Gleichgradige Integrierbarkeit und der Satz von Vitali

Gleichgradige Integrierbarkeit und der Satz von Vitali
Tutorium Stochastische Prozesse
24. Januar 2017
Konvergenzbegriffe in der Stochastik
Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen wir verschiedene Formen der Konvergenz von Zufallsvariablen:
Konvergenzbegriffe in der Stochastik
Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen wir verschiedene Formen der Konvergenz von Zufallsvariablen:
(1) Konvergenz in Verteilung
(2) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit
(3) Fast sichere Konvergenz
(4) Konvergenz im Erwartungswert
Konvergenzbegriffe in der Stochastik
Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen wir verschiedene Formen der Konvergenz von Zufallsvariablen:
(1) Konvergenz in Verteilung
(2) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit
(3) Fast sichere Konvergenz
(4) Konvergenz im Erwartungswert
Frage: Wie hängen die verschiedenen Konvergenzbegriffe zusammen?
Konvergenzbegriffe in der Stochastik
Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie kennen wir verschiedene Formen der Konvergenz von Zufallsvariablen:
(1) Konvergenz in Verteilung
(2) Konvergenz in Wahrscheinlichkeit
(3) Fast sichere Konvergenz
(4) Konvergenz im Erwartungswert
Frage: Wie hängen die verschiedenen Konvergenzbegriffe zusammen?
Aus der Markov Ungleichung folgt sofort (4) ⇒ (2), da
P |Xn − X| ≥ ε ≤ 1ε E |Xn − X| .
Der Satz von Vitali liefert notwendige und hinreichende Bedingungen unter denen
auch (2) ⇒ (4) gilt.
Der Satz von Vitali
Definition (Gleichgradig Integrierbar)
Eine Familie von Zufallsvariablen {Xi }i∈I heißt gleichgradig integrierbar oder kurz u.i. (uniformly integrable), falls
lim sup E |Xi |1{|Xi |>α} = 0.
α→∞ i∈I
Der Satz von Vitali
Definition (Gleichgradig Integrierbar)
Eine Familie von Zufallsvariablen {Xi }i∈I heißt gleichgradig integrierbar oder kurz u.i. (uniformly integrable), falls
lim sup E |Xi |1{|Xi |>α} = 0.
α→∞ i∈I
Theorem (Satz von Vitali)
Seien X, X1 , X2 , . . . Zufallsvariablen. Dann sind äquivalent:
(i) E[|X|], E[|Xn |] < ∞ für alle n und Xn → X im Erwartungswert.
(ii) Die Familie {Xn }n∈N ist u.i. und Xn → X in Wahrscheinlichkeit.
Kriterien für gleichgradige Integrierbarkeit
Lemma (Äquikontinuitätskriterium)
Eine Familie von Zufallsvariablen {Xi }i∈I ist genau dann u.i., wenn
sup E[|Xi |] < ∞
i∈I
und
lim
sup
sup E[|Xi |1A ] = 0.
δ↓0 A∈A,P[A]<δ i∈I
Kriterien für gleichgradige Integrierbarkeit
Lemma (Äquikontinuitätskriterium)
Eine Familie von Zufallsvariablen {Xi }i∈I ist genau dann u.i., wenn
sup E[|Xi |] < ∞
und
i∈I
lim
sup
sup E[|Xi |1A ] = 0.
δ↓0 A∈A,P[A]<δ i∈I
Lemma (Lp -Beschränktheit)
Eine Familie von Zufallsvariablen {Xi }i∈I ist u.i., falls ein p > 1 existiert,
so dass
sup E |X|p < ∞.
i∈I
Beispiele
Beispiele für gleichgradige Integrierbarkeit:
(i) Einelementige Familien: {X} ist u.i. falls E[|X|] < ∞.
Beispiele
Beispiele für gleichgradige Integrierbarkeit:
(i) Einelementige Familien: {X} ist u.i. falls E[|X|] < ∞.
(ii) Dominierte Familien: Existiert eine Zufallsvariable Y mit E[|Y |] < ∞ und
|Xi | ≤ Y für alle i ∈ I, dann ist {Xi }i∈I u.i.
Beispiele
Beispiele für gleichgradige Integrierbarkeit:
(i) Einelementige Familien: {X} ist u.i. falls E[|X|] < ∞.
(ii) Dominierte Familien: Existiert eine Zufallsvariable Y mit E[|Y |] < ∞ und
|Xi | ≤ Y für alle i ∈ I, dann ist {Xi }i∈I u.i.
(iii) Stochastische Prozesse: Ein Prozess X = {X(t)}t∈T ist u.i. falls
E supt∈T |X(t)| < ∞.
Beispiele
Beispiele für gleichgradige Integrierbarkeit:
(i) Einelementige Familien: {X} ist u.i. falls E[|X|] < ∞.
(ii) Dominierte Familien: Existiert eine Zufallsvariable Y mit E[|Y |] < ∞ und
|Xi | ≤ Y für alle i ∈ I, dann ist {Xi }i∈I u.i.
(iii) Stochastische Prozesse: Ein Prozess X = {X(t)}t∈T ist u.i. falls
E supt∈T |X(t)| < ∞.
(iv) Bedingte Erwartungswerte: Sei E[|X|] < ∞. Dann gilt
die Familie E[X|F] : F ⊂ A Teil-σ-Algebra ist u.i.
Beispiele
Beispiele für gleichgradige Integrierbarkeit:
(i) Einelementige Familien: {X} ist u.i. falls E[|X|] < ∞.
(ii) Dominierte Familien: Existiert eine Zufallsvariable Y mit E[|Y |] < ∞ und
|Xi | ≤ Y für alle i ∈ I, dann ist {Xi }i∈I u.i.
(iii) Stochastische Prozesse: Ein Prozess X = {X(t)}t∈T ist u.i. falls
E supt∈T |X(t)| < ∞.
(iv) Bedingte Erwartungswerte: Sei E[|X|] < ∞. Dann gilt
die Familie E[X|F] : F ⊂ A Teil-σ-Algebra ist u.i.
Beispiele
Beispiele für gleichgradige Integrierbarkeit:
(i) Einelementige Familien: {X} ist u.i. falls E[|X|] < ∞.
(ii) Dominierte Familien: Existiert eine Zufallsvariable Y mit E[|Y |] < ∞ und
|Xi | ≤ Y für alle i ∈ I, dann ist {Xi }i∈I u.i.
(iii) Stochastische Prozesse: Ein Prozess X = {X(t)}t∈T ist u.i. falls
E supt∈T |X(t)| < ∞.
(iv) Bedingte Erwartungswerte: Sei E[|X|] < ∞. Dann gilt
die Familie E[X|F] : F ⊂ A Teil-σ-Algebra ist u.i.
(v) Gegenbeispiel: Das Martingal aus Aufgabe 4 auf Übungsblatt 10 ist nicht u.i.