TU Dortmund Fakultät für Mathematik Lehrstuhl IV Stochastische

TU Dortmund
Fakultät für Mathematik
Lehrstuhl IV
Stochastische Analysis
WS 2015/2016, Blatt 4
Woerner/Mentemeier
Übungen
Abgabetermin: Mittwoch, 18.11.2015, 8:30 Uhr, Briefkasten 28
THEMEN: p-Variation, Itô-Integral und stochastische DGL im Diskreten
Aufgabe 14 (4 Punkte)
Es sei (Nt )t≥0 ein homogener Poisson-Prozess mit Intensität λ > 0.
(i) Zeigen Sie, dass (Nt )t≥0 ein Prozess von beschränkter Variation ist.
(ii) Zeigen Sie, dass (Mt := Nt − λt)t≥0 ein Martingal bzgl. der kanonischen Filtration
ist.
(iii) Zeigen Sie, dass Mt2 − λt ein Martingal ist. Interpretieren Sie das Ergebnis.
Aufgabe 15 (6 Punkte)
Es sei (Xt )t≥0 ein stochastischer Prozess. Für (festes) t > 0 sei Π = {t0 , t1 , . . . , tm } eine
Zerlegung des Intervalls [0, t], d.h. 0 = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tm = t. Definiere die p-Variation
von X (über die Zerlegung Π)
(p)
Vt (Π) :=
m X
Xtk
p
− Xtk−1 k=1
sowie kΠk := max1≤k≤m |tk − tk−1 |.
Nun sei vorausgesetzt, dass (Xt )t≥0 stetige Pfade besitzt.
(i) Sei t > 0. Es gebe ein p > 0, sodass
(p)
lim Vt (Π) = Lt
in Wahrscheinlichkeit
kΠk→0
für eine f.s. endliche Zufallsvariable Lt . Zeigen Sie, dass
(q)
(a) für jedes q > p limkΠk→0 Vt (Π) = 0 in Wahrscheinlichkeit.
(q)
(b) für jedes 0 < q < p gilt limkΠk→0 Vt (Π) = ∞ in Wahrscheinlichkeit auf der
Menge {Lt > 0}.
(ii) Folgern Sie, dass die Totalvariation der Brownschen Bewegung in jedem t > 0
unendlich ist.
http://www.mathematik.uni-dortmund.de/lsiv/2015Winter/StochAna
Aufgabe 16 (5 Punkte)
Diskrete stochastische Differentialgleichungen
Es sei (Yn )n≥1 eine Folge von quadratisch integrierbaren, u.i.v. Zufallsvariablen mit
E(Yi ) = 0 und Var(Yi ) = 1. Es sei h > 0 fest gewählt und es seien b und σ messbare (deterministische) Funktionen von
nach . Wir betrachten den stochastischen
Prozess (Xkh )h∈N0 , der definiert ist durch
R
R
R
für ein xo ∈ , und
√
= b(Xkh )h + σ(Xkh ) hYk+1 .
X 0 = x0
X(k+1)h − Xkh
Es bezeichne Fnh die von Y1 , . . . , Yn erzeugte σ-Algebra. Zeigen Sie: Die Doob-MeyerZerlegung von (Xnh )n≥0 (adaptiert bzgl. (Fnh )n≥0 , siehe Aufgabe 10) ist gegeben durch
Xnh = Anh + Mnh , wobei
Anh =
n−1
X
b(Xkh )h, und
k=0
Mnh = x0 +
n−1
X
√
σ(Xkh ) hYk+1 .
k=0
Aufgabe 17 (5 Punkte)
Diskrete Itô-Formel
Sei (Xn )n≥0 ein Martingal mit X0 = x0 ∈ und der Eigenschaft, dass |Xn − Xn−1 | = 1
fast sicher für alle n ∈ . Es sei f : →
eine beliebige Abbildung, für die wir die
erste und zweite diskrete Ableitung wie folgt definieren:
N
Z
Z
R
f (x + 1) − f (x − 1)
2
00
f (x) := f (x − 1) + f (x + 1) − 2f (x)
f 0 (x) :=
(Warum das sinnvoll ist: Siehe z.B. Abschnitt 7.3.2. in Springer-Handbuch der Mathematik III,
an der TU hier online verfügbar: http://www.ub.tu-dortmund.de/katalog/titel/TT050418582)
(i) Begründen Sie, dass Yn := f (Xn ) ein quadratisch integrierbarer, adaptierter Prozess bzgl. der kanonischen Filtration Fn von Xn ist.
(ii) Zeigen Sie, dass
1
f (Xn ) − f (Xn−1 ) = f 0 (Xn−1 )(Xn − Xn−1 ) + f 00 (Xn−1 )
2
(iii) Wir definieren die stochastischen Prozesse Fn0 := f 0 (Xn−1 ) sowie Fn00 := f 00 (Xn−1 ).
Beweisen Sie die diskrete Itô-Formel
f (Xn ) = f (X0 ) + (F 0 ◦ X)n +
n
X
1 00
Fk .
k=1 2