Aussagenlogik I

WS 2013/14
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
Kapitel II - Grundlagen
• Mathematische und notationelle Grundlagen
– Mengen
– Relationen und Abbildungen
– Aussagen- und Prädikatenlogik
– Beweismethoden
– Wachstum von Funktionen
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logik ist die Wissenschaft des Schließens.
Sie untersucht welche Inferenzen korrekt sind.
• Unter Inferenz verstehen wir (informell) eine Aussage
der Form: wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr.
– Umgangssprachlich sagen wir auch:
Wenn A gilt, dann gilt B
Wenn A dann B
A impliziert B
• A ist die Annahme (Prämisse, Antezedens, Hypothese)
und B die Konklusion (Konsequenz).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Eine korrekte Inferenz
Wenn
alle Menschen sterblich sind und Sokrates ein Mensch ist,
dann
ist Sokrates sterblich.
A = alle Menschen sind sterblich und Sokrates ist ein Mensch
B = Sokrates ist sterblich
• Eine korrekte Inferenz „wenn A dann B“ bedeutet nicht, dass
B wahr ist. Wenn die Inferenz korrekt ist und A wahr ist,
dann ist B wahr, mehr wissen wir nicht.
– „Wenn bestochene Ministerpräsidenten ins Gefängnis müssen
und Herr Beckstein bestochen wurde, dann muss er ins
4 Gefängnis“ ist eine korrekte Inferenz.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Eine korrekte Inferenz
Wenn
alle Menschen sterblich sind und Sokrates ein Mensch ist,
dann
ist Sokrates sterblich.
A = alle Menschen sind sterblich und Sokrates ist ein Mensch
B = Sokrates ist sterblich
• Eine korrekte Inferenz „wenn A dann B“ bedeutet nicht, dass
A wahr ist. Wenn die Inferenz korrekt ist und A wahr ist,
dann ist B wahr, mehr wissen wir nicht.
– „Wenn bestochene Ministerpräsidenten ins Gefängnis müssen
und Herr Seehofer bestochen wurde, dann muss er ins
5 Gefängnis“ ist eine korrekte Inferenz.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiele von inkorrekten Inferenzen:
– Wenn
einige Männer klug sind und alle Fußballer Männer sind,
dann
sind alle Fußballer klug.
– Wenn
einige vererbte Variationen dem Gesetz der Selektion
unterliegen und alle menschlichen Unterschiede
vererbte Variationen sind,
dann
unterliegen alle menschlichen Unterschiede dem Gesetz
der Selektion.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beispiele von inkorrekten Inferenzen:
– Wenn
einige Männer klug sind und alle Fußballer Männer sind,
dann
sind alle Fußballer klug.
– Wenn
einige vererbte Variationen dem Gesetz der Selektion
unterliegen und alle menschlichen Unterschiede
vererbte Variationen sind,
dann
unterliegen alle menschlichen Unterschiede dem Gesetz
der Selektion.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Korrekt oder inkorrekt?
– Wenn
es heute bewölkt ist, und
wir nur dann schwimmen gehen, wenn es sonnig ist, und
wir immer dann rudern, wenn wir nicht schwimmen, und
wir immer früh nach Hause kommen wenn wir rudern,
dann
werden wir heute früh nach Hause kommen.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Noch zwei korrekte Inferenzen
Wenn
alle Guldräber untreßig und alle Untreßigen filzig sind
dann
sind alle Guldräber filzig.
– Diese Inferenz erkennen wir als korrekt, auch wenn wir
nicht wissen, was „ Guldräber“, „untreßig“, oder „filzig“
bedeutet.
– Die Inferenz ist eine Instanz von:
Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Noch zwei korrekte Inferenzen
Wenn
alle Guldräber untreßig und alle Untreßigen filzig sind
dann
sind alle Guldräber filzig.
– Diese Inferenz erkennen wir als korrekt, auch wenn wir
nicht wissen, was „ Guldräber“, „untreßig“, oder „filzig“
bedeutet !!
– Die Inferenz ist eine Instanz von:
Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Noch zwei korrekte Inferenzen
Wenn
Anna ein Enkelkind hat
dann
ist Anna eine Mutter
– Die Inferenz kann nur als korrekt erkannt werden, wenn
man Wissen über die Bedeutung von „Mutter“ und
„Enkelkind“ hat.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Noch zwei korrekte Inferenzen
Wenn
Anna ein Enkelkind hat
dann
ist Anna eine Mutter
– Die Inferenz kann nur als korrekt erkannt werden, wenn
man Wissen über die Bedeutung von „Mutter“ und
„Enkelkind“ hat.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logische Inferenzen (informell)
– Eine logische Inferenz ist eine Inferenz mit „Variablen“
(Platzhalter für Aussagen oder Objekte).
Achtung: diese Terminologie ist nicht Standard!
– Eine logische Inferenz ist korrekt, wenn alle ihre
Instanzen korrekt sind. Logiker sagen: die Inferenz ist
(allgemein)gültig oder eine Tautologie.
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• „Wenn (alle X sind Y) und (alle Y sind Z) dann (alle X sind Z)“
ist gültig.
• „Wenn (alle X sind Y) dann (alle Y sind X)“ ist nicht gültig.
• „Wenn A und B und (wenn A dann C) dann B und C“ ist
gültig.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Die Logik untersucht die gültigen Inferenzen
– Wie kann man sie (automatisch) erkennen?
– Welche sind die nützlichsten?
• Die Logik stellt die Basis der mathematischen
Beweise.
• Praktische Anwendungen der Logik finden sich in
zahlreichen Gebieten der Informatik, z.B.
Datenbanken, Programmverifikation,
Korrektheitsbeweise, Systemsicherheit, künstliche
Intelligenz und vielen mehr.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Es gibt zahlreiche Logiken
– Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Temporalogik, deontische Logik
…
• Verschiedene Logiken studieren die gültigen Inferenzen in
verschiedenen Sprachfragmenten:
– Aussagenlogik: „und“, „oder“, „nicht“, „wenn … dann„
• „Wenn X und Y dann Y“ (Platzhalter für Aussagen)
– Syllogistische Logik: „alle“, „einige“, „keine“
• „Wenn alle A sind B und kein B ist ein C dann ist kein A ein C“
(Platzhalter für Objekte)
– Temporallogik: Aussagenlogik + „heute“, „morgen“,
„irgendwann“, „nie“
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• „Wenn heute A gilt, dann war gestern wahr, dass morgen A gelten wird“.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Es gibt zahlreiche Logiken
– Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Temporalogik, deontische Logik
…
• Verschiedene Logiken studieren die gültigen Inferenzen in
verschiedenen Sprachfragmenten:
– Aussagenlogik: „und“, „oder“, „nicht“, „wenn … dann„
• „Wenn X und Y dann Y“ (Platzhalter für Aussagen)
– Syllogistische Logik: „alle“, „einige“, „keine“
• „Wenn alle A sind B und kein B ist ein C dann ist kein A ein C“
(Platzhalter für Objekte)
– Temporallogik: Aussagenlogik + „heute“, „morgen“,
„irgendwann“, „nie“
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• „Wenn heute A gilt, dann war gestern wahr, dass morgen A gelten wird“.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Es gibt zahlreiche Logiken
– Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Temporalogik, deontische Logik
…
• Verschiedene Logiken studieren die gültigen Inferenzen in
verschiedenen Sprachfragmenten:
– Aussagenlogik: „und“, „oder“, „nicht“, „wenn … dann„
• „Wenn X und Y dann Y“ (Platzhalter für Aussagen)
– Syllogistische Logik: „alle“, „einige“, „keine“
• „Wenn alle A sind B und kein B ist ein C dann ist kein A ein C“
(Platzhalter für Objekte)
– Temporallogik: Aussagenlogik + „heute“, „morgen“,
„irgendwann“, „nie“
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• „Wenn heute A gilt, dann war gestern wahr, dass morgen A gelten wird“.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Es gibt zahlreiche Logiken
– Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Temporalogik, deontische Logik
…
• Verschiedene Logiken studieren die gültigen Inferenzen in
verschiedenen Sprachfragmenten:
– Aussagenlogik: „und“, „oder“, „nicht“, „wenn … dann„
• „Wenn X und Y dann Y“ (Platzhalter für Aussagen)
– Syllogistische Logik: „alle“, „einige“, „keine“
• „Wenn alle A sind B und kein B ist ein C dann ist kein A ein C“
(Platzhalter für Objekte)
– Temporallogik: Aussagenlogik + „heute“, „morgen“,
„irgendwann“, „nie“
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• „Wenn heute A gilt, dann war gestern wahr, dass morgen A gelten wird“.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aussagenlogik (propositional logic)
– Aussagen werden aus einer vorgegebene Menge von
atomaren Aussagen oder Aussagenvariablen
(Platzhalter für Aussagen) mit Hilfe der Operatoren
(Konnektoren, Junktoren) „und“, „oder“, „nicht“ und
„wenn … dann“ gebaut.
– Atomare Aussagen sind wahr oder falsch, nie wahr und
falsch, keines von beiden oder etwas “dazwischen”.
– Die Grundlagen der Aussagenlogik wurden von George
Boole („The Laws of Thought“ 1854) entwickelt. Man
spricht deswegen auch von der Booleschen Logik.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
George Boole
(1815-1864)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aussagenlogik formal
– Die Aussagenlogik (wie jede Logik) bildet eine formale
Sprache.
– Eine formale Sprache wird definiert durch ihre Syntax
und ihre Semantik.
• Die Syntax der Sprache legt durch Regeln fest, welche
Zeichenketten wohlgeformte Ausdrücke sind.
Die wohlgeformten Ausdrücke einer Logik heißen Formeln.
• Die Semantik legt die Bedeutung der Formeln fest.
Eine formale Semantik ordnet jeden Ausdruck einem
mathematischen Objekt zu, welchem als Bedeutung des Ausdrucks
interpretiert wird.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Syntax.
– Eine formale Syntax besteht aus einem Vokabular und
einer Menge von Formationsregeln.
– Das Vokabular legt fest, welche Zeichen in Ausdrücken
vorkommen dürfen
– Die Formationsregeln legen fest, welche Zeichenketten
über dem Vokabular zulässig oder ‘wohlgeformt’ sind
und welche nicht.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Vokabular
– Das Vokabular setzt sich aus folgenden Zeichenklassen
zusammen:
•
•
•
•
Wahrheitskonstanten:
Aussagenvariablen:
Logische Operatoren:
Hilfssymbolen:
true, false
p, q, r, s, t …
¬, ∧, ∨, →
(, )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln
Regel 0: true und false sind Formeln.
Regel 1: eine Aussagenvariable ist eine Formel.
Regel 2: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 3: sind und Formeln, dann sind
a.
∧
b.
∨
c.
→
ebenfalls Formeln.
Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch
Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln
Regel 0: true und false sind Formeln.
Regel 1: eine Aussagenvariable ist eine Formel.
Regel 2: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 3: sind und Formeln, dann sind
a.
∧
b.
∨
c.
→
ebenfalls Formeln.
Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch
Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln
Regel 0: true und false sind Formeln.
Regel 1: eine Aussagenvariable ist eine Formel.
Regel 2: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 3: sind und Formeln, dann sind
a.
∧
b.
∨
c.
→
ebenfalls Formeln.
Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch
Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln
Regel 0: true und false sind Formeln.
Regel 1: eine Aussagenvariable ist eine Formel.
Regel 2: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 3: sind und Formeln, dann sind
a.
∧
b.
∨
c.
→
ebenfalls Formeln.
Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch
Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln
Regel 0: true und false sind Formeln.
Regel 1: eine Aussagenvariable ist eine Formel.
Regel 2: ist eine Formel, dann ist auch ¬ eine Formel.
Regel 3: sind und Formeln, dann sind
a.
∧
b.
∨
c.
→
ebenfalls Formeln.
Regel 4: Ein Ausdruck ist nur dann eine Formel, wenn er durch
Anwendung der obenstehenden Regeln konstruiert werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntax der Aussagenlogik: Formationsregeln
– Es lassen sich also durch Anwendung von logischen
Operatoren (Konnektoren) auf Formeln neue Formeln
bilden.
– Ein Operator kombiniert einen oder mehrere
Operanden zu einem komplexeren Ausdruck.
– Monadische/unäre Operatoren haben ein Argument
(z.B. ¬ ), dyadische/binäre Operatoren haben zwei
Argumente (z.B. ∨ ).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formeln sind:
(
∧
→ )
( ∧
∨
( ¬ ∨¬
→¬ )
→
∧
)
• Keine Formeln sind:
∧( → ]
∧ ( ∧ ))
(∧
→
∧
)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Ableitungsbeispiel
(1)
(2)
Regel 1
Regel 1
(3) ( ∧ )
(4) ¬( ∧ )
Regel 3a, (1), (2)
Regel 2, (3)
(5) ¬
(6) ( ∨ ¬ )
Regel 2, (2)
Regel 3b, (2), (5)
(7) (¬
∧
→ ( ∨ ¬ )) Regel 3c, (4), (6)
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Syntaxbaum für (¬
∧
→
∨¬ )
→
¬
∨
∧
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¬
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Bindungsregeln zur Vereinfachung von Klammerausdrücken
¬ bindet stärker als ∧
∧ bindet stärker als ∨
∨ bindet stärker als →
• Beispiele:
¬ ∧ steht für (¬ ∧ ), nicht für ¬( ∧ )
∧ → steht für ( ∧ → ), nicht für ( ∧ ( → ))
∧ ∨ ∧ steht für ( ∧ ∨ ( ∧ ))
• In den Folien:
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Weder ∧ ∨ ∧ noch (( ∧ ) ∨ ( ∧ )),
sondern ( ∧ ) ∨ ( ∧ )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Aussagenlogik.
– Was ist die „Bedeutung“ einer Formel?
• Die Formel = (¬ ∧ ) kann in vier „Welten“
ausgewertet werden
–Welt 1:
und
sind beide wahr.
–Welt 2:
ist wahr,
ist falsch.
ist falsch.
–Welt 3:
ist falsch,
ist wahr.
ist wahr
–Welt 4:
ist falsch,
ist falsch.
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ist falsch.
ist falsch.
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Semantik der Aussagenlogik.
– Die Bedeutung einer Formel ist die Funktion, die jede
mögliche „Welt“ dem Wahrheitswert der Formel in
dieser Welt zuordnet:
• 1 (die Formel ist wahr), oder
• 0 (die Formel ist falsch).
Man nennt {1, 0} die Booleschen Werte.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
– Eine Belegung („eine Welt“) ist eine Funktion von einer
Menge von Aussagevariablen in die Menge {0,1} der
Wahrheitswerte.
– Eine Belegung : → {0,1} passt zu einer Formel ,
wenn alle Variablen, die in vorkommen, zu gehören.
– Beispiel: die Funktionen
•
↦ 0, ↦ 1
•
↦ 1, ↦ 1, ↦ 1
sind passende Belegungen der Formel ¬ ∧ .
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
– Die Semantik einer Formel ist eine Funktion [ ], die
jede Belegung , die zu passt, („jede Welt“) einem
Wahrheitswert [ ]( )zuordnet.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
– Die Funktion [ ]ist folgendermaßen definiert in
Abhängigkeit von :
(1) Semantik der Formeln true und false:
=true. Für alle Belegungen
gilt: [
]( ) = 1
=false. Für alle Belegungen
gilt: [
]( ) = 0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
(2) Semantik der Negation (NICHT) und der Konjunktion
(UND):
= ¬ für eine Formel . Für jede Belegung , die zu
passt:
0falls
=1
=
1falls
=0
= ( ∧ ) für Formeln und . Für jede Belegung ,
die zu passt:
1falls
= 1und
=1
=
0falls
= 0oder
=0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
• Die Semantik kann mit Hilfe einer Wahrheitstabelle
visualisiert werden
• Die Tabelle gibt den Wahrheitswert der Formel für jede
Kombination von Wahrheitswerten der Operanden an.
∧ H
1
0
40
¬
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
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0
0
0
1
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
(3) Semantik der Disjunktion (ODER):
= ( ∨ )für Formeln
, die zu F passt, gilt:
1falls
=
0falls
und . Für jede Belegung
= 1oder
= 0und[ ]
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=1
=0
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
• Wahrheitstabelle:
∨
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
• In der Logik ist “ oder ” wahr, wenn wahr ist, oder
wahr ist, oder beide wahr sind.
• Der ODER-Operator wird auch als NichtausschließendesOder bezeichnet, da er die Möglichkeit beinhaltet, dass
und wahr sind.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
(4) Semantik der Implikation (WENN…DANN):
= ( → )für Formeln
zu passt :
1falls
=
0falls
und . Für jede Belegung , die
= 0oder
= 1und[ ]
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=1
=0
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
• Wahrheitstabelle:
0
0
1
1
44
0
1
0
1
→
1
1
0
1
• Semantik in Worten: → ist falsch genau dann wenn
wahr ist und falsch ist. Andernfalls ist → wahr.
• In der Implikation → ist die Hypothese und die
Konklusion.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
Die formale Semantik der Implikation ist unterschiedlich von dem
Gebrauch von „wenn … dann“ in der Alltagssprache.
•
→ sagt nicht, dass
eine Ursache für
ist
• Pinguine schwimmen → Pferde wiehern ist wahr in unserer Welt.
•
→ sagt nichts darüber, ob
wahr oder falsch ist
• Frau Merkel wurde bestochen → Frau Merkel gehört hinter Gitter
ist wahr in unserer Welt.
• Wenn in einer Welt p falsch ist, dann ist in dieser Welt
→ wahr, unabhängig davon, was sagt !!
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• Pinguine fliegen → Pferde sprechen ist wahr in unserer Welt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
Die formale Semantik der Implikation ist unterschiedlich von dem
Gebrauch von „wenn … dann“ in der Alltagssprache.
•
→ sagt nicht, dass
eine Ursache für
ist
• Pinguine schwimmen → Pferde wiehern ist wahr in unserer Welt.
•
→ sagt nichts darüber, ob
wahr oder falsch ist
• Frau Merkel wurde bestochen → Frau Merkel gehört hinter Gitter
ist wahr in unserer Welt.
• Wenn in einer Welt p falsch ist, dann ist in dieser Welt
→ wahr, unabhängig davon, was sagt !!
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• Pinguine fliegen → Pferde sprechen ist wahr in unserer Welt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
Die formale Semantik der Implikation ist unterschiedlich von dem
Gebrauch von „wenn … dann“ in der Alltagssprache.
•
→ sagt nicht, dass
eine Ursache für
ist
• Pinguine schwimmen → Pferde wiehern ist wahr in unserer Welt.
•
→ sagt nichts darüber, ob
wahr oder falsch ist
• Frau Merkel wurde bestochen → Frau Merkel gehört hinter Gitter
ist wahr in unserer Welt.
• Wenn in einer Welt p falsch ist, dann ist in dieser Welt
→ wahr, unabhängig davon, was sagt !!
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• Pinguine fliegen → Pferde sprechen ist wahr in unserer Welt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
•
→ sagt nichts darüber, ob ¬ → ¬ wahr ist
• In der Alltagssprache:
aus „Wenn du brav bist, dann bekommst Du ein Bonbon“
folgt implizit „Wenn Du nicht brav bist, dann bekommst
Du kein Bonbon“
• In der Logik:
Die Formel Du bist brav → Du bekommst ein Bonbon
sagt nichts darüber, was passiert, wenn Du nicht brav bist.
Vielleicht bekommst Du auch ein Bonbon!
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Formale Semantik der Aussagenlogik.
•
→ sagt nichts darüber, ob ¬ → ¬ wahr ist
• In der Alltagssprache:
aus „Wenn du brav bist, dann bekommst Du ein Bonbon“
folgt implizit „Wenn Du nicht brav bist, dann bekommst
Du kein Bonbon“
• In der Logik:
Die Formel Du bist brav → Du bekommst ein Bonbon
sagt nichts darüber, was passiert, wenn Du nicht brav bist.
Vielleicht bekommst Du auch ein Bonbon!
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Weitere Operatoren: Ausschließendes-Oder
– Der binäre Operator “” (XOR) entspricht dem
sprachlichen Konstrukt “entweder … oder”– er
schließt die Möglichkeit aus, dass beide Operanden
wahr sind.
– Wahrheitstabelle:

0
0
1
1
0
1
0
1
50
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0
1
1
0
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Weitere Operatoren: Bikonditional
– Der binäre Operator “↔” entspricht dem
sprachlichen Konstrukt “genau dann, wenn ”.
– Wahrheitstabelle:
↔
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Sind diese Aussagen wahr oder falsch in
unserer Welt?
– Diese Vorlesung wird niemals enden → die Sonne wird
morgen aufgehen
– Dienstag ist ein Tag der Woche → Obama ist ein Pinguin.
– 1+1=6 → Merkel ist Kanzlerin
– Der Mond ist aus grünem Käse → Frankreich hat einen
König
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Sind diese Aussagen wahr oder falsch in
unserer Welt?
– Diese Vorlesung wird niemals enden → die Sonne wird
morgen aufgehen
– Dienstag ist ein Tag der Woche → Obama ist ein Pinguin.
– 1+1=6 → Merkel ist Kanzlerin
– Der Mond ist aus grünem Käse → Frankreich hat einen
König
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Sind diese Aussagen wahr oder falsch in
unserer Welt?
– Diese Vorlesung wird niemals enden → die Sonne wird
morgen aufgehen
– Dienstag ist ein Tag der Woche → Obama ist ein Pinguin.
– 1+1=6 → Merkel ist Kanzlerin
– Der Mond ist aus grünem Käse → Frankreich hat einen
König
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Sind diese Aussagen wahr oder falsch in
unserer Welt?
– Diese Vorlesung wird niemals enden → die Sonne wird
morgen aufgehen
– Dienstag ist ein Tag der Woche → Obama ist ein Pinguin.
– 1+1=6 → Merkel ist Kanzlerin
– Der Mond ist aus grünem Käse → Frankreich hat einen
König
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wahrheitstabellen
– Sei eine Formel, und sei
die Menge der Variablen, die
in vorkommen.
– Eine Belegung, die zu passt, ist minimal für wenn
=
– Sei
eine Belegung, die zu passt, und sei
die
Projektion von auf . Dann ist
ist eine minimale
Belegung und es gilt: [ ]( ) = [ ]( ).
– Das heisst: die Funktion [ ] wird von den minimalen
Belegungen eindeutig bestimmt.
– Die Wahrheitstabelle von enthält als Zeilen die minimalen
Belegungen von und die entsprechenden Werte von [ ].
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wahrheitstabellen.
– Beispiel: Sei
=
∨¬
→
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↔¬ Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wahrheitstabellen.
– Wieviele zeilen hat die Wahrheitstabelle einer Formel
, in der Variablen vorkommen?
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
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↔ ¬ Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
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• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
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• Berechnung der Wahrheitstabelle einer Formel.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• (Allgemein)gültigkeit, Tautologie.
– Eine Formel ist (allgemein)gültig wenn für jede
Belegung , die zu passt, gilt: [ ]( ) = 1.
– Intuitiv: eine Formel ist gültig wenn sie überall (“in
allen Welten”) wahr ist.
– Wir sagen auch: ist eine Tautologie.
– “Eine Formel ist gültig” ist nicht dasselbe wie “Eine
Formel ist wahr”.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• (Allgemein)gültigkeit, Tautologie.
– Eine Formel ist (allgemein)gültig wenn für jede
Belegung , die zu passt, gilt: [ ]( ) = 1.
– Intuitiv: eine Formel ist gültig wenn sie überall (“in
allen Welten”) wahr ist.
– Wir sagen auch: ist eine Tautologie.
– “Eine Formel ist gültig” ist nicht dasselbe wie “Eine
Formel ist wahr”.
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• (Allgemein)gültigkeit, Tautologie.
– Eine Formel ist gültig genau dann, wenn für jede
minimale Belegung , die zu passt, gilt: [ ]( ) = 1.
– Tautologietest: berechne die Wahrheitstabelle und
prüfe, ob die Spalte für ausschließlich Einsen enthält.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Allgemeingültigkeit, Tautologie.
– Beispiele von Tautologien:
∨ ¬
∧
→
→
∨
→
→
→
→
→(
→
→
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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→
)
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Widerspruch.
– Eine Formel F ist ein Widerspruch wenn für jede
Belegung , die zu F passt, gilt: [ ]( ) = 0.
– Intuitiv: eine Formel ist ein Widerspruch wenn sie
überall (“in allen Welten”) falsch ist.
– Eine Formel F ist ein Widerspruch genau dann, wenn
für jede minimale Belegung , die zu F passt, gilt:
[ ]( ) = 0.
– Widerspruchstest: berechne die Wahrheitstabelle und
prüfe, ob die Spalte für ausschliesschlich Nullen
enthält.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Erfüllbarkeit.
– Eine Formel F ist erfüllbar wenn es eine Belegung
gibt, die zu F passt, und [ ]( ) = 1erfüllt.
– Intuitiv: eine Formel ist erfüllbar wenn sie in
mindestens einer Welt wahr ist.
– Erfüllbarkeitstest: berechne die Wahrheitstabelle und
prüfe, ob die Spalte für F mindestens eine 1 enthält.
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Erfüllbarkeit.
– Das Erfüllbarkeitsproblem (satisfiability problem, SAT)
ist eines der am meisten untersuchten Problemen der
ganzen Informatik:
• Gegeben: eine aussagenlogische Formel
• Entscheiden: ob erfüllbar ist.
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe.
Gültig Erfüllbar
∨
∨¬ ∧ ¬ →¬
→
→( → )
→( → )
→¬
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Widerspruch
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Stimmt es oder nicht?
J/N
Wenn F gültig, dann F erfüllbar
Wenn F erfüllbar, dann :F unerfüllbar
Wenn F gültig, dann :F unerfüllbar
Wenn F unerfüllbar, dann :F gültig
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Gegenbeispiel
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logische Äquivalenz
– Zwei Formeln und sind logisch äquivalent (symbolisch:
≡ ) genau dann, wenn für jede Belegung , die zu und
zu passt, gilt: [ ]( ) = [ ]( )
Intuitiv: wenn F und G äquivalent sind, dann sind sie zwei
verschiedene Schreibweisen der selben Aussage.
– Sei die Menge der Variablen, die in oder vorkommen.
und sind äquivalent genau dann, wenn für jede Belegung
: → {0,1}gilt: [ ]( ) = [ ]( ).
– Aquivalenztest: Konstruiere die Wahrheitstabelle von ↔
und prüfe, ob die Spalte für ↔ ausschliesschlich Einsen
enthält.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: stimmt es oder nicht?
F
G
∧( ∨ )
¬( ∨ )
∧( ∨ )
∧( ∨ )
¬ ∨¬ ( ∧ )∨ ( ∧ )∨( ∧ )
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F´G
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logischen Inferenzen: Formalisierung.
– Eine logische Inferenz ist eine Formel der Gestalt → .
Dabei ist die Annahme und die Konklusion. Eine
logische Inferenz ist korrekt wenn sie gültig ist.
– Notation: ⊨ (in Worten: folgt aus ) bezeichnet,
dass → gültig ist.
Achtung! “ folgt aus ” ist nicht dasselbe wie
“ impliziert ”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Logischen Inferenzen: Formalisierung.
– Fast immer ist die Annahme eine Konjunktion
∧ ∧ ⋯ ∧ . Man spricht dann von den Annahmen
,… .
 Statt
∧ ∧ ⋯ ∧ ⊨ schreibt man , … , ⊨ .
– Folgerungstest: berechne die Wahrheitstabelle und
prüfe, ob die Spalte für → ausschließlich Einsen
enthält.
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Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: stimmt es oder nicht?
A²F
F
A
∨
∧
∨
∧
,
,
∧
∨
,
→
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beziehungen
–
ist gültig (eine Tautologie), genau dann, wenn
• ¬ ist ein Widerspruch.
• ≡
•
⊨
(Notation: ⊨
–
)
ist ein Widerspruch, genau dann, wenn
• ¬ ist gültig.
• ≡
• ⊨
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Prof. Dr. J. Esparza – Institut für Informatik, TU München
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beziehungen
ist erfüllbar genau dann, wenn
–
• ¬ ist nicht gültig
≡ gilt, genau dann, wenn
–
•
↔ ist eine Tautologie
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Aufgabe: Wahr oder falsch?
– Eine Formel ist eine Tautologie, genau dann, wenn
¬ ein Widerspruch ist.
– Eine Formel ist keine Tautologie, genau dann, wenn
¬ erfüllbar ist.
– Wenn ein Widerspruch ist, dann ist → eine
Tautologie.
– ist ein Widerspruch genau dann, wenn ≡
.
– ist ein Widerspruch genau dann, wenn →
.
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Kapitel II - Grundlagen
• Eigenschaften der Äquivalenz
– Die Relation ≡ ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Damit ist ≡ eine Äquivalenzelation (wie zu erwarten
war).
– Diese Transitivität erlaubt es, die Äquivalenz zweier
Formeln und nachzuweisen , in dem man eine
Kette von Äquivalenzen
≡ ≡ ⋯≡ ≡
angibt.
– Das ist eine alternative Methode zur Wahrheitstabelle.
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Kapitel II - Grundlagen
• Eigenschaften der Äquivalenz
– Die Relation ≡ ist eine Kongruenz. Das heißt: wenn in
einer Formel eine Teilformel durch eine äquivalente
Formel ersetzt wird, dann ist die resultierende Formel
äquivalent zu .
– Die Kongruenz-Eigenschaft erlaubt es, eine Äquivalenz
≡
zu finden, in dem man einen kleinen Teil von
durch eine äquivalente Formel ersetzt.
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Kapitel II - Grundlagen
• Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken:
– Syntax:
• 0,1,2, … sind arithmetische Ausdrücke
• Wenn und B arithmetische Ausdrücke sind, dann sind
( + )und ( × )auch arithmetische Ausdrücke
– Semantik eines Ausdrucks: eine natürliche Zahl
– Relation „=„ : zwei Ausdrücke sind äquivalent, wenn
ihre Semantik dieselbe Zahl ist.
• 3 + 4 = 2 + 5
3 + (5 × 4) = 17 + 6
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II - Grundlagen
• Vergleich mit arithmetischen Ausdrücken:
– Die Relation „=„ ist eine Äquivalenzrelation und eine
Kongruenz.
– Beweis, dass 9 + 7 × (3 + (4 × 2)) = 176 :
85
(9 + 7) × (3 + (4 × 2)) = (9 + 7) × (3 + 8)
= 16 × (3 + 8)
= 16 × 11

= 176
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Um Äquivalenzketten zu konstruieren können wir
Äquivalenzregeln verwenden: Äquivalenzschemen, die
instanziert werden können, um äquivalente Formeln zu
gewinnen.
– Äquivalenzregeln enthalten Formelvariablen (Platzhalter
für Formeln).
– Beispiel: Die Regel ∨
∧ ≡( ∧ )∨( ∧ )
sagt: “Für alle Formeln , , gilt:
∨ ∧ und
( ∧ ) ∨ ( ∧ )sind äquivalent”
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Eine Regel kann mit verschiedenen Formeln instanziert
werden:
∨
∧ ≡( ∧ )∨( ∧ )
( ∨ ) ∧ ( ∧ ) ∨ ( ∧ )
→ ∨ ∧ ¬ ≡ (( → ) ∧ ¬ ) ∨ ( ∧ ¬ )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln
– Wie zeigt man, dass eine Regel korrekt ist? Jede Instanz
kann mit einer Wahrheitstabelle geprüft werden, aber
es gibt unendlich viele Instanzen!
– Die folgende Eigenschaft (ohne Beweis) gibt die Lösung:
Eine Regel ist korrekt genau dann, wenn sie korrekt ist
für die Instanz, in der die Formelvariablen , , , …
jeweils durch die Variablen , , , … ersetzt werden.
– D.h.: Um die Korrektheit einer Regel nachzuweisen
reicht es zu zeigen, dass sie für diese eine Instanz gilt.
Das kann mit einer Wahrheitstabelle gemacht werden.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln für ∧, ∨, ¬
– Identität:
∧

∨

– Dominanz:
∨

∧

– Idempotenz:
  ∧ 
– Doppelte Negation:  
– Triviale Tautologie/Kontradiktion:
 
∧  
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln für ∧, ∨, ¬
– Kommutativität: ∨  ∨
∧  ∧
– Assoziativität: ( ∨ ) ∨  ∨ (
( ∧ ) ∧  ∧ (
– Distributivität:
∨ ( ∧ )( ∨
∧ ( ∨ )( ∧
– De Morgan’s:
( ∧ ) ∨ 
( ∨ ) ∧ 
90
Augustus
De Morgan
(1806-1871)
Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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∨ )
∧ )
)∧( ∨ )
)∨( ∧ )
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Äquivalenzregeln für andere Operatoren
– Mit Hilfe von Äquivalenzregeln lassen sich logische
Operatoren durch andere Operatoren ausdrücken.
– Exklusives-Oder:
 ≡
∨ ∧ ¬( ∧ )
 ≡
∧¬ ∨( ∧¬ )
– Implikation:
→ ≡¬ ∨
∨ ≡¬ →
– Bikonditional:
↔
↔
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≡
→
∧( → )
≡ ¬(  )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln
– Zeige 
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  ∧ ≡ ∧
( ( ∧ )) ∧ ( ∧ )
 ∧ ( ∨  )
 ∧ ( ∨  )
( ∧ ) ∨ ( ∧  )

∨ ( ∧  )
( ∧  ) ∨
 ∧ 
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln
– Zeige, dass
→
≡ ¬ →  .
→ ≡¬ ∨
≡ ∨ ¬
≡ ¬¬ ∨ ¬
≡¬ →¬
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln
– Eine Formel
ist eine Tautologie gdw.
≡
– Zeige, dass (( ∨ ) ∧ (¬ ∨ ) ∧ ( ∨ ¬ )) → ( ∨ )
eine Tautologie ist.
(( ∨ ) ∧ (¬ ∨ ) ∧ ( ∨ ¬ )) → ( ∨ )
(( ∨ ) ∧ ( ∨ ) ∧
(
∨
∧ ¬ ∨
)→( ∨ )
)→( ∨ )
(( ∨ ) ∧ ( ∨ )) ∨ ( ∨ )
(( ∨ ) ∨ ( ∨ )) ∨ ( ∨ )
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von Äquivalenzen mit Äquivalenzregeln
(( ∨ ) ∨ ¬(¬ ∨ )) ∨ ( ∨ )
( ∧ ¬ ) ∨ ( ∧ ¬ ) ∨ ∨
( ∧ ¬ ) ∨ ∨ ( ∧ ¬ ) ∨
(( ∨ ) ∧ (¬ ∨ )) ∨ (( ∨ ) ∧ (¬ ∨ ))
(( ∨ ) ∧
) ∨ (( ∨ ) ∧
)
 ∨ ∨ ∨
(Beachte: Klammern weggelassen)
 ∨ ∨ ∨

∨ ∨ 
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Vorlesung Diskrete Strukturen WS 13/14
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von nicht-Äquivalenzen
– Um zu zeigen, dass und nicht äquivalent sind reicht
es, eine Belegung anzugeben, die zu und passt, und
wahr macht und falsch (oder umgekehrt).
– Eine solche Belegung kann systematisch mit einer
Wahrheitstabelle gesucht werden, aber nicht mit
Äquivalenzregeln.
– In der Praxis oft besser:
96
• Finde mit Hilfe von Regeln “einfachere” Formeln ′ und ′ mit
≡ ′ und ≡ ′.
• Finde eine Belegung, die zeigt, dass ’ und ’ nicht äquivalent
sind.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Beweis von nicht-Äquivalenzen
Zeige:
(( → ) → )und ( → ( → )) sind
nicht-äquivalent.
1.
→
→
≡   ∨
∨
≡(
∧
→ )
2.
→
→
≡ ( ∨  ∨ )
3. (( ∧ ¬ ) ∨ )und( ∨  ∨ ) sind nicht
äquivalent:
(( ∧  ) ∨ )
falsch für
0, 1, 0
( ∨ ¬ ∨ )
wahr für
0, 1, 0
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vergleich: Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln
– Vorteile der Wahrheitstabellen:
• Automatische und einfache Methode.
• Terminiert garantiert mit der richtigen Antwort
– Nachteile der Wahrheitstabellen:
• Die Wahrheitstabelle einer Formel mit Variablen enthält 2
Zeilen. Die Methode ist daher völlig ungeignet für großes .
• Die Wahrheitstabelle jeder Formel mit n Variablen enthält 2
Zeilen, egal wie „dumm“ die Formel ist
∧¬ ∧
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vergleich: Wahrheitstabelle vs. Äquivalenzregeln
– Vorteile der Äquivalenzregeln:
• Ab vier/fünf Variablen die bessere Methode für Menschen.
• Richtige Sequenz von Regelanwendungen kann schnell zum
Ziel führen.
– Nachteile der Äquivalenzregeln:
• Die „richtige“ Regel muss erraten werden.
• Terminierung ist nicht garantiert
• Kann nur zeigen , das ≡ gilt, aber nicht, dass es nicht gilt.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wieviele verschiedene Operatoren gibt es?
– Die Semantik von Operatoren (Konnektoren, Junktoren)
kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden.
– Da die Wahrheitstabelle einer Formel mit Variablen
2 Einträge (1/0) hat, gibt es genau ? ? ?verschiedene
Wahrheitstabellen für Formeln mit Variablen.
– Es gibt also 2 Operatoren der Arität n (insbesondere 4
unäre und 16 binäre Operatoren).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Wieviele verschiedene Operatoren gibt es?
– Die Semantik von Operatoren (Konnektoren, Junktoren)
kann durch Wahrheitstabellen dargestellt werden.
– Da die Wahrheitstabelle einer Formel mit Variablen
2 Einträge (1/0) hat, gibt es genau 2 verschiedene
Wahrheitstabellen für Formeln mit Variablen.
– Es gibt also 2 Operatoren der Arität n (insbesondere 4
unäre und 16 binäre Operatoren).
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Einige Operatoren können durch andere „ausgedrückt
werden“. Z.B. aus → ≡ ¬ ∨ folgt → ≡
∨ für beliebige Formeln und .
– Formal: Ein Operator
der Stelligkeit ≥ 0 kann
durch die Operatoren
,…,
ausgedrückt werden
wenn es eine Formel über
,…,
(ohne die
Konstanten true und false) gibt mit
≡
1, ,
– Eine Menge von Operatoren ist vollständig wenn
jeder Operator (egal welcher Arität) durch die
Operatoren von ausgedrückt werden kann.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Fakt: Die Menge {¬,∨,∧}ist vollständig.
Beispiel. Wir betrachten den 3-stelligen Operator
mit folgender Wahrheitstabelle:
( , , )
103
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
Es gilt:
, ,
≡ (¬
∨ (¬
∨ (
∨ (
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∧¬
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ¬
∧ )
)
)
)
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Fakt: Die Mengen {¬, ∨} und {¬, ∧} sind vollständig.
Beobachtung: Sei eine vollständige Menge und sei eine
Menge von Operatoren. Wenn jeder Operator aus durch die
Operatoren von ausgedrückt werden kann, dann ist auch
vollständig.
Fall {¬,∨}. Es reicht zu zeigen, dass ∧ durch ¬ und ∨
ausgedrückt werden kann. Das wird mit der De Morgan´sche
Regel erreicht:
∧ ≡ ¬(¬ ∨ ¬ ).
Fall {¬,∧}. Symmetrisch.
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Wir betrachten die Operatoren
nand:
nand ≡ (¬( ∧ ))
nand
0
0
1
1
nor:
nor
0
1
0
1
≡ (¬( ∨ ))
105
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1
1
1
0
nor
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Vollständige Mengen von Operatoren.
– Fakt: Die Mengen {nand}und {nor} sind vollständig.
Für die Menge {nand}:

∧
∨
≡ ( nand )
≡ nand nand( nand )
≡ nand nand( nand )
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Kapitel II – Grundlagen; Logik
• Zusammenfassung Boolesche Operatoren
Formaler Name
Umg.spr.
Stelligkeit
Negation
NICHT
Mon.
¬
Konjunktion
UND
Dyad.
∧
Disjunktion
ODER
Dyad.
∨
Exclusives-Oder
XOR
Dyad.

Implikation
IMPLIZIERT
Dyad.
→
Bikonditional
IFF (GDW)
Dyad.
↔
NAND
NAND
Dyad.
nand
NOR
NOR
Dyad.
nor
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