5.8. Konvergenzbegriffe in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

5.8. Konvergenzbegriffe in der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden etliche unterschiedlich starke“ Konvergenzbegriffe be”
nutzt. In diesem Abschnitt werden die wichtigsten beschrieben 1.
(a) Stochastische Konvergenz 2. Seien X und Xn , n ∈ N, reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Die Folge Xn , n ∈ N, konvergiert
stochastisch oder in Wahrscheinlichkeit gegen X, wenn
lim P[|Xn − X| > ǫ] = 0,
n→∞
Man schreibt dann auch
3
ǫ > 0.
P
Xn → X.
(b) Fast-sichere Konvergenz 4. Seien X und Xn , n ∈ N, reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P). Die Folge Xn , n ∈ N, konvergiert
fast sicher (f.s.) gegen X, wenn 5
hn
oi
P ω ∈ Ω : lim Xn (ω) = X(ω) = 1.
n→∞
f.s.
Man schreibt dann auch Xn → X, f.s., oder Xn → X.
Wie durch die beiden folgenden Resultate belegt wird, ist im Vergleich zum
stochastischen der fast-sichere Konvergenzbegriff der stärkere 6.
Beispiel. Sei (Ω, F, P) = ([0, 1), B([0, 1)), λ), wobei λ das Lebesguemaß auf [0, 1)
bezeichnet. Sei Xk (ω) = I[m2−n ,(m+1)2−n ) (ω), ω ∈ [0, 1), falls k = 2n + m mit
n ∈ N0 und m = 0, 1, . . . , 2n − 1. Der Graph dieser Zufallsvariablen ist eine Recht”
ecksfunktion“, die mit wachsendem n immer enger“ wird und mit steigendem m
”
von 0 nach rechts“ gegen 1 wandert und dann wieder nach 0 zurückspringt. Die
”
Folge Xn , n ∈ N, konvergiert stochastisch 7 aber nicht f.s. 8 gegen 0.
Satz 1. 9 Eine f.s. gegen eine Zufallsvariable X konvergente Folge von Zufallsvariablen Xn , n ∈ N, konvergiert auch stochastisch gegen X. Umgekehrt existiert zu
einer stochastisch gegen eine Zufallsvariable X konvergierenden Folge Xn , n ∈ N,
von Zufallsvariablen eine Teilfolge Xnk , k ∈ N, die f.s. gegen X konvergiert.
(c) Konvergenz in Verteilung 10. Die in (a) und (b) vorgestellten Konvergenzbegriffe beziehen sich auf Zufallsvariablen Xn , n ∈ N, die alle auf dem gleichen
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) definiert sind. Wenn die Zufallsvariablen Xn ,
n ∈ N, verschiedene Wahrscheinlichkeitsräume als Definitionsbereiche besitzen, ist
das Konzept der Konvergenz in Verteilung nützlich.
1
Die vorgestellten Konvergenzbegriffe sind genau diejenigen, die im schwachen Gesetz der
großen Zahlen, beim starken Gesetz der großen Zahlen, bzw. im Zentralen Grenzwertsatz verwendet werden.
2
Dieser Konvergenzbegriff wird z.B. beim schwachen Gesetz der großen Zahlen verwendet, vgl.
Abschnitt 6.1.
3Diese Notation erinnert an die englische Bezeichnung Convergence in Probability“.
”
4Dieser Konvergenzbegriff tritt u.a. beim starken Gesetz
der großen Zahlen in Erscheinung,
vgl. . . . .
5Es kann nachgewiesen werden, daß die Menge {ω ∈ Ω : lim
ˆ˘
¯˜ n→∞ Xn (ω) = X(ω)} meßbar ist.
Damit ist insbesondere P ω ∈ Ω : limn→∞ Xn (ω) = X(ω) wohldefiniert.
6Damit sind die Bezeichnungen schwaches, bzw. starkes Gesetz der großen Zahlen gerechtfertigt, vgl. Fußnoten 2 und 4.
7λ[{ω ∈ [0, 1) : |X (ω)| > ǫ}] = 2−n , falls k = 2n + m mit m = 0, 1, . . . , 2n − 1 und ǫ ∈ (0, 1).
k
8
Zu einem festen ω ∈ [0, 1) gibt es beliebig große k, so daß Xk (ω) = 1, nämlich k = 2n + ⌊ω2n ⌋,
n ∈ N. Ebenso ist Xk (ω) = 0 für beliebig große k.
9
Vgl. [2], Lemma 4.2.
10Dieser Konvergenzbegriff findet z.B. beim Zentralen Grenzwertsatz Verwendung, vgl. Kapitel . . . .
1
2
Für n ∈ N sei Xn eine reellwertige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ωn , Fn , Pn ). Die Folge Xn , n ∈ N, konvergiert in Verteilung gegen eine
Zufallsvariable X, wenn 11 12
lim E[h(Xn )] = E[h(X)],
n→∞
Man schreibt dann auch
13
h ∈ Cb (R).
d
Xn → X.
Zur Verifizierung der Konvergenz in Verteilung kann in speziellen Fällen der
folgende Satz 2 verwendet werden. In diesem Resultat werden insbesondere auch
charakteristische Funktionen benutzt, wobei für eine reellwertige Zufallsvariable Y
deren charakteristische Funktion ψY : R → C durch 14 15
ψY (z) = E[exp(izY )],
definiert ist
16
z ∈ R,
.
17
Satz 2.
Für reellwertige Zufallsvariable X, Xn , n ∈ N, sind die folgenden Aussagen äquivalent:
d
(1) Xn → X.
(2) limn→∞ FXn (y) = FX (y), y ∈ R, FX stetig in y
(3) limn→∞ ψXn (y) = ψX (y), y ∈ R.
18 19
.
Das nächste Resultat verdeutlicht den Zusammenhang zwischen stochastischer
Konvergenz und Konvergenz in Verteilung.
Satz 3 20. Eine stochastisch gegen eine Zufallsvariable X konvergente Folge von
Zufallsvariablen Xn , n ∈ N, konvergiert auch in Verteilung gegen X.
Satz 1 und Satz 3 lassen sich zusammenfassen in
f.s.
Xn → X
P
Xn → X
=⇒
=⇒
d
Xn → X.
Literatur
[1] G. Grimmett, D. Stirzaker. Probability and Random Processes, 3rd Edition. Oxford University Press, 2003.
[2] O. Kallenberg. Foundations of Modern Probability, 2nd Edition. Springer, 2002.
11Mit C (R) wird der Raum der stetigen, beschränkten, reellwertigen Funktionen auf R
b
bezeichnet.
12
Für eine nicht-stetige Funktion h braucht diese Konvergenz nicht zu gelten.
13Diese Notation erinnert an Convergence in Distribution“.
”
14Offensichtlich ist exp(izY ) =
cos(zY ) + i sin(zY ) eine beschränkte C-wertige Zufallsvariable.
Für beliebige integrable, C-wertige Zufallsvariable Z = Z1 + iZ2 mit dem Realteil Z1 und dem
Imaginärteil Z2 definiert man unter Verwendung der Linearität des Erwartungswerts E[Z] =
E[Z1 ] + iE[Z2 ].
15
Wenn die Verteilung PY der Zufallsvariablen Y eine Dichte f bzgl. des Lebesguemaßes
besitzt, so folgt aus Abschnitt 5.4 die Darstellung
Z
dx exp(izx)f (x), z ∈ R,
ψY (z) =
R
von ψY . Die charakteristische Funktion der Zufallsvariablen Y entspricht somit der Fouriertransformierten der Dichte ihrer Verteilung.
16In Kapitel . . . werden charakteristische Funktionen als wesentliches Hilfsmittel beim Beweis
des Zentralen Grenzwertsatzes in Erscheinung treten. Insbesondere wird die Äquivalenz zwischen
(1) und (3) in Satz 2 verwendet werden.
17Vgl. [2], Theorem 4.25, und [1], Section 5.9, Theorem (5).
18F ist die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Y , vgl. Abschnitt 2.3.
Y
19
Die hier beschriebene Konvergenz muß nur in den Stetigkeitspunkten von FX gelten.
20Vgl. [2], Lemma 4.7.
20. Dezember 2007