1.¨Ubungsblatt zu Stochastische Prozesse

Prof. Dr. R. Grübel
Dipl.-Math. F. Dennert
SS 2005, Institut für
Mathematische Stochastik
1. Übungsblatt zu Stochastische Prozesse
Aufgabe 1: Es sei (Xn )n∈N0 ein stochastischer Prozess mit abzählbarem Zustandsraum E.
Man zeige: (Xn )n∈N0 ist genau dann eine Markov-Kette, wenn für alle n ∈ N, i0 , ..., in ∈ E
mit P (X0 = i0 , ..., Xn = in ) > 0
P (Xn = in |Xn−1 = in−1 ) = P (Xn = in |Xn−1 = in−1 , ..., X0 = i0 )
gilt.
Aufgabe 2: Es sei (Xn )n∈N0 eine Markov-Kette mit Zustandsraum E und Übergangsmatrix P = (pij )i,j∈E . Zeigen Sie:
(a) Die Relation
“ ist transitiv.
”
(b) Zwei kommunizierende Zustände haben dieselbe Periode.
(c) Zwei kommunizierende Zustände sind entweder beide transient oder beide rekurrent.
(d) Es gilt
∞
X
pji (n) =
n=1
fji?
∞
X
pii (n).
n=0
Aufgabe 3:
(a) Auf dem Raum RN der N -dimensionalen Zeilenvektoren (N ∈ N) wird durch
kxk1 :=
N
X
|xi |, x = (x1 , ..., xN ),
i=1
bekanntlich eine Norm definiert. Zeigen Sie: Ist P eine stochastische N × N -Matrix,
so gilt
kxP k1 ≤ kxk1 für alle x ∈ RN .
Was bedeutet dies für die Eigenwerte von P ?
(b) Es sei P = (pij )i,j∈{1,...,N } für N ∈ N eine stochastische Matrix mit
κ := min pij > 0 und U := {x ∈ RN :
1≤i,j≤N
N
X
xi = 0}.
i=1
Zeigen Sie, dass P die Menge U wieder in U abbildet, und dass es ein 0 ≤ α < 1
gibt mit
kxP k1 ≤ αkxk1 für alle x ∈ U.
Was bedeutet dies für das Verhalten von qP n − rP n mit n → ∞, wenn q, r ∈ RN
Wahrscheinlichkeitsvektoren
sind, das heißt wenn qi , ri ≥ 0 für i = 1, ..., N und
PN
PN
i=1 qi =
i=1 ri = 1 gilt?
Aufgabe 4: Beweisen Sie Lemma 1.5 der Vorlesung:
Ist der Zustand i ∈ E aperiodisch, so existiert ein n0 ∈ N derart, dass pii (n) > 0 für alle
n ≥ n0 gilt.
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2. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 5: Es sei (Sn ) die d-dimensionale symmetrische Irrfahrt auf Zd mit p0,0 (n) =
P (Sn = 0|S0 = 0). Man zeige und folgere:
2 −2n
(a) Im Fall d = 2 gilt p0,0 (2n) = 2n
4 . Die zweidimensionale symmetrische Irrfahrt
n
ist rekurrent.
n!
, wobei Γ die Gammafunktion
(b) Im Fall d = 3 gilt p0,0 (2n) ≤ 2−2n 3−n 2n
n (Γ(n/3+1))3
sei.
Die dreidimensionale symmetrische Irrfahrt ist transient.
(c) Für d ≥ 3 ist die d-dimensionale symmetrische Irrfahrt transient.
Aufgabe 6: Zeigen Sie, dass die einfache Irrfahrt auf Z mit pi,i+1 = p, 0 < p < 1, im Fall
∗
als Funktion von p. Berechnen Sie den Erwartungsp 6= 21 transient ist. Berechnen Sie f00
x j
P
2j
1
wert der Rückkehrzeit nach 0 im Falle p = 12 . Hinweis: Es gilt √1−x
= ∞
.
j=0 j
4
Aufgabe 7: Each morning a student takes one of the three books (labelled 1, 2, 3) he
owns from his shelf. The probability that he chooses the book with label i is αi (where
0 < αi < 1, i = 1, 2, 3), and choices on successive days are independent. In the evening
he replaces the book at the left-hand end of the shelf. If pn denotes the probability that
on day n the student finds the books in the order 1, 2, 3, from left to right, show that,
irrespective of the initial arrangement of the books, pn converges as n → ∞, and determine
the limit.
Aufgabe 8: Eine Markov-Kette mit Zustandsraum E und Übergangsmatrix P heisst
umkehrbar, wenn es einen Wahrscheinlichkeitsvektor π gibt mit
πi pij = πj pji
für alle i, j ∈ E.
(a) Zeigen Sie, dass aus (?) folgt, dass π eine stationäre Verteilung zu P ist.
(?)
(b) Eine Urne enthält insgesamt N Kugeln, die rot oder blau sein können. Die Zufallsvariable Xn bezeichne die Anzahl der blauen Kugeln zur Zeit n. Im Zeitintervall
(n, n + 1) wird eine Kugel der Urne rein zufällig“ entnommen und gegen eine Kugel
”
der anderen Farbe ausgetauscht. Bestimmen Sie die zugehörige Übergangsmatrix P
und finden Sie eine stationäre Verteilung zu P .
Aufgabe 9: ( schwache Markov-Eigenschaft“)
”
Es sei X = (Xn )n∈N0 eine Markov-Kette mit Startverteilung q, Übergangsmatrix P und
Zustandsraum E, desweiteren sei N ∈ N.
Wir definieren Y = (Yn )n∈N durch Yn := XN +n für alle n ∈ N0 und nennen Y den
Post-N -Prozess zu X. Dies alles spielt sich auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P)
ab, FN := σ{X1 , ..., XN } sei die von dem Anfangsstück“ bis N erzeugte σ-Algebra,
”
F Y := σ{Yn : n ∈ N0 } die vom Post-N -Prozess erzeugte σ-Algbra.
Zeigen Sie: FN und F Y sind unter XN bedingt unabhängig in dem Sinne, dass für alle
A ∈ FN , B ∈ F Y und i ∈ E
P(A ∩ B|XN = i) = P(A|XN = i) · P(B|XN = i)
gilt.
Hinweis: Es reicht, die Gleichheit für A, B aus einem geeigneten ∩-stabilen Erzeugendensystem nachzuweisen.
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3. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 10: (Xn )n∈N0 sei eine irreduzible aperiodische Markov-Kette mit endlichem
Zustandsraum E := {0, ..., N } und Übergangsmatrix P .
(a) Zeigen Sie die Rekurrenz von (Xn ).
(b) Es seiPT0 := inf{n ∈ N : Xn = 0}. Es sei x der Zeilenvektor mit Komponenten
xi = n≥1 P (Xn = i, n ≤ T0 |X0 = 0) . Man zeige, dass xP = x gilt.
(c) Zeigen Sie, dass Xn positiv rekurrent ist.
Aufgabe 11: (Xn ) sei eine irreduzible rekurrente Markov-Kette mit Zustandsraum E,
und h : E → R eine beschränkte harmonische Funktion. Zeigen Sie, dass h konstant ist.
Aufgabe 12: Es sei (Xn )n∈N0 eine Markov-Kette mit Zustandsraum E und Übergangsmatrix P . Wir nennen h : E → R harmonisch auf A ⊆ E, wenn (P h)(i) = h(i), i ∈ A,
gilt. Es sei τ = inf{n ∈ N0 : Xn ∈ Ac }. Zeigen Sie, dass das Problem
finde h : E → R mit h harmonisch auf A, h ≡ 1 auf AC
durch h(i) := P (τ < ∞|X0 = i) gelöst wird.
Aufgabe 13: Zeigen Sie mit der in Abschnitt 1.5 der Vorlesung besprochenen Methode,
dass die einfache unsymmetrische Irrfahrt (Xn )n∈N0 ,
P (Xn+1 = i + 1|Xn = i) = 1 − P (Xn+1 = i − 1|Xn = i) = p,
X0 = 0
mit p 6= 21 , transient ist.
Aufgabe 14: Es sei (Xn )n∈N0 eine Markov-Kette mit Übergangsmatrix P und Zustandsraum E. Es sei τ eine endliche Stoppzeit. Ist h eine beschränkte Funktion, so gilt
E[h(Xτ +1 )|Fτ ] = (P h)(Xτ ).
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4. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 15: Bei der einfachen symmetrischen Irrfahrt X = (Xn )n∈N0 mit Start in 0 sei
τr := inf{n ∈ N : Xn = r} (r ∈ N).
(a) Zeigen Sie, dass die Zufallsgrössen τ1 , τ2 − τ1 , τ3 − τ2 , τ4 − τ3 , ... unabhängig und
identisch verteilt sind.
(b) Zeigen Sie, dass zu τ1 die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion g,
g(z) =
√
1
(1 − 1 − z 2 ),
z
0 6= |z| ≤ 1,
gehört. (Hinweis: Zerlegen Sie nach dem Wert von X1 .)
Aufgabe 16: Es sei X wie in der vorangegangenen Aufgabe.
(a) Finden Sie eine Funktion φ mit der Eigenschaft, dass
(Znθ )n∈N0 ,
Znθ := φ(θ)−n exp(θXn ) für alle n ∈ N0 ,
für alle θ ∈ R ein Martingal ist.
(b) Verwenden Sie Teil (a) und das OST, um einen alternativen Beweis zu der Aussage
von Teil (b) der vorangegangenen Aufgabe zu finden.
Aufgabe 17: Wie in der Vorlesung sei
D0 := {f : [0, ∞) 7→ Z : f (0) = 0, f ↑, f stetig von rechts},
versehen mit der durch die Projektionen πt : D0 → Z, πt (f ) = f (t) erzeugten σ-Algebra
B(D0 ) := σ(πt : t ≥ 0). Es sei X : (Ω, A, P ) 7→ (D0 , B(D0 )) eine Zufallsgröße und τ
eine endliche Stoppzeit bzgl. der Filtration (σ(πs (X) : 0 ≤ s ≤ t))t≥0 . Zeigen Sie, dass
Sτ (X) := (πτ ∧t )t≥0 und Zτ (X) = (πτ +t (X)−πτ (X))t≥0 ebenfalls Zufallsgrößen mit Werten
in (D0 , B(D0 )), also (A, B(D0 ))-messbar sind.
Aufgabe 18: Kunden treffen in einer Bank gemäß eines Poisson-Prozesses mit Rate λ > 0
ein. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei Kunden im Zeitintervall (1, 3]
ankommen, unter der Bedingung, dass im Intervall (2, 4] ein Kunde ankommt.
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5. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 19:
(a) Es sei (Xn )n∈N0 die einfache symmetrische Irrfahrt mit Start in i0 , a ∈ N mit |a| >
|i0 | und
τ := inf{n ∈ N : |Xn | ≥ a}.
Bestimmen Sie den Erwartungswert zu τ . (Hinweis: (Xn2 − n)n∈N0 ist ein Martingal.)
(b) Können Sie auch die nichtsymmetrische Irrfahrt im Stil von Teil (a) behandeln?
Aufgabe 20:
(a) Es seien (Nti )t≥0 , i = 1, 2, voneinander unabhängige Poisson-Prozesse mit Raten
λi > 0, i = 1, 2. Man zeige, dass (Nt )t≥0 mit Nt := Nt1 + Nt2 ein Poisson-Prozess ist
und ermittele seine Rate.
(b) Es seien (Nt )t≥0 ein Poisson-Prozess mit Rate λ > 0 und (Xi )i∈N eine davon unabhängige iid-Folge mit P (X1 = 1) = P
1 − P (X1 = 0) = p. Man zeige, dass die
t
1
i
1
2
Prozesse (N )t≥0 , i = 1, 2, mit Nt := N
l=1 Xl und Nt := Nt − Nt voneinander
unabhängige Poisson-Prozesse sind und ermittle ihre Raten.
Aufgabe 21: Es sei N ein Poisson-Prozess mit Intensität λ.
(a) Zeigen Sie, dass für jedes θ ∈ R durch
(Mtθ )t≥0 ,
Mtθ := exp θNt − λt(eθ − 1) für alle t ≥ 0,
ein Martingal definiert wird.
(b) Skizzieren Sie, wie man mit der Aussage von Teil (a) im Stil von Aufgabe 16 die
momenterzeugende Funktion zur Eintrittszeit τr := inf{t ≥ 0 : Nt = r} (r ∈ N)
bestimmen kann.
(c) Finden Sie ein direktes Argument zur Bestimmung der Verteilung von τr .
Aufgabe 22: Es sei N ein Poisson-Prozess mit Intensität λ, X = (Xn )n∈N0 werde definiert
durch Xn := Nnh für alle n ∈ N0 (h > 0 fest).
(a) Zeigen Sie, dass X eine Markov-Kette ist und bestimmen Sie die zugehörigen Übergangswahrscheinlichkeiten.
(b) Finden Sie ein heuristisches Argument dafür, dass
Z t
f (Nt ) −
(Af )(Ns ) ds
0
t≥0
ein Martingal ist. Hierbei bezeichne A den Operator, der einer Funktion f : Z → R
die Funktion
Af : Z → R, i →
7 λ f (i + 1) − f (i) ,
zuordnet.
(c) Verifizieren Sie die Aussage von Teil (b) für die Funktionen f (i) = i und f (i) = i2 .
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6. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 23: Eine Halbgruppe {P (t) : t ≥ 0} von stochastischen Matrizen P (t) =
(pij (t))i,j∈E über E heißt standard, wenn
lim pij (t) = δij
t→0
für alle i, j ∈ E
gilt, sie heisst irreduzibel, wenn für alle i, j ∈ E ein t > 0 existiert mit pij (t) > 0. Im
folgenden sei {P (t) : t ≥ 0} eine irreduzible Standardhalbgruppe.
(a) Zeigen Sie, dass alle Übergangsfunktionen t 7→ pij (t), i, j ∈ E, auf 0 ≤ t < ∞
gleichmäßig stetig sind.
(b) Zeigen Sie, dass für jedes h > 0 die Übergangsmatrix P (h) im Sinne von Abschnitt
1 der Vorlesung irreduzibel und aperiodisch ist.
(c) Der Wahrscheinlichkeitsvektor π = (πi )i∈E sei stationär zu {P (t) : t ≥ 0}. Zeigen
Sie, dass dann
lim pij (t) = πj für alle i, j ∈ E
t→∞
gilt.
Aufgabe 24: Es sei X = (Xn )n∈N0 eine Markov-Kette mit Zustandsraum E = {1, 2} und
Übergangsmatrix
α
1−α
P =
, 0 < α < 1.
1−α
α
Zeigen Sie, dass genau dann eine Markov-Kette Y = (Yt )t≥0 existiert, in die X im Sinne
von
Xn = Yn für alle n ∈ N0
einbettbar ist, wenn α > 1/2 gilt. Bestimmen Sie in diesem Fall den Generator zu Y .
Aufgabe 25: Wie in Beispiel 3.2 der Vorlesung sei X = (Xt )t≥0 eine Markov-Kette mit
Zustandsraum E = {1, 2} und Generator
−λ λ
G=
, λ, µ > 0.
µ −µ
Verwenden Sie die Formel P (t) = exp(tG) für eine alternative Herleitung der Übergangswahrscheinlichkeiten.
(Hinweis: Finden Sie zunächst eine Darstellung G = ADA−1 mit einer Diagonalmatrix
D.)
Aufgabe 26: Es seien T = [0, 1] oder T = R+ , C(T ) die Menge der stetigen Funktionen
auf T und B T die von den Projektionen erzeugte σ-Algebra auf RT . Zeigen Sie:
C(T ) ∈
/ BT .
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß zu jedem A ∈ B T eine abzählbare Menge S(A) ⊂ T
existiert mit der Eigenschaft, dass für alle x ∈ RT , y ∈ A gilt:
x(t) = y(t) für alle t ∈ S(A) ⇒ x ∈ A .
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7. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 27: Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und (Ft )t≥0 eine zugehörige
Filtration. Es sei N das System der P -Nullmengen von A und (F̃t )t≥0 mit
F̃t := σ(N ∪ Ft )
die um N erweiterte Filtration.
(a) Zeigen Sie, dass mit (Bt , Ft )t≥0 auch (Bt , F̃t )t≥0 eine Brownsche Bewegung ist.
(b) Zeigen Sie, dass mit (Xt , Ft )t≥0 auch (Xt , F̃t )t≥0 ein Martingal ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass zu jedem F̃ ∈ F̃t ein F ∈ Ft existiert mit F̃ 4 F ∈ N .
Aufgabe 28: Es seien X = (Xt )t∈T ein stochastischer Prozess auf (Ω, A, P ) und Y =
(Yt )t∈T ein Prozess auf (Ω0 , A0 , P 0 ). Die Prozesse X und Y heißen äquivalent, wenn sie dieselben endlich-dimensionalen Verteilungen haben. Im Falle (Ω0 , A0 , P 0 ) = (Ω, A, P ) heißt
Y eine Modifikation von X, wenn P (Xt = Yt ) = 1 gilt für alle t ∈ T ; X und Y heißen
ununterscheidbar, wenn es eine P -Nullmenge N ∈ A gibt mit Xt (ω) = Yt (ω) für alle t ∈
T und für alle ω ∈ Ω\N . Diskutieren Sie die Abhängigkeiten zwischen diesen Begriffen.
Geben Sie insbesondere ein Beispiel für äquivalente, auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum definierte Prozesse an, die nicht Modifikationen voneinander sind.
Aufgabe 29:
(a) Es sei (Bt )0≤t≤1 eine Brownsche Bewegung mit Zeitbereich [0, 1]. Zeigen Sie: Der
durch
Xt := (1 + t)Bt/(1+t) − tB1
definierte Prozess (Xt )t≥0 ist eine Brownsche Bewegung mit Zeitmenge [0, ∞).
(b) Es seien a ≥ 0, c 6= 0 fest gewählt. Zeigen Sie, dass mit (Bt )t≥0 auch die wie folgt
definierten Prozesse (B̃t )t≥0 Brownsche Bewegungen sind:
(i) B̃t := −Bt , ∀t ≥ 0,
(ii) B̃t := Ba+t − Ba , ∀t ≥ 0,
(iii) B̃t := cBt/c2 , ∀t ≥ 0 .
Aufgabe 30: Es sei (gnk )(n,k)∈S die im Beweis zu Satz 4.5 verwendete Haar-Basis von
L2 ([0, 1]).
(a) Die Funktion f ∈ L2 ([0, 1]) habe die Eigenschaft
hf, gnk i = 0 für alle (n, k) ∈ S.
Zeigen Sie, dass dann f = 0 fast überall gilt.
(b) In welcher Beziehung steht Teil (a) zu der in Gleichung (1) des Beweises verwendeten
Formel
X
f=
hf, gnk ignk für alle f ∈ L2 ([0, 1])?
(n,k)∈S
Hinweis zu Teil (a): Betrachten Sie die Werte der Funktion F : [0, 1] → R, t 7→
in den Punkten k2−n , (n, k) ∈ S.
Rt
0
f (s) ds,
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8. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 31: (Wiener/Paley-Zugang zur Brownschen Bewegung)
Es sei (Xn )n∈N0 eine iid-Folge standardnormalverteilter Zufallsvariablen. Man betrachte
die Fourier-Reihe
n −1 r
X 2X
2 sin kt
t
Xk .
Bt := √ X0 +
π k
π
n−1
n≥1
k=2
Man kann zeigen (hier nicht!), dass diese Reihe mit Wahrscheinlichkeit 1 gleichmäßig auf
[0, π] konvergiert. Man zeige, dass (Bt )t∈[0,π] bzgl. der natürlichen Filtration eine Brownsche Bewegung ist.
Hinweis: Man zeige, dass Bt ein Gauss-Prozess ist und berechne Erwartungswert- und
Kovarianzfunktion.
Aufgabe 32: Es sei (Bt )t≥0 eine Brownsche Bewegung. Zeigen Sie, daß für alle γ > 1/2
lim t−γ Bt = 0
t→∞
fast sicher
gilt, und daß diese Aussage mit γ = 1/2 nicht gilt. Benutzen Sie dies, um zu zeigen, daß
fast alle Pfade der Brownschen Bewegung in t = 0 nicht Lipschitz-stetig sind.
Aufgabe 33: Es sei B = (Bt )t≥0 eine Brownsche Bewegung auf (Ω, A, P ). Zeigen Sie,
dass für P -fast alle ω ∈ Ω der Pfad von ω auf keinem Intervall [a, b] ⊂ R+ mit a < b
monoton ist.
Aufgabe 34: Aus der Vorlesung ist bekannt, dass die quadratische Totalvariation der
Brownschen Bewegung auf [0, t] entlang einer deterministischen Folge ({tn,0 , ..., tn,kn })n∈N
von Partitionen von [0, t] mit gegen 0 konvergierender Weite mit n → ∞ in Wahrscheinlichkeit gegen t strebt. Zeigen Sie, dass man bei der Partition
j
tn,j := n t, n ∈ N, j = 0, ..., kn := 2n ,
2
sogar fast sichere Konvergenz hat.
Hinweis: Aus Aufgabe 37 zur Stochastik II ist
∞
X
P (|Xn − X| > ε) < ∞ für alle ε > 0
n=1
f.s.
als hinreichende Bedingung für Xn −→ X bekannt.
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9. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 35: Es sei (Bt )t≥0 eine eindimensionale Brownsche Bewegung mit Start in 0.
(a) Zeigen Sie, dass für alle α > 0 der Prozess (Xt )t≥0 mit
Xt := exp (αBt − α2 t/2)
ein Martingal mit stetigen Pfaden ist.
(b) Für alle t ≥ 0 sei Mt := sup0≤s≤t Bs . Zeigen Sie:
P (Mt ≥ z) ≤ exp −z 2 /(2t)
für alle z, t ≥ 0.
(c) Es sei Ta := inf{t > 0 : Bt = a}; aus der Vorlesung ist P (Ta < ∞) = 1 bekannt.
Zeigen Sie, dass für alle a 6= 0
lim inf t P (Ta > t) > 0
t→∞
und damit ETa = ∞ gilt.
Aufgabe 36: Es sei B = (Bt )t≥0 eine Brownsche Bewegung auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ); wir nehmen einfachheitshalber an, dass alle Pfade stetig sind.
(a) Zeigen Sie, dass B als Abbildung von [0, ∞)×Ω → R, (t, ω) 7→ Bt (ω), (B[0,∞) ⊗A, B)messbar ist.
(b) Zeigen Sie, dass die zufällige Menge La := {t ≥ 0 : Bt (ω) = a} mit P -Wahrscheinlichkeit 1 eine Lebesgue-Nullmenge für jedes a ∈ R ist.
Aufgabe 37: (Spiegelungsprinzip für die einfache symmetrische Irrfahrt)
Es sei (Xn ) die einfache eindimensionale symmetrische Irrfahrt auf Z, Mn := max1≤k≤n Xk .
Zeigen Sie, dass für alle i, j ∈ Z mit 0 ≤ j ≤ i gilt
P (Mn ≥ i, Xn = j) = P (Xn = 2i − j) .
Aufgabe 38: Es sei (Xt )t≥0 ein zu (Ft )t≥0 adaptierter Prozess. Für alle beschränkten
Stoppzeiten τ gelte E|Xτ | < ∞ und EXτ = EX0 . Zeigen Sie, dass dann (Xt , Ft )t≥0 ein
Martingal ist.
Hinweis: Betrachten Sie die Stoppzeiten
τ := s · 1A + t · 1AC ,
A ∈ Fs , s ≤ t.
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10. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 39: Zeigen Sie, dass jede gleichgradig integrierbare Familie von Zufallsvariablen
L1 -beschränkt ist, dass aber nicht jede L1 -beschränkte Familie gleichgradig integrierbar
ist.
Aufgabe 40: Es sei T = [0, t0 ] und (Xt , Ft )t∈T ein Martingal mit stetigen Pfaden. Zeigen
Sie, dass dann für alle p ≥ 1 und alle c > 0 die folgende Ungleichung gilt:
p
1
P sup |Xt | ≥ c ≤ p E|Xt0 .
c
t∈T
Aufgabe 41:
(a) Es sei M = (Mt )t≥0 ein stetiges lokales Martingal. Für alle n ∈ N sei
τn := inf{t ≥ 0 : |Mt | ≥ n}.
Zeigen Sie, dass (τn )n∈N eine lokalisierende Folge zu M ist und dass (Xτn ∧t , Ft )t≥0
für jedes n ∈ N ein beschränktes Martingal ist.
(b) Es sei (Bt , Ft )t≥0 eine Brownsche Bewegung und X0 eine von (Bt )t≥0 unabhängige
und Cauchy-verteilte Zufallsvariable; für alle t ≥ 0 sei Gt die von Ft und X0 erzeugte
σ-Algebra. Zeigen Sie, dass (Mt , Gt )t≥0 mit Mt := X0 Bt ein lokales Martingal, aber
kein Martingal ist.
(c) Wir nennen einen stochastischen Prozess X = (Xt )t≥0 integrierbar, wenn E|Xt | <
∞ gilt für alle t ≥ 0. Zeigen Sie, dass ein stetiges lokales Martingal, das nicht-negativ
und integrierbar ist, ein Supermartingal ist.
Aufgabe 42: Es sei (Bt )t≥0 eine Brownsche Bewegung und, für a > 0,
τa := inf{t ≥ 0 : Bt ≥ a}.
In der Vorlesung wurde die Verteilung von τa mit Hilfe des Spiegelungsprinzips ermittelt.
Bestimmen Sie mit Martingalmethoden die Laplace-Transformierte
φa : [0, ∞) → R,
zur Verteilung von τa .
θ 7→ E exp(−θτa ),
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11. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 43:
(a) Als inverse Gauss-Verteilung IG(a) mit Parameter a > 0 bezeichnet man das Wahrscheinlichkeitsmaß auf ((0, ∞), B(0,∞) ) mit der Lebesgue-Dichte
fa : (0, ∞) → R,
x 7→ √
a2 .
exp −
2x
2πx3
a
Zeigen Sie: Sind X und Y unabhängig, mit X ∼ IG(a) und Y ∼ IG(b), so gilt
X + Y ∼ IG(a + b).
(b) Es seien X und Y unabhängig und N(0, 1)-verteilt. Zeigen Sie, dass dann für alle
a, b ≥ 0
a2
b2
(a + b)2
+
=
D
X2
Y2
Z2
mit einer ebenfalls N(0, 1)-verteilten Zufallsvariablen Z gilt.
Aufgabe 44: Für 0 < s < t < ∞ sei ρ(s, t) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine
Brownsche Bewegung (Bt )t≥0 im Intervall (s, t) eine Nullstelle hat. Zeigen Sie:
r
2
s
ρ(s, t) =
arccos
.
π
t
Hinweis: Zerlegen Sie nach dem Wert von Bs .
Aufgabe 45:
(a) Es sei f : [0, ∞) → R eine (rechts)stetige Funktion von lokal beschränkter Totalvariation. Zeigen Sie, dass dann die Funktionen
x 7→ V0x f,
x 7→ V0x f − f (x)
(rechts)stetig und isoton sind.
(b) Zeigen Sie, dass eine Funktion f : [0, ∞) → R genau dann von lokal beschränkter
Totalvariation ist, wenn es zwei isotone Funktionen g, h : [0, ∞) → R gibt mit
f = g − h.
Aufgabe 46: Es seien X = (Xt )t≥0 ein progressiv messbarer Prozess und τ eine Stoppzeit;
beides bezieht sich auf eine Filtration (Ft )t≥0 . Zeigen Sie, dass dann auch der bei τ
gestoppte Prozess
X τ = (Xtτ )t≥0 , Xtτ := Xτ ∧t für alle t ≥ 0,
progressiv messbar ist.
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12. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 47: Es seien (Ω, A) ein messbarer Raum, E ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem von A sowie H ein Untervektorraum des Vektorraums B(Ω, A) der beschränkten, A-messbaren Funktionen H : Ω → R mit den Eigenschaften
(a) H ≡ 1 ist ein Element von H,
(b) 1E ∈ H für alle E ∈ E,
(c) ist H ∈ B(Ω, A) punktweiser Limes einer isotonen Folge (Hn )n∈N ⊂ H mit Hn ≥ 0
für alle n ∈ N, so gilt H ∈ H.
Zeigen Sie, dass dann H = B(Ω, A) gilt.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass D := {D ∈ A : 1D ∈ H} ein Dynkin-System ist, und
verwenden Sie die aus der Maßtheorie bekannte Approximation nicht-negativer Funktionen durch isotone Folgen von primitiven Funktionen.
Aufgabe 48:
(a) Es seien (Ft )t≥0 eine Filtration, X eine Zufallsvariable und τ eine Stoppzeit. Zeigen
Sie, dass X genau dann bezüglich der σ-Algebra Fτ der τ -Vergangenheit messbar
ist, wenn für alle t ≥ 0 die Zufallsvariable X1{τ ≤t} Ft -messbar ist.
(b) Es sei H ein vorhersehbarer Prozess, τ eine Stoppzeit. Zeigen Sie, dass dann auch
H1(0,τ ] vorhersehbar ist.
Aufgabe 49: Im folgenden seien X, Y ∈ M20 , τ sei eine Stoppzeit.
(a) Zeigen Sie, dass im Falle kX − Y kM = 0 die Prozesse X und Y ununterscheidbar
sind.
(b) Es gelte hX, Zi = hY, Zi für alle Z ∈ M20 . Zeigen Sie, dass dann X und Y ununterscheidbar sind.
(c) Zeigen Sie, dass hX τ , Y i = hX, Y τ i = hX, Y iτ gilt, also insbesondere hXiτ = hX τ i.
Aufgabe 50: (Partielle Integration) Es seien (At )t≥0 und (Bt )t≥0 FV-Prozesse mit stetigen
Pfaden. Zeigen Sie, dass dann gilt:
Z t
Z t
At Bt = A0 B0 +
As dBs +
Bs dAs
für alle t ≥ 0.
0
0
Prof. Dr. R. Grübel
Dipl.-Math. F. Dennert
SS 2005, Institut für
Mathematische Stochastik
13. Übungsblatt Stochastische Prozesse
Aufgabe 51: Es sei (Bt , Ft )t≥0 eine eindimensionale Brownsche Bewegung, und es sei
t > 0. Für alle n ∈ N, i = 0, 1, . . . , n sei tni := it/n; Yn (n ∈ N) werde definiert durch
Ynα
:=
n
X
(αB(tn,i−1 ) + (1 − α)B(tn,i )) · B(tn,i ) − B(tn,i−1 ) .
i=1
Zeigen Sie, dass ein β(α) ∈ R existiert, so dass Ynα , α ∈ [0, 1], im quadratischen Mittel
(also im L2 -Sinn) gegen 21 Bt2 − β(α)t konvergiert.
Hinweis: Man betrachte zunächst Yn0 und Yn1 .
Aufgabe 52: Es seien F, G, H : R+ → R stetig und von lokal beschränkter Totalvariation;
es gelte F (0) = G(0) = H(0) = 0. Zeigen Sie, dass dann für alle t ≥ 0 gilt:
Z ·
Z t
Z t
G(u) H(du) (ds) =
F (s)G(s) H(ds).
F (s)
0
0
0
Aufgabe 53: Das n-te Hermite-Polynom hn : R → R wird definiert durch
dn
hn (x) := (−1) exp(x /2) n exp(−x2 /2)
dx
n
2
für alle x ∈ R;
hn genügt der Differentialgleichung h00n (x) − xh0n (x) + nhn (x) = 0. Es sei B = (Bt )t≥0 eine
Brownsche Bewegung.
(a) Zeigen Sie, dass tn/2 hn (t−1/2 Bt ) t≥0 ein Martingal ist.
(b) Bekanntlich lassen sich (Bt )t≥0 und (Bt2 )t≥0 durch einfache Funktionen f in dem
Sinne ‘kompensieren’, dass Subtraktion von f ein Martingal liefert. Zeigen Sie, dass
es keine Funktion f : R+ → R gibt derart, dass Bt3 − f (t) t≥0 ein Martingal ist.
(c) Finden Sie mit Hilfe von Teil (a) eine möglichst
‘einfache’ Funktion f von t und Bt
3
mit der Eigenschaft, dass Bt − f (t, Bt ) t≥0 ein nicht-triviales Martingal ist.
Aufgabe 54: (Fundamentalsatz der Algebra) Es seien (B 1 ) und (B 2 ) unabhängige Brownsche Bewegungen. Weiter sei p ein Polynom vom Grade größer als 0.
(a) Man zeige: ist h : R2 → R eine harmonische Funktion, d.h.
h(B 1 , B 2 ) ein lokales Martingal.
∂2
h
∂2x
+
∂2
h
∂2y
= 0, so ist
(b) Man zeige: Gilt p 6= 0 auf C, so existiert eine Zufallsvariable Z mit
1
=Z
lim Re (1)
(2)
t→∞
p Bt + iBt
P -f.s.
(c) Ohne Beweis kann angenommen werden, dass es für ein beliebiges r > 0 eine Folge
Stoppzeiten (τnr ) gibt mit folgenden Eigenschaften:
lim τnr = ∞,
n→∞
τnr < ∞,
(1)
Bτnr
2
2
(2)
+ Bτnr
≤ r2
∀n P -f.s.
Man konstruiere im Falle p(z) 6= 0 für alle z ∈ C hieraus einen Widerspruch zu (b)
und folgere so den Fundamentalsatz der Algebra.