Beweisen - Mathematik-Vorkurs für Informatiker

Christian Eisentraut & Julia Krämer
www.vorkurs-mathematik-informatik.de
Mathematik-Vorkurs für Informatiker
Aussagenlogik1
Aufgabe 1. (Wiederholung wichtiger Begriffe)
Notieren Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus dem Kopf ohne im Skript nachzuschlagen und korrigieren Sie dann ihre Lösungen:
(a) Schlussregel
(b) Schluss
(c) Beweis
Kategorie
Aufgabe 2. (Sind Schlussregeln korrekt?!)
Haben Sie an einer der Schlussregeln Zweifel? Schreiben Sie sie als Implikation auf und
zeigen Sie, dass es sich um eine Tautologie handelt. Warum zeigt dies dies Korrektheit
der Regel? Gibt es Regeln, deren Korrektheit Sie so nicht zeigen können?
Kategorie
Aufgabe 3. (Implikation vs. Schluss)
Überlegen Sie sich den Unterschied zwischen der wahren Aussage “Wenn 2 + 2 = 5,
dann ist die Sonne grün.” und “Sie können logisch aus 2 + 2 = 5 “Die Sonne ist grün.”
schließen”.
Kategorie
Wie erklären Sie sich diesen Unterschied? Wie passt dies mit Ihrem Verständnis von
Aussagenlogik zusammen?
Aufgabe 4. (Schließen vs. Beweisen)
Erklären Sie mit eigenen Worten anhand eines Beispiels, was der Unterschied zwischen
Schließen und Beweisen ist.
“Beweisen Sie...” heißt der Auftrag in den folgenden Aufgaben. Damit ist gemeint,
dass Sie sowohl einen Textbeweis als auch einen Ableitungsbaum erstellen sollen.
Im Ableitungsbaum müssen Sie Aussagen der Form ∀x ∈ eine Menge : ... und ∃x ∈
eine Menge : ... nicht anders behandeln als ∀x : ... bzw. ∃x : ... außer der Beweis
erfordert dies explizit. Sie dürfen also zum Beispiel den folgenden Baum ableiten,
sofern es der Beweis zulässt.
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Die vorlegende Sammlung an Übungsaufgaben erstellt von Christian Eisentraut und Julia Krämer
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unter gleichen Bedingungen 4.0 International Lizenz. Weitere Hinweise finden Sie unter http:
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Kategorie
Beispiel für einen zulässigen Ableitungsbaum:
P (ṅ)
(∀:Bew)
∀n ∈ N : P (n)
Achtung: Sie müssen sich aber merken (und korrekt berücksichtigen) aus welcher
Menge die Elemente ursprünglich stammen.
Aufgabe 5. (Quantorenregeln anwenden)
Beweisen Sie: Für jede natürliche Zahl gibt es eine natürliche Zahl, die echt größer ist.
Sie dürfen annehmen, dass x + 1 > x gilt.
Kategorie
Aufgabe 6. (Quantorenregel und Implikationsregel anwenden)
Beweisen Sie: Jede natürliche Zahl, die von 4 geteilt wird, wird auch von 2 geteilt.
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Aufgabe 7. (Schlussregeln anwenden)
Schließen Sie aus den nachfolgenden Aussagen auf möglichst viele neue Aussagen, indem
Sie alle möglichen Schlussregeln anwenden. Seien dazu P , Q und R beliebige Prädikate
über dem Universum U.
Kategorie
Beispiel
Wir betrachten als Beispiel den Ausdruck ∀x : ∃y : P (x) ∨ Q(x, y) zusammen mit
∀z : P (z) → Q(z, z). Sei U = N.
(∀:Anw)
∀x : ∃y : P (x) ∨ Q(x, y)
(∃:Anw)
∃y : P (ẋ) ∨ Q(ẋ, y)
∀z : P (z) → Q(z, z)
P (ẋ) ∨ Q(ẋ, ẏ)
P (ẋ) → Q(ẋ, ẋ)
(→:Anw)
P (ẋ) ∧ Q(ẋ, ẋ) ∨ Q(ẋ, ẏ)
(∀:Anw)
(∃:Bew)
∃y : P (ẋ) ∧ Q(ẋ, ẋ) ∨ Q(ẋ, y)
(∀:Bew)
∀x : ∃y : P (x) ∧ Q(x, x) ∨ Q(x, y)
Somit haben wir auf alle im Ableitungsbaum auftauchenden Aussagen sowie insbesondere die Aussage ∀x : ∃y : P (x) ∧ Q(x, x) ∨ Q(x, y) geschlossen.
Ein paar Anmerkungen: Unser Ableitungsbaum für die Aussagen ist in umgekehrter
Reihenfolge von oben nach unten entstanden. In Beweisen würden Sie unten anfangen, also bei ∀x : ∃y : P (x) ∧ Q(x, x) ∨ Q(x, y) und dann versuchen, einen korrekten
Baum zu konstruieren, dessen oberen Enden wahre bzw. bewiesene Aussagen – hier:
∀x : ∃y : P (x) ∨ Q(x, y) und ∀z : P (z) → Q(z, z)– sind.
Das Ziel dieser Aufgabe ist nicht, dass Sie die gegebenen prädikatenlogischen Aus-
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drücke auf eine bestimmte Form bringen, sondern betrachten, was Sie alles aus den
gegebenen Fakten ableiten können. Wie Sie später vermutlich merken werden, kann
dies beim Beweisen sehr hilfreich sein, vor allem wenn man nicht direkt eine Beweisidee hat. Es reicht in dieser Aufgabe nicht aus, nur die Schlussregeln (∀:Anw),
(∃:Anw), (∀:Bew)und (∃:Bew)anzuwenden. Entweder es ist mindestens eine weitere Regel (nach Anwendung anderer Regeln) anwendbar oder Sie müssen begründen,
warum keine der anderen Regeln anwendbar ist.
Sie können (müssen aber nicht) dazu wie folgt vorgehen: Konstruieren Sie Ableitungsbäume wie folgt: Beginnen Sie ganz oben bei den gegebenen Fakten und
überlegen Sie sich, wie Sie daraus neue Aussagen schließen können und notieren
Aussage, die Sie haben
Sie sie wie im Beispiel, also Aussage
die Sie erschließen . Schreiben Sie an die Linie die
angewendete Schlussregel.
Übrigens sind die Ableitugen nicht eindeutig, wie das folgende Beispiel zeigt:
(∀:Anw)
∀x : ∃y : P (x) ∨ Q(x, y)
(∃:Anw)
∃y : P (5) ∨ Q(5, y)
∀z : P (z) → Q(z, z)
P (5) ∨ Q(5, ẏ)
P (5) → Q(5, 5)
(→:Anw)
P (5) ∧ Q(5, 5) ∨ Q(5, ẏ)
(∀:Anw)
(∃:Bew)
∃y : P (5) ∧ Q(5, 5) ∨ Q(5, y)
(∃:Bew)
∃x : ∃y : P (x) ∧ Q(x, x) ∨ Q(x, y)
(a) ∀x : P (x) ∨ ¬P (x) zusammen mit ∀z : P (z) → R(z) und ∀y : ¬P (y) → R(y)
(b) ∀y : P (y) → ∀x : Q(x) zusammen mit ∀z : Q(z) → ∀x : R(x)
(c) ∀z : P (z) → ∀x : Q(x) zusammen mit ∃z : Q(z) → R(z)
Aufgabe 8. (Ableitungsregeln anwenden)
Gegeben sind nun Aussagen, die Sie als bewiesen voraussetzen dürfen und eine Aussage,
die Sie damit beweisen sollen. Konstruieren Sie passende Ableitungsbäume.
Beispiel
In Aufgabe ?? hätte die Aufgabenstellung zu dem gegebenen Baum im Beispiel
gelautet: Gegeben sei ∀x : ∃y : P (x) ∨ Q(x, y) zusammen mit ∀z : P (z) → Q(z, z).
Schließen Sie auf ∀x : ∃y : P (x) ∧ Q(x, x) ∨ Q(x, y).
Dabei kann man den Baum wie folgt konstruieren: Sie beginnen bei ∀x : ∃y :
P (x) ∧ Q(x, x) ∨ Q(x, y) und wenden die Inferenzregeln rückwärts an, bis Sie bei
bereits bewiesenen Aussagen – hier ∀x : ∃y : P (x)∨Q(x, y) und ∀z : P (z) → Q(z, z)
– ankommen. Um die Inferenzregeln korrekt rückwärts anzuwenden, müssen Sie sich
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Kategorie
überlegen, wie Sie auf die Aussage, die Sie bereits haben, hätten schließen können.
Z.B. können Sie auf ∀x : ∃y : P (x)∧Q(x, x)∨Q(x, y) von ∃y : P (ẋ)∧Q(ẋ, ẋ)∨Q(ẋ, y)
mittels der Regel (∀:Bew) schließen.
Auch hier sind prinzipiell immer mehrere Ableitungsregeln möglich. Dies wird auch
später beim Beweisen so sein. Ziel der Aufgabe ist es daher auch, eine Intuition
dafür zu bekommen, welche Inferenzregeln zum Ziel führen und welche eher nicht.
(a) Gegen sei ∀x : ∃y : P (x, y) ∧ Q(x, y). Schließen Sie auf P (ẋ, ẏ) ∧ Q(ẋ, ẏ).
(b) Gegeben sei ∀x : ∃y : P (x, y). Schließen Sie auf P (ẋ, ẏ).
(c) Gegeben sei ∀y : P (y) → ¬Q(y) zusammen mit ∀x : R(x) → Q(x). Schließen Sie
auf ∀y : P (y) → ¬R(y).
(d) Gegeben sei ∀x : ∃y : ∀z : P (x, y, z) zusammen mit ∀x : Q(x, x). Schließen Sie auf
∀x : ∃y : ∀z : P (x, y, z) ∧ Q(x, x).
(e) Gegeben sei ∀x : ∃y : P (x) → (Q(y) ∧ ¬(Q(y))). Schließen Sie auf ∀x : ¬P (x).
(f) Gegeben sei ∀x : ∃y : ∀z : ¬(P (x) ↔ Q(y, z)). Schließen Sie auf ¬(P (ẋ) ↔ Q(ẏ, ż)).
(g) Gegeben sei (∀x : P (x)) ∧ (∀y : P (y) → Q(y)). Schließen Sie auf ∀x : Q(x).
Aufgabe 9. (Ableitungsregeln anwenden - einmal anders)
Sie sind immer noch mit Leidenschaft Gärtner. Nun möchten Sie das Wachstum und
die Zusammensetzung der Beete zweier Ihrer Lieblingsblumen als Schlussregelsystem
modellieren. Betrachten Sie folgendes System von Schlussregeln (wir schreiben die Blumenformen aus statt sie zu malen - Ihnen steht es natürlich frei, die entsprechenden
Texte als Bilder darzustellen):
Tulpe
Nelke
(a) Leiten Sie das folgende Blumenbeet ab: Erde ◦ Erde
T ulpensamen
(b) Auf wie viele verschiedene Arten kann man
Erde
ableiten? Begründen Sie
Ihre Antwort!
(c) Geben Sie ein vermeintliches Blumenbeet an, welches man aber nicht ableiten kann.
Tulpensamen
Erde
Sonne
AxiomT
AxiomE
Nelkensamen
Wasser
AxiomN
AxiomB
AxiomS
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Kategorie
Erde
Tulpensamen
Tulpensamen
PflanzenT
Tulpensamen
in Erde
kleine Tulpe
WachsenT
kleine Tulpe
in Erde
Tulpe
BluehenT
t
s◦t
Wasser
Nelkensamen
in Erde
kleine Nelke
WachsenN
Sonne
kleine Nelke
in Erde
Nelke
BluehenN
in Erde
in Erde
s
PflanzenN
in Erde
in Erde
Sonne
Nelkensamen
in Erde
in Erde
Wasser
Erde Nelkensamen
Nelke
Kombination
Nelke
in Erde ◦ in Erde
Nelkensamen
NeuN
in Erde
Tulpe
Tulpe
in Erde ◦ in Erde
Tulpensamen
NeuT
in Erde
Aufgabe 10. (Beweise)
Kategorie
(a) Beweisen Sie: “Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn n gerade ist, dann ist auch
n2 gerade.”
(b) Vergleichen Sie Ihren Beweis von letzter Woche nun mit Ihrem neuen Beweis zu
der Behauptung, dass aus n gerade auch n2 gerade folgt. Schreiben Sie alles auf,
was Ihnen daran auffällt. Würden Sie Ihren alten “Beweis” immer noch als Beweis
bezeichnen?
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Aufgabe 11. (Beweise)
Beweisen Sie: “Die Summe zweier rationalen Zahlen ist wieder rational.”
Kategorie
Hinweis: Die Menge, die alle rationalen Zahlen enthählt (und nur genau diese), ist die
Menge Q.
Gehen Sie dazu wie folgt vor:
(a) Definieren Sie ein Prädikat Q(x), welches genau dann wahr ist, wenn x rational
ist. Definieren Sie das Prädikat auch hier nicht natürlichsprachlich, d.h. nicht als
Q(x) := “x ist rational”, sondern als prädikatenlogischen Ausdruck.
(b) Schreiben Sie die Aussage, die bewiesen werden soll, als prädikatenlogischen Ausdruck auf.
(c) Stellen Sie die Schlussbäume für den Beweis auf.
(d) Schreiben Sie nun anhand der Schlussbäume einen Textbeweis.
Aufgabe 12. (Beweise verstehen)
Entscheiden Sie, welche Schlussregeln angewendet worden sind. Es kann Ihnen helfen,
zunächst zu identifizieren, welche Schritte logisch begründet werden müssen.
Kategorie
Schreiben Sie dann den Beweis als Baum wie in Aufgabe ??.
Textbeweis
Erklärungen
Schlussregel
Behauptung: Die 0 ist eindeutig, d.h. es gibt keine
weitere Zahl für die gilt:
∀x ∈ R : x + 0 = x
Beweis durch Widerspruch.
Annahme: 0 und 0′ haben die
beschriebene Eigenschaft.
Sei ȧ ∈ R beliebig. Dann gilt:
ȧ + 0 = ȧ + 0′ = ȧ.
Die beschriebene Eigenschaft
wird für 0 und 0′ angewendet.
Dann gilt auch: 0 = 0 + 0′ =
0′ + 0 = 0 ′ □
Satz aus der Mathematik
Aufgabe 13. (Beweisen)
Beweisen Sie für beliebige reelle Zahlen x, y und z:
(a) max(x, y) + min(x, y) = x + y
(b) min(x, min(y, z)) = min(min(x, y), z)
(c) min(x, y) ≤ max(x, y)
Kategorie
Aufgabe 14. (Beweise)
Beweisen Sie die Dreiecksungleichung: ∀x, y ∈ R : |x + y| ≤ |x| + |y|
Kategorie
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Aufgabe 15. (Beweise)
Beweisen Sie für beliebige ganze Zahlen: x ungerade und y ungerade impliziert, dass
x − y gerade ist.
Kategorie
Aufgabe 16. (Beweise verstehen)
Betrachten Sie den nachfolgenden Beweis und versuchen Sie zu verstehen, wie hier die logischen Schlussregeln angewendet worden sind. Notieren Sie rechts jeweils die im Beweis
benutzten Schlussregeln. Schreiben Sie die im Beweis nur als Text geschriebenen Aussagen auch als prädikatenlogische Aussage auf; notieren Sie z.B. neben dem Satz “Damit
ist p˙2 durch 2 teilbar.” die entsprechende prädikatenlogische Aussage ∃k ∈ N : p˙2 = 2k.
Kategorie
Gibt es im Beweis logische Lücken? Wenn ja, versuchen Sie diese zu schließen.
Textbeweis
Behauptung:
√
Erklärungen
Schlussregel
2 ̸∈ Q
Beweis durch Widerspruch
√
Annahme: 2 ∈ Q
Das heißt, es existiert (√ṗ, q̇) ∈
Z × (Z \ {0}), so dass 2 = ṗq̇
und ṗ und q̇ haben außer 1
keinen gemeinsamen Teiler.
d.h., sie sind als vollständig
gekürzter Bruch darstellbar.
Es genügt, natürliche
√ Zahlen
zu betrachten, da 2 positiv
ist.
Wir schränken ṗ and q̇ auf N
ein, da uns dies später nützen
wird (⋆).
Man forme zunächst wie folgt
um:
√
˙2
2 = ṗq̇ ⇔ 2 = p˙2 ⇔ 2· q˙2 = p˙2
Die erste Äquivalenzumformung setzt voraus, dass p und
q positiv sind, ansonsten ist
das Quadrieren keine Äquivalenzumformung. Daher haben
wir vorher erklärt, warum die
Einschränkung (⋆) zulässig ist.
Damit ist p˙2 durch 2 teilbar.
Hier wird die Definition der
Teilbarkeit angewendet.
Man kann folgern, dass auch
ṗ durch 2 teilbar ist. Sei nun
ṗ = 2 · ṅ für ein ṅ ∈ Z.
Satz aus der Mathematik. Diesen sollten Sie als gute Übung
für zwischendurch gleich noch
beweisen!
Man forme erneut um:
2
˙2
2 = 4·n˙2 ⇔ 1 = 2·n˙2 ⇔ q̇ 2 =
q
q
2 · n˙2
Rechnungen, gültig nach Rechengesetzen
Damit ist q˙2 und somit auch q̇
durch 2 teilbar.
Definition Teilbarkeit und
Satz aus der Mathematik
q
Das ist aber ein Widerspruch
zur Annahme, dass ṗ und q̇
nur 1 als gemeinsamen Teiler
haben.
Somit folgt die Behauptung. □
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Aufgabe 17. (Beweise verstehen)
Betrachten Sie den nachfolgenden Beweis und versuchen Sie zu verstehen, wie hier die
logischen Schlussregeln angewendet worden sind. Notieren Sie rechts jeweils die im Beweis benutzten Schlussregeln. Schreiben Sie die im Beweis nur als Text geschriebenen
Aussagen auch als prädikatenlogische Aussage auf.
Gibt es im Beweis logische Lücken? Wenn ja, versuchen Sie diese zu schließen.
Textbeweis
Erklärungen
Schlussregel
Behauptung: Wenn jede
schlechte Bäckerin eine gute
Bäckerin als Mutter hat, dann
gibt es mindestens eine gute Bäckerin mit einer guten
Bäckerin als Großmutter.
Sei x˙1 eine beliebige Bäckerin.
Annahme: Jede schlechte Bäckerin hat eine gute Bäckerin
als Mutter.
Achtung, wir machen einen
nicht-konstruktiven Existenzbeweis. Daher werden wir die
Regel (∃:Bew) in diesem Beweis nicht verwenden! Passen
Sie also genau auf, wie hier
argumentiert wird!
Wir machen im Folgenden
eine Reihe von ineinander verschachtelten Fallunterschiedungen und nummerieren diese daher zur besseren Lesbarkeit entsprechend.
Fallunterscheidung: Fall (1):
x˙1 ist eine gute Bäckerin.
Es wird unterschieden, ob x˙1
eine gute oder eine schlechte
Bäckerin ist.
Bezeichne x˙2 ihre Mutter.
Achtung! Welche Annahme
macht der Beweis hier?
Fallunterscheidung: Fall (1.1):
x˙2 ist eine schlechte Bäckerin.
Es wird unterschieden, ob x˙2
eine gute oder eine schlechte
Bäckerin ist.
Mit der Annahme folgt dann,
dass ihre Mutter x˙3 , die Großmutter von x˙1 eine gute Bäckerin ist.
Die Existenzaussage der Konklusion ist damit durch x˙1
gezeigt.
Fall (1.2): x˙2 ist eine gute Bäckerin.
Fallunterscheidung:
F all (1.2.1): x˙3 ist eine gute
Bäckerin.
Es wird unterschieden, ob x˙3
eine gute oder eine schlechte
Bäckerin ist.
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Kategorie
Textbeweis
Erklärungen
Schlussregel
Die Existenzaussage der Konklusion folgt erneut mit x˙1
F all (1.2.2):x˙3 ist eine
schlechte Bäckerin.
Mit der Annahme folgt, dass
x˙4 , die Mutter von x˙3 und die
Großmutter von x2 eine gute
Bäckerin ist.
Damit ist die Existenzaussage der Konklusion durch x˙2
erfüllt.
F all (2): x˙1 is eine schlechte
Bäckerin.
Dann ist x˙2 , die Mutter von
x˙1 , eine gute Bäckerin.
Wiederholen wir die Argumentation von F all (1) und
ersetzen x˙1 durch x˙2 x˙2 durch
x˙3 und x˙3 durch x˙4 , sowie x˙4
durch x˙5 , so sehen wir, dass
die Konklusion erneut folgt. □
Man nennt diese abkürzende
Art der Argumentation eine
analoge Argumemtation. Man
sagt, etwas folgt analog zu
etwas anderem, wenn beide
Beweise exakt gleich funktionieren, bis auf die Tatsache,
dass gewisse Symbole eins
zu eins ausgestauscht werden
müssen.
Aufgabe 18. (Gegenbeispiele finden)
Widerlegen Sie die Behauptungen, indem Sie ein Gegenbeispiel angeben.
(a) Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist irrational.
(b) Seien A, B und C Mengen. Wenn A ∪ C = B ∪ C, dann gilt A = B.
(c) Seien a, b natürliche Zahlen. Dann ist max(a, b) = 21 · (a + b + |a − b|) + 1.
(d) Seien a, b natürliche Zahlen. Dann ist min(a, b) = 21 · (a + b + |a − b|).
Kategorie
Aufgabe 19. (Kontraposition verwenden)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe der Kontraposition.
(a) Beweisen Sie für eine beliebige natürliche Zahl n: Ist n2 ungerade, dann ist auch
n ungerade.
(b) Wenn n eine ganze Zahl ist und n3 + 5 ungerade ist, dann ist n gerade.
(c) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
(d) Wenn x selbst keine rationale Zahl ist, dann ist auch x1 keine rationale Zahl.
(e) Wenn n eine natürliche Zahl ist und n2 + 5 ungerade, dann ist n gerade.
Kategorie
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Aufgabe 20. (Widerspruchsbeweis)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe von Widerspruchsbeweisen.
(a) Man sagt, y heißt Barbier, wenn ∀x : (¬P (x, x) ↔ P (y, x)) für y wahr wird. Zeigen
Sie,
√ dass es keinen Barbier geben kann.
(b) 3 ̸∈ Q
(c) Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.
Kategorie
Aufgabe 21. (Ringschluss)
Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden drei Aussagen mit Hilfe eines Ringschlusses.
Sei dazu z ∈ Z beliebig.
(a) ∃k ∈ Z : 3 · z + 2 = 2 · k
(b) ∃k :∈ Z : z + 5 = 2 · k + 1
(c) ∃k ∈ Z : z 2 = 2 · k
Kategorie
Aufgabe 22. (Direkte Beweise)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen direkt. Verwenden Sie dazu die Regel (=-Subst).
(a) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.
(b) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
(c) Es gibt zwei irrationale Zahlen, deren Potenz rational ist.
Kategorie
Aufgabe 23. (Beweise)
Beweisen Sie auch die folgende Aussage direkt. Verwenden Sie dazu die Regel (=-Subst)
nicht, sondern wenden Sie die entsprechenden Umformungen als Sätze an.
Kategorie
Beispiel
Seien a, b, c reelle Zahlen. Im Folgenden sollen Sie Umformungen wie a = b ⇔ a+c =
b + c nicht mit der Regel (=-Subst) begründen, sondern den Satz ∀x, y, z ∈ R : x =
y ↔ x + z = y + z verwenden. Verfahren Sie mit allen weiteren mathematischen
Umformungen analog.
Zeigen Sie, dass x2 − x − 1 = 0 zwei Lösungen hat. Formen Sie dazu die Gleichung um.
Aufgabe 24. (Schlussregeln evaluieren)
Machen Sie sich klar, warum man (Subst) und (=-Subst) nicht einfach austauschen
kann.
Hinweis: Einen Ausdruck zu vereinfachen ist nicht das gleiche wie in einer Gleichung beide Seiten äquivalent zu verändern. Betrachten Sie dazu z.B. die beiden vorangegangenen
Aufgaben.
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