Übungsbeispiele zur Matura aus Mathematik – Vektorrechnung

Übungsbeispiele zur Matura aus Mathematik – Vektorrechnung
A) Die Ebene ε wird festgelegt durch die Punkte A(1/1/0), B(2/4/1) und C(0/2/5). Die Gerade g wird
durch die beiden Punkte E(3/3/1) und F(–1/3/5) festgelegt.
a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt zwischen der Ebene und der Geraden. [(1/3/3)]
b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Ebene und der Geraden. [26,68°]
B) Gegeben sind die Ebene ε: X = (6/0/0) + u(1/0/2) + v(–1/1/0) und die Gerade
g: X = (2/0/1) + r.(2/2/–1).
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene ε in Normalform. [–2x – 2y + z = –12]
b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen ε und g. [90°]
c) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes zwischen ε und g. [(4/2/0)]
d) Die Punkte P und Q liegen auf g und liegen symmetrisch bezüglich ε. Sie haben von einander den
Abstand 12. Bestimmen Sie die Koordinaten von P und Q. [P(8/6/–2), Q(0/–2/2)]
e) Welchen abstand hat der Punkt R(2/0/1) von der Ebene ε? [3]
C) Von einem Tetraeder sind bekannt die Eckpunkte der Grundfläche A(0/0/0), B(7/0/0) und C(0/4/0).
Der Fußpunkt der Spitze S hat die Koordinaten (3/2/0). Die Höhe beträgt 8 E.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze S. [(3/2/8)]
b) Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders. [V = 37,3 E3]
c) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Seite AS zur Grundfläche. [65,74°]
d) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Fläche ACS zur Grundfläche. [69,5°]
D) Gegeben sind die Punkte A(–5/4/–3), B(3/b>0/3), C(3/–6/3)
a) Bestimmen Sie b (>0) so, dass das Dreieck ABC in B einen rechten Winkel hat. Zeigen Sie, dass
dieses Dreieck auch gleichschenkelig ist. [b = 4]
b) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass ein Quadrat ABCD entsteht. Geben Sie die durch das Quadrat
festgelegte Ebene in Normalvektorform an. [D(–5/–6/–3); ε: 3x – 4z = –3]
c) Über dem Quadrat ABCD wird eine gerade Pyramide mit der Höhe h = 25 errichtet. Ermitteln Sie die
Koordinaten der beiden möglichen Spitzen S1 und S2 und berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
[S1 (14/–1/–20); S2 (–16/–1/20); V = 833,3 E3]
d) Berechnen Sie den Winkel, den die Seitenkante AS1 mit der Basisebene einschließt [α = 74,2°]
e) Geben Sie ein Formel an, mit der der Neigungswinkel der Seitenkante einer geraden quadratischen
Pyramide zur Basisebene berechnet werden kann, wenn sowohl das Volumen V als auch die Länge
der Grundlinie a bekannt sind [tanα = 6V/(2a3)]
E) Von einem Tetraeder kennt man die Eckpunkte der Grundfläche A(3/1/1), B(0/6/1) und C(1/3/5).
Die Spitze S liegt über dem Punkt C und in der Ebene ε: 3x – 2y + 8z = 3.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Spitze S. [(–9/–3/3)]
b) Berechnen Sie die Gleichung der Trägergeraden, auf der die Höhe h verläuft. [g: X=(1/3/5)+t(5/3/1)]
c) Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders. [46,6 E3]
d) Berechnen Sie die Oberfläche des Tetraeders. [107,5 E2]
e) Berechnen Sie den Winkel, den die Grundfläche mit der Fläche ASB einschließt. [71,1°]
F) Die Ebne ε1 ist gegeben durch die Punkte A(1/2/4), B(–2/–4/10) und C(2/5/0).
a) Geben Sie die Ebenengleichung von ε1 in der Normalform an. [2x – 2y – z = –6]
b) Die Ebene ε2 geht durch den Punkt D(3/–1/–1) und ist parallel zu ε1. Geben Sie die Gleichung von
ε2 an und berechnen Sie den Abstand der beiden Ebenen. [2x – 2y – z = 9; 5 E]
c) Die Gerade g ist festgelegt durch die Punkte E(1/2/–1) und F(5/6/3) und schneidet die beiden
Ebenen. Berechnen Sie den Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten. [25,98 E]
d) Wie groß ist der Schnittwinkel zwischen der Geraden g und den beiden Ebenen? [11,1°]
G) Das Parallelogramm A, B(3/4/4), C(1/6/5), D(–2/1/7) ist die Basis einer Pyramide mit der Spitze
S(4/2/0).
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes A. [(0/–1/6)]
b) Berechnen Sie das Volumen. [19 E3]
c) Berechnen Sie die Oberfläche. [71,4 E2]
d) Berechnen Sie den Winkel zwischen der Grundfläche und der Seite ABS. [42,6°]
H) Das Quadrat mit den Eckpunkten A(1/13/7), B(13/17/1), C, D(5/19/19) ist die Basis einer geraden
quadratischen Pyramide mit der Spitze S(15/6/14).
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes C. [(17/23/13)]
b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [914,7 E3]
c) Berechen Sie die Oberfläche der Pyramide. [634,3 E2]
d) Berechnen Sie den Fußpunkt der Höhe h. [(9/18/10)]
e) Berechen Sie den Winkel zwischen der Grundfläche und der Seitenkante AS. [54,7°]
I) Die Punkte A(1/2/3), B(4/4/3), C(6/2/0) und S(12/–7/10) sind die Eckpunkte einer dreiseitigen
Pyramide.
a) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [36,17 E3]
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Fußpunktes F der Höhe. [F(6/2/0)]
c) Welchen Winkel schließt die Seitenkante AS mit der Grundfläche ABC ein? [68,4°]
d) Welchen Winkel schließt die Seitenfläche ABS mit der Grundfläche ABC ein? [74,5°]
J) Gegeben ist eine gerade Pyramide mit rechteckiger Grundfläche. Von der Grundfläche sind die
Eckpunkte A(3/1/0), B(2/4/2) und C(5/5/2) bekannt. Die Höhe der Pyramide beträgt h = √140.
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D und der Spitze S. [(6/2/0); (2/9/–9) bzw. (6/–3/11)]
b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [46,67 E3]
c) Berechnen Sie die Oberfläche der Pyramide. [94,38 E2]
d) Berechnen Sie den Neigungswinkel der Seite ASB zur Grundfläche. [82,39°]
K) Gegeben sind die Eckpunkte A(0/1/3), B(–1/5/2) und der Mittelpunkt M (1/3/1) des
Basisquadrates einer geraden Pyramide sowie deren Höhe h = 6 E.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der fehlenden Eckpunkte C und D und der Spitze S.
[C(2/5/–1); D(3/1/0); S(–3/1/–3)]
b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. [36 E3]
c) Berechnen Sie den Neigungswinkel α der Seitenkante AS zur Basisebene. [63,4°]
L) Von einer Pyramide mit dreieckiger Grundfläche kennt man die Eckpunkte A(5/1/1), B(–1/3/9) und
C(–3/–1/5). Der Fußpunkt F der Höhe hat die Koordinaten (1/0/z). Die Spitze S liegt in der Ebene
ε: 3x + 2y – z = –18.
a) Zeigen Sie, dass die Koordinaten der Spitze S (13/–20/17) lauten.
[F(1/0/3)]
b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.
[740/3 E3]
c) Wie groß ist der Neigungswinkel der Seitenfläche ABS zur Grundfläche ABC?
[84,4°]
d) Die Höhe der Pyramide soll so abgeändert werden (bei gleich bleibender Grundfläche und
Trägergeraden der Höhe), dass sich das Volumen der Pyramide auf 1850/3 E3 ändert. Wie lauten
nun die Koordinaten der neuen Spitze?
[(31/–50/38)]
M) Das Viereck mit den Eckpunkten A(4/1/0), B(1/6/1), C(-2/1/2), D(1/-4/z) ist ein ebenes Viereck.
a) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene ε, in welcher das Viereck ABCD liegt. [x + 3z = 4]
b) Berechnen Sie die fehlende Koordinate des Punktes D! [D(1/-4/1)]
c) Überprüfen Sie, ob es sich um ein besonderes Viereck ( Rechteck - Quadrat - Parallelogramm –
Rhombus - Deltoid) handelt ! Begründen Sie Ihre Aussage! [Rhombus]
d) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks! [31,62 E2]
e) Berechnen Sie den Winkel des Vierecks! [115,38o]
f) S(4/1/11) ist die Spitze einer Pyramide mit dem Viereck ABCD als Grundfläche.
Berechnen Sie den Rauminhalt dieser Pyramide! [110 E3]