Geogebra

Geogebra im MU SekI
Geogebra im MU SekI
1. Lernaufgabe zu den Grundlagen dynamischer Geometrie mit Geogebra
Zeichne ein Dreieck ABC als Vieleck (3. Menü zu Strecken und Geraden).
Zeichne die Mittelsenkrechten zu a und zu b.
Zeichne den Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten ein.
Benenne ihn um in U (mit rechter Maustaste den Punkt auswählen, Eigenschaften ändern).
Zeichne die zwei der drei Winkelhalbierenden ein. Man muss dazu drei Punkte nacheinander mit der
linken Maustaste anklicken, der mittlere Punkt ist der Scheitelpunkt.
Zeichne den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ein.
Benenne ihn um in I.
Zeichne die Orthogonalen zu b durch B und zu a durch A.
Zeichne den Schnittpunkt der beiden Orthogonalen.
Benenne ihn um in H.
Zeichne die Schnittpunkte der beiden Mittelsenkrechten mit den zugehörigen Seiten ein. Verbinde sie
mit den gegenüberliegenden Eckpunkten
durch Strecken. Zeichne den
Schnittpunkt der beiden Strecken ein und
benenne ihn um in S.
Lösche alle Beschriftungen der
benötigten Konstruktionen (mit rechter
Maustaste auf die Beschriftungen
klicken, Beschriftung anzeigen
deaktivieren).
Verstecke alle Objekte bis auf das Dreieck ABC und die konstruierten besonderen Punkte.
Exportiere nun die erstellte Zeichnung als Bild in
die Zwischenablage (Datei-Export-Zeichenblatt
in Zwischenablage). Öffne ein
Textverarbeitungsprogramm und füge das Bild
ein. Schneide es so zu, dass es als Erläuterung für
ein Arbeitsblatt verwendet werden kann.
Exportiere nun die Geogebra-Datei als
Dynamisches Arbeitsblatt (Datei-ExportDynamisches Arbeitsblatt als Webseite html...).
Speichere die Seite im Dateiordner der
Arbeitsgruppe ab (Autor, Datum und Überschrift
eingeben!) und rufe sie anschließend auf.
Verziehe die Eckpunkte des Dreiecks und
beobachte die Lage der Punkte I, S, U und H. Gibt es unter ihnen drei Punkte, die stets auf einer
Gerade zu liegen scheinen?
Georg Hillen, Imedia, 24.5.2011
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2. Dynamische Konstruktionen bei der Lösung von Extremwertaufgaben
Beispielaufgabe: Untersuche mit einer dynamischen Zeichnung, welches Rechteck mit dem
Flächeninhalt A = 24 Flächeneinheiten den kleinsten Umfang besitzt.
Entferne aus dem Zeichenblatt das Koordinatensystem (Menü Einstellungen – Zeichenblatt)
Zeichne eine Strecke mit beliebiger Länge a.
Zeichne eine zu a senkrechte Gerade b durch A.
Zeichne einen Kreis c um a mit Radius 24/a.
Bestimme den Schnittpunkt C von b und c.
Zeichne die parallele Gerade d zu a durch C.
Zeichne die parallele Gerade e durch B zu b.
Bestimme den Schnittpunkt E von e und d.
Zeichne das Vieleck ABEC.
Verstecke alle Konstruktionselemente. Hinweis: Alle Objekte in
Geogebra können mit der rechten Maustaste ausgewählt werden. Es
lassen sich dann ihre Eigenschaften verändern.
Definiere u = a_1+b_1+c_1+e_1.
Erzeuge eine Textbox mit dem Inhalt „Der Umfang des Rechtecks
beträgt“ +u+ „Längeneinheiten.“
Verziehe den Punkt B und beobachte die Veränderung von u.
Weitere Beispiele für Extremwertaufgaben
Aus einem rechteckigen Karton, dessen eine Seite doppelt so lang
wie die andere ist, werden aus den Ecken vier gleich große Quadrate
ausgeschnitten. Daraus wird eine oben offene Schachtel gefaltet. Wie
groß müssen die Quadratseiten sein, damit die Schachtel ein
möglichst großes Volumen besitzt?
Entlang einer Mauer wird mit Hilfe eines 50 Meter langen Zaunes ein
rechteckiges Feld eingezäunt. Wie müssen die Seitenlängen gewählt
werden, damit die Feldfläche maximal wird?
Ein Indianer möchte von seinem Ort I zu seinem Zelt Z, zuvor muss
er aber an einem Punkt F am Fluss seine Wasserflasche füllen. Wo
sollte der Punkt F liegen, damit der Gesamtweg des Indianers
möglichst kurz ist?
Aus einem Baumstamm (zylinderförmiges
Rundholz) mit dem Durchmesser r = 24 cm soll ein rechteckiger Balken
geschnitten werden, dessen Tragfähigkeit maximal ist. Die Tragfähigkeit eines
Balkens ist zur Breite b und zum Quadrat der
Höhe h proportional.
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basis g = 8cm und der Höhe
h = 6 cm soll ein Rechteck so einbeschrieben werden, dass eine Seite
auf der Basis liegt. Wie sind die Seitenlängen des Rechtecks zu
wählen, damit der Flächeninhalt maximal ist?
Georg Hillen, Imedia, 24.5.2011
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3. Dynamische Parameter bei Funktionsuntersuchungen
Beispielaufgabe: Untersuche mit einer dynamischen Zeichnung die Auswirkung der Veränderung der
Parameter m und b auf Geraden mit der Gleichung y = mx + b.
Gib in der Eingabezeile m=1 ein, anschließend b=1.
Die Eingaben erscheinen als freie Objekte im Algebra-Fenster. Wähle sie
mit der rechten Maustaste an und aktiviere „Objekt anzeigen“. Es
entstehen zwei Schieberegler.
Gib den Term m*x+b ein. Als abhängiges Objekt erscheint f(x)=1x+1. Im
Grafikfenster wird die zugehörige Gerade abgebildet.
Verschiebe die Schieberegister und beobachte die Veränderung der
Geraden.
Lege auf die Gerade einen Punkt A. Verziehe den Punkt A. Lies die
Koordinaten von A bei verschiedenen Lagen ab und erstelle eine
Wertetabelle. Bestimme die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Benenne die Variablen m und b in m1 und b1 um. Definiere entsprechend
noch zusätzlich die Variablen m2 und b2. Gib den Term m2*x+b2 ein.
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden für verschiedene Parameter.
Gib die lineare Gleichung 3x+2y=5 ein. Im Grafik-Fenster erhält man die
Lösungsgerade. Im Algebra-Fenster erscheint als freies Objekt a :
3x+2y=5. Wähle mit der rechten Maustaste die Darstellung y=kx+d.
Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden.
Gib die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
y = 2x − 3
3x + 2 y = 5
an.
Weitere Beispiele für dynamische Funktionsuntersuchungen
Untersuche die Graphen der Funktionen f mit f(x) = ax2 + bx + c mit Hilfe dynamischer Parameter a, b
und c. Scheitelpunktform: f(x)=a(x-b)2+c
Im Internet lassen sich Bilder von Objekten finden, die
sich durch Parabelbögen annähern und dann berechnen
lassen. Das nebenstehende Bild wurde in Geogebra als
Hintergrundbild eingebunden. Die Aufgabe besteht nun
darin, die geeigneten Parameter a, b und c zu suchen.
Erzeuge nebenstehenden
Parabelgeist. Zunächst sind
die entsprechenden Funktionsgleichungen der
quadratischen Funktionen zu finden. Mit der
Anweisen Funktion[f, untere Grenze, obere
Grenze] lässt sich der Funktionsgraph von f
auf das gewünschte Intervall einschränken.
Ein Federpendel schwingt mit der Frequenz f = 0,5 Hz und hat dabei die
Amplitude von 3 cm. Zur Zeit t = 0 s hat das Pendel die Auslenkung 0 cm.
Passe die Parameter a, b und c in f(x)=a*sin(bx+c) an, sodass der Graph
den Vorgang beschreibt.
Georg Hillen, Imedia, 24.5.2011
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Geogebra im MU SekI
4. Dynamische Geometrie bei Kongruenz- und Ähnlichkeitsabbildungen
Beispielaufgabe: Erzeuge das Netz eines Würfels mit der Kantenlänge a. Zeichne dazu zunächst ein
Quadrat mit variabler Kantenlänge a. Verwende dann Kongruenzabbildungen zur Erzeugung der
weiteren Quadrate.
Für Fortgeschrittene: Erzeuge auch die notwendigen
Klebelaschen.
Konstruiere zunächst eine Strecke mit der Seitenlänge a,
dann mit Hilfe senkrechter Geraden und Kreise durch A und
B mit dem Radius a die weiteren Eckpunkte des Quadrats.
Lege über diese Punkt ein Vieleck und verstecke
anschließend alle Konstruktionselemente. Hinweis: Formate
wie Punktgröße, Beschriftung, Farbe ... lassen sich einfach
von einem Konstruktionselement auf weitere übertragen.
Führe nun die Achsenspiegelungen durch.
Im rechten Bild wurde eine Kleblasche
gepiegelt, um eine weitere Lasche zu erhalten.
Weitere Aufgabenbeispiele für dynamische Abbildungen
Verkettung von Achsenspiegelungen
Zeichne einen Punkt A.
Zeichne eine Gerade a durch A und durch einen
weiteren Punkt B.
Zeichne eine Gerade b durch A und durch einen
weiteren Punkt C.
Zeichne ein Dreieck DEF.
Spiegele das Dreieck DEF an a und das Bilddreieck
D´E´F´ an b.
Untersuche, durch welche Abbildung das
Bilddreieck D´´E´´F´´ direkt aus dem ursprünglichen
Dreieck DEF erzeugt werden kann. Formuliere einen
allgemeinen Satz zur Hintereinanderausführung von
zwei Achsenspiegelungen an sich schneidenden
Geraden.
Untersuche anschließend die Verkettung von zwei Achsenspiegelungen an zueinander parallelen
Geraden.
Ähnliche Figuren, zentrische Streckung (Arbeitsblatt für Partnerarbeit mit Geogebra)
Aufgabe 1
Schritt 1:
Schließe das Algebrafenster (Ansicht / Algebra-Ansicht), lösche das Koordinatensystem (Ansicht /
Koordinatensystem).
Georg Hillen, Imedia, 24.5.2011
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Schritt 2:
Erzeuge einen Schieberegler (10. Icon von links), nenne ihn k, stelle k
= 2 ein. Erzeuge einen Punkt, nenne ihn S (rechte Maustaste auf den
Punkt / Umbenennen). Erzeuge ein Dreieck, nenne die Eckpunkte A,
B und C. Dein Bild könnte so aussehen wie in der Abbildung rechts.
Schritt 3:
Wähle die Abbildung „Strecke Objekt zentrisch von Punkt aus“ (9.
Icon von links). Dazu zunächst mit der linken Maustaste auf das
Dreieck, dann auf den Punkt S klicken. Dann als Streckfaktor die variable Zahl k eingeben. Du solltest
etwa folgendes Bild erhalten:
Schritt 4:
Verschiebe die Punkte S, A, B und C und
beobachte die Veränderungen am Bilddreieck
A´B´C´.
Schritt 5:
Verschiebe nun den Schieberegler k und
beobachte die Veränderungen am Bilddreieck
A´B´C´.
Aufgabe 2
a) Stelle k = 1 ein und vergleiche das ursprüngliche Dreieck ABC mit dem Bilddreieck A´B´C´.
Notiere das Ergebnis in deinem Heft. Überschrift: Zentrische Streckungen mit Streckfaktor k.
b) Stelle k = 0 ein, anschließend k = -1. Notiere die Ergebnisse in deinem Heft.
c) Stelle nun wieder k = 2 ein. Öffne das Algebrafenster (Ansicht / Algebra-Ansicht). Vergleiche
die Streckenlängen a und a´, b und b´, c und c´. Was fällt auf? Vergleiche die Flächeninhalte
der beiden Dreiecke ABC und A´B´C´. Was fällt auf? Notiere die Beobachtungen im Heft.
d) Welcher Streckfaktor k muss eingestellt werden, damit das Bilddreieck A´B´C´ genau den
doppelten Flächeninhalt wie das Dreieck ABC hat? Notiere dein Ergebnis im Heft.
Aufgabe 3 (Partnerarbeit)
Schritt 1:
Einer der beiden Partner verschließt kurz die Augen. Der zweite Partner verzieht nun zunächst die
Einstellungen und versteckt dann das Streckzentrum S (rechte Maustaste auf S, Objekt anzeigen
ausschalten). Jetzt soll der erste Partner zeigen, wo das Streckzentrum S liegt. Anschließend werden
die Rollen der Partner vertauscht.
Schritt 2:
Der versteckte Punkt S lässt sich mit Hilfe von Geraden mit Geogebra exakt konstruieren. Führe die
Konstruktion aus. Beschreibe dein Vorgehen im Heft. Überschrift: Konstruktion des Streckzentrums
aus Bildfigur und Figur bei zentrischen Streckungen.
Schritt 3:
Einer der beiden Partner verschließt kurz die Augen. Der zweite Partner verzieht nun zunächst die
Einstellungen und versteckt dann den Schieberegler k. (Rechte Maustaste auf k, „Objekt anzeigen“
ausschalten). Jetzt soll der erste Partner bestimmen, wie groß k ungefähr ist. Anschließend werden die
Rollen der Partner vertauscht.
Schritt 4:
Der versteckt eingestellte Wert von k lässt sich mit Hilfe von Geogebra exakt bestimmen.
Wie? Beschreibe dein Vorgehen im Heft. Überschrift: Bestimmung des Streckfaktors k aus Bildfigur
und Figur bei zentrischen Streckungen.
Georg Hillen, Imedia, 24.5.2011
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5. Entdeckendes Lernen mit dynamischer Geometrie
Beispielaufgabe (Mittelpunkt-Umfangswinkelsatz, Satz von Thales)
Zeichne einen Kreis durch zwei Punkte (mit beliebigem Radius).
Benenne den Mittelpunkt in M um. Benenne den Kreispunkt B in Z
um und verstecke ihn. (Er wird nur noch benötigt, falls man den
Kreis etwas vergrößern oder verkleinern will.)
Markiere zwei Punkt A und B auf der Kreislinie.
Verbinde sie durch eine Strecke, benenne die Strecke in „Sehne“ um.
Zeichne zwei weitere Kreispunkte C
und D, die auf den verschiedenen
Kreisbögen (also auf verschiedenen
Seiten) bezüglich der Sehne durch A und B liegen.
Verbinde A mit C und D, verbinde dann B mit C und D durch
Strecken.
Verbinde A mit M und verbinde B mit M durch Strecken.
Hebe die Sehne durch eine größere Strichstärke hervor (Objekt mit der
rechten Maustaste anwählen,
Eigenschaften ändern.).
Verziehe nun die Punkte C und D auf
den Kreislinien. Notiere deine Beobachtungen.
Verziehe nun auch die Punkte A und B auf der Kreislinie. Notiere
deine Beobachtungen.
Formuliere alle Zusammenhänge, die sich zwischen den Winkeln
α , β und γ ergeben als Sätze mit Voraussetzungen und
Behauptungen.
Weitere Beispiele für Aufgaben zum entdeckenden Lernen
Besondere Punkte im Dreieck
Bei einem Dreieck ABC bewegt sich der Punkt C auf einer Geraden p, die Parallel zur Geraden g
durch A und B verläuft. Auf welchen Kurven bewegen sich der Innkreismittelpunkt I, der
Umkreismittelpunkt U, der Höhenschnittpunkt H und der Schwerpunkt S des Dreiecks?
(Hinweis zur Konstruktion des Dreiecks, damit die
dynamische Untersuchung gelingt: Zunächst wird die
Strecke a von A nach B erzeugt, dann ein Punkt C und
die Gerade p durch C parallel zu a. Dieser Punkt C sollte
nun in Z umbenannt und versteckt werden. Jetzt wird ein
neuer Punkt C auf p erzeugt und mit ihm das Dreieck.)
Sehnenvierecke
Die vier Eckpunkte A, B, C und D eines Vierecks liegen
bei einem Sehnenviereck auf einem Kreis. Untersuche alle Beziehungen, die zwischen den
Innenwinkeln eines Sehnenvierecks bestehen.
Satz von Euler
Der Höhenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S und der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten M eines
Dreiecks liegen stets auf einer Geraden (Euler-Gerade).
Georg Hillen, Imedia, 24.5.2011
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6. Lernaufgabe: Näherung für die Kreiszahl Pi mit Geogebra
Schritt 1
Zeichne die Punkte A(0/5), B(5/0), C(-5/0), D(-4/3), E(-3/4), K(-4/3) im Geogebra-Zeichenblatt. Zeige mit Hilfe von Geogebra, dass
die Punkte auf einem Kreis um den Ursprung mit dem Radius 5
(Längeneinheiten) liegen.
Gib weitere Punkte an, die auf der Kreislinie liegen.
Schritt 2
Begründe, dass x 2 + y 2 = 25 eine Kreisgleichung darstellt. Stelle
auch einen Zusammenhang mit dem Satz von Pythagoras her.
Schritt 3
Wenn man die Gleichung x 2 + y 2 = 25 nach y auflöst, erhält man
eine Wurzelgleichung: y = 25 − x 2 . Erläutere die einzelnen
Schritte, mit der die Gleichung umgeformt wurde.
Schritt 4
In Geogebra wird die Wurzel mit Hilfe des Befehls sqrt (square
root = Quadratwurzel) berechnet. Gib in der Eingabezeile von
Geogebra den Ausdruck sqrt ( 25 − x ^ 2) ein. Du erhältst nur einen
Halbkreis. Warum? Im Algebrafenster auf der linken Seite von
Geogebra ist der Ausdruck f ( x) = sqrt ( 25 − x ^ 2) entstanden. Was
bedeutet dabei f (x) ?
Schritt 5:
Du kennst für den Kreisinhalt die Formel AKreis = π ⋅ r 2 . Begründe, dass der Flächeninhalt zwischen
Halbkreis und x-Achse 12,5 ⋅ π Flächeneinheiten beträgt und berechne einen Näherungswert mit dem
Taschenrechner.
Schritt 6
Mit Hilfe von Geogebra lässt sich der Flächeninhalt zwischen Halbkreis und x-Achse näherungsweise
durch den Gesamtflächeninhalt vieler schmaler Rechtecke berechnen, die gerade unter die Kreiskurve
passen. Gib dazu ein: U = Untersumme[ f ,−5,5,10] . Dabei steht
f für die Wurzelfunktion (vgl. Aufgabe 6), -5 für die untere
Grenze der Rechtecke, 5 für die obere Grenze der Rechtecke und
10 für die Anzahl der Rechtecke. Im Algebrafenster wird unter den
abhängigen Objekten mit U der Gesamtflächeninhalt der
Rechtecke berechnet. Vergleiche das Ergebnis für U mit dem in
Aufgabe 5 berechneten Flächeninhalt des Halbkreises.
Schritt 7:
Der in Schritt 6 erhaltene Näherungswert für den Flächeninhalt des Halbkreises durch 10 Rechtecke ist
viel zu klein. Er soll verbessert werden, indem die Anzahl n der Rechtecke erhöht wird. Erzeuge einen
Schieberegler mit dem Minimalwert 0 und dem Maximalwert 200 (Du findest Schieberegler unter dem
6. Icon der Menüleiste). Benenne den Schieberegler durch den Buchstaben „n“ um. Stelle den Wert
auf n=20 ein. Gib nun den Befehl U = Untersumme[ f ,−5,5, n] ein. Verziehe dann den Schieberegler
n und beobachte den Wert von U. Notiere den beobachteten Zusammenhang.
Georg Hillen, Imedia, 24.5.2011
Seite 7
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Schritt 8
Dividiere die in Schritt 7 erhaltenen Werte für U durch 12,5. Erkläre, warum sich mit größer
werdenden Werten von n das Ergebnis der Kreiszahl π „von unten“ annähert.
Schritt 9
Geogebra bietet mit dem Befehl „Obersumme“ eine weitere
Möglichkeit zur näherungsweisen Berechnung von
Flächeninhalten an. Probiere den Befehl aus und erkläre, wie
sich mit Hilfe der beiden Befehle „Obersumme“ und
„Untersumme“ die Zahl π noch viel besser bestimmen lässt.
7. Erstellung von Werkzeugen (Makros)
Gegeobra gestattet die Erstellung "Benutzerdefinierter Werkzeuge". Das bedeutet, dass man seine
eigenen Werkzeuge für die Symbolleiste definieren kann. Dazu nimmt man einfach eine vorhandene
Konstruktion und gibt die Ein- und Ausgabeobjekte des neuen Werkzeugs an. Die Werkzeuge werden
zusammen mit der Geogebra-Datei gespeichert und können so wieder aufgerufen und genutzt werden.
Beispiele für Makros
Einfach:
„Mittelsenkrechte zu zwei Punkten“
„Kreis durch drei Punkte“
„Schwerpunkt eines Dreiecks“
Schwieriger:
„Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise“
„Kreisspiegelung“
Kreisspiegelung von innen und von außen:
8. Unterrichtsmaterialien aus GeoGebraWiki
Das GeoGebraWiki ist ein freier Pool von Unterrichtsmaterialien rund um die dynamische
Mathematiksoftware GeoGebra. Jeder kann eigene Materialien beisteuern und hochladen! Alle Inhalte
des Pools sind frei verwendbar. Adr.: http://www.geogebra.org/de/wiki/index.php/Hauptseite .
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