Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 2013/14 30. September 2013

Logik
Logik
Vorkurs Informatik
Theoretischer Teil
WS 2013/14
30. September 2013
Vorkurs Informatik - Theorie - WS2013/14
Logik > Logik > logische Aussagen
Logik
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Logik > Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen (z.B. künstliche Intelligenz
Auswertung von Datenbankanfragen
Kontrollfluss von Computerprogrammen
(if-then-else-Konstrukte)
Logikbauteile in der technischen Informatik (Hardware)
Automatische Verifikation (automatisches Testen eines Systems
auf dessen Funktionstüchtigkeit)
Mathematische Beweise
Korrektes Argumentieren
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Logik > Logik > logische Aussagen
logische Aussagen
Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten
Argumentierens. Diese Prinzipien gelten auch unabhängig vom
konkreten Inhalt. Eine logische Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz
oder Ausdruck, der entweder wahr (1) oder falsch (0) sein kann.
Beispiel 1: Folgende Sätze und Ausdrücke sind Aussagen:
Die Sonne scheint.“
”
Es ist hell.“
”
Der Tisch ist blau.“
”
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Logik > Logik > logische Aussagen
Beispiel 2
Beispiel 2: Folgende Sätze und Ausdrücke sind keine Aussagen:
“5 + 5”, “3 · 2”, “ 57 ” usw., da sie keine vollständige Ausdrücke
sind, denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann.
“15 ist eine schöne Zahl” (“schön” ist für Zahlen nicht definiert.)
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Logik > Logik > logische Aussagen
Beispiel 2 Fortsetzung
Aufforderungen (“Lach mal!”)
und Fragen (“Wie spät ist es?”)
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Logik > Logik > Aussagenlogik
Aussagenlogik
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Logik > Logik > Aussagenlogik
Syntax und Semantik
Definition (Syntax)
Mit der Syntax legen wir fest, welche Zeichenreihen gültige Formeln
sind und welche nicht.
So soll etwa (A → B) eine gültige Zeichenreihe sein, wohingegen die
Zeichenreihe (→ A)B nicht erlaubt sein soll.
Definition (Semantik)
Die Semantik legt die Bedeutung einer Formel fest; also, ob eine
Formel wahr oder falsch ist. Dies ist immer abhängig davon, ob die
einzelnen atomaren Aussagen, aus denen eine Formel besteht, wahr
oder falsch sind. Der Einfachheit halber belegen wir die Atome nur mit
“wahr”(1) oder “falsch”(0), den sogenannten Wahrheitswerten.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, . . ., Z , A1 , . . . von
Atomen (auch aussagenlogische Variablen genannt) gegeben haben.
Aussagenlogische Formeln bestehen aus den Atomen, den Junktoren
∧, ∨, ¬, →, ↔ und Klammern. Sie werden nach den folgenden Regeln
aufgebaut:
Definition
Sowohl aussagenlogische Variablen, als auch 0 und 1, sind gültige
Formeln.
Beispiele:
V Der Vorhang ist rot.
K Der Koffer ist blau.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist nur dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Beispiel:
A Alle Kinder spielen gern.
¬A Nicht alle Kinder spielen gern.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Ist A eine Formel, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel. Die
Aussage ¬A ist nur dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist.
Wahrheitstafel:
A
0
1
¬A
1
0
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist wahr, wenn sowohl die
Aussage A, als auch die Aussage B, wahr sind.
Beispiel:
A Die Sonne scheint.
B Der Wind weht stark.
(A ∧ B) Die Sonne scheint und der Wind weht stark.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist wahr, wenn sowohl die
Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A ∧ B)
0
0
0
1
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist wahr, wenn mindestens
eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
V Der Vorhang ist rot.
K Der Koffer ist blau.
(V ∨ K ) Der Vorhang ist rot oder der Koffer ist blau.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist wahr, wenn mindestens
eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A ∨ B)
0
1
1
1
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist wahr, wenn A falsch
ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A Es regnet.
B Die Straße ist nass.
(A → B) Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist wahr, wenn A falsch
ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A → B)
1
1
0
1
Faustregel: Aus Wahrem kann man nur Wahres folgern - aus
Falschem kann man alles folgern.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Beispiel:
A Der Schornstein raucht.
B Die Heizung ist an.
(A ↔ B) Der Schornstein raucht genau dann, wenn die Heizung
an ist.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A ↔ B)
1
0
0
1
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
˙
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A∨B)
(sprich: Entweder A
˙
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A∨B)
ist wahr, wenn
genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Ich liege Montags um 10 Uhr im Bett und schlafe.
L Ich besuche Montags um 10 Uhr die Vorlesung Lineare
”
Algebra“.
˙
(D ∨L)
Entweder liege ich Montags um 10 Uhr im Bett und
schlafe oder besuche die Vorlesung Lineare Algebra“.
”
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
˙
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A∨B)
(sprich: Entweder A
˙
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A∨B)
ist wahr, wenn
genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
˙
(A∨B)
0
1
1
0
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Erfüllbare Formeln
Definition (Erfüllbar)
Eine aussagenlogische Formel, heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung
der Variablen gibt, bei der die Formel den Wahrheitswert 1 hat.
Beispiel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A ∧ B)
0
0
0
1
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Tautologie
Definition (Tautologie)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung
der Variablen wahr ist, heißt Tautologie (oder allgemeingültig).
Beispiel:
A
0
1
¬A
1
0
(A ∨ ¬A)
1
1
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Kontradiktion
Definition (Kontradiktion)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung
der Variablen 0 (falsch) ist, heißt Kontradiktion (oder unerfüllbar).
Beispiel:
A
0
1
¬A
1
0
(A ∧ ¬A)
0
0
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Äquivalente Formeln
Definition
Seien α und β aussagenlogische Formeln.
Sei M die Menge der Variablen, die in α vorkommen, und N die
Menge der Variablen, die in β vorkommen.
Die Formeln α und β heißen äquivalent, wenn für jede Belegung
der Variablen in M ∪ N die Wahrheitswerte von α und β
übereinstimmen.
Wir schreiben dann auch α ≡ β“.
”
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Logik > Logik > Rechenregeln
Rechenregeln
Seien A, B und C aussagenlogischen Formeln. Dann gilt:
1) ¬¬A ≡ A
2) Kommutativgesetze:
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
(A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
3) Assoziativgesetze:
((A ∧ B) ∧ C ) ≡ (A ∧ (B ∧ C ))
((A ∨ B) ∨ C ) ≡ (A ∨ (B ∨ C ))
4) Distributivgesetze:
((A ∧ B) ∨ C ) ≡ ((A ∨ C ) ∧ (B ∨ C ))
((A ∨ B) ∧ C ) ≡ ((A ∧ C ) ∨ (B ∧ C ))
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Logik > Logik > Rechenregeln
Rechenregeln 2
5) De Morgan’sche Gesetze:
¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)
¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)
6)
(A ∧ 1) ≡ A
(A ∨ 1) ≡ 1
(A ∧ 0) ≡ 0
(A ∨ 0) ≡ A
(A ∧ A) ≡ A
(A ∨ A) ≡ A
7) Absorptionsgesetze:
(A ∨ (A ∧ B)) ≡ A
(A ∧ (A ∨ B)) ≡ A
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Logik > Logik > Rechenregeln
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