Mathematische Grundkompetenzen

Mathematische Grundkompetenzen
1 Zahlen und Maße
B4_1.1 absolute und relative Fehler berechnen und interpretieren
C4.1
Bei einer Digitalkamera wird die Gesamtanzahl der Bildpunkte (Pixel) im Allgemeinen als
BD
Bildauflösung bezeichnet. Jemand möchte ein Bild aufnehmen und dieses auf A4-Format
ausdrucken. Dazu wird eine Auflösung von 8,4 Megapixel benötigt. Die Digitalkamera
verfügt über eine Auflösung von 3 280 x 2 460 Pixel.
–Zeigen Sie, dass mit dieser Digitalkamera die notwendige Auflösung für den Druck
nicht erreicht werden kann.
–Ermitteln Sie den Pixelunterschied zwischen der geforderten und der tatsächlichen
Auflösung.
C4.2 In einem alten Buch wird eine Näherung für Berechnungen mit der Zahl π angegeben:
„Soll eine Zahl x mit π multipliziert werden, so muss man x zuerst mit 3 multiplizieren
und anschließend das Produkt um 5 % vergrößern.“
a)–Begründen Sie, warum diese Überschlagsrechnung eine gute Näherung liefert.
b)Der Umfang eines Kreises mit dem Durchmesser d = 10 cm wird mit dieser
Näherungsmethode berechnet.
–Ermitteln Sie den absoluten und den relativen Fehler, unter der Voraussetzung, dass
der mit Technologie ermittelte Wert korrekt ist.
c)–Erstellen Sie eine Formel für den absoluten Fehler bei der Berechnung des Werts von
x ∙ π mithilfe dieser Näherungsmethode.
3,15
d)–Interpretieren Sie, welche Größe durch den Ausdruck ___
π​   – 1 angegeben wird.
ABCD
2 Algebra und Geometrie
B4_2.1 quadratische Gleichungen in einer Variablen lösen und die verschiedenen möglichen
Lösungsfälle inklusive komplexer Lösungen interpretieren
C4.3 Gegeben ist die Gleichung x2 + 4x + p = 0.
BD
a)–Ermitteln Sie die Diskriminante der Gleichung.
b)–Bestimmen Sie p so, dass die Gleichung genau eine reelle Lösung hat.
c)–Erklären Sie, welche Bedingung p erfüllen muss, damit die Gleichung konjugiert
komplexe Lösungen hat.
B4_2.2 Sinus, Cosinus und Tangens eines Winkels 0° ⩽ α ⩽ 360° (bzw. 0 ⩽ α ⩽ 2π) interpretieren und
anhand des Einheitskreises erklären
y
1
C4.4
Der Sinus eines Winkels hat den Wert 0,3.
–Erklären Sie, welcher Zusammenhang zwischen den
Winkeln α1 ≠ α2 besteht, wenn sin(α1) = sin(α2) = 0,3 gilt.
–Tragen Sie den Sinuswert 0,3 am Einheitskreis ein und
markieren Sie die zugehörigen Winkel.
–Berechnen Sie die Winkel in Grad.
ABD
x
1
5
Mathematische Grundkompetenzen
B4_2.3 rechtwinkelige und schiefwinkelige Dreiecke im anwendungsbezogenen Kontext:
modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren
B C4.5 Ein Wanderer überwindet auf einem geradlinigen Weg eine horizontale Entfernung von
2 km und eine Höhe von 300 m.
–Berechnen Sie die Länge des Wegs.
–Ermitteln Sie die Steigung in Prozent.
ABD C4.6 Der Giebel eines Hauses hat die in nebenstehender
s1
Skizze dargestellte Form.
h
a)Man kennt die Breite b und die Winkel α und β.
–Erstellen Sie eine Formel für die Berechnung der
b
Sparrenlänge s1.
b)Die Länge s1 beträgt 6 m und der Winkel α = 20°.
–Berechnen Sie die Höhe h des Giebels.
b ∙ s ∙ sin(α)
c)Mithilfe der Formel A = ________
​ 1
 
 kann man den Flächeninhalt des Giebels berechnen.
2
–Argumentieren Sie, ob bei Verdopplung des Winkels α auch der Flächeninhalt
verdoppelt wird.
BD C4.7 Beim Vermessen eines dreieckförmigen Grundstücks wurden die Längen der Seiten
ermittelt.
a)Folgende Werte wurden notiert: a = 20,0 m, b = 15,5 m, c = 40,6 m
–Erklären Sie, woran man erkennt, dass dem Vermesser ein Fehler passiert ist.
b)Bei einer Messung ergaben sich die Werte a = 20,0 m, b = 25,5 m und c = 40,6 m.
–Berechnen Sie die Innenwinkel des Grundstücks.
B4_2.4 anwendungsbezogene Exponential- und Logarithmusgleichungen lösen
Das Wachstum eines Pilzes wird durch die Gleichung A(t) = A0 ∙ f t beschrieben. Dabei ist
ABC C4.8
t die Zeit in Tagen, A(t) die zum Zeitpunkt t bedeckte Fläche in dm2, A0 die Fläche zum
Zeitpunkt t = 0 und f der Wachstumsfaktor.
a)Die vom Pilz bedeckte Fläche wächst jeden Tag um 15 % der Fläche des Vortags.
–Stellen Sie eine Formel auf, die die bedeckte Fläche in Abhängigkeit von der Zeit
angibt.
b)–Dokumentieren Sie, wie man für einen beliebigen Faktor f die Zeit berechnen kann,
nach der sich die bedeckte Fläche verdoppelt.
BD C4.9 Eine in der Akustik verwendete Größe zur Beschreibung der Lautstärke ist der
Schalldruckpegel Lp. Er wird mit folgender Formel berechnet:
p
Lp = 20 ∙ lg( _
p   )
6
0
p0 … Schalldruck bei der Hörschwelle, p0 = 20 μPa
p … Schalldruck in μPa
Lp … Schalldruckpegel in dB
a)Leises Flüstern erzeugt einen Schalldruckpegel von 20 dB.
–Berechnen Sie den Schalldruck p.
b)–Zeigen Sie mithilfe der Rechenregeln für Logarithmen, dass aus einer Verdopplung
des Schalldrucks im Allgemeinen keine Verdopplung des Schalldruckpegels folgt.
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B4_2.5 Vektoren im ℝ2 und ℝ3: modellieren, berechnen, interpretieren und argumentieren (Addition,
Multiplikation mit einem Skalar, Skalarprodukt, Vektorprodukt)
C4.10Gegeben sind die Vektoren ⃑a =
()
2
–1
3
()
–3
und b⃑ = 0 .
5
a ; ⃑a ∙ b⃑ ; ⃑a × b⃑
–Berechnen Sie: |⃑a |; a⃑;
0 –2⃑
C4.11Die Kraft F⃑, die ein magnetisches Feld auf eine bewegte Ladung ausübt, wird
Lorentzkraft genannt. Für die magnetische Komponente der Kraft gilt:
F⃑L = q ∙ (v⃑ × B⃑)
q … elektrische Ladung, v … Geschwindigkeit, B … magnetische Flussdichte
Vs
__
​s   ​, B⃑ = 45 __
  
–Berechnen Sie F⃑L für q = 2 C, v⃑ = 10 m
2
–Argumentieren Sie, wie sich F⃑L ändert, wenn sich die Orientierung des
Geschwindigkeitsvektors v⃑ ändert.
B
BCD
() ()
15
–8
50
0 m
C4.12Von einem gleichschenkeligen Dreieck ABC kennt man A(–3|–3) und B(3|–2). Die Höhe
hc des Dreiecks beträgt √
37 ​ .
–Ermitteln Sie die fehlenden Koordinaten für C, wenn yC > 0.
B
C4.13In einem Computerspiel tauchen auf dem Bildschirm
5 y
K1
4
an beliebigen Stellen Krähen auf. Die Krähen sollen
3
K2
durch einen Wasserstrahl aus der in WD
2
positionierten Wasserdüse getroffen werden.
1
x
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Die Krähen K1 und K2 sowie die Wasserdüse WD
-1
können schematisch als Punkte in einem
-2
-3
Koordinatensystem dargestellt werden (siehe
-4
Abbildung).
-5
WD
-6
–Berechnen Sie den Abstand zwischen den beiden
Krähen.
–Ermitteln Sie den Winkel, um den die Wasserdüse gedreht werden muss, wenn zuerst
die Krähe K1 anvisiert wird und die Düse anschließend in Richtung der Krähe K2
gedreht wird.
–Erklären Sie, welche Eigenschaft zwei Vektoren haben, deren Skalarprodukt null ist.
BD
B4_2.6 Lineare Gleichungssysteme in Matrizenform übertragen und diese Darstellungsform mithilfe der
Matrizenmultiplikation begründen.
C4.14Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: I: 2x + 3y – z = 1
II:
4y – 3z = 2
III: x
– 2z = –7 D
2 3 –1
( )() ( )
x
1
0 4 –3 ∙ y = 2
1 0 –2
z
–7
–Erklären Sie, warum das Gleichungssystem in der angegebenen Matrizenform
dargestellt werden kann.
7
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AB C4.15Der Schriftzug eines Transportunternehmens auf den firmeneigenen LKWs soll die Form
y
der dargestellten Polynomfunktion
5
3. Grads haben.
B
4
–Stellen Sie ein Gleichungssystem zur
D
3
Berechnung der Koeffizienten dieser
A
Polynomfunktion auf.
2
C
–Geben Sie dieses in Matrizenform an.
1
–Lösen Sie das Gleichungssystem.
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
AD C4.16–Erklären Sie, wie folgendes Gleichungssystem mithilfe der Matrizenrechnung gelöst
werden kann.
(
5 –2 1
3 1 –6
–4 8 3
)() ( )
x
a
z
c
∙ y = b
–Geben Sie jeweils an, welche Bauart die gesuchte Matrix A haben muss, damit die
Multiplikation durchgeführt werden kann.
1) 5 1 4 ∙ A = c d ( 3 7 –2)
(a b)
2) A ∙
(
1 –2 4
5 3 –8
–2 1 6
)
= (a b c)
B4_2.7 Matrizen als Operatoren von Abbildungen im ℝ2 (Drehungen um beliebige Punkte, Spiegelungen an
beliebigen Geraden, Skalierungen um beliebige Punkte, Schiebungen): modellieren, operieren,
interpretieren und argumentieren
AB C4.17In einem Lernprogramm für Geometrie ist ein Quadrat mit den Eckpunkten A(2|–2),
B(6|–2), C(6|2) und D(2|2) in einem Koordinatensystem dargestellt. Dieses Quadrat soll
zuerst im Uhrzeigersinn um den Punkt D um α = 30° gedreht und danach um den
Faktor 2 gestreckt werden.
–Stellen Sie die Transformationsmatrix für diese durchzuführenden Transformationen
auf.
–Berechnen Sie die Koordinaten A′, B′, C′ und D′ des daraus resultierenden Quadrats.
ABD C4.18Ein Dreieck mit den Eckpunkten A(2|–4), B(6|4) und C(–3|2) soll an der Geraden
g[P(3|4); Q(6|8)] gespiegelt werden.
–Stellen Sie die Funktionsgleichung der Geraden g auf.
–Erklären Sie, welche Rechenschritte zur Ermittlung der Transformationsmatrix
durchgeführt werden müssen.
–Ermitteln Sie die Transformationsmatrix für diese Spiegelung.
–Berechnen Sie die Koordinaten der gespiegelten Punkte.
AB C4.19Die neue Programmierung eines Grafikprogramms soll getestet werden. Als Prüfelement
für das Funktionieren des Programms dient ein Rechteck A(–2|–2), B(2|–2), C(2|1), D.
Dieses Rechteck soll fortlaufend um den Ursprung um 60° gegen den Uhrzeigersinn
gedreht und um 30 % vergrößert werden.
–Berechnen Sie die fehlenden Koordinaten von D des Rechtecks.
–Ermitteln Sie die Transformationsmatrix, mit deren Hilfe die Koordinaten des nächsten
Rechtecks A′B′C′D′ berechnet werden können.
–Geben Sie die Transformationsmatrix für das 6. entstehende Rechteck an.
8