Jetzt lerne ich Mathematik für die Mittelstufe - mathe

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Jetzt lerne ich Mathematik
für die Mittelstufe
von
Dr. rer. nat. Marco Schuchmann, Dipl.-Math.
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Vorwort
In diesem Buch werden diverse Themen der Mittelstufe bzw. Sekundarstufe 1 behandelt. Zum
Inhalt des Buches gehören: Grundlagen und Rechengesetze zum Umgang mit Variablen, ein
Einstieg zum Lösen von linearen Gleichungen, die binomische Formeln, der Satz von
Pythagoras sowie der Höhen- und Kathetensatz, der Sinus- und Kosinussatz,
Gleichungssysteme, die p-q-Formel, Wurzelgleichungen, Bruchgleichungen, Potenzgesetze,
Logarithmen und Exponentialgleichungen, Geraden, Parabeln und Exponentialfunktionen.
Dabei sind viele Erklärungen, wichtige Hinweise für bestimmte Aufgabentypen,
Aufgabenbeispiele mit Lösungstipps und Grafiken im Buch zu finden. Bei allen
Beschreibungen steht im Vordergrund, dass diese für Schülerinnen und Schüler möglichst
verständlich sind, weshalb auch viele Zwischenschritte bei Umformungen dargestellt werden.
Auf den beiden Seiten zum Buch, der Seite www.alles-Mathe.de und der Seite www.Mathetotal.de werden Programme zum Lösen von Aufgaben und zum Erstellen von Graphen
bereitgestellt wie auch Übungsaufgaben, Ergänzungen zum Buch und eine Formelsammlung
zur Flächen- und Volumenberechnung.
Im Sommer 2011
Dr. Marco Schuchmann
(e-mail: [email protected])
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Inhaltsverzeichnis
1
Rechnen mit Variablen....................................................................................................... 7
1.1
Zusammenfassen von Termen.................................................................................... 7
1.2
Das Distributivgesetz ................................................................................................. 8
2
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten................................................................... 10
3
Potenzgesetze ................................................................................................................... 18
4
Wurzelgesetze .................................................................................................................. 22
5
Logarithmen ..................................................................................................................... 26
6
Wurzelgleichungen........................................................................................................... 30
7
Bruchgleichungen............................................................................................................. 33
8
Binomische Formeln ........................................................................................................ 37
9
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten ........................................................ 41
10
Lineare Gleichungssysteme mit drei oder mehr Unbekannten .................................... 49
11
Trigonometrie............................................................................................................... 51
11.1 Grundlagen ............................................................................................................... 51
11.2 Pythagoras ................................................................................................................ 52
11.3 Höhensatz und Kathetensatz von Euklid.................................................................. 56
11.4 Berechnung von Winkeln und Seiten im rechtwinkligen Dreieck mit Sinus,
Kosinus und Tangens ........................................................................................................... 59
11.5 Sinussatz................................................................................................................... 64
11.6 Kosinussatz............................................................................................................... 66
12
Geraden ........................................................................................................................ 69
13
Parabeln........................................................................................................................ 77
14
Exponentialfunktionen ................................................................................................. 91
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1 Rechnen mit Variablen
1.1 Zusammenfassen von Termen
Gleiche Variablen und Produkte gleicher Variablen können zusammengefasst werden, d.h. sie
können addiert oder subtrahiert werden:
Beispiele:
4a + 3a = 7a
2b – 3b = -1b = -b
4a + 3b + 2a – 8b = 4a + 2a + 3b – 8b = 6a – 5b
2x + 3y + 5xy + 9x – y = 11x + 2y +5xy
15 – 8x + 10 + 2x = 25 – 6x
5x2 + 8xy + 3x2 + 2xy = 8x2 + 10xy
Bemerkungen:
1) Es gilt das folgende Gesetz (Kommutativgesetz):
aÿb = bÿa
2) Damit die Übersicht größer ist, sortiert man aber bei Termen die Variablen alphabetisch.
Außerdem kann man den Malpunkt, wie wir es bereits oben getan haben, weg lassen:
4ÿx = 4x
3) Statt 1x schreibt man x. Weiterhin gilt somit:
1/ 5 a 
a
5
ab
a
 1 / 4 ab  b
4
4
Aufgaben:
a) x + 4x
b) 3x – 8y + 2x – 4y
c) 2a + 8b – 10a + 12b
d) 10xy + 8x + 15xy – 2x + 4y
e) 9a2 – 7a + 2a2 + 2a
f) 5a + 3 + 2a + 7
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Lösungen:
a) 5x
b) 5x – 12y
c) -8a + 20b
d) 25xy + 6x + 4y
e) 11a2 – 5a
f) 7a + 10
1.2 Das Distributivgesetz
Das Distributivgesetz lautet wie folgt:
a(b + c) = ab + ac
Beispiele:
4(2x + 3y) = 4ÿ2x + 4ÿ3y = 8x + 12y
-(x – 2y) = -x + 2y
-5(3a – 2b) = -15a + 10b
ab
 (a  b ) / 4  a / 4  b / 4
4
Ausklammern
Das Distributivgesetz wird auch beim Ausklammern verwendet. Dabei werden gemeinsame
Teiler ausgeklammert. Z.B. haben bei dem Term 10x + 15y beide Summanden den Teiler 5.
Dadurch könnte man für den Term auch 5(10/5x + 15/5y) = 5(2x + 3y) schreiben.
Beispiele:
4x + 8y = 4(x + 2y)
20 + 40a = 20(1 + 2a)
4x2 + 8x = 4x(x + 2)
Bemerkungen:
1) Es gilt:
xÿx = x2
xÿxÿx = x3
2) x2 sollte nicht mit 2x = x + x verwechselt werden.
3) Beim Zusammenfassen wird das Distributivgesetz verwendet: 4a + 6a = a(4 + 6) = 10a
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4) Aus dem Distributivgesetz folgt (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, d.h. hier muss man
insgesamt 4 Produkte bilden.
Aufgaben:
1) Löse die Klammern auf und fasse - wenn möglich - zusammen:
a) 5(x + 3)
b) –(-x -4y)
c) 4(2a – 3b)
d) 2x(x + 3y)
e) -3(-2a + 3b + c)
f) 4(3y + 2z) + 2(3x – 5z)
g) 5(8a – 2b) – 5(3a + 4b)
h) (4 – 3x)(2 + 4x)
i) (2a – 3b )(2a + 3b)
2) Klammere gemeinsame Faktoren aus:
a) 5x + 10y
b) -15a + 10b
c) 6x + 9y + 12z
d) 4 – 8a
e) -12a2 + 24a
f) 6x – 12xy + 15x2
g) 25u – 30v + 20w
Lösungen:
1)
a) 5x + 15
b) x + 4y
c) 8a – 12b
d) 2x2 + 6xy
e) 6a – 9b – 3c
f) 12y + 8z + 6x – 10z = 6x + 12y – 2z
g) 40a – 10b – 15a – 20b = 25a – 30b
h) 8 + 16x – 6x – 12x2 = -12x2 +10x + 8
i) 4a2 +6ab – 6ab – 9b2 = 4a2 – 9b2
2)
a) 5(x + 2y)
b) 5(-3a + 2b)
c) 3(2x + 3y + 4z)
d) 4(1 – 2a)
e) 12a(-a + 2)
f) 3x(2 – 4y + 5x)
g) 5(5u – 6v + 4w)
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2 Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten
Wir betrachten die Gleichung:
x+4=5
Eine solche Gleichung kann systematisch gelöst werden, indem auf beide Seiten der
Gleichung dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert wird. Oder man multipliziert beide Seiten
(d.h. aber komplett jeweils eine Seite) mit einer Zahl ungleich Null oder dividiert durch diese.
Dadurch wird die Lösung nicht verändert und man spricht von einer Äquivalenzumformung.
Nun könnte man die obige Gleichung lösen, wenn man von beiden Seite 4 subtrahiert.
x+4–4=5–4
x=1
Man schreibt bei einer solchen Umformung die Zahl, die subtrahiert, addiert, mit der
multipliziert oder durch die dividiert wird, hinter einen senkrechten Strich rechts neben die
Gleichung (mit der zugehörigen arithmetischen Operation):
x+4=5
| -4
x=1
Bei der nächsten Gleichung müssen wir durch 4 dividieren:
4x = 20 | :4
x=5
Die Lösung kann man auch in Form einer Lösungsmenge angeben: L = {5}
Weitere Beispiele:
2x + 4 = 20 | -4
2x = 16 | :2
x=8
Also: L = {8}
-4x + 10 = 2 | -10
-4x = -8 |: (-4)
x=2
Also: L = {2}
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Bei der nächsten Gleichung sollte man (wie oben) alle „Terme mit x“ auf eine Seite bringen
und alle „ohne x“ auf die andere. Dividiert wird dann immer zum Schluss.
5x + 8 = 6x + 9 | -6x
-x + 8 = 9
-x = 1
| -8
| :(-1) oder ÿ(-1)
x = -1
Also: L = {-1}
x/4 = 2 | ÿ4
(oder :1/4)
x=8
Also: L = {8}
Bei der nächsten Gleichung sollte man erst die Klammer auflösen und danach
zusammenfassen, bevor man mit den Umformungen beginnt:
2(x + 4) – 2 = 10 + 6x + 4
2x + 8 – 2 = 14 + 6x
2x + 6 = 14 + 6x | -6
2x = 8 + 6x | -6x
-4x = 8
x = -2
Also: L = {-2}
Aufgaben:
Bestimme die Lösungsmenge:
a) 4x = 20
b) x + 9 = 15
c) 2x + 3 = -5
d) -4x - 10 = -30
e) 6x – 8 = 3x + 1
f) -2x + 5 = 2x + 21
g) 3(x – 4) + x = 8
h) -(2x – 5) +2(x + 3) = 4x – 1
i) 5x + 9 = 5 + 8x
j) 2x = 9x
k) -9x – (2 – 4x) = 1/2
| :(-4)
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Lösungen:
a) L = {5}
b) L = {6}
c) L = {-4}
d) L = {5}
e) L = {3}
f) L = {-4}
g) L = {5}
h) L = {3}
i) L = {4/3}
j) L = {0}
k) L = {-1/2}
Bemerkung zu „Spezialfällen:
Gleichungen können auch keine oder unendlich viele Lösungen besitzen. Hierzu zwei
Beispiele:
3x + 4 = 3x + 5 | -3x
4=5
Diese Gleichung ist für keine rationale Zahl (falls die Grundmenge gleich den rationalen
Zahlen ist) erfüllt. Die Lösungsmenge ist leer: L = {}
3x + 4 = 3x + 4 | -3x
4=4
Diese Gleichung ist für alle rationale Zahl (falls die Grundmenge gleich den rationalen Zahlen
ist) erfüllt: L = Q
Falls die Grundmenge die reellen Zahlen bildet, dann wäre natürlich hier L = R.
Zum Schluss kommen noch ein paar Aufgaben zum einsetzen in Terme. Soll z.B. in den Term
T = -2x + 1 für die Variable x der Wert 3 eingesetzt werden, dann ergibt sich T = -2ÿ3 + 1 = -5.
Aufgaben:
1) Berechne T = 3x – 2 für:
a) x = 1
b) x = -4
c) x = 2/3
2) Berechne T = -2x + 5 für:
a) x = -3
b) x = 4
c) x = 1/3
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Lösungen:
1)
a) T = 1
b) T = -14
c) T = 0
2)
a) T = 11
b) T = -3
c) T = 13/3 = 4 1/3 (Als gemischte Zahl geschrieben.)
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3 Wurzeln
Die Wurzel aus einer nichtnegativen Zahl a, d.h.
der Gleichung x2 = a.
a für a ¥ 0, ist die nichtnegative Lösung
Bemerkungen:
1) Damit ist 4 = 2, denn 22 = 4. Die Zahl unter der Wurzel wird der Radikand genannt. Ein
häufig gemachter Fehler bei Wurzel ist der folgende: 4  2 . Dies ist falsch! Denn die
Gleichung x2 = 4 hat zwar zwei Lösungen, nämlich 2 und -2, aber die Wurzel aus einer Zahl
ist immer die positive Lösung der Gleichung x2 = a. Sonst könnte man über die Wurzel keine
Funktion definieren und die Rechnung 4  9 hätte 4 Ergebnisse, nämlich
2 + 3, 2 – 3, -2 + 3 und -2 – 3.
2) Es gibt keine reelle Zahl, für die x2 = -4 wäre. Aus diesem Grund gibt es keine reelle Zahl
4 .
Für das Wurzelziehen ohne Taschenrechner sollte man einige Quadratzahlen kennen:
22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, …, 252 = 625
Dies dient allerdings nur der Übung, denn die „meisten“ Wurzeln - alleine schon aus den
natürlichen Zahlen - ergeben keine natürliche Zahl, nicht mal eine rationale Zahl. Rationale
Zahlen sind Zahlen, die man als Bruch (aus ganzen Zahlen) schreiben kann und die dann
entweder nach dem Komma „irgendwann“ abbrechen oder periodisch sind. Die Menge der
rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. Beispielsweise ergibt 2 eine irrationale Zahl.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen besitzen und nicht
periodisch sind. Die Menge der irrationalen Zahlen wird mit I bezeichnet. Die irrationale
Zahlen und die rationale Zahlen zusammen ergeben die reellen Zahlen, d.h. es gilt R = I » Q.
R ist die Menge der reellen Zahlen.
Es gilt:
2 = 1,4142135623730950488016887242096980785696718753769…
Beispiele für Wurzeln:
81  9
121  11
625  25
169  13
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225  15
2,25  1,5
Wird unter der Wurzel (d.h. beim Radikand) das Komma um zwei Stellen verschoben, so ist
es beim Ergebnis um eine Stelle verschoben. Dies liegt daran, dass bei Produkten und
Quotienten (nicht bei Summen!) die Wurzeln getrennt gezogen werden können:
225
225 15


100
100 10
16900  169  100  13  10  130
Damit halbieren sich bei den folgenden Beispielen mit rationalen Ergebnissen die Anzahl der
Nullen bzw. Nachkommastellen durch das Wurzelziehen:
0,04  0,2
0,0025  0,05
160000  400
3600  60
0,000001  0,001
Beispiele für Brüche:
4 2

9 3
1 1

9 3
49 7

25 5
Kommen wir nun zum teilweisen Wurzelziehen:
Lässt sich der Radikant als ein Produkt aus einer Zahl und einer Quadratzahl (bzw. aus einer
Zahl, aus der man durch das Wurzelziehen eine rationale Zahl erhält) darstellen, so kann man
teilweise die Wurzel ziehen.
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Beispiele:
18  9  2  9  2  3  2
75  25  3  25  3  5  3
300  100  3  10  3
27  12  9  3  4  3  3  3  2  3  5  3
x4  y  x2  y
Oder für Quotienten:
9
9
3


5
5
5
3

4
3
3

2
4
Bemerkung:
x 2  x gilt für x  0 , denn beispielsweise ist (1) 2  1 und nicht gleich -1. D.h. bei
Variablen muss man unter umständen eine einschränkende Bedingung angeben. Man könnte
aber auch den Betrag verwenden:
x2  | x |.
Der Betrag ist wie folgt festgelegt: Für x ¥ 0 ist |x| = x und für x < 0 ist |x| = -x, womit der
Betrag einer Zahl immer positiv oder gleich Null ist (für x = 0). Für
keine Einschränkung, wohl aber für
x 4  x 2 benötigt man
x 6  x 3 , denn x3 ist für negative x auch negativ.
Aufgaben:
1) Ziehe die folgenden Wurzeln:
64 ; 6400 ; 144 ; 2500 ; 0,81 ; 0,01 ; 1,44 ;
0,0064
2) Ziehe teilweise die Wurzel und fasse - wenn möglich - zusammen:
9
5
20 ; 72 ; 48 ; 125 ; 500 ;
;
; 3a 2 ; a 3 b 2 ; 50  8 ; 108  75
13
289
3) Bestimme die Lösungsmenge:
a) x2 = 25
b) x2 = -16
c) x2 – 16 = 20
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Lösungen:
1) 8; 80; 12; 50; 0,9; 0,1; 1,2; 0,08
2) 2  5 ; 6  2 ; 4  3 ; 5  5 ; 10  5 ;
5
;
17
3
; a  3 für a ¥ 0;
13
a ¥ 0 und b ¥ 0; 5  2 + 2  2 = 7  2 ; 6  3 - 5  3 = 1  3 =
3) a)
a 2 ab 2  ab  a für
3
x2 = 25 |
x = 5 oder x = -5 (oft verwendete Schreibweise für die Lösungen: x1/2 = ≤5)
Also gilt: L = {-5; 5}
b) L = {}
c) L = {-6; 6}
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4 Potenzgesetze
(1) a n  a m  a n  m
Beispiele:
a3ÿa7 = a10
x3ÿy4ÿx2ÿy5 = x5ÿy9
4x8(-2)x3 = -8x11
(2)
an
 a n  m (für a ∫ 0)
m
a
Beispiele:
a8
 a6
2
a
a3
 a 3( 2)  a 3 2  a 5
a 2
a 10  b 8
 a 6  b6
4
2
a b
12x 5  y 3
2x 3
3
2

2
x

y
(oder
auch
)
6x 2  y 5
y2
Bemerkung:
Für a ∫ 0 folgt aus (2):
am
I) m  a 0  1 , also a0 = 1.
a
II)
1
a0
1

 a  n , also n  a  n .
n
n
a
a
a
Somit ist
1
1
 3  10 3 .
1000 10
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n
n
n
n
(3) (aÿb) = a ÿb
an
a
bzw.    n
b
b
Beispiele:
(xÿy)3 = x3ÿy3
0,254ÿ84 = (0,25ÿ8)4 = 24 = 16
163/83 = (16/8)3 = 23 = 8
(4)
a 
m n
 a n m
Beispiele:
a 
3 4
 a 34  a 12
x 
k 1 k 1
 x ( k 1)( k 1)  x k
2
1
Für die beiden Gesetzte (3) und (4):
(a 3 b 4 ) 3  (a 3 ) 3  (b 4 ) 3  a 9 b12
(4x 5 ) 2  4 2  ( x 5 ) 2  16x 10
Aufgaben:
1) Fasse zusammen:
a) x5ÿx3
b) 2y85x3y10
c)
x8
x5
x 3 y10
d) 2 5
x y
e)
12x 8 y 7
3x 4 y12
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f)
12( x  y) 8
4( x  y) 2
g) a2n+3m ÿ a-4n+2m
2) Wende die Potenzgesetze an:
a) (2a)4
b) (x8y3)4
c) (-0,5)6ÿ26
 2 
d)  2 
a 
4
e) (aÿb4)-2
3) Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise:
Beispiele:
12345 = 1,2345ÿ10000 = 1,2345ÿ104
0,00013 = 1,3 / 10000 = 1,3ÿ10-4
a) 12500
b) 0,00000125
c) -830000
d) 0,00000004
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Lösungen:
1)
a) x8
b) 10x3y18
c) x3
d) x5y5
e) 4x4y-5
f) 3( x  y) 6 Achtung: ( x  y) 6 ist allgemein nicht dasselbe wie x6 + y6!
g) a-2n+5m
2)
a) 16a4
b) x32y12
c) (-1)6 = 1
d)
16
 16a 8
8
a
e) a-2ÿb-8
3)
a) 1,25ÿ104
b) 1,25ÿ10-6
c) -8,3ÿ105
d) 4ÿ10-8
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5 Wurzelgesetze
n
(1)
a  a1/ n
Beispiele:
a  a 1 / 2 (Es gilt:
3
a 2 a)
x  x1/ 3
m
(2)
an  an/m
Beispiele:
5
x 10  x 10 / 5  x 2
a 0, 75  a 75 / 100  a 3 / 4  4 a 3
x  4 x  x 1 / 2  x 1 / 4  x 1 / 21 / 4  x 3 / 4  4 x 3
(3)
n
ab  n a n b
bzw.
n
a

b
n
a
n
b
Beispiele:
3
8x 7  3 8  3 x 7  2  3 x 7
4
4
4
a
a
a
4

16
2
16
3
4 3 2  3 8  2
Teilweises Wurzelziehen:
Die Formel (3) wird auch bei dem so genannten teilweisen Wurzelziehen angewandt:
50  25  2  25  2  5  2
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Beim teilweisen Wurzelziehen prüft man zunächst, wie man oben sieht (und wie auch im
Kapitel Wurzeln beschrieben), welche Quadratzahl Teiler des Radikanten (dieser steht unter
der Wurzel) ist und zerlegt dann den Radikanten in Faktoren.
(4)
mn
a  mn a
Beispiel:
3 5
a  15 a
Bemerkung zur einschränkenden Bedingung:
Bei einigen Aufgabenstellungen im Rahmen der Anwendung der Wurzelgesetze kann
zusätzlich nach einer einschränkenden Bedingung gefragt werden.
Z.B. gilt
x 4  x nur für x ¥ 0, denn falls x negativ wäre, gilt das Gleichheitszeichen nicht
4
mehr. Beispielsweise würde für x = -1 auf der linken Seite der Gleichung 4 (1) 4 stehen, was
gleich 1 ist und rechts würde -1 stehen, also ein Widerspruch. Somit muss man als
Einschränkung x ¥ 0 angeben oder man schreibt
x 4  | x | und verwendet den Betrag. Die
x 4  x 2 gilt für alle reellen Zahlen x, man benötigt hier keine Einschränkung.
2
Gleichung
4
Dies gilt auch für
3
x9  x3 .
Aufgaben:
1) Schreibe mit Wurzel:
x1/3, a1/9, b4/5, c0,25
2) Schreibe ohne Wurzel (mit gebrochenem Exponenten):
4
x,
3
x9 ,
5
x2
3) Ziehe teilweise die Wurzel (so weit wie möglich):
9 3
32 , 75 , 0,12 , 50000 , 45  20 ,
, 10  a 12 ,
2
Lösungen:
1) Mit Wurzel:
3
x,
9
a,
5
x4 ,
4
c
2) Ohne Wurzel:
x1/4, x9/3 = x3, x2/5
3) Teilweises Wurzelziehen:
32  16  2  16  2  4  2
x 5  y7 ,
3
a 18  b10
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75  25  3  25  3  5  3
0,12  0,04  3  0,04  3  0,2  3
50000  10000  5  10000  5  100  5
45  20 =
9 5  45  3 5  2  5  5 5
3
9
=
2
2
3
10  a 12  3 10  a 4
x 5  y7 = x 4  x  y6  y  x 2  y3  x  y
3
a 18  b10  3 a 18  b 9  b  a 6  b 3  3 b
Wie man sieht, sollte bei der dritten Wurzel der Exponent durch drei teilbar sein.
Bemerkung:
Lösung einer Gleichung der Form xn = a (mit xœÑ):
x 2  16 |
x = 4 oder x = -4 (also x1 = 4 und x2 = -4), denn 42 = 16 und (-4)2 = 16.
Also sieht man, dass falls a > 0 und n gerade ist, zwei Lösungen existieren. Wenn a = 0 ist,
existiert nur eine Lösung (x = 0) und wenn a < 0 wäre, ergäbe sich keine Lösung:
x4 = -8 hätte keine Lösung.
Weitere Beispiele:
x4 = 16 |
4
x = 2 oder x = -2.
x3 = 8 |
3
x=2
Hier gibt es nur eine Lösung, denn (-2)3 = -8.
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Somit hätte die Gleichung x3 = -8 die Lösung x = -2. Die Gleichung xn = a hat für ungerades n
also immer genau eine Lösung, selbst wenn a negativ ist.
Aufgaben:
a) x3 = -1000
b) x4 = 81
c) 2x4 + 3 = 35
d) x6 = -1
e) x2/3 = 4
Lösungen:
a)
x3 = -1000 |
x=
b)
3
3
 1000  10
x4 = 81 |
4
x =  4 81
Somit ist x = 3 oder x = -3, bzw. x1 = 3 und x2 = -3.
c)
2x4 + 3 = 35 | -3
2x4 = 32 | : 2
x4 = 16 |
4
Somit ist x = 2 oder x = -2, bzw. x1 = 2 und x2 = -2.
d)
x6 = -1 |
6
Keine Lösung!
e)
x3/5 = 8 | ( )5/3
x = 85/3 =
3
85 
 8
3
5
 32
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6 Logarithmen
Mit einem Logarithmus kann man Gleichungen der Form
b = ax
lösen (mit a > 0 und b > 0). Zu einem Logarithmus gehört immer eine Basis. loga(x) ist der
Logarithmus von x zur Basis a und ist die Umkehrfunktion von ax. Damit gilt loga(ax) = x.
Nun kann man die obige Gleichung durch Anwendung des loga auf beide Seiten lösen:
b = ax | loga
x = loga(b)
Damit wäre log10(1000) die Lösung der Gleichung 10x = 1000. Es gilt somit log10(1000) = 3.
Weiterhin gilt:
loga(a) = 1 und loga(1) = 0 (da a0 = 1).
Aufgaben:
log2(4), log3(27), log2( 2 ), log10(0,001), log5(1/25), log10(1000000), log3(1/ 3 )
Lösungen:
log2(4) = log2(22) = 2, log3(27) = log3(33) = 3, log2( 2 ) = log2(21/2) = 1/2,
log10(0,001) = log10(10-3) = -3, log5(1/25) = log5(1/52) = log5(5-2) = -2,
log10(1000000) = 6 , log3(1/ 3 ) = log3(3-1/2) = -1/2
Zu den bekanntesten Logarithmen zählen lg(x) = log10(x) und ln(x) = loge(x), wobei e die
Euler’sche Zahl ist.
Es gelten folgende Gesetz (die sich von den Potenzgesetzen ableiten lassen):
(1) loga(cx) = xÿloga(c)
(2) loga(bÿc) = loga(b) + loga(c)
(3) loga(b/c) = loga(b) - loga(c)
Aus (3) folgt: loga(1/c) = loga(1) – loga(c) = - loga(c).
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Mit dem Gesetz (1) könnte man die Gleichung 5x = 28 auch ohne den Logarithmus zur Basis
5 lösen und einen beliebigen Logarithmus verwenden:
5x = 28 | lg
xÿlg(5) = lg(28) | : lg(5)
x = lg(28)/lg(5) º 2,070
Damit wäre log5(28) das gleiche wie lg(28)/lg(5) oder wie ln(28)/ln(5).
Aufgaben:
 b 3c 4
loga(10a), loga(aÿb3), loga(c4/d3), loga( a 5 ), log a  5
 d
 10000a 5 

 , lg 3

b
c



Lösungen:
loga(10a) = loga(10) + loga(a) = loga(10) + 1
loga(aÿb3) = loga(a) + loga(b3) = 1 + 3ÿloga(b)
loga(c4/d3) = loga(c4) - loga(d3) = 4ÿloga(c) - 3ÿloga(d)
loga( a 5 ) = loga(a5/2) = 5/2
 b 3c 4
log a  5
 d

 = loga(b3ÿc4) - loga(d5) = loga(b3) + loga(c4) - loga(d5)

= 3ÿloga(b) + 4ÿloga(c) - 5ÿloga(d)
 10000a 5 
 = lg(10000a5) - lg(b3ÿc1/2) = lg(10000) + lg(a5) – (lg(b3) + lg(c1/2))
lg 3
 b c 
= 4 + 5ÿlg(a) – 3ÿlg(b) – 1/2ÿlg(c)
Aufgaben:
Gesucht ist die Lösung der Gleichung:
a) 8x = 20
b) 5x+1 = 125
c) 2ÿ3x = 28
d) 5ÿ3x = 4x-2
e) 42x+1 = 64
f) log2(x+5) = 3
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Lösungen:
a)
8x = 20 | log8
x = log8(20) º 1,441
Falls der Taschenrechner nur eine lg-Taste besitzt:
8x = 20 | lg
xÿlg(8) = lg(20) | :lg(8)
x = lg(20)/lg(8)
b)
5x+1 = 125 | log5
x+1 = 3 | -1
x=2
c)
2ÿ3x = 28 | :2
3x = 14 | log3
x = log3(14) º 2,402
d)
5ÿ3x = 4x+1 | log4
log4(5) + xÿlog4(3) = x + 1
Nun sollte man alle „Terme mit x“ auf eine Seite bringen und die Zahlen („ohne x“) auf die
andere Seite:
log4(5) + xÿlog4(3) = x + 1 | -x - log4(5)
xÿlog4(3) - x = 1 - log4(5)
Nun x ausklammern:
xÿ(log4(3) - 1) = 1 - log4(5) | : (log4(3) - 1)
x = (1 - log4(5) )/ (log4(3) - 1)
x º 0,7757
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e)
42x+1 = 64
Lösung: x = 1 (klar, da 64 = 43 ist, muss 2x+1 = 3 sein)
f)
log2(x+5) = 3
Da a loga ( x )  x gilt, kann man auf beide Seiten die Funktion f(x) = 2x anwenden und erhält
x + 5 = 23 ,
womit die Lösung x = 3 lautet.
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7 Wurzelgleichungen
Bei einer Wurzelgleichung steht die Unbekannte unter einer Wurzel. Beispielsweise wäre
x 4
eine Wurzelgleichung. Zum Lösen sollte man immer zunächst versuchen, die Wurzel zu
isolieren, damit diese alleine auf einer Seite steht. Dies ist beim oberen Beispiel schon der
Fall. Danach quadriert man beide Seiten:
x  4 | ()2
x = 16
Das Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung, d.h. die Lösungsmenge ist nach dem
Quadrieren nicht unbedingt mehr die gleiche wie vor dem Quadrieren, weshalb man bei
Wurzelgleichungen immer eine Probe machen muss, bevor man die Lösungsmange angibt.
Würde man z.B. x = 4 auf beiden Seiten quadrieren, so würde sich x2 = 16 ergeben. Diese
neue Gleichung hat nun aber 2 Lösungen, nämlich 4 und -4. Weiteres Beispiel:
x  4 | ()2
x = 16
Probe (dazu setzt man x = 16 in die ursprüngliche Gleichung ein):
?
16   4
Dies ist ein Widerspruch, denn die Wurzel aus 16 ist 4. Damit wäre die Lösungsmenge leer:
L = {} .
Weitere Beispiele:
x  2 1  2
Zunächst isolieren wir die Wurzel, bevor wir quadrieren:
x  2 1  2 | + 1
x  2  3 | ()2
x + 2 = 9 | -2
x=7
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Probe:
?
7  2  1 2
3 – 1 = 2 ist richtig!
Somit ist x = 7 die Lösung: L = {7}
x  8  x  4 | ()2
Beim Quadrieren wird, wie beschrieben, immer die komplette Seite quadriert:
x + 8 = (x – 4)2
Hier muss die binomische Formel angewendet werden:
x + 8 = x2 – 8x + 16 | -x – 8
0 = x2 – 9x + 8
Nun können wir die p-q-Formel anwenden:
x1/2 = 9/2  81 / 4  8
9/2 ≤ 7/2
Also ist x1 = 8 und x2 = 1. Wir machen die Probe:
Für x = 8:
?
8  8 8  4
4=4
Somit ist x = 8 eine Lösung.
Für x = 1:
?
1  8 1  4
3 = -3
Somit ist x = 3 keine Lösung. Es gilt also: L = {8}
Es gibt auch Wurzelgleichungen, bei denen man zunächst die Wurzeln nicht isolieren kann,
wie beispielsweise:
x4 2 x4
In so einem Fall ist es das Beste, wenn beide Wurzeln (wie hier) auf verschiedenen Seiten
stehen. Wir bestimmen die Lösung:
x4 2 x4
| ()2
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
 
2
x4 2 
x4

2
(Achtung: Links binomische Formel anwenden.)


2
x  4  2  2  x  4  22  x  4
x + 4 - 4 x  4 + 4 = x – 4
x - 4 x  4 + 8 = x – 4
Nun kann man die Wurzel isolieren:
x - 4  x  4 + 8 = x – 4 | -x -8
(*)
- 4  x  4 = -12 | :(-4)
x  4 = 3 | ()2
x + 4 = 9 | -4
x=5
Bemerkung:
Bei (*) hätte man nicht unbedingt durch (-4) teilen müssen, man hätte auch direkt quadrieren
können und hätte 16(x+4) = 144 erhalten, da für Produkte (aÿb)2 = a2ÿb2 gilt.
Nun machen wir noch die Probe:
?
5 4  2 5 4
3–2=1
Die Gleichung ist erfüllt und wir kennen die Lösungsmenge: L = {5}
Aufgaben:
a) 2 x  1  3  0
b) 2 x  4  1  5
c) 3x  7  1  2x  3
d) 2x  1  2  4 x  5
Lösungen:
a) L = {4}
b) L = {5}
c) L = {3}
d) L = {1; 5}
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8 Bruchgleichungen
Bei einer Bruchgleichung steht die Unbekannte im Nenner eines Bruches. Beispielsweise:
12
3
x
Bei Bruchgleichungen legt man zunächst den Definitionsbereich fest. Es sind alle reellen
Zahlen (oder rationalen Zahlen, je nachdem von welcher Grundmenge man ausgeht) als
Lösung möglich, außer die, bei denen der Nenner Null werden würde. Dies wäre hier die 0.
Somit ist der Definitionsbereich bekannt:
à = R \ {0} (oder à = Q \ {0})
Im Folgenden gehen wir immer von den reellen Zahlen als Grundmenge aus. Lösen können
wir die obige Bruchgleichung, wenn wir diese (d.h. beide Seiten der Gleichung) mit dem
Nenner multiplizieren, also mit x:
12
3
x
| ÿx
12 = 3x | :3
x=4
Nun liegt 4 im Definitionsbereich und ist somit eine Lösung der obigen Gleichung:
L = {4}
Weitere Beispiele:
6
2
x 1
Der Nenner wird gleich Null, wenn x + 1 = 0 ist bzw. wenn x = -1 ist: Ã = R \ {-1}
6
 2 | ÿ(x + 1)
x 1
6 = 2(x + 1)
6 = 2x + 2 | -2
4 = 2x | :2
x=2
L = {2}
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4
4

3
x 1 x 1
à = R \ {-1; 1}
4
4

 3 |ÿ(x + 1)(x - 1)
x 1 x 1
Wir erhalten:
4
4
 ( x  1)( x  1) 
 ( x  1)( x  1)  3  ( x  1)( x  1)
x 1
x 1
Jetzt kürzt sich jeweils der Nenner heraus:
4(x - 1) + 4(x + 1) = 3(x2 – 1)
8x = 3x2 – 3 | - 8x
3x2 – 8x – 3 = 0 | :3
x2 – 8/3x – 1 = 0
Nun können wir die p-q-Formel anwenden:
x1/2 = 4/3  16 / 9  1
4/3 ≤ 5/3
Also ist x1 = 3 und x2 = -1/3.
L = {-1/3; 3}
Es folgt noch ein letztes Beispiel:
3
3
1

 2
2x  4 x  2 x  4
Der Definitionsbereich wird bestimmt, indem wieder geprüft wird, für welche x die Nenner
gleich Null werden:
2x + 4 = 0 ergibt x = -2.
x – 2 = 0 ergibt x = 2.
x2 – 4 = 0 ergibt x = 2 oder x = -2.
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Nun ist à = R \ {-2; 2}. Im ersten Nenner (von links) kann man auch 2(x + 2) und in dem
Nenner auf der rechten Seite kann man auch (x – 2)(x + 2) schreiben (Anwendung der
binomische Formel, bzw. Darstellung als Linearfaktoren – siehe Bemerkung 2 unten).
Dadurch kann man die Gleichung mit 2(x – 2)(x + 2) multiplizieren, was dem Hauptnenner
entspricht:
3
3
1


| ÿ2(x – 2)(x + 2)
2( x  2) x  2 ( x  2)( x  2)
3(x – 2) – 1ÿ2(x + 2) = - 3ÿ2
x – 10 = - 6 | +10
x=4
Also L ={4}.
Bemerkungen:
1) Hätte der zweite Bruch auf der linken Seite der Gleichung die Form
man ihn mit (-1) erweitern können und hätten
1
erhalten.
x2
1
gehabt, so hätte
2x
2) Liegen beispielsweise zwei Nullstellen x1 und x2 vor, so kann man die Gleichung (d.h.
beide Seiten der Gleichung) mit (x – x1)(x – x2) multiplizieren. Im Beispiel oben hätte somit
auch der Faktor (x – 2)(x + 2) genügt.
Aufgaben:
a)
8
4
x 3
b)
5
8

x3 x6
c)
4
 x 1
x2
d)
4
3

2
x  2 x 1
e)
4
2
16

 2
x 1 x 1 x 1
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Definitionsbereiche und Lösungen:
a) Ã = Ñ \ {3}; L ={5}
b) Ã = Ñ \ {-6; -3}; L ={2}
c) Ã = Ñ \ {-2}; L ={-3; 2}
d) Ã = Ñ \ {-2; -1}; L ={-3/2; 2}
e) Ã = Ñ \ {-1; 1}; L ={3}
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9 Binomische Formeln
Die folgenden drei Formeln sind als die binomischen Formeln in der Schule bekannt:
(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(3) (a + b)(a – b) = a2 - b2
Durch ausmultiplizieren kann man diese leicht herleiten. Z.B..
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Beispiele:
(x + 5)2 = x2 + 2ÿ5ÿx + 52 = x2 + 10x + 25
(x - 2)(x + 2) = x2 - 22 = x2 – 4
-2ÿ(x -3)2 = -2ÿ(x2 - 2ÿ3ÿx + 32) =-2x2 + 12x - 18
(4x + 3y)2 = (4x)2 + 2ÿ4xÿ3y + (3y)2 = 16x2 + 24xy + 9y2
x  y 
2
 x 2  2x  y 
 y
2
x  y x  y   x   y 
2
2
 x 2  2x  y  y
 x2  y
(2x + 3y)2 – (3x - 5y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 – (9x2 - 30xy + 25y2)
= 4x2 + 12xy + 9y2 – 9x2 +30xy - 25y2 = -5x2 + 42xy -16y2
Wie man sieht, würde bei einem dritten Binom (Formel (3)) die Wurzel verschwinden. Dies
kann man bei der folgenden Aufgabe verwenden:
Der Nenner soll rational werden (d.h. im Nenner soll keine Wurzel mehr stehen bzw. keine,
die eine irrationale Zahl ergäbe):
2
4 3
Hier muss man diesen Bruch so erweitern, dass im Nenner das dritte Binom steht:
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2
4 3

2(4  3 )
(4  3 )(4  3 )

82 3 82 3 8 2
3

 
16  3
13
13 13
Aufgaben:
a) Wende die binomischen Formeln an:
(4x + 3)2
(2x - 9)(2x + 9)
-5ÿ(x -4)2
(-2x + 5y)2
(-a – b)2
2
x y

2
x  3 y x  3 y 
(4x - 2y)2 + 2(x + 5y)2
b) „Rationalisiere“ den Nenner:
8
4 2
a b
a b
Lösungen:
a)
(4x + 3)2 = 16x2 + 24x + 9
(2x - 9)(2x + 9) = 4x2 - 81
-5ÿ(x - 4)2 = -5ÿ(x2 – 8x + 16) = -5x2 + 40x - 80
(-2x + 5y)2 = (5y - 2x)2 = 25y2 – 20xy + 4x2
(-a – b)2 = (-1)2(a + b)2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2
x y
  2 x 
2
2
 22 x  y 
 y
2
 4 x  4 xy  y
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x  3 y x  3 y  = x
2
– 9y
(4x - 2y)2 + 2(x + 5y)2 = 16x2 – 16xy + 4y2 + 2(x2 + 10xy + 25y2) = 18x2 + 4xy +54y2
b)

84 2

4  2 4  2 
a b
a b


32  8 2 16 4
2


16  2
7 7
a  b a  b   a
a  b a  b 
2
 2a b  b
a2  b
Bemerkung zur Berechnung von (a + b)n für beliebige (natürliche) Potenzen n:
(x + y)3 könnte man auflösen, wenn man (x + y)2 (x + y) berechnen würde. Man kann aber
auch das so genannte Pascal’sche Dreieck verwenden, in dem man die Koeffizienten für
beliebige Potenzen ablesen kann.
Hier ist das Pascal’sche Dreieck bis zur Potenz n = 4 zu sehen:
Zur Konstruktion des Pascal’schen Dreiecks: Man beginnt mit den oberen drei Einsen und
schreibt links und rechts weitere Einsen hin. Danach erhält man jeweils eine Zeile, wenn man
zwischen den Einsen links und rechts jeweils die Zahlen in der Spalte darüber addiert. Diese
Summe schreibt man dann immer in die Mitte unter den beiden addierten Zahlen. Für n = 2
ergibt sich die 2 aus der Summe der beiden Einsen darüber, u.s.w..
Nun können wir (x + y)3 berechnen. Wir beginnen in der unteren Summe mit x3 = x3y0,
danach nimmt der Exponent von x um eines ab und der von y um eins zu, bis man bei y3
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angelangt ist. Vor die Summanden schreibt man dann die Koeffizienten aus dem Pascal’schen
Dreieck aus der Zeile für n = 3:
(x + y)3 = 1ÿx3 + 3ÿx2y + 3ÿxy2 + 1ÿy3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Für (x - y)3 geht man genauso vor, nur dass hier das Vorzeichen wechselt, wobei man mit
einem positiven Vorzeichen beginnt:
(x - y)3 = +1ÿx3 - 3ÿx2y + 3ÿxy2 - 1ÿy3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Noch ein Beispiel:
(2x + 3y)3 = 1ÿ(2x)3 + 3ÿ(2x)2ÿ3y + 3ÿ2xÿ(3y)2 + 1ÿ(3y)3
= 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3
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10 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten
Wie beginnen mit einem Beispiel:
Gesucht ist die Lösung des folgenden Gleichungssystems:
(I) 2x – y = 4
(II) x + y = 5
Hier stehen eine Reihe von Verfahren zur Verfügung. In diesem Beispiel würde sich das
Additionsverfahren anbieten. Dabei werden die beiden linken und die beiden rechten Seiten
der Gleichungen addiert:
(I) + (II)
3x = 9
Die Variable y ist entfallen. Nun können wir die Gleichung nach x auflösen und erhalten x = 3.
Diese Lösung können wir nun in (I) oder in (II) einsetzen und erhalten y:
In (II) 3 + y = 5 | -3
y=2
Also ist x = 3 und y = 2.
Im Allgemeinen muss man die Gleichungen (I) und (II) mit geeigneten Zahlen multiplizieren,
so dass man dass Additionsverfahren anwenden kann.
Beispiel:
(I) 3x – 4y = 2
(II) 2x + y = 5
Hier könnte man die zweite Gleichung mit 4 multiplizieren, damit nach einer Additino der
beiden Gleichungen die Variable y entfällt.
(I) 3x – 4y = 2
4ÿ(II) 8x + 4y = 20
Nun können wir addieren:
(I) + 4ÿ(II) 11x = 22 | : 11
x=2
In (II) einsetzen ergibt: 2ÿ2 + y = 5. Also ist y = 1.
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Ein weiteres Beispiel:
(I) 2x – 5y = 3
(II) 3x + 8y = 20
Hier könnte man die zweite Gleichung mit -2 und die erste Gleichung mit 3 multiplizieren.
Danach kann man y durch Addition eliminieren.
3ÿ(I) 6x - 15y = 9
-2ÿ(II) -6x - 16y = -40
Eine Addition ergibt: -31y = -31, womit y = 1 ist. Setzt man y = 1 z.B. in (I) ein, erhält man:
2x – 5 = 3 | +5
2x = 8 | :2
x=4
Also ist x = 4 und y = 1.
Neben dem Additionsverfahren gibt es auch das Subtraktionsverfahren, was sich aber auf das
Additionsverfahren zurückführen lässt (wenn man eine Gleichung mit -1 multipliziert).
Hätte man oben die Gleichung (II) statt mit -2 mit 2 multipliziert, so könnte man das
Subtraktionsverfahren anwenden:
6x - 15y = 9
6x + 16y = 40
__________________
-31y = -31
Es ergibt sich dieselbe Gleichung wie oben. Wenn also zwei Koeffizienten einer Variablen
gleich sind, kann man das Subtraktionsverfahren verwenden und bei verschiedenen
Vorzeichen das Additionsverfahren.
Ist eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, so kann man das
Einsetzungsverfahren anwenden:
(I) 2x – 3y = 3
(II)
y=x–2
(II) in (I) einsetzen ergibt:
2x - 3ÿ(x – 2) = 3
-x + 6 = 3 | -6
-x = -3 | :(-1)
x=3
Nun kann man x = 3 in (II) einsetzen und erhält y = 3 – 2 = 1.
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Liegen beide Gleichungen in der nach derselben Variablen aufgelösten Form vor, so kann
man das Gleichsetzungsverfahren anwenden:
(I) y = 2x - 4
(II) y = 4x + 4
Gleichsetzen ergibt:
2x – 4 = 4x + 4 | + 4
2x = 4x + 8 | - 4x
-2x = 8 | :(-2)
x = -4
Nun kann man x = -4 in (I) oder (II) einsetzen. Wir setzen in (I) ein und erhalten y = 2ÿ(-4) – 4
= -12.
Die Lösung eines Gleichungssystems mit 2 Unbekannten kann man als Schnittpunkt zweier
Geraden interpretieren. Somit kann man die Lösungsmenge wie folgt angeben: L = {(-4; -12)}
Im obigen Beispiel sehen die Geraden wie folgt aus:
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Spezialfälle:
Nun könnte es passieren, dass beide Geraden parallel sind. In diesem Fall hätten wir keine
Lösung. Wenn beide Geraden aufeinander liegen würden, hätte man unendliche viele
Lösungen, nämlich alle Punkte auf der Geraden.
Beispiele:
(I) y = 2x + 4
(II) y = 2x + 8
Gleichsetzen ergibt:
2x + 4 = 2x + 8 | -2x
4=8
Dies ist ein Widerspruch, womit keine Lösung existiert, was man schon an den Gleichungen
hätte sehen können, da sie zwei parallele Geraden beschreiben. Es gilt L = {}.
(I) y = 2x + 4
(II) y = 2x + 4
Gleichsetzen ergibt:
2x + 4 = 2x + 4 | -2x
4=4
Die Gleichung ist für alle xœÑ erfüllt. Somit wäre die Lösungsmenge durch
L = {(x; y) | y = 2x + 4}
gegeben.
Beispiel für Textaufgabe:
2 Cola und 3 Hamburger kosten 9,70€. 5 Cola und 8 Hamburger kosten 25,50€. Wie viel
kostet eine Cola und wie viel ein Hamburger?
Zu Beginn muss man die Variablen und deren Bedeutung festlegen. Wir wählen x für den
Preis einer Cola und y für den Preis eines Hamburgers. Nun müsste zweimal der Preis für eine
Cola und dreimal der Preis für einen Hamburger 9,70€ ergeben. So können wir die beiden
Gleichungen (bei zwei Variablen bzw. Unbekannten benötigen wir auch zwei Gleichungen)
aufstellen, wobei wir ohne Einheiten rechnen:
(I) 2x + 3y = 9,7
(II) 5x + 8y = 25,5
Wie müssen uns wieder für eine Variable entscheiden, die wie eliminieren möchten. Wir
wählen x. Nun multiplizieren wir die erste Zeile mit 5 und die zweite Zeile mit 2:
5ÿ(I) 10x + 15y = 48,5
2ÿ(II) 10x + 16y = 51
Wir wenden das Subtraktionsverfahren an:
5ÿ(I) – 2ÿ(II) -y = - 2,5 | : (-1)
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y = 2,5
Dies setzen wir in (I) ein:
2x + 3ÿ2,5 = 9,7
2x + 7,5 = 9,7 | -7,5
2x = 2,2 | :2
x = 1,1
Damit kostet eine Cola 1,10€ und ein Hamburger 2,50€.
Bemerkungen:
Man könnte immer mit einem Verfahren auskommen, wenn man zuvor die Gleichungen
entsprechend umformt. Beispiel:
(I) 5x + 4y = 9
(II) 2x – 3y = -1
Hier würde sich eigentlich das Additionsverfahren oder Subtraktionsverfahren anbieten, man
könnte aber auch die Gleichungen so umformen, dass man das Einsetzungsverfahren
anwenden kann. Dabei würde es sich anbieten, die zweite Gleichung nach x aufzulösen:
2x – 3y = -1 | +3y
2x = -1 + 3y | :2
x = -1/2 + 3/2y
Nun könnte man das Einsetzungsverfahren anwenden und in (I) einsetzen.
Beim Einsetzungsverfahren könnte man auch nach Vielfachen von x oder y auflösen (d.h. z.B.
nach 2x). Beispiel:
(I) 2x + 3y = -1
(II) 2x = y + 3
Hier kann man den Term 2x in Gleichung (I) durch y + 3 ersetzen, womit man die Gleichung
y + 3 + 3y = -1 bzw. 4y + 3 = -1
erhält, die man nach y auflösen kann. Dies könnte man tun, wenn man zunächst Brüche
vermeiden möchte.
Aufgaben:
1)
a)
x + y = -1
-x + y = 5
b)
2x + 3y = 11
4x – 2y = 14
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c)
3x + 5y = 4
-4x + 8y = 24
d)
y = 2x – 5
2x + 3y = 9
e)
4x + 3y = 26
4x = 2y + 16
f)
x = 2y + 3
x = -4y + 9
2)
a) Jenny ist doppelt so alt wie Justin. Bei zusammen sind 18 Jahre alt. Wie alt sind die beiden?
b) In 6 Jahren ist Tim doppelt so alt wie Jasmin. Heute ist Tim 18 Jahre älter als Jasmin. Wie
alt sind beide heute?
Lösungen:
1)
a) L = {(-3; 2)}
b) L = {(4; 1)}
c) L = {(-2; 2)}
d) L = {(3; 1)}
e) L = {(5; 2)}
f) L = {(5; 1)}
2)
a)
Wir wählen x = Alter Jenny und y = Alter Justin.
(I)
(II)
(I) in (II) einsetzen:
x = 2y
x + y = 18
2y + y = 18
3y = 18 | :3
y=6
In (I) einsetzen ergibt x = 12. Also ist Jenny 12 Jahre alt und Justin 6.
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b)
Wir wählen x = Alter Tim (heute) und y = Alter Jasmin (heute).
In 6 Jahren ist Tim x + 6 Jahre alt und Jasmin y + 6 Jahre:
(I)
(II)
x + 6 = 2(y + 6)
x = 18 + y
(I)
(II)
x + 6 = 2y + 12
x = 18 + y
.
Also ist:
(II) in (I):
18 + y + 6 = 2y + 12
y + 24 = 2y + 12 | -24
y = 2y – 12 | -2y
-y = -12
| :(-1)
y = 12
Mit (II) ergibt sich x = 18 + 12 = 30. Somit ist Tim heute 30 Jahre alt und Jasmin 12.
Wenn ihr noch keine quadratischen Gleichungen behandelt habt, dann könnt ihr diesen Punkt
überspringen:
Beispiel für nichtlineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekanten:
Die Fläche eines Rechtecks beträgt 40cm2 und der Umfang 26cm. Wie lange sind die Seien
des Rechtecks?
Es gilt für die Fläche A eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b: A = aÿb
Für dessen Umfang gilt: U = 2a + 2b
Wir rechnen ohne Einheiten:
(I)
aÿb = 40
(II) 2a + 2b = 26
Nun können wir z.B. die Gleichung (I) nach b auflösen: (III) b = 40/a
Dies können wir in (II) einsetzen: 2a + 2ÿ40/a = 26
Immer wenn die Unbekannte im Nenner auftaucht, sollte man die Gleichung mit dem Nenner
multiplizieren:
2a + 80/a = 26 | ÿa
2a2 + 80 = 26a | -26a
2a2 – 26a + 80 = 0 |: 2
a2 – 13a + 40 = 0
Diese Gleichung kann man mit der p-q-Formel lösen (diese findet ihr unter http://mathetotal.de/Mittelstufe-Aufgaben/Parabeln.pdf auf Seite 8 oder im Kapitel Parabeln) und man
erhält:
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a1 = 5 und a2 = 8
Mit (III) erhalten wir b1 = 40/a1 = 8 und b2 = 40/a2 = 5.
Somit ist eine Seite 5cm lang und die andere 8cm.
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11 Lineare Gleichungssysteme mit drei oder mehr
Unbekannten
Wir beginnen mit einem Beispiel:
(I)
2x - 3y + 2z = 2
(II)
x - y + 3z = 8
(III) -3x + 2y + 2z = 7
Zum Lösen diesen Gleichungssystems kann man wie folgt vorgehen: Man wählt, wie bei
linearen Gleichungssystemen mit zwei Unbekannten, eine Variable aus, die eliminiert werden
soll. Danach führt man zweimal für je zwei Zeilen das Additionsverfahren bzw.
Subtraktionsverfahren durch und eliminiert die ausgewählte Variable, wobei insgesamt alle
drei Gleichungen verwendet werden müssen. Damit erhält man zwei Gleichungen mit zwei
Unbekannten.
Wir eliminieren x und subtrahieren von (I) das Zweifache von (II) und danach addieren wir
das Dreifache der Gleichung (II) zu (III):
(I) - 2ÿ(II)
(III) + 3ÿ(II)
-y - 4z = -14
(*)
-y + 11z = 31
Nun können wir z.B. die beiden neu entstanden Gleichungen subtrahieren (falls wir als
nächstes y eliminieren möchten) und erhalten
-15z = -45 | :(-15)
z=3
Nun können wir z = 3 in eine der beiden Gleichungen mit nur 2 Unbekannten einsetzen. Wir
setzen z = 3 in die Gleichung (*) ein und erhalten:
-y - 12 = -14 | +12
-y = -2 | : (-1)
y=2
Nun können wir die Lösung für y und z in eine der drei Gleichungen (I), (II) oder (III)
einsetzen und erhalten x. Wir setzen in (II) ein:
x - 2 + 3ÿ3 = 8
x + 7 = 8 | -7
x=1
Somit ist x =1, y = 2 und z = 3, also ist L = {(1; 2; 3)}.
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Analog würde man bei 4 Unbekannten und 4 Gleichungen erst eine Variable eliminieren und
aus 4 Gleichungen mit 4 unbekannten 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten erhalten.
Falls nicht alle Variablen in jeder Gleichung „vorkommen“, hat man Schritte gespart, wenn
man zunächst eine fehlende Variable eliminiert.
Z.B. bei:
(I)
2y + z = 3
(II)
2x + 3y + z = 7
(III) -2x + 2y + 4z = -2
Hier sollte man x eliminieren. Da die Gleichung (I) „kein x enthält“ muss man nur noch die
Gleichungen (II) und (III) addieren und man hat zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten y
und z.
Bemerkung: Den Gauß-Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssystem findet ihr auf
Seite 18 unter http://mathe-total.de/LA-Skript/AG-Skript.pdf . Dieser wird aber in der dort
beschriebenen Version (mit Tableau) oft erst in der Oberstufe behandelt.
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12 Trigonometrie
12.1 Grundlagen
Die Ecken eines Dreiecks werden üblicherweise mit Großbuchstaben bezeichnet. Dabei
beginnt man in einer Ecke mit A und geht von dieser Ecke gegen den Uhrzeigersinn zur
nächsten Ecke, die dann mit B bezeichnet wird. Die Seiten gegenüber den Ecken werden dann
mit denselben - aber kleinen - Buchstaben bezeichnet. Für die Winkel in den Ecken nimmt
man griechische Buchstaben. Bei A steht a („Alpha“), bei B steht b („Beta“) und bei C steht g
(„Gamma“). Die Winkelsumme in jedem Dreieck beträgt 180°:
a + b + g = 180°
Sind alle drei Seiten gleich groß, so spricht man von einem gleichseitigen Dreieck. Hier
wären dann auch alle Winkel gleich groß. Es gilt dann a = b = g = 60°.
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind 2 Seiten gleich groß und es stimmen zwei Winkel
überein. Wenn z.B. a = b ist, dann wären die Winkel a und b gleich. In diesem Fall nennt man
die Seite c die Basis und die Seiten a und b sind die Schenkel.
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12.2 Pythagoras
Kommen wir als nächstes zum Satz von Pythagoras. Dieser gilt in rechtwinkligen Dreiecken,
d.h. in Dreiecken, bei denen einer der Winkel gleich 90° beträgt. Wenn g = 90° ist, so würde
der Satz des Pythagoras wie folgt lauten:
c2 = a2 + b2
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse. Wenn g = 90° ist, ist c die
Hypotenuse. Die anderen beiden Seiten heißen Katheten. Wenn g = 90° ist, wären die Seiten a
und b die Katheten. Allgemein sagt der Satz von Pythagoras, dass das Quadrat der
Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Katheten ist. Wenn a = 90° wäre, würde
dann a2 = b2 + c2 gelten, da dann a die Hypotenuse wäre. Die Hypotenuse ist immer die
längste Seite im rechtwinkligen Dreieck.
Sind nun in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten bekannt, so kann die dritte berechnet
werden.
Beispiele:
Es sei g = 90°, a = 3cm und b = 4cm.
Wir rechnen erst mal ohne Einheiten:
a2 + b2 = c2
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2 |
c=5
Also ist c = 5cm. Wir rechnen noch mal mit Einheiten:
a2 + b2 = c2
(3cm)2 + (4cm)2 = c2
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9cm2 + 16cm2 = c2
25cm2 = c2 |
c = 5cm (Hier benötigen wir nur die positive Lösung, da es sich um Dreiecksseiten handelt.)
Es sei g = 90°, c = 13cm und b = 12cm.
a2 + b2 = c2
a2 + (12cm)2 = (13cm)2
a2 + 144cm2 = 169cm2 | -144cm2
a2 = 25cm2 |
a = 5cm
Aufgaben:
1)
a) g = 90°, a = 8m und b = 6m.
b) g = 90°, a = 2dm und c = 5dm.
c) b = 90°, a = 3cm und c = 6cm.
d) a = 90°, a = 1,3m und b = 1,2m.
2)
a) Wie groß ist die Diagonale in einem Quadrat mit der Katenlänge 10cm?
b) Wie groß ist die Diagonale eines Monitors der 40cm breit und 30cm hoch ist?
c) Eine 10m lange Leiter wird an eine Wand gelehnt. Sie soll auf dem Boden einen Abstand
von 3m von der Wand haben. Wie hoch kommt man mit dieser Leiter?
d) Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge von 6cm. Wie groß ist die Höhe?
Lösungen:
1)
a) c = 10m
b) b º 4,58dm
c) b º 6,71cm
d) c = 0,5m
2)
a) d2 = a2 + a2. Dies ergibt d º 14,14cm. Man kann auch direkt eine Formel für die Diagonale
im Quadrat mit Seitenlänge a aufstellen:
d2 = 2a2 |
d=
2 a
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b) d2 = a2 + b2. Dies ergibt d = 50cm.
c) Die Leiter ist die Hypotenuse (siehe Skizze).
Somit gilt:
(10m)2 = (3m)2 + h2
Damit ergibt sich: h  9,54m
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d) Wenn a die Seitenlänge ist, so gilt für die Höhe h:
a2 = (a/2)2 + h2
(6cm)2 = (3cm)2 + h2
Damit ergibt sich: h  5,20cm
Man kann hier auch eine Formel für die Höhe h in einem gleichseitigen Dreieck mit
Seitenlänge a aufstellen:
a2 = (a/2)2 + h2
a2 = 1/4a2 + h2 | -1/4a2
3/4a2 = h2 |
h=
3 / 2a
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12.3 Höhensatz und Kathetensatz von Euklid
Im Folgenden sei g = 90°. h ist die Höhe auf c (d.h. h = hc). Die Höhe teilt die Hypotenuse in
zwei Stücke, wobei das unter der Kathete a mit p und das unter der Kathete b mit q bezeichnet
wird (siehe obere Grafik).
Nun gilt der Höhensatz von Euklid
h2 = pÿq ,
sowie die Kathetensatz von Euklid:
a2 = cÿp und b2 = cÿq
Es gilt natürlich c = p + q. Außerdem könnte man dreimal den Satz von Pythagoras anwenden:
c2 = a2 + b2
a2 = p2 + h2
b2 = q2 + h2
Beispiele:
Es sei a = 8cm und c = 10cm. Gesucht sind alle fehlenden Teile (b, p, q und h):
Wie müssen eine Formel verwenden, bei der nur eine Unbekannte vorkommen würde, z.B.
Pythagoras (im großen Dreieck) oder den Kathetensatz a2 = cÿp. Wir setzen in den
Kathetensatz ein:
a2 = cÿp
(8cm)2 = 10cmÿp
64cm2 = 10cmÿp | :10cm
p = 6,4cm
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Mit p und c kann man immer q berechnen:
c=p+q
10cm = 6,4cm + q
| -6,4cm
q = 3,6cm
Nun können wir mit dem Höhensatz b berechnen:
b2 = cÿq
b2 = 10cmÿ3,6cm
b2 = 36cm |
b = 6cm
Zuletzt bestimmen wir noch h mit dem Höhensatz:
h2 = pÿq
h2 = 6,4cmÿ3,6cm
h2 = 23,04cm2 |
h = 4,8cm
Bemerkung:
Wie man sieht, muss man sich immer nur eine Gleichung heraussuchen, bei der 2 Größen
bekannt sind bzw. nur eine unbekannt ist. Es gibt aber auch „Spezialfälle“, bei denen dies
nicht geht. Beispielsweise wenn p = 6cm und b = 4cm wäre. Hier müsste man zwei
Gleichungen aufstellen (wir rechnen hier der Einfachheit halber ohne Einheiten):
a2 = cÿp
a2 = 6c
(*)
Nun benötigen wir noch eine Gleichung, wo nur a und c fehlt:
c2 = a2 + b2
c2 = a2 + 42
Nun setzen wir (*) in die obige Gleichung ein:
c2 = 6c + 16
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Wir bringen „alles auf eine Seite“:
c2 – 6c – 16 = 0
Nun können wir die p-q-Formel für quadratische Gleichungen anwenden:
c1/2 = 3 ≤
9  16
Also ist c1 = 8 und c2 = -2, womit c gleich 8cm lang ist.
Damit erhalten wir alle anderen Größen:
q = c – p = 8cm – 6cm = 2cm
a2 = cÿp
a2 = 8cmÿ6cm
a2 = 48cm2 |
a º 6,93cm
h2 = pÿq
h2 = 6cmÿ2cm
h2 = 12cm2 |
h º 3,46cm
Aufgaben:
Bestimme alle fehlenden Größen:
a) p = 9cm, q = 4cm
b) a = 9m, c = 15m
c) p = 2cm, c = 10cm
d) a = 5dm, b = 8dm
Lösungen:
a) h = 6cm, c = 13cm, a º 10,82cm, b º 7,21cm
b) b = 12m, h = 7,2m, p = 5,4m, q = 9,6m
c) q = 8cm, a º 4,47cm, b º 8,94cm, h = 4cm
d) c º 9,43dm, h º 4,24dm , p º 2,65dm, q º 6,78dm
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12.4 Berechnung von Winkeln und Seiten im rechtwinkligen Dreieck
mit Sinus, Kosinus und Tangens
Sind in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Seiten bekannt, oder eine Seite und ein
zusätzlicher Winkel (außer dem, der 90° beträgt), dann kann man alle anderen Seiten und
Winkel berechnen. Dazu kann man die trigonometrischen Funktionen Sinus (sin), Kosinus
(cos) oder Tangens (tan) verwenden.
Hier muss man allerdings noch mal zwischen den beiden Katheten unterscheiden. Die Kathete,
die an dem Winkel anliegt, den man berechnen oder verwenden möchte, heißt Ankathete und
die andere heißt Gegenkathete.
Wenn g = 90° ist, so wäre c die Hypotenuse. Von a aus betrachtet ist dann b die Ankathete
(da b an diesem Winkel anliegt) und a die Gegenkathete. Von b aus ist es umgekehrt, denn
hier ist a die Ankathete und b die Gegenkathete.
Nun gelten folgende Beziehungen zwischen den Winkel und den Seiten:
Gegenkathete
Hypotenuse
Ankathete
cos() 
Hypotenuse
Gegenkathete
tan() 
Ankathete
sin() 
D.h. in einem Dreieck mit c als Hypotenuse gilt:
sin() 
a
c
sin() 
b
c
cos() 
b
c
cos() 
a
c
tan() 
a
b
tan() 
b
a
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Beispiele:
g = 90°; a = 6cm; c = 10cm.
Gesucht wird  .
Wir haben somit die Hypotenuse und eine Kathete gegeben. Von  aus betrachtet ist a die
Gegenkathete, womit wir den Sinus verwenden:
sin() 
6cm
10cm
sin()  0,6 | sin-1
Wir wenden oben die Umkehrfunktion des Sinus an, um den Winkel  zu erhalten:
 = sin-1(0,6) º 36,87°
g = 90°; b = 6cm;  = 40°.
Gesucht wird a.
Hier sind die beiden Katheten gegeben, was ein Fall für den Tangens ist:
tan(40) 
a
| ÿ6cm
6cm
a = 6cmÿtan(40°) º 5,03cm
a = 90°; b = 8cm; b = 30°
Gesucht wird a.
Hier ist a die Hypotenuse und von b aus ist b die Gegenkathete. Wie müssen somit den Sinus
verwenden:
sin(30) 
8cm
| ÿa
a
aÿsin(30°) = 8cm | :sin(30°)
a
8cm
 16cm
sin(30)
Gesucht wird x in der nächsten Grafik.
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x ist hier die Gegenkathete und 50m ist die Länge der Ankathete. Also muss der Tangens
verwendet werden:
tan(20) 
x
| ÿ50m
50m
x = 50mÿtan(20°) º 18,20m
Bemerkung:
Ist neben dem rechten Winkel ein weiterer Winkel bekannt, so kennt man alle Winkel, denn
es gilt allgemein:
a + b + g = 180°
Wenn nun z.B.   90 ist, dann wäre a + b + 90° = 180°, bzw. es gilt dann: a + b = 90°
Aufgaben:
1) Berechne alle fehlenden Seiten und Winkel:
a)   90 ; a = 8cm; c = 12cm
b)   90 ; a = 5dm; a = 40°
c)   90 ; b = 5m; a = 30°
d)   90 ; a = 5mm; b = 7mm
e) a = 90°; g = 60°; c = 8m
2) Berechne h und alle Winkel in den Ecken (a ist der Winkel in der Ecke A, …).
Es sei a = 12cm; c = 6cm; b = d = 5cm
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3) Ein Baum wirft einen 5m langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen unter einem Winkel
von 40° auf die Erde auf. Wie hoch ist der Baum?
4) Auf einem Schild steht 5% Steigung.
a) Wie groß ist der Neigungswinkel der Straße?
b) Wenn man auf dieser Straße 80m fährt, welcher Höhenunterschied ergibt sich dann?
Lösungen:
1)
a) a º 41,81°; b º 48,19°; b º 8,94cm
b) b = 50°; b º 5,96dm; c º 7,78dm
c) b = 60°; a º 2,89m; c º 5,77m
d) a º 35,54°; b º 54,46°; c = 8,6mm
e) b = 30° ; a º 9,24m; b º 4,62m
2) Wegen der Symmetrie des Trapezes (b = d) kann man zunächst x berechnen. Es gilt:
2x + c = a
2x + 6cm = 12cm | -6cm
2x = 6cm | :2
x = 3cm
Somit kann man h über Pythagoras berechnen:
b2 = x2 + h2
(5cm)2 = (3cm)2 + h2
Die Lösung ist h = 4cm.
Es gilt außerdem (da in dem Dreieck mit den Seiten x, h und d die Seite d die Hypotenuse ist
und die Seite x von a aus die Ankathete):
cos() 
x 3cm

d 5cm
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Dies ergibt a º 53,13°. Wegen der Symmetrie ist b º 53,13°. Da auch g = d ist und a + b + g
+ d = 180° gilt (Winkelsumme im Viereck), ist g = d º 126,87°.
3) Die Höhe des Baumes sei h (siehe Grafik).
Es gilt:
tan(40) 
h
5m
Somit ist h º 4,20m und der Baum ist ca. 4,2m hoch.
4) Skizze:
Für die Steigung in Prozent (p) gilt (wenn c die Hypothenuse wäre, ist p = b/aÿ100%):
p = tan(a)ÿ100%
Also ist 5% = tan(a)ÿ100% und somit tan(a) = 0,05, womit sich a º 2,86° ergibt. Außerdem
gilt:
sin() 
h
80m
Also ist h º 4,00m, womit ein Höhenunterschied von ca. 4m bewältigt wird.
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12.5 Sinussatz
Den Sinussatz kann man allgemein in Dreiecken auch ohne rechte Winkel anwenden. Speziell
kann man den Sinussatz anwenden, wenn ein Winkel, eine gegenüberliegende Seite und ein
weiterer Winkel oder eine weitere Seite bekannt ist. Der Sinussatz „besagt“, dass das
Verhältnis von Seite zu ihrem gegenüberliegenden Winkel in einem Dreieck konstant ist, d.h.
es gilt:
a
b
c


sin() sin() sin(  )
Somit gilt
a
b
,

sin() sin()
aber auch
a sin()

,
b sin()
wenn man die Gleichung umstellt.
Beispiele:
Es ist a = 4cm, a = 60° und b = 50°, gesucht ist b.
4cm
b
| ÿsin(50°)

sin(60) sin(50)
b=
4cm
 sin(50)  3,54cm
sin(60)
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Es ist g = 180° - 60° - 50° = 70°. Somit könnte man nun c berechnen.
Als nächstes sei a = 8cm, c = 5cm, a = 100° gegeben, gesucht ist g.
Es gilt:
a
c

sin() sin(  )
(*)
Durch Umstellung der Gleichung kann man zeigen, dass auch
sin() sin(  )

a
c
gilt. Wir nehmen diese Gleichung, da man nur eine Umformung benötigt, wenn die
Unbekannte im Zähler steht. Bei der Gleichung (*) müsste man erst mit sin(a) und sin(g)
multiplizieren und dann durch a teilen.
sin(100) sin(  )

8cm
5cm
| ÿ5cm
sin(100)
 5cm  sin(  )
8cm
0,61550… = sin(g) | sin-1
g º 37,99°
Bemerkung:
Bei der Berechung des Winkels mit dem Sinussatz wird der Taschenrechner einen falschen
Winkel ausgeben, wenn der gesuchte Winkel größer als 90° ist. Es gilt z.B.:
sin(80°) = sin(100°) = 0,9848077…
Bei sin-1(0,9848077…) gibt der Taschenrechner 80° aus. Diese Problem kann nicht auftreten,
wenn ein gegebener Winkel bereits größer oder gleich 90° ist, oder wenn beispielsweise a, b
und a gegeben ist und b § a gilt, denn dann muss auch b § a sein.
Aufgaben:
a) a = 8cm; b = 5cm; a = 80°; b = ?
b) b = 5cm; a = 50°; b = 60°; a = ?
c) c = 12m; b = 8m; g = 100°; a = ?; b = ?; a = ?
d) a = 8m; b = 75°; g = 30°; a = ?; b = ?; c = ?
Lösungen:
a) b º 37,99°
b) a º 4,42cm
c) a º 7,66m; a º 38,96°; b º 41,04°
d) b = 8m ; c º 4,14; a = 75° (1. Schritt: a = 180± - 75± - 30±)
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12.6 Kosinussatz
Sind zwei Seiten gegeben und der Winkel, der von beiden Seiten eingeschlossen ist, so kann
der Kosinussatz verwendet werden. Er kann aber auch verwendet werden, wenn drei Seiten
bekannt sind und ein Winkel bestimmt werden soll.
Es gilt:
a2 = b2 + c2 – 2ÿbÿcÿcos(a)
b2 = a2 + c2 – 2ÿaÿcÿcos(b)
c2 = a2 + b2 – 2ÿaÿbÿcos(g)
Wenn beispielsweise g = 90° wäre, dann würde sich bei der unteren Formel der Satz von
Pythagoras ergeben, da cos(90°) = 0 ist.
Beispiele:
Gegeben ist b = 4cm, c = 6cm und a = 60°, gesucht wird a.
a2 = (4cm)2 + (6cm)2 – 2ÿ4cmÿ6cmÿcos(60°)
a2 = 52cm2 – 48cm2ÿcos(60°)
a2 = 28cm2 |
a º 5,29cm
Gegeben ist a = 5cm, b = 3cm und c = 7cm, gesucht wird a.
(5cm)2 = (3cm)2 + (7cm)2 – 2ÿ3cmÿ7cmÿcos(a)
25cm2 = 9cm2 + 49cm2 – 42cm2ÿcos(a)
25cm2 = 58cm2 – 42cm2ÿcos(a) | -58cm2
-33cm2 = -42cm2ÿcos(a) | :(-42cm2)
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0,78571429 = cos(a) | cos-1
a º 38,21°
Wir leiten nun noch die Formel zur Berechnung von a her:
a2 = b2 + c2 – 2ÿbÿcÿcos(a) | -b2 -c2
a2 – b2 – c2 = -2ÿbÿcÿcos(a) | :(-2ÿbÿc)
a 2  b2  c2
 cos()
 2bc
Bzw. nach Erweiterung des Bruches mit (-1):
cos() 
b2  c2  a 2
2bc
Aufgaben:
1)
a) a = 7m; b = 9m; g = 70°; c = ?
b) b = 2cm; c = 4cm; a = 50°; a = ?
c) a = 6dm; c = 5dm; b = 120°; c = ?
d) a = 8m; b = 9m; c = 7m; g = ?
2) Ort A ist von Ort C 5km und von Ort B 7km entfernt. Von A aus sieht man die Orte B und
C unter einem Winkel von 60°. Wie weit sind die Ort B und C voneinander entfernt?
Lösungen:
a) c º 9,32m
b) a º 3,12cm
c) c º 9,54dm
d) g º 48,19°
2) Wir machen zunächst eine Skizze:
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Wie zu sehen ist, ist dies genau ein Fall für den Kosinussatz, denn wir kennen den Winkel
und die Länge der Seiten, die an diesem Winkel anliegen. Nun bezeichnen wir die Entfernung
von B nach C mit a:
a2 = (5km)2 + (7km)2 – 2ÿ5kmÿ7kmÿcos(60°)
Dies ergibt a º 6,24km, womit die Orte B und C ca. 6,24km entfernt.
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13 Geraden
Eine Gerade wird durch eine Gleichung der Form
y = mÿx + b bzw. f(x) = mÿx + b
beschrieben. Die Schreibweise f(x) = … wird teils erst in der Oberstufe verwendet. b ist der yAchsenabschnitt, d.h. die Gerade scheidet im Punkt Sy(0; b) die y-Achse. m ist die Steigung.
Falls man den Wert von x um 1 erhöht, so nimmt der y-Wert um m zu (oder ab, falls m
negativ ist). Für m = 0 verläuft dann die Gerade parallel zur x-Achse (falls auch b = 0 wäre,
liegt sie auf der x-Achse).
Soll man die Nullstellen einer Geraden bestimmen, so muss man die Gleichung der Geraden
(bzw. y) gleich Null setzen, da die Nullstellen die Schnittpunkte der Geraden mit der x-Achse
sind. Eine Gerade kann maximal eine Nullstelle besitzen. Wenn m ungleich Null ist, kann
man die Nullstelle wie folgt bestimmen:
mÿx + b = 0
| -b
mÿx = - b
|:m
x = -b/m
Somit scheiden die Gerade im Punkt N(-b/m; 0) die x-Achse.
Beispiel:
y = 2x + 4
Nullstellen berechnen:
2x + 4 = 0
2x = -4
|-4
| :2
x = -2
x = -2 ist Nullstelle bzw. in N(-2; 0) wird die x-Achse geschnitten.
Nun wollen wir einen Graph in einem Beispiel zeichnen.
Beispiele:
y = 2x
Dies ist die Gleichung einer Geraden, die durch den Ursprung (d.h. durch den Punkt P(0;0))
geht. Die Steigung ist 2, d.h. wenn man bei der Gerden eine Einheit nach rechts geht (d.h.
parallel zur x-Achse) und 2 Einheiten nach oben (d.h. parallel zur y-Achse), dann erhält man
wieder ein Punkt auf der Geraden.
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Graph:
Oben wurde das so genannte Steigungsdreieck eingezeichnet, welches nicht zur Geraden
gehört, mit dem man aber die Gerade einzeichnen kann. Dazu beginnt man mit dem
Schnittpunkt auf der y-Achse. Der y-Achsenabschnitt ist Null (bei y = 2x ist dieser Null, bei
y = 2x + 4 wäre dieser gleich 4). Somit wird die y-Achse in Sy(0;0) geschnitten. Da die
Steigung gleich 2 ist, geht man eine Einheit nach rechts und zwei nach oben). Man landet auf
dem Punkt P(1; 2). Nun kann durch die Punkte Sy und P die Gerade einzeichnen.
Wir wollen nun eine Wertetabelle für ganzzahlige Werte von x für -2§ x § 4 erstellen:
x
y = 2x
-2
-1
0
1
2
3
4
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Dazu muss man der Reihe nach die Werte -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 für x in die Funktionsgleichung
einsetzen:
x = -2  y = 2ÿ(-2) = -4
x = -1  y = 2ÿ(-1) = -2
Wie bereits beschrieben, nimmt der Werte für y jeweils um 2 (da die Steigung gleich 2 ist) zu,
wenn der Wert von x um eines zunimmt.
x
y = 2x
-2
-4
-1
-2
0
0
1
2
2
4
3
6
4
8
Mit zwei Punkten der Wertetabelle hätte man die Gerade auch zeichnen können, z.B. mit (0; 0)
und (4; 8). Alle Geraden, die die gleiche Steigung m haben, verlaufen parallel. Wir zeichnen
nun noch die Gerade y = 2x + 4:
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Es folgen weitere Graphen:
Hier ist der Graph von y = -2x + 2 zu sehen. Die Steigung ist negativ, womit die Gerade fällt.
Es folgt der Graph der Funktion y = 2/3x + 1. Hier ist die Steigung gleich 2/3. Man könnte
nun zum Einzeichnen der Geraden 1 nach rechts und in etwa 0,67 (ist 2/3 auf zwei
Nachkommastellen gerundet) nach oben gehen, was aber zu Ungenauigkeiten führt. Deshalb
geht man hier - bei Steigungen in Form von Brüchen - wie folgt vor: Man geht zum
Einzeichnen des Steigungsdreieck vom Punkt Sy(0;1) drei nach rechts (also den Nenner des
Bruches) und 2 nach oben (also den Zähler des Bruches nach oben und bei negativen Brüchen
entsprechend nach unten). Dann landet man auf dem Punkt P(3; 3).
Alternativ könnte man auch zwei Werte für x einsetzen. Z.B. x = 0, womit sich y = 1 ergibt
(also der Punkt (0; 1)) und x = 3, womit sich y = 3 ergibt (womit wir den Punkt (3; 3)
erhalten).
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|
Zum Schluss noch der Graph von y = x (der ersten Winkelhalbierenden, y = -x wäre die
Gleichung der zweiten Winkelhalbierenden). Hier ist die Steigung gleich 1.
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Gleichung einer Geraden durch 2 Punkte bestimmen:
Siehe
unter
http://www.mathe-total.de/Analysis-Aufgaben/Untersuchung-linearerFunktionen.pdf Aufgabe 2.
Schnittpunkte von Geraden:
Siehe
unter
http://www.mathe-total.de/Analysis-Aufgaben/Untersuchung-linearerFunktionen.pdf Aufgabe 4.
Aufgaben:
1) Liegt der Punkt P(4; 8) auf der Geraden mit der Gleichung y = -2x +16?
2) Bestimme die fehlenden Komponenten für die Gerade mit der Gleichung y = 2x – 4:
a) P(8; ?)
b) Q(-2; ?)
c) R(?; 6).
3) Wie lautet die Gleichung der Geraden, die die Steigung m = 4 hat und durch den Punkt
P(2; -4) geht.
4) Wie lauten die Nullstellen der Geraden mit den Gleichungen:
a) y = -3x + 9
b) y = 1/3x – 1
c) y = 10x – 5
5) Wie lauten die Geradengleichungen zu folgenden Graphen:
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Lösungen:
1) Setze x = 4 in die Geradengleichung ein: y = -2ÿ4 + 16 = 8, somit ergibt sich der richtige
y-Wert und P(4; 8) liegt auf der Geraden.
2) a) P(8; ?), also ist x = 8: y = 2ÿ8 – 4 = 12. Der Punkt ist R(8; 12).
b) Q(-2; ?), also ist x = -2: y = 2ÿ(-2) – 4 = -8. Der Punkt ist Q(-2; -8).
c) R(?; 6), also ist y = 6: Die Gleichung 6 = 2ÿx – 4 muss nach x aufgelöst werden.
6 = 2ÿx – 4
10 = 2ÿx
5=x
| +4
|:2
Der Punkt ist R(5; 6).
3) Da m = 4 ist, lautet die Gleichung y = 4x + b. b muss bestimmt werden. Wir kennen den
Punkt P(2; -4) auf der Geraden. Somit muss die Geradengleichung für x = 2 und y = -4 erfüllt
sein:
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-4 = 4ÿ2 + b
-4 = 8 + b | -8
-12 = b
Also ist y = 4x – 12 die gesuchte Geradengleichung.
4) Nullstellen:
a)
-3x + 9 = 0 | - 9
-3x = -9 | :(-3)
x=3
b)
1/3x - 1 = 0 | +1
1/3x = 1 | :1/3 oder ÿ3/1
x=3
c)
10x - 5 = 0 | +5
10x = 5 | :10
x = 1/2
4) a) y = 4
b) y =1,5x
c) y = -3x + 3
d) y = 1/3x -3
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14 Parabeln
Die „einfachste“ Parabel ist die Normalparabel, welche die Gleichung f(x) = x2 hat. Es folgt
eine Wertetabelle und danach der Graph (für -3 § x § 3):
x
f(x) = x2
-3
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
2
4
3
9
Der Graph von f(x) = x2:
f(x) = x2 hat nur eine Nullstelle. Allgemein kann eine Parabel die Form f(x) = ax2 + bx + c
haben (dies ist die allgemeine Form der Parabel). Wenn a = 1 ist, so handelt es sich allgemein
um eine Normalparabel, die (wenn nicht b und c gleich Null sind) verschoben ist. Für a = -1
hat die Parabel immer noch die Form einer Normalparabel, die allerdings nach unten geöffnet
ist. Wenn a > 1 oder wenn a < -1 (bzw. wenn |a| > 1) ist, dann ist die Parabel „enger“ als die
Normalparabel und somit gestaucht. Wenn a zwischen -1 und 1 liegt (d.h. wenn |a| < 1 ist),
dann ist die Parabel weiter geöffnet als die Normalparabel und somit gestreckt.
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Eine Parabel kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Darauf kommen wir später noch
mal zurück.
Beispiele:
f(x) = 2x2
Graph:
Alle Parabeln der Form f(x) = ax2 haben den Scheitelpunkt S(0; 0) (dies ist der tiefste oder
höchste Punkt auf der Parabel, je nachdem ob sie nach oben oder nach unten geöffnet ist).
Den Wert a kann man an der Grafik ablesen, wenn man vom Scheitelpunkt aus 1 nach rechts
(oder auch 1 nach links) geht und prüft, wie weit man nach oben gehen muss (oder auch nach
unten, wenn a negativ ist), um wieder auf der Parabel „zu landen“. Dies ist genau der Betrag
von a. Geht man zwei Einheiten nach rechts, so muss man 22a = 4a nach oben gehen, wenn
a > 0 ist (oder entsprechend nach unten, wenn a negativ ist), u.s.w.. Dies gilt für alle Parabeln.
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Bemerkung:
Wenn a bei einer Funktion vom Typ f(x) = ax2 unbekannt wäre, könnte man auch die
Komponenten eines Punktes (außer des Scheitelpunkts) in die Parabelgleichung einsetzen.
Wenn z.B. P(1; 2) ein Punkt auf der Parabel wäre, gilt:
f(1) = aÿ12 = 2. Damit ist a = 2.
Es folgt der Graph von f(x) = 1/2x2:
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f(x) = 1/2x2 + 1 würde sich aus dem Graph von g(x) = 1/2x2 ergeben, wenn man diesen um 1
nach oben schiebt (Scheitelpunkt ist dann S(0; 1)):
Es folgt der Graph von f(x) = -x2 + 4 (mit Scheitelpunkt S(0; 4)):
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Hier ist der Faktor a vor x negativ (a = -1), womit die Parabel nach unten geöffnet ist. Wenn
in der Funktionsgleichung f(x) = ax2 + bx + c der Parameter b ungleich Null ist, dann ist die
Parabel auch nach links oder nach rechts verschoben.
Hier könnte man den Scheitelpunkt beispielsweise bestimmen, wenn die Gleichung der
Parabel in Scheitelform vorliegt (wie man eine Parabelgleichung in diese Form bringt, wird
später noch gezeigt).
Scheitelform: f(x) = a(x – xs)2 + ys
Der Scheitelpunkt ist dann S(xs; ys).
Beispiele:
f(x) = (x – 2)2 + 4 hat den Scheitelpunkt S(2; 4).
f(x) = 1/2(x – 2)2 + 4 hat auch den Scheitelpunkt S(2; 4) und ist weiter geöffnet als die
Normalparabel.
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f(x) = (x + 2)2 hat den Scheitelpunkt S(-2; 0). Hier liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse,
womit es nur eine (doppelte) Nullstelle gibt.
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Es folgen Aufgaben, Lösungen und weitere Erklärungen.
Nullstellen
Aufgabe 1:
Gegeben ist die folgende quadratische Funktion:
f ( x )  2 x ²  32
Bestimme die Nullstellen.
Lösung:
2 x ²  32  0
|: 2
x ²  16  0
| 16
x ²  16
|
Somit ergibt sich x = 4 oder x = -4, da das Quadrat beider Zahlen 16 ergibt. Man schreibt
x1  4 und x2  4
Hätte auf der rechten Seite -16 gestanden, so hätte f keine Nullstellen, denn es gibt keine
reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert -16 ergibt.
Somit haben wir zwei Nullstellen und die x-Achse wird in den Punkten N1(4; 0) und N2(-4; 0)
vom Graph von f geschnitten.
Aufgabe 2:
Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktion:
f ( x )  2 x ²  4 x
Lösung:
2 x ²  4 x  0
x²  2 x  0
|: (2)
Hier kann man x ausklammern:
x ( x  2)  0
Nun ist ein Produkt gleich Null, wenn ein Faktor Null ist, also ist
x  0 oder
x2
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Somit haben wir die zwei Nullstellen x1  0 und x2  2 .
Aufgabe 3:
Gesucht sind die Nullstellen der Funktion
f ( x )  2 x ²  8 x  10
Lösung:
2 x ²  8 x  10  0
x²  4 x  5  0
|: ( 2)
Wir haben die Gleichung zur Bestimmung der Nullstelle zunächst auf die Form
x2 + px + q = 0
gebracht. Nun zeigen wir zunächst, wie man die Gleichung mit einer quadratischen
Ergänzung gelöst werden kann. Danach wenden wir direkt die p-q-Formel an.
Die quadratischen Ergänzung
Hätte man keine Formel, wie die p-q-Formel, die wir gleich herleiten werden, dann müsste
man diese Gleichung durch eine quadratische Ergänzung lösen:
Da (x ≤ a)2 = x2 ≤ 2ax + a2 gilt (binomische Formel anwenden), steht vor dem x in einer
quadratischen Gleichung der Form x2 + px + q = 0 immer das doppelte der Zahl, deren
Quadrat man benötigt, um einen Teil der quadratischen Gleichung als Binom schreiben zu
können. Bei
x²  4 x  5  0
2
4
würden man    4 benötigen.
2
Dies kann man mit einem Trick erreichen, indem man 4 addiert und 4 subtrahiert:
x²  4 x  4  4  5  0
Man hätte hier auch, da es sich um eine Gleichung handelt, auf beiden Seiten 4 addieren
können. Nun kann man einen Teil der Gleichung als Binom schreiben:
(x + 2)2 – 4 – 5 = 0
(x + 2)2 – 9 = 0 | +9
(x + 2)2 = 9 |
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___________________________________________________________________________
Also ist
x  2  3 oder x  2  3 ,
was die Nullstellen x1 = 1 und x2 = -5 ergibt.
Nun muss man nicht jedes mal eine quadratische Ergänzung durchführen, man kann auch die
p-q-Formel verwenden, die sich auch aus einer quadratischen Ergänzung ergibt:
Die p-q-Formel
Die p-q-Formel zum Lösen der Gleichung x ²  px  q  0 :
2
x1/ 2
p
 p
     q
2
2
Anwendung der p-q-Formel im Beispiel:
x²  4 x  5  0
Hier ist p = 4 und q = -5:
2
x1/2
4
4
      (5)
2
2
 2  4  5
Somit ist x1  2  3  1 und x2  2  3  5 .
Wir haben zwei Nullstellen erhalten, da hier der Wert unter der Wurzel bzw. von
(p/2)2 – q > 0 war. Wäre (p/2)2 – q = 0, so hätte die quadratische Gleichung nur eine Lösung
und die Funktion hätte somit nur eine (doppelte) Nullstelle. Falls (p/2)2 – q < 0 wäre, hätte die
Gleichung keine Lösung (und somit hätte die Funktion keine Nullstellen).
Bei der Aufgabe 1 und 2 war keine p-q-Formel notwendig. Man hätte sie aber auch anwenden
können. Bei Aufgabe 1 wäre p = 0 und q = -16 und bei Aufgabe 2 wäre p = -2 und q = 0.
Scheitelpunkt und Scheitelform
Aufgabe 4:
Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion
f(x) = x2 + 4x -5.
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Lösung:
Da, wie bereits in der vorangegangenen Aufgabe beschrieben, (x ≤ a)2 = x2 ≤ 2ax + a2 gilt
(binomische Formel anwenden), steht vor dem x in einer quadratischen Gleichung immer das
doppelte der Zahl, deren Quadrat man benötigt, um einen Teil der quadratischen Gleichung
als Binom schreiben zu können.
2
4
Hier würden man    4 benötigen. Man addiert somit 4 und subtrahiert gleichzeitig 4,
2
was die Funktion nicht verändert:
f(x) = x2 + 4x + 4 - 4 - 5
Nun kann man einen Teil der Gleichung als Binom schreiben:
f(x) = (x + 2)2 - 4 - 5
f(x) = (x + 2)2 - 9
Somit können wir den Scheitelpunkt ablesen, der S(-2; -9) ist. Die Symmetrieachse der
Parabel ist dann x = -2 und den kleinsten Funktionswert, den die Funktion annehmen kann,
der ist -9.
Aufgabe 5:
Gesucht wird die Scheitelform der Parabel mit der Gleichung f(x) = 2x2 – 12x + 8.
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Lösung:
Wir klammern 2 aus, wobei wir die Konstante 8 auch außerhalb der Klammern stehen lassen
können (in kursiv ist die quadratische Ergänzung zu sehen):
f(x) = 2[x2 – 6x] + 8
f(x) = 2[x2 – 6x + (6/2)2 - (6/2)2] + 8
= 2[(x – 3)2 – 9] + 8
= 2(x – 3)2 - 10
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Bestimmung der Funktionsgleichung einer Parabel
Aufgabe 6:
Eine verschobene Normalparabel (a = 1) hat die Nullstellen x1 = -4 und x2 = 2. Bestimme die
Funktionsgleichung in allgemeiner Form.
Lösung:
f(x) = (x – (-4))(x – 2)
= (x + 4)(x – 2)
= x2 -2x + 4x – 8
Also f(x) = x2 +2x – 8.
Aufgabe 7:
Eine Parabel hat die Nullstellen x1 = 0 und x2 = 4 und geht durch den Punkt P(1; 3). Bestimme
die Funktionsgleichung.
Lösung:
f(x) = a(x – 0)(x – 4)
= ax(x – 4)
Es gilt:
f(1) = a(1 – 4) = 3
-3a = 3
a = -1
Also ist
f(x) = -x(x - 4) = -x2 + 4x .
Aufgabe 8:
Eine Parabel hat den Scheitelpunkt S(1; 4) und geht durch den Punkt P(3; 12). Bestimme die
Funktionsgleichung.
Lösung:
Die Scheitelform ist:
Somit ist hier also
f(x) = a(x – xs)2 + ys
f(x) = a(x – 1)2 + 4.
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Nun bestimmen wir noch a:
f(3) = a(3 – 1)2 + 4 = 12
4a + 4 = 12 | -4
4a = 8 | :4
a=2
Also ist f(x) = 2(x – 1)2 + 4.
Oder ausmultipliziert:
f(x) = 2(x – 1)2 + 4
= 2(x2 – 2x + 1) + 4
= 2x2 – 4x + 6
Aufgabe 9:
Eine Parabel verläuft durch die folgenden Punkte A(-2; -6), B(2; 10) und C(-1; 4). Bestimme
die Funktionsgleichung.
Lösung:
Ansatzfunktion ist f(x) = ax2 + bx + c.
(1)
(2)
(3)
f(-2) = (-2)2a + (-2)b + c = -6
f(2) = 22a + 2b + c = 10
f(-1) = (-1)2a + (-1)b + c = 4
(1)
(2)
(3)
4a – 2b + c = -6
4a + 2b + c = 10
a- b+c=4
Nun entscheidet man sich für eine Variable (z.B. c), die man eliminieren möchte und
addiert/subtrahiert vielfache einer Gleichung zu/von einer anderen. Dabei macht man
zunächst aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zwei Gleichungen mit zwei
Unbekannten. Wäre ein Punkt z.B. (0; …) gewesen, so hätte man bereits mit einer Gleichung
schon den Wert von c und könnte diesen in die anderen beiden einsetzen.
Subtrahiert man die Gleichung (2) von (1), so erhält man:
(4)
-4b = -16
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Als nächstes subtrahieren wir (3) von (1) (hier muss jeweils eine neue Gleichung verwendet
werden), so erhält man:
(5)
3a – b = -10
Aus (4) ergibt sich b = 4. Setzt man b = 4 in (5) ein, so ergibt sich:
3a – 4 = -10 | +4
3a = -6 | :3
a = -2
Nun kann man a = -2 und b = 4 z.B. in (3) einsetzen:
-2 – 4 + c = 4
Somit ist c = 10.
Also ist f(x) = -2x2 + 4x + 10.
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15 Exponentialfunktionen
Eine Exponentialfunktion ist gegeben durch:
f(x) = ax mit a > 0 (und a ∫ 1).
Der maximale Definitionsbereich ist Ñ und der Wertebereich ist Ñ+, denn es gibt nur positive
Funktionswerte und somit auch keine Nullstellen. Die Asymptote liegt hier auf der x-Achse,
denn für a > 1 und x gegen -¶ geht f(x) gegen Null, wie auch für 0 < a < 1 und x gegen ¶.
Hier gilt f(0) = a0 = 1. Somit wird die y-Achse immer im Punkt Sy(0; 1) geschnitten. Für a > 1
ist die Exponentialfunktion streng monoton steigend. Die folgende Grafik zeigt f(x) = 2x:
Für a < 1 (und a > 0) ist die Exponentialfunktion streng monoton fallend. Die Grafik zeigt
f(x) = (1/2)x = 2-x:
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Die Grafen von f(x) = ax und g(x) = (1/a)x = a-x ergeben sich jeweils durch eine Spiegelung
des einen Grafen an der y-Achse (siehe die beide oberen Grafiken).
Eine „allgemeiner“ Darstellung der Exponentialfunktion ist die folgende:
f(x) = bÿax mit a > 0.
Hier wird die y-Achse vom Graf im Punkt Sy(0; b) geschnitten. Wir wollen nun allgemein die
Wertetabelle darstellen (für x = -2, -1, …, 3):
X
f(x)
-2
bÿa-2
-1
bÿa-1
0
b
1
bÿa
2
bÿa2
3
bÿa3
Vergleicht man x mit x + 1, so fällt auf, dass für die Funktionswerte sich um den Faktor a
unterscheiden, d.h. f(x + 1) = aÿf(x).
Es folgen Aufgaben.
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Aufgabe 1:
Bestimme die Exponentialfunktion (Typ f(x) = bÿax), deren Graph durch die Punkte P(0; 4)
und Q(2; 16) verläuft.
Lösung:
Setzt man die Punkte in die Funktionsgleichung f(x) = bÿax ein, so erhält man ein
Gleichungssystem, welches man nach a und b auflösen kann:
(1) f(0) = bÿa0 = 4
(2) f(2) = bÿa2 = 16
Mit (1) ergibt sich b = 4. Setzt man b = 4 in (2) ein, so ergibt sich:
4ÿa2 = 16 | :4
a2 = 4 |
Somit ist a = 2 (a = -2 ist zwar auch Lösung der Gleichung, hier aber nicht zulässig, da a > 0
sein soll).
Also haben wir die Gleichung:
f(x) = 4ÿ2x
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Aufgabe 2:
Gegeben sind die beiden Punkte P(-2; 24) und Q(1; 3) auf dem Graphen einer gesuchten
Exponentialfunktion (Typ f(x) = bÿax). Bestimme die Funktionsgleichung.
Lösung:
Hier ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
(1) f(-2) = bÿa-2 = 24
(2) f(1) = bÿa1 = 3
Nun kann man eine der beiden Gleichungen nach b auflösen und in die andere einsetzen. Wir
lösen z.B. (2) nach b auf und erhalten
(3)
b = 3/a ,
was wir in (1) einsetzten:
3/a ÿa-2 = 24
3ÿa-3 = 24 | ÿa3
3 = 24ÿa3 | : 24
Vertauscht man beide Seiten der Gleichung, erhält man
a3 = 1/8 |
3
a = 1/2
Setzt man a = 1/2 in (3) ein, so erhalten wir b = 6, somit haben wir die Gleichung:
f(x) = 6ÿ(1/2)x = 6ÿ2-x
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Aufgabe 3:
Ein Auto wird für 20000 EUR neu gekauft. Wir nehmen an, dass das Auto pro Jahr 20% an
Wert verliert.
a) Welche Exponentialfunktion beschreibt dieses Problem?
b) Welchen Wert hat das Auto nach 5 Jahren?
c) Wann ist das Auto nur noch halb so viel wert?
Lösung:
a) Nach einem Jahr ist das Auto nur noch 80% wert, bzw. 20000ÿ0,8 EUR. Nach zwei
Jahren
wäre es dann wieder nur 80% vom Vorjahr wert, also 20000ÿ0,82 EUR.
Wir haben somit die folgende Exponentialfunktion, die den Wert des Autos in
Abhängigkeit der Zeit t beschreibt (wie lassen der Einfachheit halber die Einheiten
weg):
f(x) = 20000ÿ0,8x
b)
f(5) = 20000ÿ0,85 = 6553,6
Also ist es nach 5 Jahren noch 6553,60 EUR wert.
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c)
f(x) = 20000ÿ0,8x = 10000 | : 20000
0,8x = 0,5 | lg
xÿlg(0,8) = lg(0,5) |: lg(0,8)
x = lg(0,5)/lg(0,8)
x º 3,10628
Oben wurde der lg = log10 (d.h. der Logarithmus zur Basis 10) verwendet, man könnte
auch einen anderen Logarithmus verwenden. Hat man den log0,8 zur Verfügung, dann
ergibt sich direkt x = log0,8 (0,5).