Theorieteil Tag 4 a

Logik
Logik
Quick Start Informatik
Theoretischer Teil
WS2011/12
7. Oktober 2011
QSI - Theorie - WS2011/12
Logik > Logik > logische Aussagen
Logik
QSI - Theorie - WS2011/12
Logik > Logik > logische Aussagen
Motivation
Logik spielt in der Informatik eine wichtige Rolle. Anwendungen sind
z.B.
Modellierung von Wissen, etwa in der künstlichen Intelligenz
Automatische Verifikation (automatisches Testen, ob ein System
die Spezifikationen erfüllt)
Kontrollfluss von Computerprogrammen
Logikbauteile in der Hardware
Datenbanken: Auswerten von Anfragen
Mathematische Beweise
Korrektes Argumentieren
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Logik > Logik > logische Aussagen
logische Aussagen
Die Logik behandelt die allgemeinen Prinzipien des korrekten
Argumentierens. Diese Prinzipien gelten allein aufgrund der Form der
Aussagen und sind unabhängig vom konkreten Inhalt. Eine logische
Aussage (kurz Aussage) ist ein Satz oder Ausdruck, der entweder
wahr oder falsch sein kann auch wenn wir diese gegebenenfalls nicht
kennen.
Beispiel 1: Folgende Sätze und Ausdrücke sind Aussagen:
“2 ist gerade.”
“2 < 1”, “2 > 1”
“Dieser Ball ist rot.”
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Logik > Logik > logische Aussagen
Beispiel 2
Beispiel 2: Folgende Sätze und Ausdrücke sind keine Aussagen:
“1 + 2”, “1 − 2” usw., da sie keine vollständige Ausdrücke sind,
denen man die Werte wahr oder falsch zuordnen kann.
“2 ist eine kleine Zahl” ist keine Aussage, da “klein” für Zahlen
nicht definiert ist.
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Logik > Logik > logische Aussagen
Beispiel 2 Fortsetzung
Aufforderungen (“Komm her!”) und Fragen (“Was machen wir?”)
“Dieser Satz ist falsch!”, da dieser Satz weder wahr noch falsch
sein kann. Denn wenn der Satz wahr wäre, dann trifft der
behauptete Sachverhalt zu und demnach ist der Satz falsch. Er
kann aber auch nicht falsch sein; denn dann trifft der Sachverhalt
nicht zu und so ist der Satz wahr.
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Logik > Logik > Aussagenlogik
Aussagenlogik
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Logik > Logik > Aussagenlogik
Syntax und Semantik
Definition (Syntax)
Mit der Syntax legen wir fest, welche Zeichenreihen gültige Formeln
sind.
So soll etwa (A ∧ B) eine gültige Zeichenreihe sein, wohingegen die
Zeichenreihe ∧()AB nicht erlaubt sein soll.
Definition (Semantik)
Die Semantik legt fest, ob die Formeln wahr oder falsch sind - jeweils
in Abhängigkeit davon, ob die einzelne atomaren Aussagen von denen
sie bestehen wahr oder falsch sind. Wir werden von konkreten Inhalten
der atomaren Aussagen absehen und belegen die Atome einfach
entweder mit “wahr” oder “falsch”, den sogenannten
Wahrheitswerten. Wir verwenden 1 für “wahr” und 0 für “falsch”.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Wir nehmen an, dass wir eine unendliche Menge A, B, A1 , A2 , A3 , . . . ,
B1 ,B2 ,B3 ,. . . von Atomen (auch aussagenlogische Variablen
genannt) gegeben haben. Aussagenlogische Formeln sind
Zeichenreihen, die aus den Atomen, den Junktoren ∧, ∨, ¬, → und ↔
und den beiden Klammern ( und ) nach den folgenden Regeln
aufgebaut werden.
Definition
Atome sind Formeln.
Beispiele:
L Lucy spielt Gitarre
A 9 geteilt durch 3 ist 2
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Negation
Definition (Negation)
Wenn A eine Formel ist, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel (Das
Zeichen ¬“ heißt Negation.) Die Aussage ¬A ist nur dann wahr,
”
wenn die Aussage A falsch ist.
Beispiel:
A Deutschland ist Fußballweltmeister
¬A Deutschland ist nicht Fusßballweltmeister
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Negation
Definition (Negation)
Wenn A eine Formel ist, dann ist auch ¬A (nicht A) eine Formel (Das
Zeichen ¬“ heißt Negation.) Die Aussage ¬A ist nur dann wahr,
”
wenn die Aussage A falsch ist.
Wahrheitstafel:
A
0
1
¬A
1
0
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist wahr, wenn sowohl die
Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A Orlando di Lasso lebte im 16. Jahrhundert
B Orlando di Lasso leitete die bayerische Hofkapelle
(A ∧ B) Orlando di Lasso lebte im 16. Jahrhundert und leitete die
bayerische Hofkapelle
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Konjunktion
Definition (Konjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∧ B) (sprich: A und B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∧ B) ist wahr, wenn sowohl die
Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A ∧ B)
0
0
0
1
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist wahr, wenn mindestens
eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Im WS wird die Vorlesung “Logik und Datenbanken”
angeboten
L Im WS wird die Vorlesung “Logik in der Informatik”
angeboten
(D ∨ L) Im Wintersemester wird die Vorlesung “Logik und
Datenbanken” oder die Vorlesung “Logik in der
Informatik” angeboten.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Disjunktion
Definition (Disjunktion)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ∨ B) (sprich: A oder B)
ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ∨ B) ist wahr, wenn mindestens
eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A ∨ B)
0
1
1
1
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist wahr, wenn A falsch
ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Beispiel:
A Wir nehmen die Express-Fähre ab Hirtshals
B Wir gelangen nach Bergen
(A → B) Wenn wir die Express-Fähre ab Hirtshals nehmen, dann
werden wir nach Bergen gelangen
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Implikation
Definition (Implikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A → B) (sprich: Wenn A dann
B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A → B) ist wahr, wenn A falsch
ist oder wenn sowohl die Aussage A als auch die Aussage B wahr sind.
Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A → B)
1
1
0
1
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Beispiel:
A Deutschland schneidet bei der PISA-Studie besser ab
B Der Staat investiert mehr Geld in die Bildung
(A ↔ B) Deutschland schneidet bei der PISA-Studie besser ab
genau dann wenn der Staat mehr Geld in die Bildung
investiert.
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Biimplikation
Definition (Biimplikation)
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A ↔ B) (sprich: A genau dann
wenn B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A ↔ B) ist wahr, wenn A
und B beide falsch oder beide wahr sind.
Wahrheitstafel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A ↔ B)
1
0
0
1
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
˙
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A∨B)
(sprich: Entweder A
˙
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A∨B)
ist wahr, wenn
genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
Beispiel:
D Im WS kann man Dienstags von 10:00 bis 12:00 die
Vorlesung “Einführung in die Numerik” besuchen.
L Im WS kann man Dienstags von 10:00 bis 12:00 die
Vorlesung “Einführung in Adaptive Systeme” besuchen.
˙
(D ∨L)
Im Wintersemester kann man Dienstags von 10:00 bis
12:00 entweder die Vorlesung “Einführung in die
Numerik” oder die Vorlesung “Einführung in Adaptive
Systeme” besuchen.
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Logik > Logik > Syntax und Semantik der Aussagenlogik
ausschließende Disjunktion
Definition (ausschließende Disjunktion)
˙
Seien A und B zwei Formeln, dann ist (A∨B)
(sprich: Entweder A
˙
oder B) ebenfalls eine Formel. Die Aussage (A∨B)
ist wahr, wenn
genau eine der beide Aussagen A oder B wahr ist.
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
˙
(A∨B)
0
1
1
0
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Tautologie
Definition (Tautologie)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung
der Variablen 1 (wahr) ist, heißt Tautologie.
Beispiel:
A
0
1
¬A
1
0
(A ∨ ¬A)
1
1
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Kontradiktion
Definition (Kontradiktion)
Eine aussagenlogische Formel, deren Wahrheitswert bei jeder Belegung
der Variablen 0 (falsch) ist, heißt Kontradiktion.
Beispiel:
A
0
1
¬A
1
0
(A ∧ ¬A)
0
0
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Erfüllbare Formeln
Definition (Erfüllbar)
Eine aussagenlogische Formel, heißt erfüllbar, wenn es eine Belegung
der Variablen gibt, bei der die Formel den Wahrheitswert 1 hat.
Beispiel:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
(A ∧ B)
0
0
0
1
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Logik > Logik > Noch mehr Definitionen
Äquivalente Formeln
Definition
Seien α und β aussagenlogische Formeln.
Sei M die Menge der Variablen, die in α vorkommen, und N die
Menge der Variablen, die in β vorkommen.
Die Formeln α und β heißen äquivalent, wenn für jede Belegung
der Variablen in M ∪ N die Wahrheitswerte von α und β
übereinstimmen.
Wir schreiben dann auch α ≡ β“.
”
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Logik > Logik > Rechenregeln
Rechenregeln
Seien A, B und C aussagenlogischen Formeln. Dann gilt:
1) ¬¬A ≡ A
2) Kommutativgesetze:
(A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
(A ∨ B) ≡ (B ∨ A)
3) Assoziativgesetze:
((A ∧ B) ∧ C ) ≡ (A ∧ (B ∧ C ))
((A ∨ B) ∨ C ) ≡ (A ∨ (B ∨ C ))
4) Distributivgesetze:
((A ∧ B) ∨ C ) ≡ ((A ∨ C ) ∧ (B ∨ C ))
((A ∨ B) ∧ C ) ≡ ((A ∧ C ) ∨ (B ∧ C ))
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Logik > Logik > Rechenregeln
Rechenregeln 2
5) De Morgan’sche Gesetze:
¬(A ∧ B) ≡ (¬A ∨ ¬B)
¬(A ∨ B) ≡ (¬A ∧ ¬B)
6)
(A ∧ 1) ≡ A
(A ∨ 1) ≡ 1
(A ∧ 0) ≡ 0
(A ∨ 0) ≡ A
(A ∧ A) ≡ A
(A ∨ A) ≡ A
7) Absorptionsgesetze:
(A ∨ (A ∧ B)) ≡ A
(A ∧ (A ∨ B)) ≡ A
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Logik > Logik > Rechenregeln
noch Fragen???
Quelle Bild: http://www.citycampus.eu/cms/images/comic fragezeichen.png
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