Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Statistik und
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Übung 7
31.03.2011
1
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Inhalt der heutigen Übung

Vorrechnen der Hausübung D.9

Gemeinsames Lösen der Übungsaufgaben
– D.10: Poissonprozess
– D.11: Wiederkehrperiode
– D.12: Extremwertverteilung

Vorstellen der Hausübung D.13
31.03.2011
2
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Zufallsprozesse
Hochwasserereignis (diskret)
Für viele Ingenieurfragen müssen wir die zufälligen Schwankungen über die Zeit spezifischer erfassen können:
Diskreter Zufallsprozess:
Das zufällige Eintreten von Ereignissen zu diskreten Zeitpunkten (Unfälle, Steinschlag, Erdbeben, Stau, Versagen, usw.)
Poissonprozess, Exponentialverteilung, Gammaverteilung
Belastungsschwankungen aufgrund Wellen (kontinuierlich) Kontinuierlicher Zufallsprozess:
Die zufälligen Ausprägungen von Ereignissen, welche kontinuierlich über die Zeit eintreten (Winddruck, Wellendruck, Temperaturen, usw.)
 (Normalprozess) 31.03.2011
3
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Stationarität
31.03.2011
4
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ergodizität
Beispiel für einen ergodischen Prozess
a) 1000 Würfe mit einem Würfel
b) Ein Wurf mit 1000 Würfeln
 Die Verteilung der Zahlen 1 bis 6 ist in beiden Fällen gleich!
 Aus einer ausreichend langen Zeitreihe lassen sich die Eigenschaften des Zufallsprozesses herleiten
 Die gleichen Eigenschaften können auch aus den Realisationen vieler Prozesse zum gleichen Zeitpunkt bestimmt werden
31.03.2011
5
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Poissonprozess
Hochwasserereignis (diskret)
Der Poissonprozess beschreibt eine zufällige Abfolge von diskreten Ereignissen. Er unterliegt folgenden Annahmen:
1.
2.
Die Wahrscheinlichkeit von zwei oder mehr Ereignissen in einem kleinen Zeitintervall sind vernachlässigbar klein.
Die auftretenden Ereignisse sind voneinander unabhängig.
Anzahl Ereignisse in einem bestimmen Zeitintervall: Poissonverteilung
Wartezeit zwischen zwei oder mehr Ereignissen: Exponentialverteilung, Gammaverteilung
31.03.2011
6
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Poissonprozess
Poissonverteilung Pn  t 
 (t ) = Intensität (mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit t)
n = Anzahl Ereignisse t = Zeitintervall [0;t[ u = Mittlere Anzahl Ereignisse in einem Zeitintervall t
Homogener Poissonprozess
 (t ) konstant
N (t )
 (t )  
Inhomogener Poissonprozess
 (t ) nicht konstant
N (t )
u n u
Pn  t   e
n!
u   (t ) t
Var  N (t )   u   (t ) t
t
u n u
Pn  t   e E  N (t )   u   ( ) d
n!
0
t
u   ( ) d
31.03.2011
E  N (t )   u   (t ) t
0
t
Var  N (t )   u   ( ) d
0
7
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Poissonprozess
Die Wahrscheinlichkeit von keinem Ereignis in einem gegebenen u0
Zeitintervall : t
P0  t   exp  u   exp  u 
0!
Homogener Poissonprozess
P0  t   exp    t  t 
Inhomogener Poissonprozess
 t

P0  t   exp    ( )d 
 0

Die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion der (Warte‐)Zeit bis zum ersten Ereignis T1
FT1 (t1 )  1  P0 (t1 )  1  exp(u )
Exponentialverteilung!
Homogener Poissonprozess
FT1 (t1 )  1  exp(  t  t1 )
t1
Inhomogener Poissonprozess
31.03.2011
FT1 (t1 )  1  exp(  ( )d )
0
8
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
a)
Das Auftreten von Regenereignissen in einem Gebiet innerhalb eines Jahres  (t )
wird durch einen homogenen Poissonprozess mit der Intensität (mittlere Anzahl von Regenereignissen pro Zeiteinheit t) angegeben, wobei t in Monaten gemessen wird und im Intervall [0,12] definiert ist.
 (t )  2
u n u
Pn (t )  e
n!
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitintervall vom 3. bis und mit 5. Monat ‐ kein Regenereignis ‐ genau ein Regenereignis stattfindet. Es wird angenommen, dass die Regenereignisse einem homogenen Poissonprozess mit der Intensität folgen.
 (t )  2
31.03.2011
9
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
a)
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass im Zeitintervall vom 3. bis und mit 5. Monat ( also in einem Zeitraum t = 3 Monate)
‐ kein Regenereignis ‐ genau ein Regenereignis stattfindet. Es wird angenommen, dass die Regenereignisse einem homogenen Poissonprozess mit der Intensität folgen.
 (t )  2
 (t )  2
‐
u   (t ) t  2  3  6
kein Regenereignis
P0  t   e  u
‐
u n u
Pn (t )  e
n!
P0  3  e  u  e 6  0.0025
genau ein Regenereignis
u1  u
P1 (t )  e
1!
31.03.2011
61 6
P1 (3)  e  6e 6  0.0149
1!
10
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
b) Das Auftreten von Regenereignissen in einem Gebiet innerhalb eines Jahres  ( )
wird nun durch einen inhomogenen Poissonprozess mit der Intensität angegeben, wobei  in Monaten gemessen wird und im Intervall [0,12] definiert ist.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in den ersten fünf Monaten des Jahres drei oder mehr Regenereignisse eintreten.  2
 3

 ( )   2
12  

 3
für 0    3
für 3 <   6
für 6 <   12
Unterschied zum homogenen Poissonprozess:
  
Beim inhomogenen Poissonprozess variiert die Intensität mit der Zeit. 31.03.2011
11
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
Intensität  () (Mittlere Anzahl Ereignisse pro Zeiteinheit)
 2
 3

 ( )   2
12  

 3
Der Poisson‐Parameter u für ein
Zeitintervall [a, b] berechnet sich
wie folgt:
b
u    ( )d
a
für 0    3
für 3 <   6
für 6 <   12
Daraus ergibt sich die Verteilung für die
Anzahl Ereignisse n im betrachteten
Zeitintervall [a, b]:
u n u
Pn ([a, b])  e
n!
Mittlere Anzahl Ereignisse in [a, b]
31.03.2011
12
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in den
ersten fünf Monaten des Jahres drei oder mehr
Regenereignisse eintreten.
 2
 3

 ( )   2
12  

 3
für 0    3
für 3 <   6
für 6 <   12
Vorgehen:
Zufallsvariable N = Anzahl Regenereignisse in
den ersten fünf Monaten
Ermittle den Parameter u des Poissonprozesses
Berechne die Wahrscheinlichkeit:

 P (5)  1   P (5)  P (5)  P (5)
n 3
31.03.2011
n
0
1
2
u n u
Pn (t )  e
n!
13
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in den
ersten fünf Monaten des Jahres drei oder mehr
Regenereignisse eintreten.
Bestimmung des Poisson Parameters u 
3
5
0
3
 2
 3

 ( )   2
12  

 3
für 0    3
für 3 <   6
für 6 <   12
b
  ( )d
a
u   ( )d   ( )d 
3
 2  
2 
5
0 3 d  3 2d   6    2  3 
0
3 4  7  u
3
31.03.2011
5
2
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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in den
ersten fünf Monaten des Jahres drei oder mehr
Regenereignisse eintreten.
 2
 3

 ( )   2
12  

 3
für 0    3
für 3 <   6
für 6 <   12
Berechne die Wahrscheinlichkeit:

 P (5)  1   P (5)  P (5)  P (5)  0.97
n 3
n
0
1
2
u n u
Pn (t )  e
n!
u7
u n  u 7 0 7
P0 (5)  e  e  e 7  0.0009
n!
0!
u n  u 71 7
P1 (5)  e  e  7e 7  0.0064
n!
1!
u n  u 7 2 7 49 7
P2 (5)  e  e 
e  0.0223
n!
2!
2
31.03.2011
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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
c)
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von nicht mehr als
einem Regenereignis jeweils während der zwei 3‐monatigen Zeitintervallen
vom 7. bis 9. Monat und vom 10. bis 12. Monat?
Ereignis A repräsentiert das Eintreten von nicht mehr als einem Regenereignis
in den Monaten 7,8 und 9. Ereignis B repräsentiert das Eintreten von nicht mehr als einem Regenereignis
in den Monaten 10, 11 und 12. P[ A  B]  P ( A)  P ( B)
31.03.2011
A und B unabhängig!
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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
Als Mittelwert des Poissonprozesses ergeben sich für die beiden Intervalle in denen die Ereignisse unabhängig sind:  2
 3

 ( )   2
12  

 3
31.03.2011
für 0    3
u6  9 
für 3 <   6
u912
2
12
1
1
2 
  12    d   12     1.5
39
3
2 9
12
für 6 <   12
9
1
1
 
d
12


12








  4.5

36
3
2 6
9
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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.10
c)
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von nicht mehr als
einem Regenereignis jeweils während der zwei 3‐monatigen Zeitintervalle
vom 7. bis 9. Monat und vom 10 bis 12 Monat.
4.50 4.5 4.51 4.5
P( A) 
e 
e  6.11 102
0!
1!
1.50 1.5 1.51 1.5
P( B) 
e 
e  0.558
0!
1!
31.03.2011
P( A  B)  6.11102  0.558  3.41102
18
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Quelle: http://www.seismo.ethz.ch/Earthquake_Talk_2011_03_17_de
31.03.2011
19
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.11
Eine Erdbebengefahrenkarte repräsentiert die Bodenbeschleunigung (m/s2) für
eine mittlere Wiederkehrperiode von 475 Jahren.
1
Erdbebengefährdung der Schweiz:
Horizontale Bodenbeschleunigung (m/s2),
10% Überschreitungswahrscheinlichkeit
in 50 Jahren
www.earthquake.ethz.ch
31.03.2011
20
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.11
Eine Erdbebengefahrenkarte repräsentiert die Bodenbeschleunigung (m/s2) für
eine mittlere Wiederkehrperiode von 475 Jahren.
a) Zeigen Sie, dass die Wiederkehrperiode von 475 Jahren einer Überschreitungswahrscheinlichkeit
von 0.1 in 50 Jahren entspricht.
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
dass ein Beben mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren tatsächlich innerhalb der 475 Jahre auftritt?
Erdbebengefährdung der Schweiz:
Horizontale Bodenbeschleunigung (m/s2),
10% Überschreitungswahrscheinlichkeit
in 50 Jahren
Es wird angenommen, dass das Auftreten der Erdbeben www.earthquake.ethz.ch
einem homogenen Poissonprozess folgt.
31.03.2011
21
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.11
a) Bestätige diese Beziehung: Ereignis mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren = Ereignis mit einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von 0.1 in 50 Jahren
Wiederkehrperiode TR = 475 Jahre Jährliche Überschreitungswahrscheinlichkeit:
Durchschnittliche Wartezeit bis zu einem Ereignis:
p
1
1

TR 475
E[T ] 
1
1

 475
1
p
475
Die Zeit zwischen Ereignissen des homogenen Poissonprozessen ist exponentialverteilt. 31.03.2011
22
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.11
a) Bestätige diese Beziehung:
Ereignis mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren = Ereignis mit einer Überschreitungswahrscheinlichkeit von 0.1 in 50 Jahren.
Der Erwartungswert einer exponentialverteilten Zufallsvariable T ist gegeben als:
1
1
1
1
E[T ] =
= 475
 (t ) =
= =
 (t )
E[T ] TR 475
Die Wahrscheinlichkeit P (T  50), dass ein Ereignis in 50 Jahren überschritten wird, kann folgendermassen berechnet werden:
P T  50 Jahre  1  e   t t  1  e

1
50
475
 0.1
(Skript Gleichung D.65)
31.03.2011
23
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.11
b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Erdbeben mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren in den nächsten 475 Jahren auftritt?
Die Wahrscheinlichkeit P (T  475), dass ein Ereignis innerhalb eines Zeitraums von 475 Jahren auftritt (überschritten wird), kann folgendermassen berechnet werden:
P T  475 Jahre  1  e t  1  e
31.03.2011

1
475
475
 1  e1  0.632
24
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.12
Es wird angenommen, dass der jährliche maximale Abfluss X eines bestimmten Flusses einer Gumbel max Verteilung mit dem Mittelwert =10‘000 X
m3/s und der Standardabweichung =3‘000 m3/s folgt. X
31.03.2011
25
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.12
Es wird angenommen, dass der jährliche maximale Abfluss X eines bestimmten Flusses einer Gumbel max Verteilung mit dem Mittelwert =10‘000 X
m3/s und der Standardabweichung =3‘000 m3/s folgt. X
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der jährliche maximale Abfluss 15‘000 m3/s übersteigt.
b)
Wie gross ist der jährliche maximale Abfluss, welcher einer Wiederkehrperiode von 100 Jahren entspricht?
c)
Finde die kumulative Verteilungsfunktion, welche den jährlichen maximalen Abfluss des Flusses über einen Zeitraum von 20 Jahren beschreibt. Es wird angenommen, dass die jährlichen Maxima unabhängige Zufallsvariablen sind. d)
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 20‐jährige maximale Abfluss 15‘000 m3/s überschreitet?
31.03.2011
26
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.12
Es wird angenommen, dass der jährliche maximale Abfluss X eines bestimmten Flusses einer Gumbel max Verteilung mit dem Mittelwert =10‘000 X
m3/s und der Standardabweichung =3‘000 m3/s folgt. X
Hinweis: Die Gumbel max Verteilungsfunktion hat folgende Form:
  x  
FX ( x)  exp   exp   ( x  u )  
X  u 
X 
0.577216


 X  Mittelwert
 X  Standardabweichung
 Parameter der Verteilung
  Parameter der Verteilung
u
 6
(Skript Tabelle D.2)
31.03.2011
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Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.12
a)
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der jährliche maximale Abfluss 15‘000 m3/s übersteigt.
FX ( x)  exp   exp   ( x  u )  
P[ jährliches Max  15'000]  1  FX 15'000   1  e
e
  15'000u 
Parameter u und α ermitteln:
X  u 
X 
31.03.2011
0.577216

 6



x 6
u  x 


3'000 6
0.57722

 4.2752 104
 10'000 
0.57722
 8'649.809
4
4.2752 10
28
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
  4.2752  104
Aufgabe D.12
a)
u  8'649.809
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der jährliche maximale Abfluss 15‘000 m3/s übersteigt.
1  FX 15'000   1  e
e
1 e
  15'000u 
e
4.2752 104 15'0008'649.81
1 e
 e2.715
 1  0.9359  0.0641
Die Wahrscheinlichkeit, dass die jährliche maximale Überschwemmung 15‘000 m3/s
überschreitet, beträgt 0.0641.
31.03.2011
29
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.12
b) Wie gross ist der jährliche maximale Abfluss, welcher einer Wiederkehrperiode von 100 Jahren entspricht?
Wiederkehrperiode = 100 Jahre jährliche Überschreitungswahrscheinlichkeit:
p
1
1

T 100
1  P[ jährliches Max  x]  1  P ( X  x)  FX  x 
1
31.03.2011
1
 FX  x 
100
30
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
.
  4.2752 104
Aufgabe D.12
u  8'649.809
b) Wie gross ist der jährliche maximale Abfluss, welcher einer Wiederkehrperiode von 100 Jahren entspricht?
  x u
1
e  
 FX  x   e
 0.99
1
100
 ln   ln  0.99      x  u  

ln   ln  0.99  
4
4.2752 10
 x  19'409.889
ln   ln  0.99  

u  x
 8649.809  x  10'760.08  8'649.809  x
Die Überschwemmung, welche einer Wiederkehrperiode von
100 Jahren entspricht, ist 19‘410 m3/s.
31.03.2011
31
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.12
c)
Finde die kumulative Verteilungsfunktion, welche den jährlichen maximalen Abfluss des Flusses über einen Zeitraum von 20 Jahren beschreibt. Es wird angenommen, dass die jährlichen Maxima unabhängige Zufallsvariablen sind.
31.03.2011
32
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Extremwertverteilungen
Wenn die Extremwerte innerhalb einer Periode T eines ergodischen
Zufallsprozesses X(t) unabhängig sind und der Verteilung
FXmax
,T ( x)
folgen, dann werden die Extremwerte des gleichen Prozesses innerhalb der Periode n T
folgender Verteilung folgen:
F
max
X ,nT
(x)  F
max
X ,T
(x)
n
Skript, Gleichung D.78
31.03.2011
33
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Aufgabe D.12
c)
Finde die kumulative Verteilungsfunktion, welche den jährlichen maximalen Abfluss des Flusses über einen Zeitraum von 20 Jahren beschreibt. Es wird angenommen, dass die jährlichen Maxima unabhängige Zufallsvariablen sind.
Für unabhängige Zufallsvariablen ist die kumulative Verteilungsfunktion der grössten Extremwerte innerhalb eines Zeitintervalls nT gegeben als:
F
max
X , nT
( x)   F
max
X ,T
( x) 
n
Skript, Gleichung D.78
Für das 20jährige Abfluss‐Maximum (y) mit n=20 bedeutet dies:

FY  y   P Y  y    FX  x    e
20
31.03.2011
e
   x u 

20
e
  x u
20 e  
34
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
  4.2752 104
Aufgabe D.12
u  8'649.809
d) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der 20‐jährige maximale Abfluss 15‘000 m3/s überschreitet?

 FX  x    e
20
  x u
e  
1  FY 15'000   1  e

20
20 e
e
  x u
20 e  
 4.2756 104 15'0008'649.81
 1  e 1.324  1  0.266  0.734
Die Wahrscheinlichkeit, dass die 20‐jährige maximale Überschwemmung 15‘000 m3/s
überschreitet, beträgt 0.734.
31.03.2011
35
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Hausübung D.13
Der Verkehr auf einer Hauptstrasse kann als homogener Poissonprozess
modelliert werden. Die Intensität gibt dabei an, wie viele Fahrzeuge  5
pro Minute an einem bestimmten Punkt vorbeikommen.
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der zeitliche Abstand zwischen zwei beliebigen Fahrzeugen ( in der Grafik) kleiner/gleich xi
10 Sekunden ist.
Tipp:
Xi ist die Wartezeit bis zum nächsten Ereignis
 Exponentialverteilung
31.03.2011
36
Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
Hausübung D.13
b) Ein Autofahrer möchte von einer Nebenstrasse in die Hauptstrasse
einbiegen (siehe Grafik). Damit dies möglich ist, benötigt er eine Lücke von mehr als 10 Sekunden zwischen zwei Fahrzeugen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Fahrzeuge auf der Hauptstrasse
vorbeifahren, ohne dass eine Möglichkeit zur Auffahrt besteht?
Tipp:
Die einzelnen Abstände sind voneinander unabhängig!
P  X 1  10   X 2  10  ...   X 5  10   ?
c) Bestimme die Verteilung des maximalen Abstandes zum vorherigen Fahrzeug in einer Kolonne von 5 oder 10 Fahrzeugen. Stelle die zwei xi
Dichtefunktionen in einer gemeinsamen Grafik dar.
Tipp: Bestimme zunächst die kumulativen Verteilungsfunktionen!
31.03.2011
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