Dekohärenz und die Entstehung klassischer Eigenschaften aus der
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Dekohärenz
und die Entstehung klassischer Eigenschaften
aus der Quantenmechanik
G. Mahler
Spezialvorlesung SS 2006
27. 4. 2006
Einführung und Übersicht
Warum und in welchem Sinn ist Kohärenz »untypisch«?
04. 5. 2006
Zur Begründung der Thermostatistik aus der Quantenmechanik
11. 5. 2006
Dekohärenz: Dynamik offener Systeme
18. 5. 2006
Coarse graining und der Zeitpfeil
1. 6. 2006
Quantenthermodynamische Maschinen
22. 6. 2006
Nichtgleichgewicht: Zum Problem der Wärmeleitung
29. 6. 2006
Fluktuationstheoreme
6. 7. 2006
Messprozesse und stochastische Entfaltung
13. 7. 2006
Nanomechanik
20. 7. 2006
Physik und Information: Maxwells Dämon u. a.
27. 7. 2006
Quantencomputing versus klassische Rechner
Literatur
D. Giulini et. al:
J. Gemmer et. al:
H. P. Breuer et. al:
Decoherence and the appearence of a classical world in quantum
theory, Springer
Quantum Thermodynamics, Springer
The theory of open quantum systems, Oxford
Dekohärenz
und die Entstehung klassischer
Eigenschaften aus der
Quantenmechanik:
8. Nanomechanik
Heiko Schröder
13.07.2006
Inhaltsverzeichnis
1 Motivation und Übersicht
1.1 Begriff “Nanomechanik” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Begriff “Nanomechanik” im Rahmen der Vorlesung . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 minimales nanomechanisches Modell: harmonischer Oszillator
2.1 Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kohärente Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
3
3 Treiber
3.1 phänomenologisch . . .
3.2 mikroskopisch . . . . .
3.3 quantenmechanisch . .
3.4 notwendige Bedingung
.
.
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.
4
4
4
5
5
4 Faktorisierungs-Näherung
4.1 Aussage der Faktorisierungs-Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Verallgemeinerung auf halbgemischte Zustände . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
5 Spin-HO-Modell
5.1 Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
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1
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1 Motivation und Übersicht
1.1 Begriff “Nanomechanik”
Die Mechanik ist die Theorie von der Dynamik physikalischer Körper. Die betrachteten Größen sind Orte (xi ) und Impulse (pi ), oder auch Drehimpulse im
Falle ausgedehnter Körper.
Die Nanomechanik ist die entsprechende Theorie für nanoskopische Körper. Die
Beschreibung baut auf der Quantenmechanik auf: x̂i , p̂i . Konkrete Fragestellungen
der Nanomechanik sind die theoretische Beschreibung und der experimentelle Einsatz nanomechanischer bzw. nanoelektromechanischer Geräte (NEMS). Das Ziele
sind die Messung extrem kleiner Kräfte und Strukturen, Vorstoß ins Quantenregime und direkte Messung quantenmechanischer Fluktuationen. (vgl. hierzu [1])
Obwohl natürlich im allgemeinen Sinne alles (Quanten-)Mechanik ist, wird bereits in diesem Kontext die Unterscheidung zwischen Schwingungen (Phononen)
in nanoskopischen Körpern, die entweder als mechanische oder als thermische Freiheitsgrade anzusehen sind, gemacht. (ebenfalls [1])
[2] ist ein ausführliches Lehrbuch zu den Grundlagen der Nanomechanik.
1.2 Begriff “Nanomechanik” im Rahmen der Vorlesung
In der Thermodynamik spielen nicht nur Gleichgewichtsfragen, Relaxation, Wärme/
Wärmetransport, eine Rolle, sondern auch ein wichtiger Aspekt ist nartürlich auch
Arbeit im thermodynamischen Sinne. In den vorangehenden Vorlesungen wurden
aus einer rein quantenmechanischen Beschreibung heraus die Konzepte “Gleichgewicht”, “Wärme” und “Relaxation” behandelt. Auf derselben Basis soll nun das
Konzept “Arbeit” im thermodynamischen Sinne behandelt werden.
Der Begriff “Mechanik” soll jetzt also im thermodynamischen Sinne verstanden
werden: Mechanik liegt vor, wenn ein System mechanisch im thermodynamischen
Sinne auf ein anderes System wirkt, d.h. wenn es an ihm Arbeit verrichtet (Treiber).
“Nano” bedeutet, dass der quantenmechanische Grenzfall betrachtet werden soll.
Die zentrale Frage lautet in Analogie zu den vorhergehenden Vorlesungen: “Wie
muss die Umgebung, die Wechselwirkung zum System und der Anfangszustand des
Gesamtsystems beschaffen sein, damit die Umgebung als Treiber auf das System
wirkt?”
2
2 minimales nanomechanisches Modell: harmonischer
Oszillator
2.1 Bedeutung
Bei dem quantenmechanischen harmonischen Oszillator handelt es sich um das einfachste
nanomechanische Modell: Man kann sich z.B. einen schwingenden nanoskopischen Stab
vorstellen, wobei die Beschreibung soweit vereinfacht wird, dass alle innere Struktur
ignoriert wird.
2.2 Definitionen
Hamilton-Operator:
Ĥ =
1
p̂2
+ mω 2 x̂2
2m 2
(1)
Definition der dimensionslosen Orts-/Impulsoperatoren:
r
r
mω
1
x̂ ,
P̂ =
p̂ ,
[X̂, P̂ ] = ı
X̂ =
h̄
h̄mω
(2)
Hamilton-Operator mit den dimensionslosen Operatoren:
1
Ĥ = h̄ω(X̂ 2 + P̂ 2 )
2
(3)
Definition des Erzeuger-/Vernichter-Operators:
1 â = √ X̂ + ıP̂ ,
2
1 ↠= √ X̂ − ıP̂
2
(4)
Hamiltonian mit Erzeugern/Vernichtern:
1
Ĥ = h̄ω(↠â + )
2
(5)
Definition der Energieeigenzustände (Fock-Zustände):
1
Ĥ|ni = h̄ω(n + )|ni
2
(6)
2.3 Kohärente Zustände
Definition:
|αi := D̂(α)|0i = e
α↠−α∗ â
3
|0i = e
− 12 |α|2
∞
X
αn
√ |ni
n!
n=0
(7)
Die besondere Bedeutung der kohärenten Zustände liegt darin, dass sie als quasiklassische Zustände angesehen werden können: Zwar sind Ort und Impuls nicht
scharf, die Erwartungswerte von x̂ und p̂ verhalten sich aber genau wie der Ort
und Impuls eines klassischen harmonischen Oszillators.
Kohärente Zustände heißen “kohärent”, weil die Wellenpakete nicht auseinanderfließen, also “zusammenhängend” (=kohärent) bleiben.
Vorstellung: “verschwommener”=unscharfer harmonischer Oszillator
3 Treiber
3.1 phänomenologisch
“Treiber”/“Treibende Umgebung”: Ein System, das an einem anderen System Arbeit im thermodynamischen Sinne verrichtet.
Was ist eigentlich Arbeit im thermodyn. Sinne?
Phänomenologisch wird der Zustand eines thermodynamischen Systems beschrie~ . . . . Unter diesen Variablen gibt es
ben durch Zustandsvariablen, z.B. U, V, T, p, H,
~ . . . , bei deren Veränderung Arbeit
verallgemeinerte Wegvariablen, wie z.B. V, H,
im thermodynamischen Sinne verrichtet werden muss (gegen die verallgemeinerten
~ , . . . ).
Kräfte p, M
3.2 mikroskopisch
Auf quantenmechanischer Ebene ist, wie “quantenmechanisch” schon sagt, alles
irgendwie mechanisch (im allgemeinen Sinne): Es gibt ja nur die Wechselwirkungen zwischen System und Umgebung, die zwischen den einzelnen Teilen der beiden
Systeme wirkt. Diesen Wechselwirkungen sieht man nicht an, ob sie nun Arbeit
oder Wärme ins System bringen. Insbesondere werden beide Energien über dieselben Wechselwirkungen ins System befördert. Ob das jetzt Wärme ist, wenn die
Wand an einer Wellenfunktion im Innern rüttelt, oder Arbeit, ist also nicht von
vorneherein klar.
Die Statistische Physik liefert uns aber einen Hinweis, wie man Wärme von Arbeit
unterscheiden kann:
X
X
dU = T dS − pdV =
Ei dpi +
pi dEi
(8)
| i {z
}
=d0 Q=T dS
| i {z
=d0 W
}
Die Zuordnung der Terme zur Wärme/Arbeit ist im Rahmen der Statistischen
Physik möglich, solange der Prozess reversibel durchgeführt wird. ([3], S. 679ff)
Man sieht hier, dass
4
– Wärme = Änderung der Besetzungszahlen pi
– Arbeit = Änderung der Energien der Mikrozustände Ei
3.3 quantenmechanisch
Das kann man natürlich direkt auf die Quantenthermodynamik übertragen werden:
Ganz allgemein lässt sich für die innere Energie eines Systems sagen:
X
(9)
U = hĤi = tr{ρ̂Ĥ} =
ρii Ei
|{z}
i
=pi
wenn die Ei die Energieeigenwerte des Systems sind. Durch Bilden des Differenzials
kommt man direkt zu (8).
Da das Treiben eines Systems also gleichbedeutend ist mit der Änderung von den
Energieeigenwerten des betrachteten Systems, lautet die Frage nach Bedingungen,
die ein Treiber erfüllen muss: Wie muss die Umgebung, die Wechselwirkung mit
dem System und der Anfangszustand des Gesamtsystems beschaffen sein, so dass
die einzige Wirkung der zeitlichen Entwicklung des Gesamtsystems ist, die Energieeigenwerte des Systems zu verändern?
3.4 notwendige Bedingung
Der Hamilton-Operator des betrachteten Systems muss also offensichtlich explizit zeitabhängig werden, denn ein konstanter Hamiltonian bedeutet keine Änderung der Energieeigenwerte. Konkreter: Die Gesamtdynamik des Gesamtsystems
muss so beschaffen sein, dass sich ein effektiver zeitabhängiger lokaler HamiltonOperator für das System ergibt.
Mathematisch formuliert:
– Betrachte ein zweigeteiltes System (Syst. + Umgebung):
Ĥ = Ĥ1 ⊗ 1̂ + Ĥ12 + 1̂ ⊗ Ĥ2
(10)
– Die Zeitentwicklung des Gesamtsytems ist gegeben durch die Liouville-vonNeumann-Gleichung (LvNGl)
i
ıh
d
ρ̂12 (t) = − Ĥ, ρ̂12 (t)
dt
h̄
(11)
– Die Zeitentwicklung des Zustands des Systems (= System 1) ergibt sich daraus
durch partielle Spurbildung:
h
i
d
ρ̂1 (t) = tr2 { Ĥ, ρ̂12 (t) }
dt
5
(12)
und die formulierte Bedingung ist dann gegeben durch:
i
h
i
ıh
d
!
ρ̂1 (t) = tr2 { Ĥ, ρ̂12 (t) } = − Ĥ1eff (t), ρ̂1 (t)
dt
h̄
(13)
Diese Bedingung ist natürlich nicht hinreichend für einen idealen Treiber, weil z.B.
durch nicht-adiabatische (im quantenmechanischen Sinn) Änderung der Energieeigenfunktionen es Übergänge im System geben kann: Zu schnelles Treiben, Treiben
ins Nicht-Gleichgewicht.
einfaches, aber drastisches Beispiel: Spin mit
Ĥ1eff (t) = Θ(−t)σ̂z + Θ(t)σ̂x
Ausgangszustand:
ρ̂1 (t < 0) = |−ih−| =
1 0
0 0
(14)
(15)
Dabei soll |−i der Spin-runter-Zustand bzgl. σ̂z sein. Die Energieeigenbasis ändert
sich bei t = 0 instantan und die neue Energieeigenbasis ist gegeben durch die
Transformation T auf das neue Eigensystem, bestehend aus den Eigenvektoren
von σ̂x :
!
− √12 √12
T =
(16)
√1
√1
2
2
Zustand nach t = 0 in der neuen Basis
†
hρ1 (t > 0) = T .ρ̂1 (t < 0).T =
1
2
− 12
− 12
1
2
(17)
Offensichtlich ist der Zustand kein Gleichgewichtszustand mehr. Sichere Aussagen über Arbeit und Wärme hängen dann stark vom System ab (wg. Irreversibilität/Nicht-Gleichgewicht).
4 Faktorisierungs-Näherung
4.1 Aussage der Faktorisierungs-Näherung
Die Faktorisierungs-Näherung liefert eine hinreichende Bedingung für die Existenz
eines effektiven, zeitabhängigen, lokalen Hamilton-Operators. [4]
Definition der Purity:
P (ρ̂) := tr{ρ̂2 }
(18)
P (ρ̂1 ) = P (ρ̂2 )
(19)
Falls P (ρ̂12 ) = 1, dann
6
Aussage der Faktorisierungs-Näherung:
Gegeben sei ein zweigeteiltes System, das in einem reinem Produkt-Zustand starten
soll:
Ĥ = Ĥ1 ⊗ 1̂ + Ĥ12 + 1̂ ⊗ Ĥ2
(20)
|Ψ(0)i = |Φ1 (0)i ⊗ |Φ2 (0)i
(21)
Solange P (ρ̂i ) ≈ 1 gilt, ist die Zeitentwicklung des Systems in gute Näherung
(Fehler ist quantifizierbar, s. [4]) gegeben durch die Gleichungen
d
ıh̄ |Φ1,2 (t)i = Ĥ1,2 + hΦ2,1 (t)|Ĥ12 |Φ2,1 (t)i |Φ1,2 (t)i
(22)
dt
|
{z
}
eff (t)
H1,2
Die Interpretation der Gleichungen ist: Solange die Bedingungen für die Näherung gegeben ist, kann die Zeitentwicklung der Systeme in guter Näherung mit
eff
den effektiven, zeitabhängigen, lokalen Hamilton-Operatoren H1,2
(t) beschrieben
werden.
Der Beweis ist auch in [4] zu finden.
4.2 Verallgemeinerung auf halbgemischte Zustände
Als halbgemischte Zustände sollen Zustände der Form
ρ̂12 = ρ̂1 ⊗ |Φ(2) ihΦ(2) |
(23)
bezeichnet werden.
Die Verallgemeinerung ist notwendig, da mit der Faktorisierungs-Näherung die
Frage nach dem Treiben thermischer Systeme bearbeitet werden soll. Ein System,
dass in einem thermischen Zustand vorliegt, befindet sich aber immer in einem
gemischten Zustand.
Man kann zeigen: Solange P (ρ̂2 (t)) ≈ 1 gilt und wenn das System in dem Anfangszustand
ρ̂12 (0) = ρ̂1 (0) ⊗ |Φ(2) (0)ihΦ(2) (0)|
(24)
gestartet ist, gilt in guter Näherung
h
i
d
ıh̄ ρ̂1 (t) = Ĥ1 + hΦ2 (t)|Ĥ12 |Φ2 (t)i, ρ̂1 (t)
dt
d
ıh̄ |Φ2 (t)i = Ĥ2 + tr1 {(ρ̂1 (t) ⊗ 1̂)Ĥ12 } |Φ2 (t)i
dt
(25)
(26)
Wieder ist eine Beschreibung mit einem effektiven, zeitabhängigen, lokalen HamiltonOperator möglich. Dies ist natürlich noch nicht gleichbedeutend mit dem Vorliegen
eines Treibers im thermodynamischen Sinne, denn damit ist nur die notwendige
Bedingung erfüllt.
7
5 Spin-HO-Modell
5.1 Modell
Ein sehr einfaches Modell zur Veranschaulichung der besprochenen Konzepte stellt
das “Spin + Harmonischer Oszillator”-Modell dar. Das Modell wird beschrieben
durch den Hamilton-Operator (h̄ = 1)
1 Ĥ = κσ̂z ⊗ 1̂ + γ σ̂z ⊗ X̂ + ω 1̂ ⊗ X̂ 2 + 1̂ ⊗ P̂ 2
|
{z
} |2
{z
}
Ĥsystem
(27)
Ĥenv
und besteht aus einem Spin, der über σ̂z an die dimensionslose Ortskoordinate des
Oszillators ankoppelt.
Warum wird der Wechselwirkungsterm mit in Ĥsystem hineingenommen? Im Rahmen der Thermodynamik ist die innere Energie eines Systems gegeben als: dU =
SdT − pdV . −pdV ist offensichtlich ein Wechselwirkungsterm mit der Wand des
Containers. Genauso ist auch der Wechselwirkungsterm hier im Modell auffassbar
und muss daher mit in Ĥsystem hineingenommen werden.
Als Anfangszustand wird
ρ̂12 (0) = ρ̂system (0) ⊗ ρ̂env (0) =
0
0 1−
⊗ |αihα|
(28)
gewählt, wobei |αi ein kohärenter Zustand ist.
5.2 Ergebnisse
Mit den verwendete Parametern (ω = 1, γ = 0.05, κ = 0.1, α = 1, = 0.7) ergibt
sich folgendes Bild:
1.002
0
Ω
Π
Ω
2Π
Ω
0
Ω
Π
Ω
2Π
Ω
P (ρ̂env )
1
PSfrag replacements
0.998
0.996
0.994
0.992
time
8
-0.01
0
Ω
Π
Ω
2Π
Ω
1.5
1.49
0
Ω
Π
Ω
2Π
Ω
Π
Ω
2Π
Ω
hĤenv i
hĤsystem i
-0.02
-0.03
-0.04
1.48
1.47
-0.05
PSfrag replacements
1.51
-0.06
1.46
PSfrag replacements
-0.07
0
Ω
Π
Ω
time
2Π
Ω
1.45
0
Ω
time
Erklärung:
Die Purity des Oszillators bleibt sehr nahe bei 1, d.h. die Voraussetzung für die
Faktorisierungs-Näherung ist erfüllt. Im Spin finden keine Übergänge statt. Daher kann die Veränderung der System-Energie tatsächlich mit dem effektiven,
eff
zeitabhängigen, lokalen Hamilton-Operator Hsystem
= (κ + γhX̂i)σ̂z beschrieben
werden und die Dynamik kann als ein nahezu ideales Treiben des Systems gedeutet werden: Es ändert sich nichts weiter als die Aufspaltung des Spins, also seine
Energieeigenwerte.
Literatur
[1] K. C. Schwab and M. L. Roukes, Physics Today 58, 36 (2006).
[2] Andrew N. Cleland, Foundations of Nanomechanics. From Solid-State Theory to
Device Applications (Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 2003).
[3] B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, and B. Roulet, Grundlagen der Statistischen
Physik (Walter de Gruyter, 1994).
[4] J. Gemmer and G.Mahler, Eur. Phys. J. D 17, 385 (2001).
9
