Kreis - Luitpold-Gymnasium Wasserburg

Berechnungen an elementaren Kreisteilen
Formeln für Kreissektor und Bogen
360 °
180 °
π r2 ; also: AHalbkreis =
π r2
360 °
360 °
180 °
φ
2
AVertelkreis =
π r → allgemein: ASektor =
π r2
360 °
360 °
360 °
ebenso: Umfang U = 2π r =
2π r
360 °
180 °
1
UHalbkreis: b =
2π r =
2π r
360 °
2
90°
1
UViertelkreis : b =
2π r =
2π r
360 °
4
φ
φ
→ allgemein: b =
2π r =
πr
360 °
180 °
Wenn der Kreisradius r = 1 ist, dann ist der Umfang des Kreises 2π. Somit kann jedem
Winkel im Gradmaß ein Vielfaches von π zugeordnet werden.
Grundlegend: A = π r2 =
Konkret: φRAD =
φ DEG
φ DEG
2π =
π
360 °
180 °
Umgekehrt: φDEG =
φRAD
φRAD
360° =
180°
2π
π
φDEG
0°
45°
90°
135°
180°
225°
270°
315°
360°
φRAD
0
0,25π
0,5π
0,75π
π
1,25π
1,5π
1,75π
2π
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Kreis
Beispielaufgaben
a) Bestimmung des Gradmaßes eines im Bogenmaß gegebenen Winkels
7
π
5
|
7
= 1,4
5
180 ° •φ RAD
π
180 ° •1,4 π
= 252°
π
φDEG =
b) Finde eine Formel zur Berechnung der Fläche folgender Figur!
Es gilt zu erkennen, dass es sich hierbei um die Flächen zweier Viertelkreise
(Kreissektor mit 90°) handelt, denen jeweils ein gleichschenkliges, rechtwinkliges
Dreieck mit einer Schenkellänge gleich dem Kreisradius r abgezogen wurde.
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Kreis
Die Fläche berechnet sich demnach wie folgt:
90°
1 2
Ages = 2 • AS – 2 • ADreieck = 2 •
• r2 π - r2 =
r π - r2
2
360 °
Bestimmung des Flächeninhalts der Figuren:
a) (2Kästchen = 1cm)
Zunächst muss die Figur in ihre Einzelteile zerlegt werden. Hierbei ergibt sich zunächst
ein gleichschenkliges Dreieck sowie ein Kreissektor.
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Kreis
1
1
h•c=
• 4 cm • 8 cm = 16 cm2
2
2
1
Da h =
c ist und h durch den Mittelpunkt von c verläuft, schließen die Strecken b
2
und a einen rechten Winkel am Punkt C ein.
Somit muss der Winkel φ des Kreissektors 360°– 90° = 270° betragen, mit dem Radius
r = 1 cm
270°
3
AKreissektor =
• 1 cm2 π =
π cm2
360°
4
3
Agesamt = AD + AKreissektor = 16 cm2 +
π cm2 ≈ 18,36 cm2
4
AD =
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b) (1 Kästchen = 1cm)
Hier gilt es zu erkennen, dass die Mittelpunkte und Schnittpunkte der Kreise ein
regelmäßiges 6-Eck bilden. Ein regelmäßiges 6-Eck setzt sich aus 6 identischen
gleichseitigen Dreiecken zusammen.
Die Strecke [M1A] entspricht dem Radius r des entstandenen Kreissektors, sie beträgt
also 2 cm. So lässt sich nun die Höhe h der Dreiecke mithilfe des Satzes v. Pythagoras
2
2
berechnen: h = √ a −(0,5 c ) = √ 3 cm
1
also: ASechseck = 6 •
• 2 cm • √ 3 cm ≈ 10,39 cm2
2
Es liegen nun also auch 3 identische Kreissektoren vor. Deren Winkel α lässt sich
herleiten. Bekannt ist, dass ein regelmäßiges 6-Eck eine Winkelsumme von 720°,
verteilt auf 6 gleichgroße Winkel hat. So ergibt sich für jeden Winkel eine Größe von
120°. Der Winkel α ergänzt sich mit dem Winkel des 6-Ecks zu einem Vollkreis, also gilt:
α + 120° = 360°
→ α = 360° – 120° = 240°
Somit sind nun alle Größen bekannt, es lässt sich also die kombinierte Fläche der drei
240°
Kreissektoren berechnen: AKreissektoren = 3 •
• (2 cm)2 π = 8πcm2
360°
Somit ergibt sich: Ages = ASechseck + AKreissektoren = 10,39 cm2 + 8π cm2 ≈ 35,52 cm2
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