Diskrete Mathematik (IFB2B) Übungsblatt 11 1. Wahr oder falsch
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Diskrete Mathematik (IFB2B) Übungsblatt 11 1. Wahr oder falsch? Antwort mit Begründung! (a) Sie haben einen fairen Würfel mit den sechs Seiten 1; 2; : : : ; 6. Ist das Ereignis ein Vielfaches von 2 wird gewürfelt unabhängig von dem Ereignis ein Vielfaches von 3 wird gewürfelt? (b) Sie haben einen fairen Würfel mit den vier Seiten 1; 2; 3; 4. Ist das Ereignis ein Vielfaches von 2 wird gewürfelt unabhängig von dem Ereignis ein Vielfaches von 3 wird gewürfelt? (c) Sie haben einen fairen Würfel mit den acht Seiten 1; 2; : : : ; 8. Ist das Ereignis ein Vielfaches von 2 wird gewürfelt unabhängig von dem Ereignis ein Vielfaches von 3 wird gewürfelt? (d) Sie haben einen fairen Würfel mit den acht Seiten 1; 2; : : : ; 8. Sei X die Zufallsvariable Divisionsrest bei Division des Würfelergebnisses durch 2 und Y die Zufallsvariable Divisionsrest bei Division des Würfelergebnisses durch 3. Sind die Zufallsvariablen X und Y unabhängig? 2. 1000 Personen bilden die Menge P , von der man weiÿ: Die Lieblingsfarbe von 20% der Personen ist Blau. Die Lieblingsfarbe von 30% der Personen ist Grün. Die Lieblingsfarbe von 50% der Personen ist Rot. (a) Angenommen, wir wählen eine zufällige Teilmenge von zwei Personen fp1 ; p2 g P aus. Seien C1 und C2 deren Lieblingsfarben. Sind C1 ; C2 unabhängige Zufallsvariablen? (b) Angenommen, wir wählen eine zufällige Folge von zwei Personen (p1 ; p2 ) 2 P P aus. Seien C1 und C2 deren Lieblingsfarben. Sind C1 ; C2 unabhängige Zufallsvariablen? 3. Im CIA verschwinden Geheimdokumente. Manche Dokumente werden schlicht verschlampt, aber der Sicherheits-Chef hat den Verdacht, dass gewisse Dokumente von Agent X gestohlen und an die Regierung von Liechtenstein weitergegeben werden. Zwei Inspektoren sollen der Sache auf den Grund gehen, nämlich die Inspektoren AM und PM. M.Gruber AM ndet folgendes heraus: Das Verschwinden eines Dokuments während eines bestimmten Tages hängt nicht davon ab, ob Agent X an diesem Tag anwesend ist. Ganz ähnlich ndet PM heraus, dass das Verschwinden eines Dokuments während einer bestimmten Nacht nicht davon abhängt, ob Agent X in dieser Nacht anwesend ist. SS 2007 Diskrete Mathematik (IFB2B) Übungsblatt 11 Der Sicherheits-Chef schlieÿt daraus, dass das Verschwinden eines Dokuments unabhängig davon ist, ob Agent X anwesend ist und geht deshalb davon aus, dass X unschuldig ist. (a) Konstruieren Sie ein Wahrscheinlichkeitsmodell hierzu. (b) Ist die Schlussfolgerung des Sicherheits-Chefs korrekt? 4. Angenommen, Sie werfen unabhängig n faire Münzen. Sei die Zufallsvariable Anzahl der Ergebnisse H (für Kopf). X die (a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens k-mal H zu werfen? (Gesucht ist also P (X k).) (b) Angenommen, k < n=2. Zeigen Sie: P (X k) nn 2kk+1 +1 P (X = k). (c) Sie werfen eine faire Münze hundert mal. Die Anzahl der dabei geworfenen H sei Y . Berechnen Sie P (Y 30). M.Gruber SS 2007 2
