichnen wir den Grad des algebraischen Zahlkörpers
K=
ö(r« r«i,•••->/,•••)
0 )
über Q (Körper der rationalen Zahlen) und wir setzen voraus, dass unendlich
viele Zahlen unter den algebraischen Zahlen y„ existieren, deren Grade gleich
¿
m sind. Es sei ferner der Konvergenzradius R der Reihe ^h,,¡.
ist F(r)e U
m
für z = reQ,
z"> positiv. Dann
die die Bedingung 0 < | r \ < R erfüllt.
102
B. M . Z E R E N
Beweis.
Die Reihe (40) konvergiert für z = r , weil die Relation j y„, \ <
gilt. W i r bilden F(r) =
wobei z - / ' = - ( a , & e Z ; ß >
a
$ = Tl«jt + r„
2h,
u
1) ist. W i r haben
(43)
k
mit
k
•n»jfc= > T « / - i — | \
(44)
i=0
r» =
>Y«i-|—V-
k
(45)
a
,
k
Multiplizieren wir die beiden Seiten von (44) mit a" , so erhalten wir die Gleichung
:
-P(% > Y"o> ••• ' Y"&) =
c
f b\"°
- Y»o • 1 — 1 -
• ü«* -
lc
( b \"
••• - «"* . 7» . I — I - 0 .
/£
Dabei sind die Koeffizienten von P nach n , y« »• • •»Y»* ganze rationale Zahlen.
Wenden wir den Hilfsatz 1 vom § 2 auf die Relation P(r\n , y » , ... , yn ) = 0
an, so bekommen wir - wenn wir die Höhe von P mit H bezeichnen%
0
k
0
k
H < a"i<. | b \" ,
k
woraus man
H < A"*
(46)
mit a . i b | = A erhält. Aus (42) folgt
A,, = - f f ( y . , ) < I i " ' (1 = 0 , 1 , . . . ) ,
(47)
wobei -ß eine passende, von
unabhängige positive reelle Zahl ist. Dann mit
Berücksichtigung von (46) und (47) erhält man folgende obere Abschätzung
für die H ö h e H(r\ ^ :
n
2m
l
m
H(r\„ ) < 3 +<*+ >"'. A""- . H(y„ y
k
o
4
m
m
< 3 "k- , j"k- .
Wegen der Relation (41) ist
•-- > 2
(_ß"oy _
für /c >
... / / (
(5"ft)
Y %
r
m
mit einer passenden natür-
n k-i
k
liehen Zahl k*. Hieraus ergibt sich
<
j-0
2w
/<
(für k > k*). Aus (48) folgt
Ü B E R E I N I G E K O M P L E X E U N D i>-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
n
-tfOH) < c '<
(fmk
0
mit _ö« +...+ *- . 34"'. A
0
nft
m
2m
.B
i
103
> k*)
(49)
= c ( > 1).
0
U m die Ungleichung (A*) von § 1 zu zeigen, wollen wir | % — T|« | = "k|
\r \ -\- R 9 '
nach oben abschätzen. Wegen (45), | r \ < p < R [ p = —'—
— | und
/C
1
M
j Jiij \ < — (M bezeichnet das
p^Werte von | F(z) | ) ist
^^i<2
l Y
"
i |
-
| r i
Maximum
'"'-^r-
, ,H\"A+i
P /
| ,
'
der auf | z \ — p angenommenen
r f c + i
P
P
2
1
i
_
±
L
p
Die letzte Ungleichung lässt sich mit M.
——:— = c (c — c (r) > 0) und
i
t
x
1 - I i i
— = c-2
r I
2
(Vc2, = "2
c (r) > 1) in der Form
L
2
S - ti«* I < —zhr
(50)
schreiben. Aus (50) folgt mit Berücksichtigung von (49)
IS-THlÄ-
^
• (für * > * * ) ,
wobei
fc-63_
logc
=c
( c
>
0
)
(51)
0
gesetzt wurde, d.h. man erhält
S - T H | <
^
# ( W
B
.
(52)
*
wobei
°) Ist Ä = + 00, so lässt sich eine beliebige Z a h l , die der Bedingung
als p nehmen.
p > ] r | genügt,
104
B. M . Z E R E N
lim
'k+l
ist.
N u n betrachten wir wieder n „ , die durch (44) gegeben ist.
/c
Ist m — 1, so ist der Grad von r\„ immer gleich m. I m Falle m > 1 sind
alle Körperkonjugierten von T|, i n bezug auf <2(Y« > ••• > Jm ,•••) nach einer bestimmten Stelle ab voneinander verschieden; daher ist auch in diesem Falle der
Grad von r\„ gleich m. Die erste Behauptung ist Idar. U m die zweite Behauptung
zu beweisen, bemerken wir zweierlei. Es gelten für ein festes Paar (;',/) (i # j) :
k
!/T
0
k
a)
V o n einer bestimmten Stelle an, folgt aus T|
n
•KU)
^
-nU)
»k+l
n
(/>
(
>
^ r| -' die Ungleichung
k
fy
c
,
k+l
b) Wie gross die natürliche Zahl TV auch gewählt wird, gibt es immer ein
n,-, so dass mindestens eine der beiden Ungleichungen rt >
r i ^ und
(i
(0
n/c+i
Zu
0')
a).
richtig ist.
Aus
,0)
n«
'"Jfc+l
(53)
"k+i
«Jfc+i
a
gewinnt man
n<"
0)
"k+iI
,(/)
—
I "k
V
U)
(54)
Bezeichnen wir den Grad von i\„ mit v. Also ist v < m. M i t Benutzung des
Hilfssatzes 2 vom S 1 erhalten wir
k
«/c
»Jfc
1
wobei
2m—1
(55)
= c gesetzt wurde.
4
(4 )(m~2)/2 _ (
m
m
+
l)(2m-l)/4
Aus (49) und (55) folgert man
2/»—1
(für /c > k').
(56)
ÜBER EINIGE KOMPLEXE U N D P-ADISCHE LÜCKENREIHEN
105
Das zweite Glied der rechten Seite von (54), wegen \Y„,\ < 2/iiY«,) und der
Hypothese des Satzes, lässt sich i n der Form
"k+l
"k+i
I <
"k+l I
yO)
_..
•2[T^
yU)
+
!
[<4.V. .[ -p^
K
i
(57)
_
»k+l
nach oben abschätzen. Aus (57) mit Hilfe der Cauchyschen Ungleichung
M"
r\<p<R,
V'k+l
z
wobei M' das Maximum von | ^
r\+R
p =
a u
h»i • "'
^ dem Kreis | z | = p bedeutet,
1=0
erhält man
"k+l
4M'
! "k+L
"k+l
"k+l I
Fs lässt sich (54) mit Berücksichtigung von (56) und der letzten Ungleichung
als
c,
Vn
2/
»k+i i
schreiben. Da lim
'k +i
4M'
"—
.„.. .
,
1
+ oo ist, so gilt
4M'
<
_P_
2m— 1
(59)
m i t einer passenden Zahl /c** für k > Max (/c*, k**). Aus (58) und (59) ergibt
sich nun die Behauptung a).
Z u i>). Wählen wir k so, dass yn
vom m. Grad ist. Das ist nach der
Hypothese des Satzes für unendlich viele k der Fall, und setzen wir voraus,
dass sowohl rj<° = n
als auch r i
= r i ^ ' sind. Aus (53) folgt dann
"k
"k
*k+L
«k+l
y(0
— yU)
k+1
w
( i )
«k+i*
"k+i
was der Hypothese des Satzes widerspricht.
N u n vereinigen wir a) und b). Wählen wir k' so, dass k' > Max (k* , k**)
und y„
vom m. Grad ist. Dann ist nach b) mindestens eine von ri'''* ^ n J
|
<f)
und rt
^
»k'+t
( f )
"k'+i
i j )
>
richtig. Ist r i
^ n
, so ist, weil A / > Max (k*, k**) wegen
k'
k'
n
n
106
B. M . Z E R E N
^ T|W
a)
für
!)
(
. Wenn rt< = TIÜ) ist, dann ist wegen b) rt*')
^ r| >> . Also*
> /e' + 1 und ein beliebiges Paar z, / ist wegen a) immer T)
(F)
(
r | ^ , weil
"k
"k
k' offenbar von ¿,7 unabhängig ist. Oder anders ausgedrückt: Der Grad von
•\\n w i r d für k > k' + 1 gleich m, weil alle Körperkonjugierten von x\,, voneinander verschieden sind. Der Grad von ri„ ist also für k > k' + 1 gleich m.
Nun wollen wir zeigen, dass wir aus der Folge {r\„ } eine unendliche Teilfolge
herausgreifen können, deren Glieder vom m. Grad und voneinander und v o n
B, verschieden sind: Weil r und y, von Null verschieden sind, ist i i «
r\n .
I n der Folge { r | J - gibt es dann wenigstens zwei Glieder, die voneinander
verschieden sind. Wenn die Folge {r\ }
endlich viele voneinander verschiedene
Glieder hätte, so würde sich eine positive untere Schranke der Zahlenfolge
{ I ^»fc+i ~ ^«fr I } gehen (Wären die verschiedenen Werte w, ,
w, (/ > 2), so
k
k
fc
k
/
n
t
+
1
lc
n
nk
würde diese untere Schranke gleich M i n j u — u |), was nicht möglich ist. Denn
r
s
1
r,s—
man kann die Differenz | r\
— r\„ \ — \ yn . r" + | beliebig klein machen,
weil die rechte Seite das allgemeine Glied einer konvergierenden Reihe ist.
Danach enthält die Folge {y\» } unendlich viele voneinander verschiedene Glieder.
Die Höhenfolge H(y\ )
dieser letzten Folge ist nach oben unbeschränkt. Sonst
enthielte die Folge {n } nur endlich viele voneinander verschiedene Glieder,
weil die Grade von t\„ kleiner als oder gleich m sind. N u n wählen wir eine
Teilfolge, die streng monoton gegen + " strebt. Alle Glieder der entsprechendea
Teilfolge {r\n } sind voneinander verschieden und höchstens eine dieser Glieder
kann gleich ^ sein. M a n kann aus dieser Folge durch Weglassung endlich vieler
Anfangsglieder eine neue Folge herleiten, so dass alle Zahlen r\„ . der neuen Folge
von m. Grad und von £, und voneinander verschieden sind (für j > j mit einem
passenden y ). Hierzu genügt k > k und eventuell k > k", falls r\ » = i ; , zu
nehmen. Ausserdem strebt die Folge {H(T\,, )}
monoton gegen - f « J , und es gilt
unter Mitberücksichtigung von (52) die folgende A n n ä h e r u n g :
k
nk+1
k
l
k+1
k
nk
nfc
k
0
kj
k
ü
r
0
}
}
nk
kJ
0<\Z>~i\* \Jo)-
kJ
(60)
k
Dabei sind die Grade von x\„ . (j > j ) gleich m. Nennt man - ~•
k
man
0
=s ,
k
so kann
die obige Ungleichung in der Form
H{l}"kj)
3
schreiben. Da c > 0 ist und s —> -f- °° , gilt: s .. c
3
U
t
U . . . U
U , d.h.
m
k
k
3
-\- «> , Es muss also
107
ÜBER EINIGE KOMPLEXE U N D P-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
< m
(62)
sein.
Jetzt wollen wir den Beweis zu Ende führen, indem wir zwei Fälle unterscheiden.
a) ist m = 1, so ist immer ü * © > 1. Wenn wir auch (62) betrachten,
erhalten wir
u*(0 = 1 .
b) Es sei m > 1. Jetzt wollen wir die Relation iß*) von § 1 für alle algebraischen Zahlen verifizieren, deren Grade Meiner als m sind. Dazu, wie beim
Beweis von Satz 1, betrachten wir die folgende Ungleichung:
( 63 >
U - ß l = low-ß) + G-Tw)l ä:h«i-ßl-h»/-&l-
Es sei t der Grad von ß. Dann gilt 1 < t < m. Aus Hilfssatz 3 folgt mit Hilfe
Ton (49)
I ri„, -
ßI >
%—^—
(für k > k") .
(64)
M i t Berücksichtigung von (50) und (49) erhält man
l ^ ^ i ^ - T V "
( 6 5 )
D i e Relation (63), wegen (64) und (65), schreibt man als
\% - ß | >
V
1
•
n
(für k > k") .
(66)
Es sei nun ß gegeben. Betrachten wir die Doppelungleichung
< ff(ß) <
.
(67)
Die Zahl n , die (67) genügt, ist eindeutig bestimmt, weil die Zahlen c "fc im
engeren Sinne monoton wachsen. Jetzt unterscheiden wir wieder zwei Fälle, je
nachdem i/(ß) zum ersten oder zweiten der folgenden Teilintervallen gehört :
k
0
«k+l
3)
c»k < H(ß) < c
2)
c
0
Q
<
#(ß)
< c »**i .
0
Dabei ist X > 1 eine später zu erklärende natürliche Zahl.
B. M . Z E R E N
108
I m Falle 1) gehen wir mit / — k (k > k" + 1) i n (62) ein, so wird diese
Ungleichung unter Benutzung von 1) zu
|£ - ß| >
s
-
—- •
• •
(68)
Wenn die Zahl X so gewählt wird, dass sie der Ungleichung
X>
2
M
-
%
(69>
genügt, wird
1
< —.
für H(ß) > H m i t passend gross gewähltem H . Es gilt also
l
i
5 - ßI >
—
(70)
^
für Zf(ß) > H .
t
;) gehen wir mit / = k + 1 (k > k" + 1) i n (66) ein. Dann gilt
unter Benutzung von 2) i n (66) :
Ii; - ß j >
—
1
• .
(71)
Aus (41) folgt ausserdem
> u für k > k'"
(72>
für eine hinreichend grosse Zahl k'". Dabei ist p eine positive Zahl, deren Wert
später erklärt wird. Aus (71) und (72) ergibt sich
C
1 5 - PI >
'
v
v
für k> k mit k = Max (k" + 1, k'"). N u n wählen wir die Zahl | i so, dass
m+ ^ m - 1 )
>
erfüllt ist. F ü r J/(ß) > i i
2
(
?
3
>
gilt
1
<
c
#{ß) ^
—
2
.
^(ß)'"-*-^'"-^
wobei i f eine passend gross gewählte positive Zahl ist, und (71) gibt uns die
folgende Ungleichung :
2
ÜBER
EINIGE
KOMPLEXE
U - ßI > -
UND
P-ADISCHE
für iY(ß) > H,.
—
H($y"+ '"~ )
H
LÜCKENREIHEN
109
(74)
r
Nun vereinigen wir J) und 2) : Es sei cj'k" = H . Nimmt man H >
so wird k > k". Dann erhält man für #(ß) > Max ( # , H ,
,
0
0
i
( 75 >
|£- ß| > •
^ v - —
i^ßy'+H"'-!)
c,
mit —- =
2
.
Somit ist die Relation (B*) gezeigt werden, d.h.
u*(ö > m .
(76)
Aus (62) und (76) folgt nun u*(i;) = m. M i t anderen Worten ist
§ 3.
L Ü C K E N R E I H E N KM P-ADISCHEN
£/* , also
GEBIET
Zunächst wollen wir einige Hilfssätze angeben, die bei den Beweisen der
i n diesem Paragraphen gegebenen Sätzen benutzt werden.
Hilfssatz 1. Es sei a eine algebraische Zahl vom Grade n und der H ö h e
i / ( a ) und Q(x) sei ein Polynom mit ganzen rationalen Koeffizienten vom Grade
m und der H ö h e H(Q), für das Q(a) nicht verschwindet. Dann gilt
|ß(a)L > -
_1_
(1)
h
Hier ist t = M i n (0, Ii), wo | a \ = p~ .
p
Beweis.
Siehe
iilfssaiz 2. Es sei P(x) ein Polynom mit ganzen rationalen Koeffizienten
vom Grade n und der H ö h e TOP). Die Nullstellen von P(x) bezeichnen wir mit
a- (z = 1,
n). Dann gilt
(
I«/ -
A
J \P >
py~i
H{
f ü r
a
'
#
a
''
( 2 )
wobei c eine von n abhängige, aber von H{P) unabhängige positive Konstante
ist.
110
B. M . Z E R E N
;is.
Satz 1.
I 0
Siehe [ ] .
W i r betrachten die Liickenreihe
F(z) = ^
c» =
(3)
; £« , a, ganz rational, &„ # 0 und ö
(
über
c», • z"'
f
n
f
nf
> 1
unter folgenden Bedingungen
lim
l
i
m
= + «. ,
i o g j M
<
+
(4)
,
M
( 5 )
/-«•CO
lim - °
g
< + oo
(A„i = [ a « £ / „ , ] ) ,
(6)
0
und wir setzen voraus, dass der Konvergenzradius R
dieser Reihe positiv ist.
F
Es sei a eine algebraische Zahl vom Grade m, die die Bedingung 0 < | a \ < R
p
li)
mit | a \ = Max | a
p
F
\ erfüllt und deren Konjugierten der ^-adischen Bewertung
p
nach voneinander sämtlich verschieden sind. Dann gehört F(a) der p-adischen
UnterMasse U an.
m
Beweis. W i r bezeichnen die H ö h e von a mit H(a) und setzen % = F(a).
£, lässt sich i n der Form
y =
+
n«
k
r
(7)
"k
schreiben, wobei
k
1 « t = V — •<*"'"=
(8)
i=0
>^
L
.a"'"
(9)
k
sind. Andererseits folgt aus (6): [a„ , ... , a ] •< A" , wobei ^ eine v o n «
unabhängige positive Konstante bedeutet. Multiplizieren wir die beiden Seiten
von (8) m i t A„ , so erhalten wir die Gleichung
0
k
nk
ÜBER
P^„ ,
E I N I G E K O M P L E X E U N D -P-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
a ) : = A„ . v\„ ~ A„ .
k
k
k
. a"° - A„ .
k
111
. a"* - ... - A„ .
. a"*=0.
ttni
i*n
lc
k
a MQ
lln
k
Dabei sind die Koeffizienten von et"' (i = 0, ... , k) und
ganze rationale
Zahlen. Wenden wir den Hilfssatz 1 von § 2 auf diese Relation an. Ist H die
H ö h e von P(y, x), so ist wegen (5) und (6)
A"'<. B"i (i = 0, 1, . . . , k ; A und B > 1),
A »k
wobei B eine von n unabhängige positive Konstante ist. Hieraus ergibt sich
k
H < (ABf
.
(10)
Die Anwendung des Hilfssatzes 1 mit Berücksichtigung von (10) gibt folgende
obere Abschätzung für die H ö h e # ( n „ ) von r)„ :
A
2m+
k
1
k n
# 0 H ) < 3 ""
. (AB)" '
k
k n
4
. [H{ü)Y '
m
k n
k n
< 3 "* . (AB)" '
. [H(a)]" '
.
(11)
Aus (11) folgt
< c "*
(12)
0
mit 3"" . (AB)'" . [tf(ct)J" = c .
0
N u n verifizieren wir die Ungleichung (Ä) von § 1. Dazu betrachten wir das
Minimalpolynom der algebraischen Zahl r\ und schreiben wir dieses Polynom
als P (x) =f +f x
+ . . . + / / . * ' ( / < m). Bilden wir P„ (£) £ aus (7)), so
erhalten wir, wegen Pn (y\n ) = 0,
ttk
llk
0
l
k
k
k
A ^ ) = >V-ß«*,
(13)
wobei
l
M . 1,1-1+( > k w . r
/ j
n k
(14)
ist.
Jetzt betrachten wir i?*- —
und es sei 0 < R
F
"i
< + <*>. F ü r
lim
¿11 j
genügend grosse Zahlen n gilt
<
;
1
oder
1
<
a
(i? -E)"'wobei s eine beliebig kleine positive Zahl ist. Sogar gibt es eine Zahl M ( > 0)
derart, dass
b„, \
M
(15)
0* = o, l,...)
<
a, \
{R - e)"*'
ni
p
F
}
H
p
P
für jede i erfüllt ist. Wenn wir e ( > 0) als genügend kleine Zahl wählen, wird
112
B. M . Z E R E N
die Ungleichung R — s > \ a\
f
p
a
erfüllt ^z.B. g = -
Berücksichtigung von (15) und
\p^ +
R
F )
< 1, erhält man
n
|r
nk
\ <
. Max
P
Aus (9), mit
,
k+i
(16)
R,~z
Ist i i , . - = -{- oo, so lässt sich p als eine beliebige Zahl wählen, die der
Bedingung p > j a \ genügt. Da die Reihe
^> — - . p"' konvergiert, gibt es eine
p
i-0
Zahl M ( > 0) derart, dass
<M
2
2
(/ = 0, 1, ...) ist, d.h.
ün,
0 - 0 , 1,...).
an, \
(17)
p"''
p
Aus (9), da J - ^ - < 1 ist, folgt
"k-i-
M,.
\ <M
r*
k
P
2
i
"k+
Max
i
M .
(18)
(/ = 0, 1,...),
(19)
2
Aus (15) und (17) ergibt sich nun
am
p
p*"'
wobei Max ( M , M ) = M* und M i n (p, R — e) = p* sind, und die für | r„ \
erhaltenen Ungleichungen (16) und (18) lassen sich vereinigen zu
1
2
F
k
(£=0,1,...).
Da l i m j •x\,, \ = | £, \
k
p
p
ist, gibt es eine Konstante
p
(20)
M ( > 0) derart, dass
k->a>
\r\„ \p < M(k = 0, 1, . . . ) erfüllt ist Aus (13), (20) und den Eigenschaften der
7>adischen Bewertung erhält man
k
|ß"*l <q
(21)
P
1
mit c = M a x ( l , M, PI*)'"- .
i n der Form
i
Dann lässt sich (13) mit Hilfe von (20) und (21)
"k+l
•
P^l^l'-vkl-lKl^Ci-M*.
(22)
ÜBER EINIGE KOMPLEXE U N D P-ÄDISCHE
LÜCKENREIHEN
schreiben. Andererseits, da P (x)
das Minimalpolynom
ff(i\« ) = H(P* ) • Aus (22), wegen (12), ergibt sich
nk
k
von %
c
113
ist, ist
k
I
F l l (
t)\
<
C
^
I »/AS.» |p
c
M
'
< —— -
wobei
C
-.
»ft+i
' -
M
c
'
gnjt+i • log c
' •
M
'
.
n .
k+l
t
log c,
1
ü^— = c, (c > 1) ist. M i t
2
Ia|
n
l
0
g
i
!
3
log c
- =
c
3
(>0)
(23)
0
und c . M' = c erhalten wir die Ungleichung
v
4
I ^ < s ) I, <
~
(24)
ii(^)
mit l i m - ^ - ' - = + oo.
k
-"°
k
n
Nun betrachten wir wieder r\„ , die durch (8) gegeben ist. I m Falle m = 1
ist der Grad von y \ „ immer gleich m. I m Falle m > 1 sind alle Körperkonjugierten von n„ i n bezug auf Q(a) nach einer bestimmten Stelle ab voneinander
verschieden; daher ist auch in diesem Falle der Grad von y \ „ von dieser Stelle
ab gleich m. Die erste Behauptung ist klar. U m die zweite Behauptung zu
beweisen, unterscheiden wir zwei Fälle. F ü r ein festes Paar
(i ^ j) gilt
k
k
/c
k
folgendes :
a)
-n«
* n/-»
b)
•nf)
}
Von einer bestimmten Stelle an folgt aus T]|j ^ n^) die Ungleichung
,
für jede Zahl
(i
y\W und ri >
n
k
r\W
ist mindestens
richtig.
eine
der
beiden Ungleichungen
114
B. M . Z E R E N
Zu a ) .
Aus
(25)
gewinnt man
•nto
- yfl)
"ft+i
n
_ -n(J)] 4 - .
=
k+i
n
k
n
. [(a«)"*+i - ( a ^ + n .
(26)
k
Tst
n<'"> - x\W> \
(27)
>
»k+i
a
i n (26), so gilt
n
"fc+i
o)
1 = 1
«fc-F-i
|P
n<') — HÜ) i
i »Jfc
k \p
(28)
n
N u n wollen wir verifizieren, dass (27) für hinreichend grosse Zahlen k
erfüllt ist. Ist v der Grad von y \ „ , so gilt v < m. Wenn wir Hilfssatz 2 von
§ 3 betrachten, so erhalten wir
k
ri(0
— r|W> I
>
(29)
wobei c eine von m abhängige, aber von H(r\,, )
Aus (12) und (20) folgert man
5
unabhängige Konstaute ist.
k
«fO-OM >
k
«fc \(>
n
ls
(30)
^-^"k
r
Das zweite Glied der rechten Seite von (26) lässt sich mit Hilfe von (19), der
Hypothese des Satzes und den Eigenschaften der p-adischen Bewertung in der
Form
|(a<
"k+l
a
M'
<
yfk
(31)
P
Max(|a«> \ ,
.
p
ip
yk+i
(PT*
a
A T
+ 1
/t4
nach oben abschätzen. D a l i m " " ' =4-00 ist, gilt die Ungleichung
A T
<
r
C"-i)"fe
für /c > /c* mit einer passenden Zahl k*. Denn (32) ist der Ungleichung
(32)
Ü B E R E I N I G E K O M P L E X E U N D P-AD1SCHE L Ü C K E N R E I H E N
log M' — n
k + l
. log ( = -
< log c — (m - 1) n . log c
5
k
115
0
äquivalent. Dividieren wir die letzte Ungleichung durch n , so erhalten wir
k
logM'
—
t t
+ (m -
logc
1) log c <
5
—5-5-
0
n
.
/ p'
+ — ! . log '
Ä + 1
Die linke Seite dieser Ungleichung strebt, wegen c > 1 und
> 1, gegen
0
' \
a
\ p
(m — l ) l o g c , die rechte Seite derselben strebt gegen + °o für k—>
Damit
ist (32) bewiesen. Aus (30), (31) und (32) sieht man, dass (27) erfüllt ist. Damit
ergibt sich nun die Behauptung a).
0
Ci
Zu b). W i r setzen voraus, dass ri > = n ^ und r i
w
= rt^'
zugleich
erfüllt sind. Aus (22) folgt dann
( W)»
a
f c +
i
( <J>)"A+i .
=
a
Hieraus, durch Übergang zu der /j-adischen Bewertung und Bildung der n
ten positiven Wurzel, ergibt sich
kJrl
-
was nun der für a gegebenen Hypothese des Satzes widerspricht. Damit ist auch
die Behauptung b) bewiesen.
N u n vereinigen wir a) und b). Ist T I
•n«
w
^ n
(
jATiü)
. Wenn TI« =n -'> ist, ist nach b)n.<'>
0 )
, so ist nach a)
^nü)
und ein beliebiges Paar i,j ist i n beiden Fällen t]
. Also für £ > / c * + I
{n
n
auch
, wobei /c* von i,y
k
k
n
unabhängig ist. M i t anderen Worten wird der Grad von r\„ gleich m für k > k*,
weil alle Körperkonjugierten von r|„ voneinander verschieden sind. N u n wollen
wir zeigen, dass wir aus der Folge {y\n } eine unendliche Teilfolge herausgreifen
k ö n n e n , deren Glieder vom m. Grad sind und voneinander und von £, verschieden
k
fr
k
sind: Da
a
und
von N u l l verschieden sind, ist
r\n
k+1
^ i ] . I n der Folge
n A
{r\ } gibt es dann wenigstens zwei Glieder, die voneinander verschieden sind.
Wenn die Folge {s\» } endlich viele voneinander verschiedene Glieder h ä t t e , so
w ü r d e sich eine positive untere Schranke der Zahlenfolge { j r\n
— r\» \ ) geben
(Wären die verschiedenen Werte
(t > 2), so würde diese untere
1J/(
k
k+l
k
p
t
Schranke gleich M i n | u ~~ u \ ,
r
s p
was nicht möglich ist. Denn man kann die
r,s=t
r=j=s
Differenz j n „
f t + 1
— r\„ \
k
p
=
,
a
"k+i
beliebig klein machen,
p
weil die
116
B. M . Z E R E N
rechte Seite das allgemeine Glied einer konvergierenden Reihe ist). Danach
enthält die Folge {il» } unendlich viele voneinander verschiedene Glieder. Unter
den Minimalpolynomen P„ die den Gliedern der Folge {f]n } zugeordnet sind,
gibt es unendlich viele voneinander verschiedene. Sonst würde die Glieder r\
endlich viele voneinander verschiedene Zahlen wiederholen. Ferner ist die
Höhenfolge H(P» ) nach oben unbeschränkt, denn sonst müsste die zugeordnete
Polynomenfolge {P« } endlich viele Polynome enthalten, weil die Grade von P,,
kleiner als oder gleich m sind. N u n wählen wir eine Teilfolge {Pn } aus der
fc
k)
k
ak
k
k
k
kj
Folge {Pn } derart, dass die Höhenfolge der Glieder dieser Teilfolge i m
engeren Sinne monoton gegen + oo strebt. W i r betrachten die algebraischen
Zahlen r\„ , die dieser Teilfolge entsprechen. Diese Zahlen r[„ sind voneinander
k
kj
kj
verschieden und deren Höhenfolge strebt streng monoton gegen + oo. Da
Ji(P„ ) 5* H(Pn ^ für 7
/ ist (denn U(Pn ) ist i m engeren Sinne monoton),
kj
k
kj
sind die Polynome P„
voneinander verschieden. Ferner sind r\„
kj
auch von-
kJ
einander verschieden, weil die Polynome P„
Behauptung wegen H(r[ )
llkj
— H(P„ )
kj
irreduzibel sind. Damit ist die
bewiesen. D a höchstens eine dieser algeb-
kj
raischen Zahlen gleich ^ wird, gilt dann für k > k**, mit passendem k**,
}
O<\P,SK<
Dabei sind alle Polynome Pn .(x)
k
^ — •
vom Grade m. Nennt man ~
k
+
1
= s , so
k
kann man die obige Ungleichung für k > k** i n der Form
}
0<\P» <&
kJ
\ <-
^
P
schreiben. D a c > 0 ist und s - > ° ° , gilt s . . c
3
k
k
u(0 < m
3
—
-
+ °©. Es muss also
(33)-
sein.
U m den Beweis zu vollenden, wollen wir noch die komplementäre U n gleichung u(i;) >: m zeigen.
a) Ist m = 1, so ist immer p(£) > 1. Unter Beachtung von (33) erhalten
wir hieraus
m
=
i •
b) Es sei m > 1. N u n wollen wir die Relation (B) von §1 für alle Polynome
Pix) mit ganzen rationalen Koeffizienten zeigen, deren Grade kleiner als m sindDazu betrachten wir das Polynom
ÜBER EINIGE K O M P L E X E U N D P-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
P(x)
= tf
0
+ rf, x +
...
l < m ,
1 <
rf,eZ
(i =
0, 1,
117
/)
und wir setzen x = t, i n diesem Polynom. Dann gilt
P(t)
=
P(TI„
V
+
« ) =
R
V
P O K ) + r„ . ß„ ,
v
(34)
v
wobei i ; , r|n und r„ mit (7), (8) und (9) gegeben sind. Aus Hilfssatz 1 i n §3,
da 1 < / < m ist, erhält man
v
v
('»-Dt
D
I
P(TK)
L >
-~.
(35)
m
n( -D'
, r = min (0, h) .
(2m-l)!.%/
H
.Ji(P)
Die letzte Ungleichung lässt sich mit
= c,
(c (m , a) > 0) in der
s
( 2 m - 1)!
Form
5
| Piy\n,) L >
-
(36)
schreiben. Aus (36) folgt mit Berücksichtigung von (12)
] P0K) L >
^
- .
(37)
Ferner gilt wegen (20) und (21)
I >»v \ • I ß»v \p < c . c
P
wobei
-JL=- = c ( > 1) und
A
^ .M' —c
2
,
(38)
sind. Da
4
l 0 g
C%
= c
3
( > 0 ) ist,
log c
0
schreiben wir die Ungleichung (38) als
K v l - I M ^ ^ . c - ^ - ^ - , .
(39)
Es sei nun H(P) gegeben. Betrachten wir
tt
c * < H(F) < c "w
Q
0
.
(40)
k
Die Zahl n , die (40) genügt, ist eindeutig bestimmt, weil die Zahlen c " i m
engeren Sinne monoton wachsen. Jetzt unterscheiden wir zwei Fälle, je nachdem
H{P) zum ersten oder zum zweiten der folgenden Teilintervallen g e h ö r t :
k
A
)
0
< * < / / ( P ) <
C
O
*
,
Dabei ist X > 1 eine später zu erklärende natürliche Zahl.
118
B. M . Z E R E N
w
Zu a).
Es sei H(P) = H. Da c * < H und H
x
< c "*+i sind, erhalten wir
0
C
<
• >
0
c
, \
»
•
(41)
und
c
4
. c~
0
c
* • »ft+i <
c
4
.
c
« .
(42)
Wenn die Zahl X so gewählt wird, dass sie der Ungleichung
X>
(43)
genügt, wird
5
für H > H
i
mit passend gross gewähltem / / j , d.h.
-—^
> —
-
(für H>
HA.
(44)
Nun gehen wir mit v = k in (37) und (38) ein. Dann sind
( 4 5 )
und
l ^ l p . l ß » * ! , ^ ^ . ^ - ^
(46)
erfüllt. Aus (41), (42), (43), (44), (45) und (46) ergibt sich
i n w i „ >
K|/.-lß«/cL>-
(47)
| P ß ) U = | ^ ( W + /•*.* - ß»* l und (47) geben uns
\m\
= \m»k)\p
P
für H > H .
l
(48)
Unter Beachtung von (41), (45) und (48) gewinnt man
i ^ ö l ^ l ^ - -
< >
49
Z n b). I n diesem Falle sind c "^+i < H und .ff < c "*+i. W i r gehen mit
v = k - f 1 i n (37) und (38) ein. Dann erhalten wir
K
0
0
c
und
c
Ü B E R EINIGE K O M P L E X E U N D P-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
119
Aus (4) folgt
l
k+2 > p
(für k > /c***)
(52)
l
k+l
für eine hinreichend grosse Zahl k***. Dabei ist u eine positive Zahl, dessen
Wert später erklärt werden wird. Aus (51) und (52) ergibt sich
I r«
\ •|Ki
k+1
P
\p < ^ • Co'W •
+
für k > k' m i t k' = Max (Ä* + 1, k**, k***).
dass
< c . H-W
(53)
4
N u n wählen wir die Zahl p so,
p c > X(m — 1) + m
(54)
3
ist. F ü r H > H ,
z
wobei i i eine genügend grosse Zahl ist, gilt dann
2
Hieraus ergibt sich
> -T^rr •
(55)
Wegen (50), (53), (54) und (55) erhält man
i ^ ( T H + i ) I , > I r*
l . i ß»
k+1
Aus | _P(0 Ip
| P(r\ )
n/c+l
+ r„
Ä + 1
. ß
% + i
A + 1
| .
(56)
p
\ folgt unter Beachtung von (56)
p
Diese Gleichung und (50) geben uns die folgende Ungleichung :
\
P
&
\ * >
uK^n-
•
•
N u n vereinigen wir a) und b) : Es sei c V = H . N i m m t man
so wird k > k''. F ü r H > Max (H , H , H ) erhält man
0
0
l
0
(57
>
H>ff
0>
2
Somit ist die Relation (B) von §1 gezeigt worden, d.h.
Hß) ?- m .
Aus (33) und (59) folgt u(£,) = m. M i t anderen Worten, F(o.) gehört der
schen Unterklasse U,„ an.
(59)
p-adi-
120
E. M . Z E R E N
Satz 2.
W i r betrachten, die Lückenreihe
(60)
i= l
Es seien y„- nichtverschwindende algebraische Zahlen, die einem festen Zahlkörper K angehören und es sei [K : Q] = m. W i r setzen voraus, dass unendlich viele
Zahlen unter den algebraischen Zahlen y„¡ existieren, deren Grade gleich m sind.
Ferner sei
(
ni
K™ \l\lf.\ <
P
l
(Mit y£
+
~
( 7 = 1
m)
(61)
bezeichnen wir die Konjugierten von y, im Zahlkörper K). Es seien
u
ausserdem
lim 2ÜL
+ oo
(62)
und
lim
Í-.CO
log
+ ~ (/,,,= //( )).
(63)
Y(fi
fl.
Dann gehört F(r) der /»-adischen Unterklasse U für z = r e ß an, die die
m r
l
erfüllt.
Bedingung 0 < [ r | < Ä mit R = M i n
"lim'VlTÍÍ
m
p
Beweis.
Wir bilden F(r), wobei z = r = —
zeichnen wir F(r) mit
(a, 6 e Z ; a > 1) ist. Be-
und schreiben wir
(64)
wobei
(65)
i=0
und
(66)
k
sind. Multipliziren wir die beiden Seiten von (65) mit a" , so erhalten wir die
Relation
121
Ü B E R E I N I G E K O M P L E X E U N D P-ADISCHE L Ü C K E N REIHEN
k
f b \"o
( b V
~ <? • Y * • ( — j - - - <? • Y% • —1
=0.
k
P(n»
k
, Y » , ... , Y»A) : = a" •
k
0
k
0
Dabei sind die Koeffizienten von x\ , y „ , ... , y„ ganze rationale Zahlen.
Wenden wir den Hilfssatz 1 von §2 auf die Relation P(f\n , j„ , ... , y„ ) = 0
an: Bezeichnen wir die Höhe von P(y, x , . . . , % ) mit H, so wird
nk
0
k
k
0
k
Q
H < d' . | b \" ,
k
k
woraus man
k
H < A"
mit a.\b\
(67)
= A erhält. Aus (63) folgt
/,„, = H{y„ ) < B"'
(/ = 0,1,...),
t
(68)
wobei B eine von n, unabhängige positive Konstante ist. Unter Beachtung von
<67) und (68) erhält man folgende obere Abschätzung für die Höhe B(y\ ):
llk
l
k
H{x\„ ) < 3*«'+<*+ >". A" '" . H(y„X
••• H(y„ )'"
k
< f<n + 2n m
(ß«of
k
1
^ ^" "
k
k
U k
Wegen der Relation (62) ist
_
n
A" '"
k
(69)
n
ß( o+---+" }'
k
> 2 für k > k* mit passendem k*. Hieraus
ergibt sich V n < 2 n (für k > k*). Aus (69) folgt
}
k
ff(n„ )
ft
mit
4
2
7 3 » « + - + V - L . 3 " ' . ^ ' » . B '"
k
< c"
(für k > k*)
0
= c
Q
(c
0
(70)
> 1) .
Nun verifizieren wir die Ungleichung (A) von § 1 . Dazu betrachten wir das
Minimalpolynom der algebraischen Zahl n
und schreiben wir dieses Polynom
als P (x) =f + / je - f ... + / , x (/ < m). Bilden wir _P„,(^) ß aus (64)), so
•erhalten wir, wegen P (r\ )
^ 0,
n/c
l
nk
0
t
llk
nk
P »
k
& ) K >
(71)
wobei
K = A
+A(2n«jfc + % )
+ ••• +
(72)
122
B. M . Z E R E N
Jetzt betrachten wir R — M i n
und p . =
. Es seien 0 < R < + <*>
¿0)1
7=1
S V I "t \p
Dann ist R < Py (y == 1, . . . , m). F ü r genügend
y
grosse Zahlen n, gilt —^
• > pj — E > Ä — e oder 1 yW> I
«i I*
N/K'
<
(/* - ) " /
£
wobei e eine behebig kleine positive Zahl ist. Sogar gibt es eine Zahl M ( > 0)
derart, dass
x
yWj
^1
<
0 * = 0 , 1, . . . )
(73)
für jede ; erfüllt ist. Wenn wir E ( > 0) als eine genügend kleine Zahl wählen,
wird die Ungleichung R - E > j /* \ Iz.B.
p
mit Berücksichtigung von (73) und
< M . Max
| r„ \
k
\r\
R
] erfüllt. Aus (66)
^ ^ - < 1 erhält man
R - e
p
M
t
p
+
E = ~ ^^
7? -
E
^
^
r
.
(74)
Ist Ä = oo, so lässt sich p als eine beliebige Zahl wählen, die der Bedingung
CD
R
P ~> \ \P gefügt- D
a
die Reihe ^
M ( > 0) derart, dass I y<A . p"' I
2
Y«l
. p"' konvergiert, gibt es
eine
Zahl
< M (i = 0, J, ...) ist, d.h.
2
Af.
(¿ = 0 , 1 , . . . ) .
(75)
Aus (66), da J - ^ - < 1 ist, folgt
P
| r„ \ < M . Max
k
p
2
' U V * *
1
M , Y " *
+
1
(76)
Aus (73) und (75) ergibt sich nun
M'
(77)
yü)l < —
(/=0,1,...),
«ilf
(p')"'wobei M a x (M , M ) = M und M i n (p, R — E) = p ' sind, und die für | r„ \
erhaltenen Ungleichungen (74) und (76) lassen sich vereinigen zu
f
1
2
k
P
Ü B E R E I N I G E K O M P L E X E U N D i>-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
/[,.]
\"k+l
I^USM'.(-LK)
Da l i m | r\„ \ = \£,\
k
p
•
(78)
ist, gibt es eine Konstante
p
123
M ( > 0) derart, dass
T
l l n j t ! p < M(k = 0, 1, ...) erfüllt ist. Aus (71), (72) und den Eigenschaften der
y>adischen Bewertung erhält man
(79)
\MP*CI
1
mit c = Max ( 1 , M, M ' ) ' " " . Dann lässt sich (71) mit Hilfe von (78) und (79)
i n der Form
t
/ l I \«k+l
M
c
r
P
schreiben. Andererseits, da Pn (x) das Minimalpolynom von r\„
H(ir\„ ) = H(P„ ). Aus (80) ergibt sich wegen (70)
k
k
k
ist, ist
k
IP
( t
u
^.LML
<
<±.K.
....
^n logc„^
k
c
t
.
ti .\ogc„
k
(81)
M'
njt+, . log c
[H(P )]
_
(für /c > / c * ) ,
2
"k-tegco
llk
wobei —-— = c ( > 1) ist. M i t
2
l 0 g C
'
2
=c (>0)
(82)
3
l o g c„
r
nnd c . M
L
|
= c erhalten wir die Ungleichung
4
\ <
- -
P
C
i
• (für k > * * ) , l i m ÜÄ±1- . c = + ~
3
--2*±l.c '
8
N u n betrachten
ist der Grad von u„
von r\„ in bezug auf
daher ist der Grad
zweite Behauptung
Paar
(i 4= j) :
/c
k
^™
(83)
%
wir wieder r\„ , was durch (65) gegeben ist. I m Falle m = 1
immer gleich m. I m Falle m>l sind alle Körperkonjugierten
K nach einer bestimmten Stelle ab voneinander verschieden;
von r\„ gleich m. Die erste Behauptung ist klar. U m die
zu beweisen, unterscheiden wir zwei Fälle für ein festes
k
k
B. M .
124
a)
•niO
ZEREN
Von einer bestimmten Stelle an folgt aus
A
n^
r j ^ die Ungleichung
^ T|Ü)
b) wie gross die natürliche Zahl 7Y auch gewählt wird, gibt es ein n , so
dass mindestens eine von den Ungleichungen ri > ^ r t ^ und rt
5^ n ^
nk
"k
k+i
«k+i
richtig ist.
k
Ci
(i>
n
Z u a).
Aus
— r i ( 0 j - r"k+\
n<0
»Jfc+i
V n
gewinnt man
y(0
«k
' «k+l
«jfc
'
(84)
»k+t
Ist
«(/) -
-nU) |
>
I ^ / c + l . (y(0
_
y
) j
w
(86)
in (85), so gilt
_ T,a) 1 = 1 -nin — n<;) 1 .
(87)
«k+i
k+i \P
I "k
«k \P
N u n wollen wir verifizieren, dass (86) für hinreichend grosse Zahlen k erfüllt
ist. Ist v der Grad von r\n , so gilt v < m. Wenn wir den Hilfssatz 2 in § 3
betrachten, so erhalten wir
-nW
n
k
| TI<» -
-n°> I >
^
,
(88)
wobei c eine von m abhängige, aber von H{x\„ ) unabhängige Konstante ist.
Aus (70) und (88) folgert man für k > k*
5
k
\ n « - -n« I >
I k
"k \P
n
^
..
C^'"~ "
l,
(89>
k
Das zweite Glied der rechten Seite von (85) lässt sich mit Hilfe von (77) und den
Eigenschaften der /7-adischen Bewertung i n der Form
I I "k+i
I \p
r
. 1 y(0
j «k+l
j < [ j "k+i , Max (\
I , I yW
\
k+i \P
I \P
II k+i \p I k+i \p/
— yC/)
r
n
n
IP
)
n
"k+i
k+l
(p')"
r\p
nach oben abschätzen. Da l i m
= + 0 0 ist, gilt die Ungleichung
Ü B E R EINIGE K O M P L E X E U N D P-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
<
c
125
* -
(91)
für & > k*** mit
= M a x (k*, k**), wobei k** eine passende Zahl ist. Aus
(89), (90) und (91) sieht man, dass (86) erfüllt ist. Wenn [ n»> — n ^ j > 0,
I k
"k \P
ist wegen (87) I r|<'>
— r\
I > 0.
[ "k+L
k+i\P
Zu b). Wählen wir k so, dass y «
vom m. Grad ist. Das ist nach der
Hypothese des Satzes für unendlich viele k der Fall, und setzen wir voraus, dass
n«) = T t und Ti
= ri
zugleich erfüllt sind. Aus (77) folgt dann
W
»fc
V n "k\-1
vi/)
— yÜ)
n
U)
n
ft+1
y)
(i)
l j )
"*+(
»/cH '
was der Hypothese des Satzes widerspricht.
Nun
T,(0
l
n,t***+i
vereinigen wir a) und b). Ist r i ^ ^ ¥=•
. Wenn
^ yiO)
TI<
*ifc***+i
= TI<»
0
"fc***
s
>
ist, ist nach b) rK
0
o
'
für k > &*** + 1 und ein beliebiges Paar i,j ist r i
(ii
nach a)
# n^
"A:***-!-i
'«*"*
s f
. Dann
»/<***+!
^ n ^ , wobei k*** von
ij unabhängt. M i t anderen Worten wird der Grad von n„ gleich m, weil alle
Körperkonjugierten von T\„ voneinander verschieden sind. N u n wollen wir
zeigen, dass wir aus der Folge {n]n } eine unendliche Teilfolge herausgreifen
können, deren Glieder vom m. Grad sind und voneinander und von t, verschieden
sind: Da r und y, von N u l l verschieden sind, ist i l « # T | » . I n der Folge (n^Jgibt es dann wenigstens zwei Glieder, die voneinander verschieden sind. Wenn
die Folge { i l } endlich viele voneinander verschiedene Glieder hätte, so würde
sich eine positive untere Schranke der Zahlenfolge { | r | „
— r[„ \ } geben, was
nicht möglich ist. Denn man kann die Differenz j r\n
— y\n } = \ y «
. r"' + \
beliebig klein raachen, weil die rechte Seite das allgemeine Glied einer konvergierenden Reihe ist. Danach enthält die Folge {ri« } unendlich viele Glieder, die
voneinander verschieden sind. Unter den Minimalpolynomen P„ , die den
Gliedern der Folge {r\n } zugeordnet sind, gibt es unendlich viele voneinander
verschiedene. Sonst würden die Glieder v\„ endlich viele voneinander verschiedene
Zahlen wiederholen. Ferner ist die Höhenfolge B(P ) nach oben unbeschränkt,
denn wäre sie es nicht, so müsste die zugeordnete Polynomenfolge {P } endlich
viele Polynome enthalten, weil die Grade von P„ kleiner als oder gleich m sind.
Nun wählen wir eine Teilfolge {Pn } aus der Folge {P» }, derart, dass die
Höhenfolge dieser Teilfolge i m engeren Sinne monoton gegen - f oo strebt.
Wir betrachten die algebraischen Zahlen
, die dieser Teilfolge entsprechen.
Diese Zahlen i > . , deren H ö h e n monoton gegen + °o streben, sind voneinander verschieden. Da H(P„ ) ^ H(P„ ^
für j 4= / ist (denn {H(P, )}
ist i m
/c
k
k
H
A+1
ft
n/i
ft+1
k
p
;
k+1
k
p
A + i
fc
k
k
k
n/(
nk
k
kj
k
i/t
kj
k
lkj
l
p
126
B. M . Z E R E N
engeren Sinne monoton), sind die Polynome P„ voneinander verschieden. Ferk}
ner sind r\„
auch voneinander verschieden, weil die Polynome P„
kj
sind. Damit ist die Behauptung wegen H(t\„ )
kj
= H(P„ )
kj
kj
irreduzibel
bewiesen. D a höchstens
eine dieser algebraischen Zahlen gleich i ; sein kann, gilt dann für kj > k'
mit einer passenden Zahl k'
i\„
# £
kJ
und
(92)
0<|%(OU<
Fl
Dabei sind alle Polynome P„ . vom Grade m. Nennt man
= s,
k
man
k
die obige Ungleichung für k > k' i n der F o r m
0 0 ist und s ~>- + ° o , gilt
3
(93)
. c -> +
k
0 0
3
• Es muss also
11(0 < m
(94)
sein.
U m den Beweis zu vollenden, wollen wir noch die komplementäre U n gleichung p(i;) > m zeigen.
a) Ist m = 1, so ist immer
wir hieraus
> 1. Unter Beachtung von (94) erhalten
m
=
i •
b) Es sei m > 1. N u n wollen wir die Relation (B) von § 1 für alle
Polynome P(x) mit ganzen rationalen Koeffizienten zeigen, deren Grade kleiner
als m sind. Dazu betrachten wir das Polynom
P(x)
und
= d + d x + ... + £?, x ' , 1 < 1 < m, d , e Z (/ — 0 , . . . , / )
0
1
setzen wir x —
i n diesem Polynom. Dann gilt
P ( 0 = i>(i> + r„ ) = P(n„ ) +
v
v
v
ftw
. ß„ ,
v
(95)
wobei ^ , r [ „ und r„ mit (64), (65) und (66) gegeben sind. Aus Hilfssatz 1 i n
§3, da 1 -< l < m ist, erhält man
v
v
1 -P(iK) L >
(c = c,(m, /•) > 0) .
5
Die letzte Ungleichung kann mit Berücksichtigung von (70) i n der Form
ÜBER EINIGE KOMPLEXE U N D f-ADISCHE LÜCKENREIHEN
t PfrnJ
L >
~-
127
5
(96)
geschrieben werden. Ferner gilt wegen (78) und (79)
n
\r„,\ -\^X
^ c .c~ ^
p
>
4
(97)
F
wobei — — = c ( > 1) und
c . Af' = c
2
1
4
sind. M i t Hilfe von (82) schreiben
wir die letzte Ungleichung als
\ Y
n
\ ^ n X < C
. C ~
A
C
N
« \
^ .
(98)
Es sei nun H{P) gegeben; betrachten wir die Doppelungleichung
c "k < H<P)<
0
tt
c *+i .
(99)
Q
k
Die Zahl n , die (99) genügt, ist eindeutig bestimmt, weil die Zahlen c " im
engeren Sinne monoton wachsen. Jetzt unterscheiden wir zwei Fälle, je nachdem
B(P) zum ersten oder zum zweiten der folgenden Teilintervalle g e h ö r t :
k
0
k
a)
c"
< H(P)<
b)
c
*
0
0
c
x
Q
,
<H(P)<c "*+K
0
Dabei ist X > 1 eine später zu erklärende natürliche Zahl.
Zu a).
M
Es sei B(P) = B. Da c "* < H und
< c *+i sind, erhalten wir
0
"0
(™-U*
ft
_ m
R
0
> T^=
T2m-l
(100)
.
(10,1)
ff
und
c
Xc
c .c- *-«k+ c .B- »
ll
i<
A
Wenn die Zahl X so gewählt wird, dass sie der Ungleichung
c X > 2m ~ 1
(102)
3
genügt, wird
L
für H > B
t
5
mit passend gross gewähltem H. , d.h.
> _ £ i _
J-J2m—l
( f ü l
.
H
>
H
i
)
_
ffr,c
s
N u n gehen wir mit v = k i n (96) und (98) ein. Dann sind
(
1
0
3
)
128
B. M .
ZEREN
'
1^(W1,>
C
:
(104)
k . I I
0
und
\r« \p-\fak\p*C4'Co- e
k
(105)
ak+l
erfüllt. Aus (100), (101), (102), (103), (104) und (105) ergibt sich
i^(W \ >
P
1r \
nk
p
.|K \ .
(106)
p
(106) und (95) geben uns nun
i
m \ =i
i,
P
für H > 7/, . Unter Beachtung von (100), (104) und dieser letzten Gleichung
erhält man
p
l
<107>
© l * > ^ = r -
Zu b). I n diesem Falle sind
< tf* und i 7 <
v = h + 1 i n (96) und (98) ein. Dann erhalten wir
l-POK+i)!* > — 7 — ^
1 . Wir gehen mit
>
(1°8)
und
j^
+
1
|
i
7
.|ß^ [
1
/
<c .c-^"^
J
4
.
(109)
Aus (62) folgt
-^±*->H
für * > ] f c
(110)
für eine hinreichend grosse Zahl k. Dabei ist p eine positive Zahl, deren Wert
später erklärt werden wird. Aus (109) und (HO) ergibt sich
e
\r» \ -\&n \ £c .H- »-V
k+L P
k+i p
(III)
4
für k > k mit k = Max (k*** + 1, k\ k). Nun wählen wir die Zahl jx so, dass
\xc > X(m 3
ist. F ü r H > H ,
2
1) + m
wobei i / eine genügend grosse Zahl ist, gilt dann
Hieraus ergibt sich
3
(112)
ÜBER EINIGE K O M P L E X E U N D P-ADISCHE L Ü C K E N R E I H E N
129
(113)
Wegen (108), ( I I I ) , (112), und (101) erhält man
I
nnn ) l > | r
k+l
K
\. I
Hk+1
\
+l
P
P
•
(114)
Aus (114) und (95) folgt
für H > H . Diese Gleichung und (108) geben uns endlich die
Ungleichung :
2
\m\ >
folgende
-•
P
oi5)
n
N u n vereinigen wir a) und b). Es sei c Ä = H . N i m m t man H> H , so wird
0
a
0
k >: k. Also für H > Max ( # , H , H ) erhält man i n beiden Fällen
0
1
2
I HS> \ >
>
P
(H6)
weil m + X (m — 1) > 2 m - 1 wegen X > 1 ist. Damit ist die Relation (Ü)
von §1 gezeigt worden, d.h.
m
>m-
(117)
Ans (94) und (115) folgt jetzt u ( 0 = m. M i t anderen Worten gehört F(r)
der />-adischen Unterklasse U an.
L I T E R A T U R
[']
ALNIAÇIK, K.
:
On the subclasses
dental numbers,
39—82.
p]
COHN, H.
:
Note on almost-algebraic
52 (1946),
a
[ ]
G Ü T I N G , R.
Approximation
U
1st.
m
İn Mahler''s classification of the transcen
Ü n i v . Fen Fak. Mec. Seri A , 44 (1979),
numbers,
of
algebraic
numbers
M i c h i g a n M a t h . J. 8 (1961),
l
İ Ç E N , O.Ş.
:
5
LEVEQUE, W J .
:
[ ]
[ ]
B u l l . A m e r . M a t h . Soc.
1042-1045.
by
algebraic
numbers,
149-159.
Anhang zu den Arbeiten "Über die Funktionswerte
der p-adisch
elliptischen
Funktionen
I und IV\ 1st. Ü n i v . F e n F a k . Mec.
Seri A , 38 (1973), 25-35.
On Mahler's
U numbers,
J. L o n d o n M a t h . Soc. 28 (1953),
220-229.
s
I ]
MAHLER, K.
:
Über
eine
Klassen-Einteilung
(Leiden) 3 (1935),
Fl
M O R R I S O N , J.F.
:
Approximation
ded degree,
der
p-adischen
Zahlen,
Math.
177-185.
of p-adic
numbers
by algebraic
numbers
of
boun
J o u r n a l o f N u m b e r T h e o r y 10 (1978), 334-350.
130
s
[ ]
B. M .
ORYAN, M.H.
:
ZEREN
Über gewisse
Potenzreihen,
die für algebraische
Argumente
Werte aus den Mahlerschen
Unterklassen
U nehmen, İ s t . Ü n i v .
Fen F a k . Mec. Seri A , 45 (1980), 1—42.
m
H
SCHNEIDER, Th.
:
Einführung in die Transzendenten Zahlen,
Heidelberg (1957).
Berlin,
GÖttingen¬
['"1 Ş E N K O N , H .
:
p-adilc alanda bazı kuvvet serilerinin
değerlerinin
transandantlığı (Türkisch),
Silivri'de y a p ı l a n 2. yurtiçi m a t e m a t i k ç i l e r
t o p l a n t ı s ı , 22-25 N i s a n 1976, İ s t a n b u l (1977).
[ " ] W I R S I N G , E.
:
Approximation
mit algebraischen
Zahlen beschränkten
J. reine angew. M a t h . 206 (1961), 67-77.
ISTANBUL ÜNİVERSİTESİ
FEN FAKÜLTESİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ
VEZNECİLER-İSTANBUL
Ö Z E T
B u ç a l ı ş m a d a k a t s a y ı l a r ı rasyonel olan bazı b o ş l u k serileri ele a l ı n m a k t a
ve b u t ü r b o ş l u k serilerinin b e l i r l i k o ş u l l a r a l t ı n d a , sıfırdan f a r k l ı cebirsel
a r g ü m a n l a r için U sınıfına ait d e ğ e r l e r aldığı g ö s t e r i l m e k t e d i r . D a h a sonra
bu s o n u ç , cebirsel katsayılı k u v v e t serilerine genelleştirilmekte ve a y r ı c a ,
i?-adik alana a k t a r ı l m a k t a d ı r .
m
Grades,