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İstanbul Üniv. Fen Fak. Mat. Der. 50 (1991), 79-99
79
ÜBER E I N E K L A S S E V O N V E R A L L G E M E I N E R T E N LÜCKENREIHEN,
D E R E N W E R T E FÜR A L G E B R A I S C H E A R G U M E N T E
T R A N S Z E N D E N T , A B E R K E I N E U - Z A H L E N SIND I
-Meinem verehrten Lehrer Orhan Ş. İÇEN zum siebzigsten Geburtstag-
B.M. Z E R E N
In der vorliegenden Arbeit handelt es sich um einige verallgemeinerte
Lückenreihen mit rationalen Koeffizienten. Es wird gezeigt, dass eine solche
Lückenreihe für von Null verschiedene algebraische Argumente unter gewissen
Bedingungen über die Koeffizienten und das Argument transzendente Werte
annimmt, deren Platz in der Mahler'schen Klasseneinteilung durch Benutzung
eines Satzes von A. Baker präzisiert wird.
1.
EINLEITUNG
6
I n einer früheren Arbeit (Siehe [ ]) hatte ich 1985 unter Anwendung des
Roth-LeVeque'sehen Satzes u.a. gezeigt, dass einige schnell konvergente Potenz­
reihen mit rationalen Koeffizienten -unter gewissen Bedingungen über diese
Koeffizienten- für von Null verschiedene algebraische Argumente von nicht zu
hohem Grad transzendente Werte annehmen.
4
M . H . Oryan hat (1988) (Siehe [ ]) diesen Satz auf einfache Lückenreihen
verallgemeinert und gleichzeitig vertieft, indem er unter Anwendung eines
Baker'schen Satzes (Siehe t ] ) gezeigt hat, dass von ihm betrachtete Reihen für
algebraische Argumente von nicht zu hohem Grad transzendente Werte anneh­
men, welche keine Í7-Zahlen sind.
1
I n der vorliegenden Arbeit stelle ich unter Anwendung desselben Satzes
von A . Baker dem Resultat von M . H . Oryan einen Satz an die Seite, welcher
verallgemeinerte Lückenreihen betrifft und Gegensatz zu den beiden obigen
Arbeiten (von m i r und von M . H . Oryan) sind die Konvergenzradien meiner
Reihen endlich, während die Konvergenzradien jener Arbeiten unendlich waren.
I m ersten Teil werden einige für den Beweis nötige bekannte oder daraus
unmittelbar zu entnehmende Hilfssätze zusammengestellt, im zweiten Teil wird
der Satz gegeben und bewiesen. Anwendungen und Beispiele werden in einer
nachfolgenden Fortsetzung dieser Arbeit gegeben.
B.M. Z E R E N
80
TEIL I
I m folgenden unterscheiden wir, i m Anschluss an A . Baker [*], zwischen
der gewöhnlichen (absoluten) H ö h e einer algebraischen Zahl a und der H ö h e derselben in bezug auf einen ihn enthaltenden K ö r p e r K (Fieldheight=Körperhöhe).
Die gewöhnliche Höhe wird, wie üblich, .mit H(a) bezeichnet, während die Hohe
von a i n bezug auf K mit H {o).
Ausserdem gebrauchen wir bisweilen die
Grösse (size) einer algebraischen Zahl a: S(a),~
\a \
-+ | a„ I ; die Grösse
in bezug auf K ist durch s (a) = | b | + ... + | b j gegeben. Dabei ist die
definierende Gleichung von a : a x" + ...+ a = 0, und diejenige i n bezug a u f
/iist:
+ ... + b = 0.
K
0
K
0
m
0
n
m
N u n die Hilfssätze :
1
Hilfssat.2 t. -\ Ist P.(x) = a x" + a x"— +.... + a ein Polynprn mit ganzen
algebraischen Koeffizienten und
,...,a seine Wurzeln, so ist jedes Produkt
Q
1
n
M
v
a a<*»> ... a<*> (k > 1)
0
ganz algebraisch, wobei v,
v
(Siehe [ ] , S. 91, Hilfssatz b).
k verschiedene aus den Zahlen 1
k
n sind
2
Hilfssatz 2. P (x) — a x" + ... - f a ein Polynom mit ganzen algebraischen
Koeffizienten, und a
a
seine Wurzeln, so ist jedes Produkt
0
( I )
n
( , l )
x
a% (a<^) « ... ( a ^
(K
K > ° , 1 < r < n)
ganzalgebraisch, wenn v
v , r verschiedene aus den Zahlen 1 ,...,n bedeuten
und A = Max(k
X ) gesetzt wurde.
t
l
r
Beweis. 1°) F ü r A = 1 reduziert sich der Hilffssatz 2 auf Hilfssatz 1.
2°) F ü r A > 1 schreibt man
v
t#(a^>)V ... (aS^f'
= a (a<»»> ... a< '>) . a ^ - i . (atv.))^-! ... ( ( M ) v - i .
0
a
Der erste Faktor ist laut Hilfssatz 1, der zweite laut der Induktionsvoraussetzung
ganz, also ist die linke Seite als Produkt von zwei ganzen algebraischen Zahlen
wieder ganz algebraisch.
Hilfssaiz 3 (Mahler), ist P(x) = a x" + ... + a„ (a„ ^ 0) ein Polynom
mit komplexen Koeffizienten und a
a
seine Wurzeln, so gilt *
Q
(
\ä \.
Q
\ a^\
+
1
)
(
n
)
...|a<">|+
1
<s(P) '
t
wobei s(P) ~ | a j -|- ... + | a | gesetzt wurde (Ist n — 0, so ist für das
.Produkt | a > | ... | a"> j+ die Zahl 1 zu nehmen) (Siehe [ ].). ..
0
(I
+
n
(
3
') Hier und im folgenden bedienen wir uns der bequemen Abkürzung Max (1, C ) =
für C ^ O .
ÜBER E I N E K L A S S E V O N V E R A L L G E M E I N E R T E N LÜCKENREIHEN I
81
Folgerung. Ist P(x) ein Polynom mit ganzen rationalen Koeffizienten, so
gilt wegen s(P) - f a 1 4 - . . . + \'a„ \ < (n + 1) H(P) f61gendes :
0
1
+
|ff |.|at >| .„|ai">r<(/i+
l)ff(P).
0
Hilfssatz 4. Ist et eine algebraische Zahl und K ein a enthaltender Zahli ö r p e r , so gilt
m
s {a)
<
K
(«))"",
-wobei n den Grad von o,, m den Grad von K bedeutet.
Beweis.. Es sei P(x) — a x + ... + a die Definiüonsgleichung von a,
Q (x) = b x + . . . + b diejenige von a in bezug auf K, dann ist Q(x) = =F P(x),
wobei m = nl Daraus :
n
0
n
m
0
m
Q (x) < (P(x)Y
, wobei P(x) = \a \jf+...+
m
\a \ Q(x)
= [b \ x + . . . + | b \
in
.gesetzt wurden. Setzen wir hier x — 1, so ergibt sich mit / = — :
'
n
Q
B t
0
m
m
Folgerung.
m
H (a) < (2 H(a))
K
Beweis. Aus H (o.)
von Hilfssatz 4 :
K
.
< s {o) und s(a) < (ß + 1) # ( a ) folgt mit der Hilfe
K
ni
H {o)<
K
m
v
m
v
m
i r
m
m
[ ( « + " ! ) # ( a ) ] < [ 2 " . i r ( a ) ] - 2 . i i ( a ) " < 2 .H(a)
• Hilfssatz 5! Ist P.{x) — a
Koeffizienten und sind a
a
0
(
1
)
.
+ . . . . + a ein Polynom mit ganzen rationalen
seine Wurzeln, so gilt
n
m
H(P)<r.)a \.)a^\"
.,.\a^W
Q
'
wobei H(P) die Hohe von P(x) bedeutet.
Beweis.
Es ist
H(P)
- M a x i \a
t
( v i
mit der Vereinbarung, dass für7c = 0 unter ^ ' a > . . . ct^* die zahl 1 verstanden
wird. Aus der..obigen Gleichung .erhält man . .
.. .. ..
82
B.M. Z E R E N
< K
iaCv,) l - I < * ' I
I Max ^ l , ^
< |a |Max^2i
a ( I )
r---|a
0
( n )
<K|.|a< >| ...|aW| Max/'
1
+
+
l
+
1
Aus ^ ^ j < 2" ergibt sich nun die Behauptung.
Hilfssaiz 6.
Es seien P (x) ,...,P (x)
:
k
M i t H(P ) sei die H ö h e und n der Grad von P (x)
Dann gilt zwischen den Höhen H(P ) (p = 1 ,...,k)
P(x) die Ungleichung
P
JJ^JC).
beliebige Polynome und
p
p
P
für p = 1 ,...,k bezeichnet.
und der H ö h e H(P) von
f[H(PJ<r(n+l)H{P)
p—1
k
mit n = Grad (P{x))
Beweis.
f(x) =
= ^
" •
P
Es sei P (x) = a
p
li )X" +
b.
... +
|
x"° + ... + a p,
0p
n?
Dann ist 6
n
0
— JJ
P
zeln von i % (*) = () mit a ^
von P ( x ) = 0 :
0
a £ d
ap
0
wobei # (P ) = max | a -| und
p
und n = ^ V
=i
p
Wenn die W u r -
=i
bezeichnet werden, so sind die Wurzeln
^ ^ W « » a > > , a « > , . . . , a W a « > W e n d e n wir
>
den Hilffsatz 5 auf i ( x ) ( p = 1 ,...,/c) a n , so g i l t :
p
H(P )
P
< 2"P . | a
n
0p
| . | aj» |+ ... | a<<=>]+ (p « 1
*).
Hieraus ergibt sich
f{
] J ! « o | - | a « | + ... I « W |+,
(i> ) < 2 ^
p
P
p=l
p
d. h.
f[ii(i> )<2-.|& l.n!aW|+.
p
Die Anwendung von Hilfssatz 3 auf P(x)
0
gibt daraus die Behauptung.
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Folgerung.
83
Wenn P (x) | P (x), dann
i
H(P )<2"(n+l)H(P).
1
Beweis. Es ist P (x) — P (x) . P (x).
Die Behauptung ergibt sich aus dem
obigen Hilfssatz für k = % zusammen mit H(P ) > 1.
x
z
2
Hilfssatz 7. Es seien aj (j = 1 k ) Zahlen aus einem festen algebraischen
Zahlkörper K vom Grade m und mit den jeweiligen Grössen s (aj) (J= 1 , . . . , £ ) .
Es sei ferner TJ eine weitere algebraische Zahl, die mit a. (j = 1 , . . . , & ) durch
eine Relation
K
}
verbunden sein möge, wobei f ( x
x
1
k
)
und gfa
rationalen Zahlenkoeffizienten in x
Polynome mit ganzen
k
bedeuten. Dann ist der Grad von TJ
x
l
,...,x )
k
< m und es gilt für die Körperhöhe H (r|) von tj folgende A b s c h ä t z u n g :
K
k
H {y\)
K
k
m
m
< 2 . ( f ! (Ij + l ) ) . H
m
. JJ s (aj)'J
.
K
(1)
Dabei bedeutet /,- das Maximum der Grade von f(x ,...,x )
und g ^ , . . . , ^ )
nach Xj (j = 1
&), # das Maximum der Absolutbeträge der Koeffizienten
von
x ) und
x ).
l
k
i
k
Beweis. Es sei der primitive Teil der Hauptgleichung von a
positiven Anfangskoeffizienten)
m
a jX
0
+ ... + a
mj
= 0 (fl y > 0, j = 1
0
}
nach K (mit
m).
(2)
Die Hauptgleichung von r\ nach K ist
= 0.
Nennen wir die linke Seite P(y),
(3)
so wird
Da wegen des Satzes über symmetrische Funktionen JJ g (aj J . . . , a [ ) ) e Q ist.
v
v
t
v—i
sind die primitiven Teile von P(y)
und
84
B.M. Z E R E N
fjl
= H
P{y)
[
y
g
(
a
a
^
i
v
}
a
) - / (
v
i
}
v }
>•••> 4 ) ]
(4)
gleich. Nennen wir
'
yglx \...;x )~f(x ,...,x )
1
k
}
= F(y;x ,...,x )
/c
1
(5)
k
und
;-
f(x ,:.. x )
1
>
= A (x ,...,x ),
f(
0
l
g(x x
k
1
l
c
) ^ A^x^x ),
(6)
k
so wird
F(y;x ...,x )=yA (x ,...,x )
l>
k
i
1
+ A (x ,...,x )
k
0
1
. .
l(
(7)
und
in
P(y)^T\F(y;a^,...M^).
(8)
Dabei sind die Grade von Polynome ^t und A nach Xj- < /,• (y = 1 ,...,k)
das Maximum ihrer Koeffizienten < H. Dann sind in (7)
,
. . .
0
A ^
'
!
l
2
und
(H'=0,1)
(9)
\i -..,*ifc=0,...,0
)
l oxi--x^u I ^ ^T- Nennen w i r . -
mit a . . j , G Z ,
v
4
s
V l
so wir.d-
=
a
2
V-
•
( c t
v i ) V
i
(a
-
v}
i >"
A
••
= 0,1;
v = .1m),
,
(10)
;
:
l 4
v
!
l ^ (
2
X
I
l^;-^l)(i
a i
v
i
+
/
M )' ---(i4
v }
+
i
l ) '
f
(ii)
x
k
(u=0,
l;v=l
4
.
wobei
2
I %...
1 < (^ + 1) • • • (/* + 1) H
K
= 0, 1)
(12)
gilt. Aus (11) erhält man mit (J + 1) ... (/ + 1) H = L :
x
Ä
\A^}]<L.Jl(\öW\+yj
(u = 0 , l ; v = l , . . . , m ) .
N u n suchen wir den primitiven Teil von P(y):
y
PCyi = I I L M ( o { i « i
5
v }
!
(13)
Aus (7) und (8) ergibt sich
Ä
V}
V}
> + o (<4 >•••> 4 )3-
d4)
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85
Die Koeffizienten von P(y), wegen (10) und (14), sind lineare Kombinationen mit
ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten folgender Produkte algebraischer Zahlen
in Je
f]
(aM)*" , 0 <
X < lj (v = 1 , . . . , m ; j = l , . . . , * ) .
yJ
(15)
vj=l,l
k
Wenn wir eine algebraische Zahl von der Form (15) mit J J aj multiplizieren,
so wird sie ganzalgebraisch wegen Hilfssatz 2 angewendet auf (2). Denn es
m.k
k
folgt aus J J (aj ))V/ - JJ
v,i"=.l,l
m
.
JJ ( a j ) ) ^ , dem Hilfssatz 2 und (15), daß die Zahl
v
v
j=l
v=l
m
°TI ( j ty
A }
a V
vJ
anz
g algebraisch ist. Dann ist auch
i K n
j=l
k
m
j=l
v
]
Y[^=TiHW ^]
=i
j=l
v
=l
ganzalgebraisch. D a die Koeffizienten von
H ^)P(y)
j=i
= P(y)
(16)
3
nach dem obigen ganzalgebraisch und wegen des Satzes von symmetrischen Funktionen rational sind, sind diese Koeffizienten ganz rational. Dann ist also
H (r\)<H(P),
(17)
K
da P(x) sich von dem gesuchten primitiven Teil von P(x)
nur um einen ganz
rationalen Zahlenfaktor unterscheidet. N u n untersuchen wir Pl(P).
(14) und (13) erhalten wir andererseits
—
k
m
j=l
Aus (16),
k
v=l
j=l
k
m
(18)
k
=t. ir.i-.iK-n n(N i >^
vl +
+
,=1
wobei
v-l
in
k
k
=i
j=l
j=l
k
J=l
k
m
n »i, n H ^ W - I K I I
j=l
v
j=l
v
=l
U(^-II! l i p
in
a vl +
(19)
86
B.M. Z E R E N
ist. Wegen des Hilfssatzes 3 ist
m
W
+
2 0
*ojni°j l £^(a ),
( >
y
da hier s{P) = | a | + ... + | a
sich nun :
0j
m}
P(y)
| — s (aJ)
ist. Aus (18), (19) und (20) ergibt
K
< (y + i r •
a
•f [
l j
2 1
<- ^ •
< )
Unter Benutzung von (13) erhält man dann
m
m
¿ 0 0 < (y + D • [(/, + 1) ... (4 + l ) ] • 5 " - f l
(ay))0.
(22)
Daraus erhalten wir :
m
H(P)
m
< 2 (/, + 1)'" ... (4 + l ) • #
m
- H (s (*jWJ
•
(23)
• I I (^(a;))0,
(24)
K
Aus (17) und (23) ergibt sich nun :
k
m
H {v\)
M
< 2 . (/, + 1) ... (4 + i r • V
K
m
was dasselbe ist wie (1).
Folgerung.
k
m
m
f^Ol) < 2 ( / + l ) ... (4 + D •
m
m
1
20
•2 ^
*
. H H(aj)
r,
•
(25)
Beweis. Unter Berücksichtigung des Hilfssatzes 4 und j ( a / ) < ( m + l ) i/(ctj)
erhält man aus (24) :
;
#*0l) < 2" (A + l ) ... (4 + l ) • H . U [Qnj + 1) //(«;)]'>"
!
m
m
m
,
(26)
oder, wenn wir auf der rechten Seite die Ungleichung mj-\- 1 < 2 ^ gebrauchen
m
H (r\)
K
< 2™ (/, + i r - (4 + ^
2
S tj
m
k
_ _ i.
. J J i / ( o , ) "V .
J
(27)
Hilfssaiz 8. Es seien a und ß (a + ß) zwei algebraische Zahlen aus einem
festen Zahlkörper K vom Grade g ([K: Q] = g) und mit den jeweiligen Körperhöhen H (a) und i / ^ ( ß ) . Dann ist
K
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| a - ßj >
Beweis.
Es seien a
0
—
und b
0
87
.
die (positiv angenommen) Koeffizienten des
höchsten Gliedes in den jeweiligen definierenden Gleichungen von a und ß. Das
Konjugiertensystem von a und ß nach K sei jeweils mit ctW und ß W (z = 1 , . . . , m)
bezeichnet werden, wobei a =
, ß — ß ^ geseztzt wurden. Dann ist
s
TT ( a M - ß M ) als N o r m von a — ß ^ 0 i n K eine nichtverschwindeude
v=l
s
rationale Zahl. Wenn wir das Produkt JJ (af l v
ßM)
entwickeln,
so
sehen
wir - wegen Hilfssatz 1 - dass jedes Glied durch Multiplikation mit a b zu einer
ganzen algebraischen Zahl wird. Danach wird also auch deren Summe zu einer
Q
0
g
v
v
ganzen algebraischen Zahl. D a die Summe, d. h. J J ( o j i — ß ' ' ) eine rationale
v= l
Z a h l war, ist mithin
M
Z = aAjJ(<*
-ß
{ v }
)
(28)
•eine von N u l l verschiedene ganze rationale Zahl. Hieraus erhalten wir
{
K M > - ß l - I l [ a
und
v
}
- - ß
t
v
l
l > i
(29)
folglich
1a - ß| > — —
r
-
1
—
KU-Il)«
—
{ v }
--ß
i v ,
-
,
(30)
l
v=2
Da
| { v } _ ßiv) j < | { v ) _ ß{v) |+
a
a
( v
=
x
t
^
i
g
)
ist, ergibt sich wegen (30) und (31)
|a -
ß| > —
-
K M j | l «
•{
v
l
- ß
l
(32)
V
Andererseits ist -wie leicht zu sehen| { v } _ ß{v| |+ < 2 | a M |+ . | ßiW y- .
a
Aus (33) erhalten wir
(33)
88
B.M. Z E R E N
a
s
J \ 1 a i i |+ . | ßtW | +
v
{ v } _ ß{v} j+ <
v=2
v=2
8
= 2 - ' . n |aM [ .TT|ß
+
v=2
{ v }
+
l -
(34)
v=2
Dann folgt aas (32) und (34):
g
v=2
v= 2
i
2- .(i«oifii
a
M
v=2
+
i )-(iMniß
v-1
{
v
}
+
3 5
i )-
( >
v=l
Wenden wir nun zweimal die Folgerung vom Hilfssatz 3 auf die rechte Seite v o n
(35) an, so erhalten w i r :
K
K \ f[
| aM -
ß M [ < 2 * - ' . (g + 1) • H (a)
K
. (g + 1 ) . i / ( ß ) .
Ä
(36)
v= 2
Hieraus ergibt sich
1
[ a - ß | >
1
a
mit g r ( g ) - 2 » - . ( g + l ) .
l
Endlich wollen wir den Satz 1 (Theorem 1) von A . Baker [ ] i n der von
M . H . Oryan [ ] gegebenen Fassung zitieren :
4
Es sei i ; eine reelle oder komplexe Zahl uadJf>2.
Es seien ferner
, a , ... eine Folge von verschiedenen Zahlen von einem algebraischen
Zahlkörper K mit Körperhöhen H ( a , ) , H (a ) , ... derart dass
2
K
a)
K - a J
K
3
<H (*iT*'
K
und
B )
I M J ^ ^ ± I L
<
+
oo
log i ? ^ (a,.)
Dann ist £, entweder eine S- oder eine r-Zahl.
ÜBER E I N E K L A S S E V O N V E R A L L G E M E I N E R T E N LÜCKENREIHEN I
Satz.
89
Betrachten wir die Reihe
CO
CO
F { z ) ^ c
z ^ ^ P
h
( z )
k
' (1)
k=0
A=0
mit
=
C
2
k
z h
k
(
=
1
° '
0
-
s
° -
V
i
<
S i
i
~ '
2 K
s
*-
r
*
<
s
" -
wobei c ( — — , b , a eZ , a >: 1 ) rationale Zahlen sind mit c = 0, wenn
\
h
I
r < h < s„ aber c
0, &•„ 0 für « = 1, 2
Der Konvergenzradius von
-F(z) sei m i t Ä bezeichnet.
h
h
h
h
fi
a
n
Tn
Es seien ferner folgende Bedingungen erfüllt :
R>0,
li
lim
o
g Ar
"
r„
:
= X<
: = 6 > 1, h m ^
mit A : = [ a , . . . , a j
h
I
m
1 3
0
(2)
oo
+
< +
(X > 0),
hm
(3)
< + «>
(4)
.
Es sei a eine algebraische Zahl vom Grade m, die die Bedingung
0 < |a | < R
(5)
^erfüllt. Ausserdem sei P (a) = 0 für höchstens endlichviele w. Dann für ein
solches algebraisches Argument z = a vom Grade m mit
n
m
ist
f l o g j
+xj<y
log
- logi(a)
(6)
-F(ct) transzendent, aber keine i/-Zahl. Wenn man alle Voraussetzungen bis
auf U
hm
< + c°° beibehält, diese aber mit l i m —— = -\- oo ersetzt, so wird
m —
^— <
>(a)
eine (7-Zahl.
ä.
1°) Es ist R < - j - oo, d. h. der Konvergenzradius der
.gegebenen Reihe ist endlich:
1
i
[a ö/,]
0
bedeutet, wie üblich, das ldeinste gemeinsame Vielfache von
a ,...,a^.
0
90
B.M. Z E R E N
1
Es ist R = • - •
limVkJ
h->">
r
. Dann ist l i m V | c j > l i m "sJ \ c „ | . Aus c „ ^
n
r
r
erhält man | c | > — . Hieraus ergibt sich
rn
h m "\/ J a „ I
"-<"
r
Andererseits erhält man aus (3) für ein X > X
l
x
A
r
< e '»
Tn
für genügend grosse Zahlen n. D a a
< ^
Tn
ist, ergibt sich hieraus
x
Ihn V I ^ J
Da
e' .
beliebig nahe an X gewählt werden kann, folgt hieraus
hm yT^J<e\
(8)
r
il-ico
d
Dann folgt aus (7) und (8) l i m V K l ^
h
» - -
l,->ca
R = - = - } - = lim V k i !
<
;
A->cO
also ist
endlich.
2°) W i r wählen nun drei reelle Zahlen
ichungen gelten :
6j , X
so, dass folgende Ungle-
1
| a | < /• < R ,
(9)
i<e <e,
(io)
t
X,>X,
m {\o (~~J +
j < Y
g
(11)
I
o
g
"ff[ ~
l
0
g S (
a
)
•
( 1 2
>
Diese Wahl ist möglich : Bei (9)-(11) ist das klar; bei (12) folgt das aus der
Stetigkeit der beiden Seiten von (6) i n Bezug auf R, 9, X. N u n wählen w i r n
so gross, etwa n> N , dass folgende Ungleichung g i l t :
1
n
--- ->Q ,
1
für n> N,.
3°) W i r bilden nun ß = F(a). W i r setzen
(13)
ÜBER E I N E K L A S S E VON V E R A L L G E M E I N E R T E N LÜCKENREIHEN I
ß = ß* + P„
91
(14)
mit
n— 1
(
ß „ = 2 ^
a
)
=
2 ^
a
/
( 1 5 )
' '
Wir wollen jetzt die H ö h e H($ ) von ß nach oben abschätzen: Multiplizieren wir die beiden Seiten von (15) mit A , so erhält man
f
rt
Tn
^
ß „ - 2 ^
B
c
*
a
*
=
0
( 1 7 )
-
U m nun # ( ß „ ) abzuschätzen, wenden wir den Hilfssatz 7 auf die Relation (17)
an mit /c = 1, a = a, l = r , T| = ß, und
1
x
n
(
F{y,x)
Ist
=
A y-^A c zK
rn
rn
h
die H ö h e von F(y, x), so ist
FI = M a x ( ^
n
,A
rn
\c j
^
0
| c „ |) .
P j f
(18)
r
Nach den Cauchyschen Ungleichungen ist mm
K |
wobei M(r)
das
<
(Ä = 0,1,...X
(19)
Maximum von | . F ( z ) | auf | z j = r ist. Aus (18) folgt mit
Hilfe von (19) :
H < A
rn
. Max (1, M(r)).
^ M a x ^ l , jjj"
= A
rn
. M(rf
.
((7)*)'" • ( )
20
Durch Anwendung des Hilfssatzes 7 erhält man
m
m
# * ( ß j < 2 - (r + l ) - #
a
Dabei ist K=Q
r/j
Es ist jetzt
)
• (%(<*))'«
i y
•
(et), m = [K: Q] . Nennen wir _S = 2 . ( M (/•))+ . (r„ + 1)
so erhalten wir aus (20) und (21)
]
w
Wegen K=Q(et)
ist jjr(et) =
s(a).
(21)
,
92
B.M. Z E R E N
log B
lim
rn
i
(2M(r)+)
— log (r + 1 )
, — log
•< h m — —— + h m — h hmo
5
g
(
B
^
woraus
d.h.
!
lim
g
° V . * X.
(23)
F ü r genügend grosse Zahlen n in > N > JV ) wird also
2
3
log ß
d. h.
eUr
B „< "
(n>N ).
F
(24)
2
Unter Benutzung von (24) erhält man aus (22) :
#*(ß„) <
((yYY\(s(ayy«
Hieraus ergibt sich für n > N
(n > iV ) .
2
2
im [log(— V + X , l -h log j ( a ) l r
>
{
^(P„)< e
(25)
J
B
(26)
und mit Hilfe von (12) :
H (jM<e
K2
j
a
|
;
(n>N ),
K
2
oder
0,
~2 "
r
4°) Wir wollen jetzt H ($„)
K
nach unten abschätzen :
Es ist laut Voraussetzung des Satzes ß — ß„_i = P (a) ^ 0 für genügend
grosses n, etwa für H > 7V (N > N ), und
n
3
3
s
| ß - P » - i | < l ^ i a ) ! < \c _ \.\a\ ^
a
Sn
M(r)_,
Falls wir
a
2
+ ...
1
.
IA
„•W'OO^
/Ja|V"-i
(28)
ÜBER E I N E K L A S S E V O N V E R A L L G E M E I N E R T E N LÜCKENREIHEN i
^ T a \
r
= C o (
ß )
"'
=
C
93
°
setzen, so ist C > 0 und (28) wird zu
0
|ß,,-ß,,-i|< C ^ - ^ " "
1
.
(29)
Andererseits folgt aus ß„ — ß„_i ^ 0 für « > iV laut Hilfssatz 8 :
3
1
|ß -ß -t|>
~
^
(n>iV ).
(30)
gT . i / ; ( ß ) . K ( ß „ _ i )
Dabei ist
eine nur von m abhängende positive Konstante. Wenn wir nun (29)
und (30) verbinden, erhalten wir
n
n
3
r
n
J f
-cjM-r-\
(3D
Die Einsetzung von (27) i n (31) gibt uns für n > N = 7V + 1
4
H ® )>C
K
n
—
1
3
^
•
(32)
Dabei wurde Cj = ——— gesetzt, woraus C > 0. D a n — 1 > N > N > N
Ca (F
gilt, so folgt aus (13), dass i „ _ ! > r „ _ Q für diese «, und dies eingesetzt i n
(32) gibt
x
(
3
2
x
t
was die gesuchte untere Abschätzung für -ff (ß„) bildet.
K
5°) W i r behaupten nun, dass für genügend grosse n {H (ß„)} eine monoton
wachsende Folge bildet: Es sei
K
1< 9 < 0 < 0 .
1
(34)
2
Laut der Voraussetzung des Satzes existiert ein N (N > N ), so dass für
5
~
> ö
5
A
n>N
s
(35)
2
wird. Aus (33) und (35) folgt nun
^ ( ß « i ) > C (~-^ j
+
Andererseits war laut (27) :
x
2
(« > JV ) .
3
(36)
94
B.M. Z E R E N
L
2
ffK^<<T -)
'*
\ | et l /
,
(n > N ) .
(37)
ftM
5
Da laut (9) —— > 1 war und 0 > 0, ist, und f ür n
~ /•„ - » +
, 5 —> +
|ci|
sind, so w i r d die rechte Seite von (36) grösser als die rechte Seite von (37) für
genügend grosse n, etwa für n > N (N > N ). Also gilt
2
n
6
H ®„ )
K
6
5
> H ($ )
+1
K
(n>N \
t
(38)
6
womit die Behauptung bewiesen ist. Hieraus folgt, dass für n> N
voneinander verschieden sind.
die ß n alle
6
6°) Wir wollen jetzt 1 ß ™ ß„ j = | P„ | nach oben abschätzen : Aus (16) folgt
mit Hilfe von (19)
CO
iß-ß„i=i
P n
i<
2J~*
ft=I
1a
— \ k •
^
y
1
*
( n = = 1
[ r )
2
)
' — -
Hieraus ergibt sich m i t der Abkürzung von (28)
[ ß - ftj <
- r ~
,
a
V
s
(«=l,2,...).
~
(39)
'
Nun erhält man aus (39) und (27) :
| ß - ß„ I <
in > N ).
2
.Iii.
(40)
.
Wenn wir (34) und (35) mitberücksichtigen, so wird (40) zu
l ß
-
M <
(
id^
"
>Nsh
m
wobei % = 2 — gesetzt wurde. Wegen ß > 0 ist x > 2, so dass (41) m i t
2
X
x > 2 für unendlich viele verschiedene algebraische Zahlen ß,( aus dem festen
Körper K gilt (weil H (ß„) für n> N monoton wachsend war, sind ß J ( für
n > N voneinander verschieden).
K
6
6
Wenn wir i n der Folgerung des Hilfssatzes 6 für P = 0 die definierende
Gleichung von ß n i n K, für P, = 0 die absolute definierende Gleichung für
derselben und für n den Grad m von K nehmen, so ergibt sich
ÜBER E I N E K L A S S E V O N V E R A L L G E M E I N E R T E N LÜCKENREIHEN I
i/(ß )<C (m).iT -(ß„)
0
1
95
(42)
A
m
m i t CAm) = 2 (m + 1). Aus (41) und (42) erhält man
(43)
ß - P . I <
m i t einer von n unabhängigen positiven Konstanten C . Hier gilt l i m i f ( ß ) — + «x>,
2
M
1
weil nach der Folgerung vom Hilfssatz 4 H(a) > y [ / ^ ( a ) ] "
H->™
1
1
und nach der
unteren Abschätzung (33) von H (ß„), l i m H (ß ) = + °Q war. Wenn man
K
K
n
-diese Tatsache berücksichtigt, folgt aus (43)
1
(44)
[ P - P J <
#(ß„)
wobei %' gemäss 2 < %' < x gewählt und N ( > iV ) darauf abgestimmt
werden kann. Da die ß„ in (44) alle voneinander verschieden sind, widerspricht
(44) dem Roth-LeVeque'schen Satz im Falle der Algebraizitat von ß. Also ist ß
transzendent.
7
ö
7°) N u n wollen wir auf {ß„} den Satz von A . Baker pj i n der Fassung von
M . H . Oryan [ ] anwenden, u m die Natur der Transzendenz von ß zu präzisieren:
Weil die Folge {H ($ )}
nach (38) für n > N monoton wachsend ist, sind
alle ß„ für n> N voneinander verschieden. N u n bilden wir das Verhältnis
4
£
n
6
6
log H (&»+{)
K
W
e
g
e
n ) und (37) für n -|- 1 statt n erhält man für n > N.,
n
3
log/Mßn)
<da N > N > N > N )
7
6
5
3
<
log-^(ß„)
1
log
(
l o g
2
r V
T
T
V | cx | / j
( » > JV ),
7
•oder mit einigen Veränderungen :
logi?ii(P„ i)
+
logi^(P„)
mit
C
=
2 log C,
<
r„
9
+1
1
Sn-l
C
(n >
N)
7
. A u f der rechten Seite von (45) steht das Verhältnis
log
was sich folgenderweise schreiben lässt :
(45)
96
B.M. Z E R E N
'
•
5 —[
S
n
•
f"
n
n
(46)
J
in—1
woraus f o l g t :
H m - ^ i - < 4>. © . 4> = © . <\> ,
(47)
2
^
.
i'„
»-«* J
r
wobei l i m — = © , l i m ••••• "— = <>
j gesetzt wurde. D a l i m
B-*
w
- i
»-»
c'
= 0 ist, folgt
¿„-1
aus (45) und (47):
-
.
l o g ^
log^(ß„)
* °1 . 8 . * M =
2
(48)
2
und da 0 gleich am Anfang beliebig nahe an Ö gewählt werden darf, erhalten
wir aus (48) :
(
Iog/^(ß„)
2
woraus laut dem oben genannten Satz von A . Baker angewendet auf P und
die Folge {ß„} mit n> N folgt, dass ß keine E/-Zahl ist. Damit ist die
Behauptung des Satzes für den Fall
7
lim"
< + °o
(50)
bewiesen.
N u n betrachten wir den 2. Teil des Satzes betreffend den Fall
Um ^ - = + ~ ,
(51)
i iS )
die anderen Voraussetzungen seien erhalten: Aus der Folge ) — i wählen w i r
f r„ \
eine Teilfolge
mit
lim ^
= + co ,
(52)
was laut (51) möglich ist. Aus (40) erhält man
iß - P* i <-—-V-^
( % >
^'
-
(53>
1 r>ik
HAK)* '
0 0
da A^ > N ist. Da if (ß )—> + °o ist, ist auch H (ß„ )
+
• Andererseits,
ist wegen der Folgerung des Hilfssatzes 4 und derjenigen des Hilfssatzes 6 :
6
2
/f
R
K
A
ÜBER E I N E K L A S S E V O N V E R A L L G E M E I N E R T E N LÜCKENREIHEN I
1
y ^
97
-iW
'
< ^(ß«/ £ ) < c{m). H (M
54
< )
K
m
mit ß „ statt a und m = [K:Q] = [ Q ( a ) : Q] und c(m) = 2 ( m + 1) (statt n i n
Hilfssatz 6 wurde hier m gesetzt). Ist H (ß,, ) —> + co für n —>oo, so wird
# ( ß « * ) - * + ° ° f ü r « - > o c wegen der linken Hälfte von ( 5 4 ) . Wegen H (^^~*
+ oo
wird für « > JV ( > A^ )
K
k
k
K
A
ft
8
6
ir (Pi. )>c(m).
Ä
Dann ist für n>
N
(55)
Ä
s
H(ß„
f
r
)<(^(ß,
i
A
))
2
(56)
wegen ( 5 5 ) und der rechten Hälfte von ( 5 4 ) . Aus (53) und (56) folgert man nun
i ß - M <
<*>*.).
d. h.
ß - ß«A | < -
—
.1
0
# ( M
—s
.'
-
"k
(n > JV g )
(57)
mit h m i i ( ß ( i ) = + oo und lim ~ - ' * - = - | - o o . Aus { ß J kann man eine Teilfolge
"k"*
'"k
{ßn j} auswählen, so dass {H(ß„ )} mit n . > N eine monoton wachsende Folge
/(
n/
f
k
kj
k
n
ist. Aus ( 5 7 ) erhält man nun
I ß - ß»/.-, I <
- f1— TJ «T* T
/
r
58
>
< )
"kj
Sn .
k
mit
ii(ß ^)
n
monoton wachsend und l i m - — 1
logT
ß
^
I ß , i m
"
log//
( K
=
-{- o o .
K;
)
1
^^W-r )%
Aus ( 5 8 ) folgt nun
Sn ,
k
<*>>
Da die rechte Seite von ( 5 9 ) laut dem vorhin gesagten + <=<> ist, so folgt auch,
dass
98
B.M. Z E R E N
= + CO
(60)
ist. Andererseits ist
logw.
ff-*
(61)
log i i
und
w*(ß,Ä)=
Min | ß -
Y
| < | ß - ß „
i
7
j .
(62)
Aus (60), (61) und (62) folgt
log
/r(ß, ).|ß-ß„*,|
log H ( ß ^ )
ftJ
w*(ß) > l i m
Also ist ß eine C/*-Zahl vom höchstens «7-ten Grad und folglich eine £/-Zahl
vom höchstens m-ten Grad.
Folgerung. I m Wortlaut des obigen Satzes kann man (6) durch die folgende
stärkere Voraussetzung ersetzen :
m<
9 ,
R
log-—
2
a
f
log ^
Beweis der Folgerung.
Iog/T(a)
(63')
+ X, + l o g 2
Aus (6') erhält man
m logi^y+x
+ m log 2 < — log
R
— log
H{a),
a
2
woraus :
< —lot
2
m
7?
log [2™ .ff (<*)].
Da j ( a ) < (m + 1) H(a) < 2'" i i ( a ) gilt, ergibt sich aus der letzten Ungleichung
m
d. h. (6).
K
Mi)'
T
2
l o
s ~t—r ~~ s (°)>
l o
a
s
ÜBER E I N E K L A S S E V O N V E R A L L G E M E I N E R T E N LÜCKENREIHEN I
99
L I T E R A T U R
[']
E
[]
[]
3
B A K E R , A.
HECKE, E.
MAHLER, K.
4
O R Y A N , M.H.
[]
5
S C H N E I D E R , Th.
["]
Z E R E N , B.M.
[]
:
On Mahler's classification of transcendental numbers, Acta
Mathematica, 1Í1 (1964), 97-120.
: Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig, 1923.
: An application of Jensen formula to polynomials, Mathematika, 7 (I960), 98-100.
: On power series and Mahler's U-numbers (will appear in Mat­
hematica Scandinavica).
: Einführung İn die transzendenten Zahlen, Berlin-GöttingenHeidelberg, 1957.
: Über die Transzendenz der Werte einiger schnell konvergenter
Potenzreihen für algebraische Argumente, Bulletin of the Tech­
nical University of İstanbul, 38 (1985), Number 4, 473-496.
MATHEMATISCHE ABTEILUNG D E R
MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN FAKULTÄT
D E R UNIVERSITÄT ISTANBUL
VEZNECİLER-İSTANBUL/TÜRKEÎ
ÖZET
Bu çalışmada katsayıları rasyonel olan bazı genelleştirilmiş boşluk
serileri ele alınmakta ve bu boşluk serilerinin belirli koşullar altında cebirsel
argümanlar için transandant değerler aldıkları ve bu değerlerin Mahler sımflandırmasmdaki yeri A. Baker'in verdiği bir teoremi kullanmak suretiyle be­
lirtilmektedir.